新高考数学一轮复习精选讲练专题5.1 平面向量的概念及线性运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题5.1 平面向量的概念及线性运算（含解析），共18页。试卷主要包含了向量的概念，向量的表示法，向量的有关概念，相等向量，向量的加法运算，向量加法的运算律，向量的减法运算，向量的数乘运算等内容，欢迎下载使用。

1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如 SKIPIF 1 < 0 等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段 SKIPIF 1 < 0 （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段 SKIPIF 1 < 0 表示向量，通常我们就说向量 SKIPIF 1 < 0 .
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 ．
②向量不能比较大小，但 SKIPIF 1 < 0 是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作 SKIPIF 1 < 0 ，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
4．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定: SKIPIF 1 < 0 与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意 SKIPIF 1 < 0 与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
6．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
7．向量加法的运算律
(1)交换律： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)结合律： SKIPIF 1 < 0 .
8．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量 SKIPIF 1 < 0 长度相等，方向相反的向量，叫做 SKIPIF 1 < 0 的相反向量，记作 SKIPIF 1 < 0 .零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量 SKIPIF 1 < 0 加上 SKIPIF 1 < 0 的相反向量，叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的差，即 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +(- SKIPIF 1 < 0 ).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，在平面内任取一点O，作= SKIPIF 1 < 0 ，= SKIPIF 1 < 0 ，则=-= SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 可以
表示为从向量 SKIPIF 1 < 0 的终点指向向量 SKIPIF 1 < 0 的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

9．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，它的长度与
方向规定如下：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 >0时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的方向与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同；当 SKIPIF 1 < 0 <0时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的方向与 SKIPIF 1 < 0 的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为实数，那么① SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )=( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ；②( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
特别地，我们有(- SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 =-( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 (- SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，以及任意实数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
10．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ≠0)与 SKIPIF 1 < 0 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 共线求参问题，可用两个不共线向量(如 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )表示向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ≠0)，化
成关于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不共线，则 SKIPIF 1 < 0 解方程组即可.
【题型1 平面向量的基本概念】
【方法点拨】
根据向量的基本概念，进行求解即可.
【例1】（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【解题思路】根据向量相等与共线的概念即可解决.
【解答过程】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
【解题思路】根据向量的相关概念直接判断即可.
【解答过程】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高一课时练习）有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则，不是共线向量；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.
【解答过程】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；
对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.
综上，错误的是②③⑤，共3个.
故选：B.
【变式1-3】（2022·河南·高一阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．平行向量的方向都相同
B．零向量与任意向量都不平行
C．长度相等且共线的向量是相等向量
D．平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示
【解题思路】选项A. 根据平行向量的定义，考虑方向可判断；选项B. 由零向量与任意向量都平行可判断；选项C. 当方向相反时不成立，可判断；选项D. 由平面向量向量的基本定理可判断.
【解答过程】选项A. 根据平行向量的定义，其方向可能相反，故不正确.
选项B. 由零向量与任意向量都平行，故不正确.
选项C. 长度相等且共线的向量,若方向相反，则不是相等向量，故不正确.
选项D. 由平面向量向量的基本定理有：平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示，正确.
故选：D.
【题型2 向量相等或共线】
【方法点拨】
判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量
所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量D．模为0的向量与任意向量共线
【解题思路】根据零向量、单位向量、共线向量的定义判断即可.
【解答过程】解：对于A：模为的向量叫做单位向量，但是单位向量不一定相等，因为方向不一定相同，故A错误；
对于B：零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B错误；
对于C：平行向量即共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量叫零向量，零向量和任意向量共线，故D正确；
故选：D.
【变式2-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知为平面上四点，则“向量”是“直线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量共线的概念理解判断.
【解答过程】若，则四点共线或，
若，则，
故“向量”是“直线”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式2-2】（2022·内蒙古高一期末）给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【解题思路】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②；根据两向量不能比较大小判断③；举反例否定④.
【解答过程】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；
②正确．∵＝，∴||＝||且 ；
又∵是不共线的四点，
∴四边形是平行四边形．
反之，若四边形是平行四边形，
则且与方向相同，因此＝；
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当时，与可以为任意向量，
满足λ＝μ，但与不一定共线．
故选：.
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若满足，且与同向，则
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若，则
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【解答过程】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
向量有方向，不能比较大小，故③错误；
向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误；
当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误；
综上，正确的个数是0，
故选：A．
【题型3 平面向量的加、减运算的几何意义】
【方法点拨】
根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来，结合具体条件，进行求解即可.
【例3】（2022·广东·高二期中）在空间四边形ABCD中， M，G分别是BC， CD的中点，则 （ ）
A．B．2C．3D．3
【解题思路】利用中位线的性质可以得出：，然后利用向量的线性运算即可求解.
【解答过程】因为M，G分别是BC， CD的中点，由三角形中位线的性质可得：，
又因为，所以，
故选：.
【变式3-1】（2022·山东烟台·高三期中）设P是所在平面内一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据向量的加减法法则结合已知条件求解即可.
【解答过程】因为，
所以，所以，
所以,
，
故选：B.
【变式3-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.
【解答过程】根据三角形法则可得，所以A错误；
根据向量减法的运算法则可得，所以B错误；
四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有，C错误；
根据三角形法则可得正确，所以D正确.
故选：D.
【变式3-3】（2022·山东·高三期中）在中，已知为上一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】结合已知条件，利用向量的线性运算即可求解.
【解答过程】因为，
所以
.
故选：B.
【题型4 向量的线性运算】
【方法点拨】
向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要
注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.
【例4】（2022·四川绵阳·一模（理））在中，点为边上一点，，若，则（ ）
A．3B．2C．1D．
【解题思路】根据向量的线性运算法则求解即可.
【解答过程】由得，
所以，
所以，即，
故选：C.
【变式4-1】（2022·湖南·高三阶段练习）中，为中点，设向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用向量线性运算直接求解即可.
【解答过程】
.
故选：A.
【变式4-2】（2022·山东·高二阶段练习）设，为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据平面向量线性运算法则求出，即可判断.
【解答过程】解：因为，，，
所以，
则关系式中正确的是，
故选：B．
【变式4-3】（2022·河北·高三阶段练习）在中，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据给定条件，利用平面向量的线性运算逐项判断作答.
【解答过程】在中，满足，，
，B不正确；
，，A不正确；
，C正确；
，，，D不正确.
故选：C.
【题型5 向量共线定理的应用】
【方法点拨】
向量共线的判定一般是用其判定定理，即 SKIPIF 1 < 0 是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则向量
SKIPIF 1 < 0 与非零向量 SKIPIF 1 < 0 共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.
【例5】（2023·广东·高三学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
【解题思路】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.
【解答过程】对于A，因为，，
若A，B，C三点共线，则存在实数使得，
则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，∵，
∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，
故B正确；
对于C，因为，，所以，
若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，
所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，
又，，所以，无解，
所以B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：B.
【变式5-1】（2022·重庆市高三阶段练习（理））在中，点为的中点，与交于点，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】把用表示，然后由三点共线定理得出结论．
【解答过程】由题意
，
因为三点共线，所以，解得．
故选：C．
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【解题思路】设边的中点为，则，进而结合题意得，再根据向量共线判断即可.
【解答过程】解：根据题意，设边的中点为，则，
因为点满足，其中
所以，，即，
所以，点的轨迹为的中线，
所以，点的轨迹一定经过的重心.
故选：A.
【变式5-3】（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【解题思路】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.
【解答过程】因为， ，，
选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；
选项B，， ，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项C， ，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
故选：A.
【题型6 向量线性运算在三角形中的运用】
【方法点拨】
结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.
【例6】（2022·山西太原·高三期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心
【解题思路】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案.
【解答过程】解：设中点为，因为，
所以，即，
因为有公共点，
所以，三点共线，即在的中线，
同理可得在的三条中线上，即为的重心；
因为，
所以，点为的外接圆圆心，即为的外心
综上，点依次是的重心，外心.
故选：A.
【变式6-1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【解题思路】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.
【解答过程】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.
【变式6-2】（2022·江西省高三期中（文））已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设 利用正弦定理角化边得到，可得则是的重心，可得,分别用表示三角形与的面积，则可求得答案.
【解答过程】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.
设可得
则是的重心，，
利用,,所以,
所以,
同理可得,.
所以与的面积之比为即为.
故选：A.
【变式6-3】（2022·天津高三阶段练习）已知是内的一点，且，则的最小值是（ ）
A．8B．4C．2D．1
【解题思路】根据判断点的位置，进而根据三角形的面积公式可得,所以,进而根据不等式即可求解最小值.
【解答过程】由得
取边中点为,则,
因此可知：在过且与平行的中位线上，
由得,由于为三角形的内角，因此,
所以,所以,
因此,
设 ，
故，
当且仅当时，即时，等号成立，
故最小值为8，
故选：A.