专题2.5 对数与对数函数（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc10486" 【题型1 对数的运算】 PAGEREF _Tc10486 \h 2
\l "_Tc960" 【题型2 指数、对数问题的应用】 PAGEREF _Tc960 \h 3
\l "_Tc20083" 【题型3 对数函数的图象及应用】 PAGEREF _Tc20083 \h 5
\l "_Tc11537" 【题型4 利用对数函数的单调性比较大小】 PAGEREF _Tc11537 \h 7
\l "_Tc9540" 【题型5 解对数不等式】 PAGEREF _Tc9540 \h 9
\l "_Tc20468" 【题型6 对数函数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc20468 \h 11
1、对数与对数函数
【知识点1 对数运算的解题策略】
1．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【知识点2 对数函数的常见问题及解题思路】
1．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 对数的运算】
【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，则化简2lg23+(a)2+b2的结果是（ ）
A．3+a+bB．3+a+b
C．2+a+bD．2+a+b
【解题思路】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.
【解答过程】由2lg23=3，a2=a，b2=b可知，
2lg23+(a)2+b2=3+a+b.
故选：B.
【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）若a=lg35，5b=6，则ab−lg32=（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【解题思路】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【解答过程】由5b=6 ⇒ b=lg56，
所以ab−lg32 =lg35⋅lg56−lg32 =lg35⋅lg36lg35−lg32 =lg36−lg32 =lg362 =lg33=1
故选：A.
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且4a=6b=9c=t，那么（ ）．
A．1a+1b=1cB．1b+1c=1aC．1a+1b=2cD．1a+1c=2b
【解题思路】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．
【解答过程】依题意设4a=6b=9c=t，则a=lg4t，b=lg6t，c=lg9t，
所以1a=1lg4t=lgt4,1b=1lg6t=lgt6,1c=1lg9t=lgt9，
则1a+1b=lgt4+lgt6=lgt24≠1c=lgt9，1a+1b=lgt24≠2c=2lgt9=lgt81故A，C错误；
则1b+1c=lgt6+lgt9=lgt54≠1a=lgt4，故B错误；
则1a+1c=lgt4+lgt9=lgt36=2lgt6=2b，故D正确.
故选：D.
【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若2a=3，3b=5，5c=4，则lg4abc=（ ）
A．−2B．12C．22D．1
【解题思路】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【解答过程】由2a=3，3b=5，5c=4，可得a=lg23,b=lg35,c=lg54，
所以abc=lg23×lg35×lg54=lg3lg2×lg5lg3×lg4lg5=2，则lg4abc=lg42=12.
故选：B.
【题型2 指数、对数问题的应用】
【例2】（2024·四川雅安·三模）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477）
A．10117万年B．10120万年C．10123万年D．10125万年
【解题思路】利用取对数法进行化简求解即可．
【解答过程】∵1万年用掉3×1015个二维码，
∴大约能用24413×1015万年，
设x=24413×1015，则lgx=lg24413×1015=lg2441−(lg3+lg1015)=441lg2−lg3−15≈441×0.301−0.477−15≈117，
即x≈10117万年．
故选：A．
【变式2-1】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为y℃，可选择函数y=60×0.9t+20t≥0来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据：lg2≈0.30,lg3≈0.48）
A．2.5minB．4.5minC．6minD．8min
【解题思路】令60×0.9t+20=60，则0.9t=23，两边同时取对将lg2≈0.30,lg3≈0.48代入即可得出答案.
【解答过程】由题可知，函数y=60×0.9t+20t≥0，
令60×0.9t+20=60，则0.9t=23，
两边同时取对可得：lg0.9t=lg23，即tlg910=t2lg3−1=lg2−lg3，
即t=lg2−lg32lg3−1≈0.30−0.482×0.48−1= min.
故选：B.
【变式2-2】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=lgbn+1n，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=4kP10n=ln6−ln2ln2+ln5（k∈N∗，k>4），则k的值为（ ）
A．11B．15C．19D．21
【解题思路】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.
【解答过程】n=4kP10n=lg54+lg65+lg76+...+lgk+1k=ln6−ln2ln2+ln5，
即lgk+14=ln3ln10=lg3，则k+14=3，得k=11.
故选：A.
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为F=Gm1⋅m2r2，其中F表示两个物体间的引力大小，G为引力常数，m1,m2分别表示两个物体的质量，r表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为r1，与月球的远地点间的距离为r2，地球与月球近地点间的引力大小为F1，与月球远地点间的引力大小为F2，则（ ）
A．lnF1+lnr1=lnF2+lnr2B．lnF1+lnr2=lnF2+lnr1
C．lnF1⋅lnr1=lnF2⋅lnr2D．lnF1⋅lnr2=lnF2⋅lnr1
【解题思路】根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由题意知，F1F2=r22r12，两边同时取对数得lnF1F2=lnr22r12，∴lnF1−lnF2=lnr22−lnr12=2lnr2−lnr1，即lnF1+lnr1=lnF2+lnr2.
故选：A.
【题型3 对数函数的图象及应用】
【例3】（2024·湖北·模拟预测）函数fx=ex−e1x−lnx2的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据x0，lnx2>0，所以fx>0，当0a>cC．c>a>bD．a>c>b
【解题思路】判断a，b，c与0和1的大小关系即可得到答案．
【解答过程】a=2lg20.4=0.4，
b=lg0.4⁡2b.
故选：C.
【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=lg0.90.3，c=lg1312，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．cc
【解题思路】由f(x)=f(2−x)，得到对称轴为x=1，然后求解a=f(−ln1.1)=f(2+ln1.1)，进而利用fx在[1,+∞)上单调递减，比较大小，判断选项.
【解答过程】由f(x)=f(2−x)，得到对称轴为x=1，则a=f(−ln1.1)=f(2+ln1.1)，
而1c.
故选：D.
【题型5 解对数不等式】
【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知函数fx=lnx，若fa≤fa+1，则实数a的取值范围是（ ）
A．5−12,1B．0,5−12C．5−12,+∞D．1,+∞
【解题思路】结合函数y=fx的图象和函数y=fx+1的图象，由−lna1=lna1+1，找到交点横坐标，即可得解.
【解答过程】在同一坐标系中画出函数y=fx的图象和函数y=fx+1的图象，
设两图象交于点A，且点A的横坐标为a1.
由图象可得满足fa≤fa+1的实数a的取值范围为a1,+∞.
对于a1，由−lna1=lna1+1，得1a1=a1+1，
所以a12+a1−1=0，解得a1=−1+52或a1=−1−52（舍去），
故选：C.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=3x+2x−1，则不等式flg2x−32b”是“lna2+e>lnb2+e”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【变式5-3】（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数fx=ax+k−1a−x（a>0且a≠1）是偶函数，则关于x的不等式flgkx>a2+1a的解集是（ ）
A．2,+∞B．0,12∪2,+∞
C．12,2D．以上答案都不对
【解题思路】根据fx是偶函数求得k=2，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于lg2x>1，解不等式即可.
【解答过程】∵fx是偶函数
∴f−x=fx，即a−x+k−1ax=ax+k−1a−x
化简得k−2ax−a−x=0
∴k=2，fx=ax+a−x（a>0，a≠1）
f'x=lnaax−a−x,
a>1,0