专题3.2 导数与函数的单调性（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc7484" 【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】 PAGEREF _Tc7484 \h 2
\l "_Tc13678" 【题型2 含参函数的单调性】 PAGEREF _Tc13678 \h 4
\l "_Tc7590" 【题型3 根据函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc7590 \h 7
\l "_Tc25473" 【题型4 函数与导函数图象之间的关系】 PAGEREF _Tc25473 \h 9
\l "_Tc9117" 【题型5 函数单调性的应用——比较大小】 PAGEREF _Tc9117 \h 12
\l "_Tc18102" 【题型6 函数单调性的应用——解不等式】 PAGEREF _Tc18102 \h 14
\l "_Tc10705" 【题型7 导数关系构造函数解不等式】 PAGEREF _Tc10705 \h 16
1、导数与函数的单调性
【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)0，构造函数F(x)= f(x)+g(x).
(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x).
特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx.
(3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x).
(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=.
(5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=.
(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=.
(7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=.
【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】
【例1】（2024·浙江·模拟预测）函数fx=ln2x−1−x2+x的单调递增区间是（ ）
A．0,1B．12,1
C．1−22,1+22D．12,1+22
【解题思路】求出函数的定义域与导函数，再令f′x>0，解得即可.
【解答过程】函数fx=ln2x−1−x2+x的定义域为12,+∞，
且f′x=22x−1−2x+1=2−2x−122x−1=2−2x−12+2x−12x−1，
令f′x>0，解得12g−2x−2，
即1−x20，故x3
故选：A .
【题型7 导数关系构造函数解不等式】
【例7】（2024·山东潍坊·三模）已知函数fx的导函数为f′x，且f1=e，当x>0时，f′x1的解集为（ ）
A．0,1B．0,+∞C．1,+∞D．0,1∪1,+∞
【解题思路】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.
【解答过程】不等式fx−lnxex>1等价于f(x)>ex+lnx，即f(x)−ex+lnx>0，
构造函数g(x)=f(x)−ex+lnx,x>0，所以g′(x)=f′(x)−ex−1x，
因为x>0时，f′xg(1)，所以0fa2+1，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,−1∪3,+∞B．−∞,−3∪1,+∞
C．−3,1D．−1,3
【解题思路】先令g(x)=f′(x)+(x+1)2，判断g(x)的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答过程】因为y=f(x)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，所以−f′(−x)=f′(x)，
令g(x)=f′(x)+(x+1)2，
因为f′x+x+12为偶函数，
则g(−x)=g(x)，即f′(−x)+(−x+1)2=f′(x)+(x+1)2，
即−f′(x)+(−x+1)2=f′(x)+(x+1)2，
所以f′(x)=−2x，
当x>0时，f′(x)=−2xf(a2+1)，即f2a+4>fa2+1，
所以2a+40可转化为fexex−lnex>1，
又gex=fexex−lnex，且g1=f11−ln1=1，
即gex>g1，所以ex>1，解得x>0，
即不等式fex−x+1ex>0的解集为0,+∞．
故选：A．
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数y=12x2−lnx的单调递减区间为（ ）
A．−1,1B．−1,1C．1,+∞D．0,1
【解题思路】先得出函数的定义域，再令f′xcB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】利用切线放缩公式：ln1+x≤x比较a,c，再由三角函数y=csx的单调性，比较c,b.
【解答过程】由ln1+x≤x，当x=0时等号成立，知a0且α−1>0，则α>1.
又由fx=f′x可得x=α>1，即f(x)=xα与f′x=αxα−1的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合.
故选：C.
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数fx=12sin2x−acsx在0,π上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−1B．−1,+∞C．−∞,1D．1,+∞
【解题思路】先求出函数fx的导函数，利用换元法将题目条件转化为a≥2t−1t在0,1上恒成立；再构造函数y=2t−1t，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答.
【解答过程】因为函数fx=12sin2x−acsx在0,π上单调递增，
所以f′x=cs2x+asinx≥0在0,π上恒成立，即1−2sin2x+asinx≥0在0,π上恒成立.
令t=sinx,x∈0,π，
则t∈0,1，
所以a≥2t−1t在0,1上恒成立.
又因为y=2t−1t在0,1上单调递增，
所以当t=1时ymax=1，
故a≥1.
故选：D.
6．（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xf′(x)−2的解集是（ ）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
【解题思路】设gx=xfx，由g′(x)=f(x)+xf′(x)−2可得g(x+1)>g(2)，由单调性解不等式即可.
【解答过程】设gx=xfx，则g2=2f(2)=−2 ，
∵对任意x∈R，f(x)+xf′(x)g(2)，∴x+10，而ln44=1n22，
所以fln33>fln22>fln55，
∴f−ln550，且f(2)=2，则不等式(x+1)3f(x+1)>16的解集为（ ）
A．(1,+∞)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．(−∞,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
【解题思路】根据(x+1)3fx+1>16构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知gx=x3fx在x>0时是单调递增函数，再结合已知条件又可知gx=x3fx是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【解答过程】令gx=x3fx，则g′x=3x2fx+x3f′x=x23fx+xf′x，
因为当x>0时，3fx+xf′x>0，所以gx在0,+∞上单调递增，
又fx为奇函数，且图象连续不断，所以gx为偶函数，
由x+13fx+1>23f2，得x+1>2，解得x1.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·广东茂名·一模）若fx=−13x3+12x2+2x+1是区间m−1,m+4上的单调函数，则实数m的值可以是（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【解题思路】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m的不等式组，解出即可．
【解答过程】由题意，f′x=−x2+x+2=−x−2x+1，
令f′x>0，解得−10，
则函数ℎx=fxx+1在区间(0,+∞)上单调递增，
所以ℎ4>ℎ3，即f45>f34，4f4>5f3；
ℎ3>ℎ2，即f34>f23，3f3>4f2；而A无法确定；故BD正确，AC错误.
故选：BD.
11．（2024·浙江台州·一模）已知gx是定义域为R的函数fx的导函数，f0=1，f1=0，gx+g2−x=0，fx+gxx−1>0，则下列说法正确的是（ ）
A．f2=1
B．f3>1e（e为自然对数的底数，e≈2.71828⋅⋅⋅）
C．存在x0∈R，fx00，故x>1时，fx+gx>0，
所以fx+f′x>0，设ℎx=exfx，
故x>1时，ℎ′x=exfx+f′x>0，故ℎx在1,+∞上为增函数，
同理ℎx在−∞,1上为减函数，
对于A，因为fx=f2−x，故f0=1=f2，故A正确；
对于B，ℎ3=e3f3>ℎ(2)=e2f2=e2，故f3>1e，故B正确；
对于C，当x>1时，ℎx>ℎ1=ef1=0；
当xℎ1=0，而x=1时，ℎ1=0，
故ℎx≥0恒成立，故C错误；
对于D，当0