专题2.3 幂函数与二次函数（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc26065" 【题型1 幂函数的定义】 PAGEREF _Tc26065 \h 2
\l "_Tc28106" 【题型2 比较幂值的大小】 PAGEREF _Tc28106 \h 3
\l "_Tc15170" 【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc15170 \h 5
\l "_Tc16289" 【题型4 求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc16289 \h 7
\l "_Tc21851" 【题型5 二次函数的图象问题】 PAGEREF _Tc21851 \h 9
\l "_Tc12313" 【题型6 二次函数的最值问题】 PAGEREF _Tc12313 \h 12
\l "_Tc32457" 【题型7 二次函数的恒成立问题】 PAGEREF _Tc32457 \h 14
1、幂函数与二次函数
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 求二次函数解析式的方法】
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.
【知识点3 二次函数的图象与性质】
1．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
2．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
3．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 幂函数的定义】
【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=1x3B．y=2xC．y=2x2D．y=−x−1
【解题思路】由幂函数的定义可判断各选项.
【解答过程】由幂函数的定义,形如y=xα，α∈R叫幂函数，
对A，y=1x3=x−3，故A正确；B，C，D均不符合.
故选：A．
【变式1-1】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．α=1,3,12时，幂函数y=xα是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限
D．y=2x2既是二次函数，又是幂函数
【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可．
【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如y=x−1，函数的图象不经过原点，故A不正确；
当α=1,3,12时，幂函数y=x，y=x3，y=x12=x在定义域内均为增函数，故B正确；
由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；
函数y=2x2是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如y=xαα∈R，故D不正确.
故选：B.
【变式1-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）下列函数是幂函数且在−∞,0是增函数的是（ ）
A．y=1xB．y=x3+1C．y=x−2D．y=x
【解题思路】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确.
【解答过程】由幂函数的概念可以排除B、D选项，
而y=1x在−∞,0是减函数，y=x−2在−∞,0是增函数，
故选：C.
【变式1-3】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1；④y=x−12；⑤y=x，其中幂函数的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解题思路】由幂函数的定义即可求解.
【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：y=xα,α≠0；
逐一对比可知题述中的幂函数有①y=x3；⑤y=x共两个.
故选：C.
【题型2 比较幂值的大小】
【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，则“a>b”是“a3>b3”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解题思路】
直接根据充分性和必要性的定义判断即可.
【解答过程】因为函数y=x3在R上单调递增，
所以a>b⇔a3>b3，
即“a>b”是“a3>b3”的充要条件.
故选：C.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知a=lg510，b=lg48，c=4b−76，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】化简a=1+lg52，b= 1+lg55=32，所以a323=b3，故可得出答案.
【解答过程】∵a=lg55×2=lg55+lg52=1+lg52，
b=lg44×2=lg44+lg42=1+12= 1+lg55=32，∴a323=b3，
且y=x3在R上为增函数，∴c>b，即c>b>a，
故选：C．
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数f(x)=(m−1)xn的图象过点(m,8)．设a=f20.3，b=f0.32，c=flg20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b0其对称轴为直线x=52，又fx在区间−1,4上的最大值为12，
所以f−1=6a=12,a=2，所以fx=2x2－10x.
故答案为：fx=2x2−10x.
【变式4-2】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，对任意x∈R，f(x−2)=f(−x)，且f(x)≥x恒成立．则二次函数f(x)的完整解析式为 f(x)=14x2+12x+54 ．
【解题思路】根据f(x−2)=f(−x)得到b=2a，结合f(1)=1得出c=1−3a，根据f(x)≥x恒成立，求出a的值，即可求出函数解析式．
【解答过程】∵对任意x∈R，f(x−2)=f(−x)，
∴二次函数对称轴为x=−22=−1，
∴b=2a，
∵f(1)=1，
∴a+b+c=1，
∴c=1−3a，
又对任意x∈R，f(x)≥x恒成立，
∴ax2+2ax+(1−3a)≥x，即ax2+(2a−1)x+(1−3a)≥0在R上恒成立，
∵a>0，
∴Δ=(2a−1)2−4a(1−3a)=16a2−8a+1=(4a−1)2≤0，
∴a=14，
∴b=12，c=54，即函数f(x)=14x2+12x+54，
故答案为：f(x)=14x2+12x+54．
【变式4-3】（23-24高一上·浙江金华·开学考试）已知二次函数fx=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且不等式fx≤2x的解集为1,3，则fx的解析式是fx= x2−2x+3 ．
【解题思路】由不等式的解集得一元二次方程的两根，由韦达定理得两个关系式，又由对称轴得一关系式，结合起来可求得a,b,c，得函数解析式.
【解答过程】解：f(x)≤2x为ax2+(b−2)x+c≤0，其解集为[1,3]，则
−b−2a=1+3ca=1×3，a>0，又函数f(x)的对称轴是x=1，则−b2a=1，
两者结合解得a=1,b=−2,c=3，
所以f(x)=x2−2x+3.
故答案为：x2−2x+3.
【题型5 二次函数的图象问题】
【例5】（2020·山东·高考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A．−2,1B．−∞,−2∪1,+∞C．−2,1D．−∞,−2∪1,+∞
【解题思路】本题可根据图像得出结果.
【解答过程】结合图像易知，
不等式ax2+bx+c>0的解集−2,1，
故选：A.
【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式cx2+ax+b>0的解集为x∣−1