专题2.4 指数与指数函数（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc18943" 【题型1 指数幂的运算】 PAGEREF _Tc18943 \h 2
\l "_Tc2197" 【题型2 指数方程与指数不等式】 PAGEREF _Tc2197 \h 3
\l "_Tc29843" 【题型3 指数函数的图象与性质】 PAGEREF _Tc29843 \h 4
\l "_Tc6020" 【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】 PAGEREF _Tc6020 \h 6
\l "_Tc8035" 【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】 PAGEREF _Tc8035 \h 7
\l "_Tc1380" 【题型6 指数函数的综合问题】 PAGEREF _Tc1380 \h 9
1、指数与指数函数
【知识点1 指数运算的解题策略】
1．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【知识点2 指数函数的常见问题及解题思路】
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【题型1 指数幂的运算】
【例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简3(−5)232的结果为（ ）
A．5B．5C．−5D．−5
【解题思路】根据指数幂的运算性质进行求解即可.
【解答过程】3(−5)232=35232=52332=523×32=5，
故选：A.
【变式1-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（ ）
A．12−34=4−3B．3x+y4=x+y34
C．3−8=−2D．nm2=n2m12
【解题思路】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.
【解答过程】对于A，12−34=33，故A错误；
对于B，3x+y4=x+y43，故B错误；
对于C，3−8=−2，故C正确；
对于D，nm2=n2m−2，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知a+1a=2，则a12+a−12等于（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
【解题思路】
给a12+a−12平方后再开方求解即可.
【解答过程】(a12+a−12)2=a+1a+2=2+2=4，所以a12+a−12=2.
故选：A.
【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算(−64)13+[(−3)4]14−(2−1)0+3338=（ ）
A．−132B．−112C．−12D．12
【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.
【解答过程】(−64)13+[(−3)4]14−(2−1)0+3338=(−43)13+(34)14−1+[(32)3]13=−4+3−1+32=−12.
故选：C.
【题型2 指数方程与指数不等式】
【例2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x的方程4x−2x=2的解为 x=1 ．
【解题思路】由4x−2x=2可得出2x+12x−2=0，结合2x>0可求得x的值.
【解答过程】由4x−2x=2可得2x2−2x−2=0，即2x+12x−2=0，
因为2x>0，可得2x=2，故x=1.
所以，方程关于x的方程4x−2x=2的解为x=1.
故答案为：x=1.
【变式2-1】（2024高一·江苏·专题练习）不等式123x−1≤2的解集为 x|x≥0 ．
【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为3x−1≥−1求解即可.
【解答过程】原不等式可化为123x−1≤12−1
因为函数y=12x单调递减，
∴3x−1≥−1，解得x≥0．
∴不等式123x−1≤2的解集是x|x≥0．
故答案为：x|x≥0.
【变式2-2】（2024高一·江苏·专题练习）不等式2x>12x−x2的解集是 0,2 ．
【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为x>x2−x求解即可.
【解答过程】由2x>12x−x2，得2x>2x2−x，
因为函数y=2x单调递增，
∴x>x2−x，即x2−2x1，所以0bC．a>b>cD．a>c>b
【解题思路】根据中间数2比较a与c，根据中间数1比较b与c.
【解答过程】因为a=2π−2>21=2，c=213c，因为b=6−1=1620=1，
所以c>b，所以a>c>b.
故选：D.
【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，c=1.10.5，则（ ）
A．ab，则a2b>0时，a2>b2，故C中不等式不一定成立；
对于D，由a>b，由于y=2x在R上单调递增，则2a>2b成立，
故选：C.
【变式4-3】（2024·全国·二模）设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，则a，b的大小关系为（ ）
A．a>bB．a=bC．a0=fx+f4−x，
所以f8−3x>f4−x，所以8−3x>4−x，解得x0的x的取值范围为−∞,2．
故选：B.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知fx=2x−a+1，且fx0⇔fmx2−1>−f2−mx
⇔fmx2−1>fmx−2
⇔mx2−1>mx−2⇔mx2−mx+1>0．
（1）当m=0时，不等式为1>0恒成立，符合题意；
（2）当m>0时，有Δ=m2−4m0，即k>1k2−6k+1>0解得k>3+22．
故实数k的取值范围为3+22,+∞．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质
(2)熟练掌握指数函数的图象与性质
2022年全国甲卷（文数）：第12题，5分
2023年新课标I卷：第4题，5分
2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分
指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.