初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课时练习，共150页。
【题型目录】
题型一 圆中的线段最值问题
题型二 圆中的线段之和最值问题
题型三 圆中的线段平方和最值问题
题型四 圆中的面积最值问题
题型五 圆中的周长最值问题
题型六 圆中的旋转最值问题
题型七 圆中的翻折最值问题
题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）
题型九 圆中的最值综合问题
【经典题型一 圆中的线段最值问题】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（ ）

A．B．6C．D．
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·安徽·九年级专题练习）四边形是边长为4的正方形，点E在边上，连接，F为中点，连接，点G在上且，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东·八年级校考开学考试）如图，直线：交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点，D为y轴上一动点，把线段绕B点逆时针旋转得到线段，连接，，则当长度最小时，线段的长为（ ）
A．B．C．5D．
5．（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．

6．（2023春·四川成都·八年级校考期中）在中，为的中点，为的中点，为线段上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，为直线上一动点，点关于直线的对称点为，连接，则线段的最小值为 ．

7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为 ．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知中，，则的最大值为 ．

9．（2023·河南焦作·校考二模）如图，在中，，，，正方形的边长为1，将正方形绕点C旋转一周，点G为的中点，连接，则线段的取值范围是 ．
10．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，，连接，取的中点F，将三角板绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线的距离的最大值是 ．
【经典题型三 圆中的线段平方和最值问题】
1．（2023·广西·模拟预测）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·全国·九年级期末）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为的上运动，则的最大值为( )
A．B．C．D．
4．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则的最大值是 ．
6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
7．（2022·九年级单元测试）如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是 ．
8．（2022秋·湖北黄冈·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 ．
9．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）在边长为10的正方形中，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一动点，过点作，垂足为，连接．
(1)如图1，若直线与圆相切，求线段的长；
(2)求的最小值；
(3)如图2，若，求的最小值．
【经典题型四 圆中的面积最值问题】
1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（ ）

A．21B．33C．D．42
2．（2023春·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且．
给出以下四个结论： ①， ②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（ ）

A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
3．（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
4．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
5．（2023春·四川攀枝花·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则面积的最小值是 ．

6．（2023·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）如图，已知等腰中，，点D、E分别为边上任意点，以为直径作圆正好经过点C，与交于点F，则面积最大值为 ．

7．（2023·江苏徐州·统考二模）在中，若，，则面积的最大值为 ．
8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最大值是 ．
9．（2023春·陕西·九年级专题练习）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

10．（2023春·广东佛山·八年级校考期末）如图1所示，是等边三角形，点D和点E分别在边和上（D，E均不在所在线段的端点上），且，点M，P，N分别是线段上的中点，连接．

(1)请说明．并求出的大小；
(2)把绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状并说明理由；
(3)把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出的最大面积．
【经典题型五 圆中的周长最值问题】
1．（2023秋·山东滨州·九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）如图，等腰内接于圆，直径，是圆上一动点，连接，且交于点．下列结论： 平分； ；当时，四边形的周长最大；当，四边形的面积为，正确的有（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，已知正方形的边长为3，点E是边上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接，则当之和取最小值时，的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
5．（2023春·湖北孝感·九年级统考阶段练习）如图，已知正方形的边长为a，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为 ．（用含a的代数式表示）

6．（2023春·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）等边的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论：①；②；③周长最小值是；④面积最大值是．其中正确的是 ．
7．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图所示，在扇形中，，半径．点位于的处、且靠近点的位置，点、分别在线段、上，．为的中点．连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为 ．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，是以A为公共端点的两条线段，且满足，，作线段的垂直平分线l交于点D．点P为直线l上一动点，连接，以为边构造等边，连接．当的周长最小时，，则周长的最小值为 ．（用含有a、b的式子表示）
9．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“互余三角形”．如图1，在和中，若，且，则和是“互余三角形”
(1)以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“互余三角形”的是______；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)如图2，等腰直角，其中，点D是上任意一点（不与点A、B重合），则图中△______和△______是互余三角形，并求证：．
(3)如图3，的半径为5，四边形是的内接四边形，且和是“互余三角形”
①求的值；
②若°，求和的周长之差．
10．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知为的外接圆，，点D是劣弧上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)如图1，若是直径，将绕点C逆时针旋转得到．若，求四边形的面积；
(2)如图2，若，半径为3，设线段的长为x，四边形的面积为S．
①用含有x的代数式表示S；
②若点M，N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．的周长有最小值p，随着点D的运动，p的值会发生变化．则所有p值中的最大值是 ．
【经典题型六 圆中的旋转最值问题】
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，三角形，三角形均为边长为4的等边三角形，点是、的中点，直线、相交于点，三角形绕点旋转时，线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知在矩形中，，，O为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为 ；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点M，连接，则的最大值为 ．

6．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点，将绕点按逆时针方向旋转一周得到，点是边的中点，则在旋转过程中长度的最大值为 ．
7．（2023·河南焦作·校考二模）如图，在中，，，，正方形的边长为1，将正方形绕点C旋转一周，点G为的中点，连接，则线段的取值范围是 ．
8．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，，连接，取的中点F，将三角板绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线的距离的最大值是 ．
9．（2022·福建泉州·校考模拟预测）在中，，，点是边上的一动点．是边上的动点．连接并延长至点，交于，连接．且，．

(1)如图1，若，，求的长．
(2)如图2，若点是的中点，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，旋转中的三角形记作△，取的中点为，连接．当最大时，直接写出的值．
10．（2023秋·重庆·九年级重庆市第十一中学校校考开学考试）如图，在中，，，点D为边上一点，连接，过点B作交的延长线于点E．

(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，延长到点F使，分别连接交于点G．求证：．
(3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连接，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数．
【经典题型七 圆中的翻折最值问题】
1．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ．
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ．
6（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是 ．
【经典题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）】
1．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．
3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
4．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
5．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ．
6．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ．

8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，
②，
③，
④的最小值．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．
【经典题型九 圆中最值综合问题】
1．（2023·广东珠海·统考二模）边长为2的等边三角形中，于H，E为线段上一动点，连接．于点F，分别交于点D，G．①当E为中点时，；②；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④的最小值．正确结论是（ ）
A．②③B．②④C．①②④D．①③④
2．（2021秋·重庆九龙坡·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．以下四个结论：①BQ＝QF；②DEF的周长为8；③；④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 ；
（2）如图②，若连结，，分别取、的中点P、Q，连接，M为的中点，则CM的最小值为 ．

4．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的中，是直径，是弧的中点，绕点旋转与的两边分别交于（点与点均不重合），与分别交于两点．

(1)连接，求证：．
(2)连接，试探究；在绕点旋转的过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由．
(3)连接，试探究：在绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
第二十四章 圆
专题20 圆中最值问题专训（九大题型）
【题型目录】
题型一 圆中的线段最值问题
题型二 圆中的线段之和最值问题
题型三 圆中的线段平方和最值问题
题型四 圆中的面积最值问题
题型五 圆中的周长最值问题
题型六 圆中的旋转最值问题
题型七 圆中的翻折最值问题
题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）
题型九 圆中的最值综合问题
【经典题型一 圆中的线段最值问题】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（ ）

A．B．6C．D．
【答案】B
【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，则是等腰直角三角形，，再利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得，连接，

则是等腰直角三角形，，
，
在中，，
的最大值为，
即的最大值为6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到．
【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最大，即最大，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023春·安徽·九年级专题练习）四边形是边长为4的正方形，点E在边上，连接，F为中点，连接，点G在上且，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，可得G点在上，取的中点H，则，得出G在上，进而根据两点之间线段最短，当H，G，C三点共线时，取得最小值，勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

四边形是正方形，
，
是的中点，
，
又，
点在半径为的上，
，
取的中点H，则，
在上，
当H，G，C三点共线时，取得最小值，
最小值为．

故选：C．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．（2023春·广东·八年级校考开学考试）如图，直线：交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点，D为y轴上一动点，把线段绕B点逆时针旋转得到线段，连接，，则当长度最小时，线段的长为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】如图，设．由题意得到，求得，，过E作于H，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，于是得到时，长度最小，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，设．由题意：，
∴，，过E作于H，
∴，
∵把线段绕B点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，长度最小，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，坐标与图形的变化，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会利用完全平方公式解决最值问题．
5．（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】由点的运动轨迹确定在与轴平行的直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：将及分别代入得：，
由已知可得，，
三角形是等腰直角三角形，
，
，即，，
在上取点，使,

又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，即，
在与轴平行的直线上运动，
当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数的图象，旋转的性质，垂线段最短以及勾股定理；关键是判断动点运动轨迹．
6．（2023春·四川成都·八年级校考期中）在中，为的中点，为的中点，为线段上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，为直线上一动点，点关于直线的对称点为，连接，则线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】连接、，证明、D、C三点在以点P为圆心，为半径的圆上，根据为此圆的弦，点在线段上，得出，即，根据线段绕点逆时针旋转得到线段，得出，根据垂直平分，得出，根据，得出，即可求出结果．
【详解】解：连接、，如图所示：

∵在中，为的中点，
∴，，
∴，
∵P为的中点，
∴，
∴、D、C三点在以点P为圆心，为半径的圆上，
∴为此圆的弦，
∵点在线段上，
∴，
即，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形三边关系，解题的关键是作出辅助线，求出，．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，当、、三点共线时，最小，求出此时的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
点在以为弦，的圆弧上运动，
如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接，，，，，，
，
则，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知中，，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，而一定，
∴当的面积最大时，最大，
∵，
∴点D在以为直径的圆上，
∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时，则为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．
9．（2023·河南焦作·校考二模）如图，在中，，，，正方形的边长为1，将正方形绕点C旋转一周，点G为的中点，连接，则线段的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正方形绕点C旋转一周，得到点G的运动轨迹为定长圆，圆心为点C，半径为，得到最大值和最小值均为点A、C、G三点共线时，再求出长，得到线段的取值范围．
【详解】中，，，，
，
将正方形绕点C旋转一周，
点G的运动轨迹为定长圆，圆心为点C，半径为，
连接，
点G为的中点，正方形边长为1，
，
中，，
当点A、C、G三点共线时，
在处最大为，
在处最小为，
故．
【点睛】本题考查旋转中定长圆上一点到另一定点的距离的范围，注意图形绕一点旋转，则图形上的点的
轨迹均为定长圆，圆心为旋转点，半径为该点到旋转点的距离．且点到圆上一点最大距离为点到
圆心距离加上半径，点到圆上一点最大距离为点到圆心距离与半径的差．
10．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，，连接，取的中点F，将三角板绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线的距离的最大值是 ．
【答案】/
【分析】如图，取的中点O，连接，F为的中点，由三角形的中位线定理得出，得出在旋转过程中，点F在以O为圆心为半径的圆上动，再过O点作于R，构造直角三角形，求出长，进而即可得解．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，F为的中点，
由三角形的中位线定理得，
∴在旋转过程中，点F在以O为圆心为半径的圆上运动
过O点作于R，
在中，
∴
∴点F到直线的距离的最大值为
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识点，通过作图构造不变的线段是解题的关键．
【经典题型二 圆中的线段之和最值问题】
1．（2023·山东聊城·统考二模）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（ ）

A．B．C．8D．12
【答案】C
【分析】作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，

∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为8，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键．
2．（2023·安徽合肥·统考二模）矩形中，，，点E是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点F，若于M点，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】作，，证明，推出，当D、M、B三点共线时，有最小值，最小值是的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作，，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴A、D、M、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
当D、M、B三点共线时，有最小值，最小值是的长，
∴的最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明是解题的关键．
3．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】A
【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解．
【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知，
点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆），
点E的对称点为，连接,则，
∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长，
如图所示，在中，，，
，
又，
，即的最小值为8，
故选：A．
【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键．
4．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级统考期末）如图，在中，是的直径，，，是点关于的对称点，是上的一个动点，有下列结论：①；②；③；④的最小值是10；⑤.上述结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据和是点关于的对称点，求出，求出即可判断①②；根据圆周角定理求出当和重合时即可判断③；求出点的位置，根据圆周角定理得出此时是直径，即可求出长，即可判断④；已知是上的一个动点，则的大小会随着点位置的变化而变化，即可判断⑤．
【详解】∵和是点关于的对称点，
∴，
∴，故①正确；
∴，故②正确；
∵的度数是，
∴的度数是，
∴只有当和重合时，
∵，
∴只有当和重合时，，故③错误；
作点关于的对应点，连接，交于，连接交于，此时
的值最短，等于，连接，
∵，且弧的度数都是，
∴，，
∴，
∴是的直径，即，
∴的最小值是10，故④正确；
∵已知是上的一个动点，
∴的大小会随着点位置的变化而变化，
∴的大小不能确定，故⑤错误；
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称--最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出的位置是解此题的关键．
5．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是8，则的最大值是（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】首先连接，根据圆周角定理，求出，进而判断出为等边三角形；然后根据的半径为8，可得，再根据三角形的中位线定理，求出的长度；最后判断出当弦是圆的直径时，它的值最大，进而求出的最大值是多少即可．
【详解】如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵的半径为8，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∵为定值，
∴当最大时，最大
∵当弦是圆的直径时，它的最大值为：，
∴的最大值为：．
故选B．
【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的性质，判断出当弦GH是圆的直径时GE+FH取得最大值是关键．
6．（2023·浙江台州·统考一模）如图，是半圆O的直径，P是上的动点，交半圆于点C，已知，则的最大值是 ．

【答案】
【分析】连接，可得，设，则，则问题转化为求的最大值，然后根据不等式的性质和完全平方公式的变形解答即可．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵（当且仅当时等号成立）
∴，
∴（当且仅当时等号成立），
∴的最大值是，即的最大值是；
故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理、圆的基本知识、不等式的应用和完全平方公式等知识，灵活应用转化的思想方法，求得是解题的关键．
7．（2023春·九年级单元测试）如图，A点的坐标为，以A为圆心的切x轴于点B，为上的一个动点，则的最大值=
【答案】/
【分析】设，则点在直线上，易得直线与轴的交点坐标为，于是可判断当直线与在上方相切时，k的值最大，直线与轴交于点，切于，作轴于，于，连接，如图，则，利用直线的性质易得，则为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得，，，，所以四边形为矩形，，则，，所以以，然后在中，利用得到，解得，从而得到的最大值为．
【详解】解：设，则点在直线上，当时，，即直线与轴的交点坐标为，所以当直线与在上方相切时，k的值最大，直线与轴交于点，切于，
作轴于，于，连接，如下图，
当时，，解得，则，
直线为直线向上平移个单位得到，
，
为等腰直角三角形，
和为的切线，
，，，，
四边形为矩形，，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，
，
，解得，
的最大值为．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，解题的关键是确定直线与A相切时的最大值．
8．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，A、是半圆上的两点，是直径，．若，，是上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长交于连接交于P，连接．则的值最小，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：延长交于连接交于P，连接．
∵，
∴，
∴，此时的值最小，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用和最短路径问题，正确的作辅助线是解决本题的关键．
9．（2023秋·广西南宁·九年级校联考阶段练习）在矩形 中，，点E在边上，，点P为矩形内一点且，点M为边上一点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】可得出点P在以为直径的圆O上运动，作点D关于的对称点G，连接交 于点P，交于M，则的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴点P在以为直径的圆O上运动，
作点D关于的对称点G，连接交 于点P，交于M，的最小值是的长,
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴,
∴P，
∴的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最小值，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质等等，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
10．（2023春·九年级课时练习）如图，在中，是的直径，，，点E是点D关于的对称点，M是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10，其中正确的序号是 ．
【答案】①④/④①
【分析】①根据等弧所对的圆心角所对得；根据圆的对称性得；故①正确；
②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，故②错误；
③根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，再根据三角形内角和即可得；故③正确；
④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，根据圆周角定理得，，再由三角形内角和得，再由圆周角定理得是的直径，即可得出的最小值，故④正确．
【详解】解：①∵，
∴；
又∵点E是点D关于的对称点，
∴；故①正确；
②∵，故②错误；
③由M为AB上动点，D为定点，
∴不一定垂直于CE；故③错误；
④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用—最短距离问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E、F．
(1)求证：点D为的中点；
(2)若，，求的长；
(3)若的半径为5，，点P是线段上任意一点，试求出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）证明为△ACB的中位线得到，然后计算即可；
（3）作C点关于的对称点，交于P，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
【详解】（1）∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点D为的中点；
（2）解：∵，
∴，
而，
∴为的中位线，
∴，
∴；
（3）解：作C点关于的对称点，交于P，连接，如图，
∵，
∴，
∴此时的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵点C和点关于对称，
∴，
∴，
作于H，如图，
则，
则，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】此题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关的定理内容并灵活应用是解题的关键．
【经典题型三 圆中的线段平方和最值问题】
1．（2023·广西·模拟预测）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形为正方形，，为圆O直径，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴当三点共线时，最小，，
则：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．
2．（2022春·全国·九年级期末）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形为正方形，，为圆O直径，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴当三点共线时，最小，
则：，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．同时考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，是一道综合题．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为的上运动，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解．
【详解】解：设的中点为，连接、，如下图：
则，，
根据题意可得，，
的最大值，即是的最大值，
又∵点在以半径为的上运动，
∴的最大值，
由勾股定理可得：，
∴的最大值为14，
∴的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出的最大值是解题的关键．
4．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．
【答案】C
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是6．
故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则的最大值是 ．
【答案】6
【分析】连接AC，OD，DE，根据圆周角定理的推论，推出AC是⊙D的直径，设E（x，y），利用勾股定理分别求出求出，得到 与的关系，推出当最大时，最大，根据圆中直径最长，即可求出的最大值．
【详解】解：连接AC，OD，DE，
设E（x，y），
∵，
∴AC是⊙D的直径，
∵AO＝BO＝CO＝1，
∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），
∴，
，
，
∴，
∵，
∴当OE为⊙D的直径时，OE最大，的值最大，
∴，
∴的最大值，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
【答案】100
【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．
【详解】解：设P（x，y），
∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，
∵OP2＝x2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
当点P处于OM与圆的交点P处时，OP取得最大值，如图，
∴OP的最大值为OP＝OM＋PM＝＋2＝7，
∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大．
7．（2022·九年级单元测试）如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是 ．
【答案】6
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，，设，利用两点间的距离公式得到则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了圆周角定理、勾股定理和坐标与图形性质．
8．（2022秋·湖北黄冈·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 ．
【答案】34
【分析】设点，表示出的值，从而转化为求的最值，根据图形求出的最小值，代入求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当点P处于与圆的交点上时，取得最值，
∴的最小值为，
∴最小值为．
故答案为34．
【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解的最小值，难度较大．
9．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）在边长为10的正方形中，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一动点，过点作，垂足为，连接．
(1)如图1，若直线与圆相切，求线段的长；
(2)求的最小值；
(3)如图2，若，求的最小值．
【答案】(1)10
(2)
(3)200
【分析】(1)连接，根据正方形的性质，切线的性质，证明即可．
(2)设与半圆于点M，当点E与点M重合时，最短，运用勾股定理计算即可．
(3) 根据为直径，则，得到是定值，故t的最小值，有的最小值确定，且当E位于正方形对角线交点处时，取得最小值．
【详解】（1）连接，
∵边长为10的正方形，直线与圆相切，E为切点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图1，连接，
设与半圆于点M，当点E与点M重合时，最短，
∵边长为10的正方形，
∴，
∴，
∴．
（3）∵为直径，
∴，
∴是定值，
故t的最小值，有的最小值确定，
∵点E在半圆弧上，
∴在正方形中，只能是锐角三角形或者直角三角形，不可能是钝角三角形，
∴，
当且当E位于正方形对角线交点处时（此时是直角三角形），取等号．
∴，
∴，
故t的最小值为200．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，勾股定理是解题的关键．
【经典题型四 圆中的面积最值问题】
1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（ ）

A．21B．33C．D．42
【答案】B
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为，B点的坐标为，
即，由勾股定理得：，
过C作于M，连接，

则由三角形面积公式得：，
即：，
∴，
∴圆C上点到直线的最大距离是：，
∴面积的最大值是；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离．
2．（2023春·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且．
给出以下四个结论： ①， ②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（ ）

A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】①根据旋转的性质证明为等腰直角三角形，即可得出结论；
①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“”证明，得出，，证明，根据勾股定理即可证明结论；
③根据，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作垂足为点H，此时最小值即为的长，求出的长即可；
④根据，得出，表示出，即可求出最大值．
【详解】解：根据旋转可知，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，故①正确，符合题意；
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③∵，
∴点F总是在过点C与垂直的直线上运动，过点P作垂足为点H，如图所示：

∵，
∴，
∵，，
，
∴，
∴ 为等腰直角三角形，
i∴，
即的最小值为，故③正确，符合题意；
④∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴
∴当时，的面积最大，且最大值为16，故④正确，符合题意；
综上分析可知，其中正确的是①②③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据“”证明，是解题的关键．
3．（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】过作于，过作，交于，根据等边三角形的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三线合一的性质，得出，进而得出，即点、、在一条直线上，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据平行四边形和三角形的面积，得出，再以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，再根据三角形的面积公式，结合二次根式的乘法，计算即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过作于，过作，交于，
，，
，
是正三角形，，
，
，即点、、在一条直线上，
在正、正和正，
，，，，
，
，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，
，
四边形面积的最大值是2．
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三线合一的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理、含角的直角三角形、圆周角定理、二次根式的乘法，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
4．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】B
【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动，
当M点为与的交点时，点M到
的距离最短为，
∴ △BCM面积的最小值为∶
，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹．
5．（2023春·四川攀枝花·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则面积的最小值是 ．

【答案】
【分析】以为圆心，为半径作，过点作于点交于点，则点到的距离的最小值，即可求出面积的最小值．
【详解】解：过点作于点，以为圆心，为半径作，过点作于点交于点，当点与点重合时，点的到的距离最小，最小值．
由翻折的性质可知，，
点在上，

，，
，
由，
，
，
，
点到的距离的最小值．
面积的最小值为；
故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理、圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．（2023·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）如图，已知等腰中，，点D、E分别为边上任意点，以为直径作圆正好经过点C，与交于点F，则面积最大值为 ．

【答案】
【分析】连接，利用圆内接四边形的性质求得，证明，推出，设，则，，作交延长线于点G，利用三角形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：连接，

由题意得，四边形是圆内接四边形，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
作交延长线于点G，则，
∴，
∴，
∵，
∴当即时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，证明是解题的关键．
7．（2023·江苏徐州·统考二模）在中，若，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先过C作于M，由弦已确定，可得要使的面积最大，只要取最大值即可，即可得当过圆心O时，最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得的长，继而求得答案．
【详解】作的外接圆⊙O，过C作于M

∵弦已确定
∴要使的面积最大，只要取最大值即可
如图所示，当过圆心O时，最大
∵，过O
∴（垂径定理）
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当过圆心O时，最大是关键．
8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最大值是 ．
【答案】20
【分析】过点作于点，延长交圆于点，此时为为边上的高的最大值，求出的长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵直线与坐标轴分别交于、两点，
当时，；当时，，
∴，
∴，
∴，
设点到直线的距离为，
则：，
∴当最大时，面积最大，
∵是以为圆心，为半径的圆上一动点，
过点作于点，延长交圆于点，此时最大，如图：
∵，
∴，
∴，
连接，则：
∴，
∴，
∴，
∴，即：面积的最大值是；
故答案为：20．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，勾股定理．解题的关键是确定点的位置．
9．（2023春·陕西·九年级专题练习）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）11；（2）；（3）四边形的面积存在最小值，最小值为平方米
【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；
（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案；
（3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可．
【详解】解：（1）∵圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，
∴上的点到弦的距离最大值为，
故答案为：11；
（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．

．
设，则，
由，得，即，
∴，
，
．
即面积的最小值为
（3）过点作于点于点，
∵平分，
∴．
又，
．
米，，，
为等腰直角三角形，
∴米，
（平方米），
平方米．
在上截取，连接，如图．

，
，
，
要使四边形的面积最小，只需的面积最小．
，
，
作的外接圆，如图，连接，作于点，
则，
∴．
设，则．
由，得，解得，
米，
（平方米），
（平方米）．
即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，交平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键．
10．（2023春·广东佛山·八年级校考期末）如图1所示，是等边三角形，点D和点E分别在边和上（D，E均不在所在线段的端点上），且，点M，P，N分别是线段上的中点，连接．

(1)请说明．并求出的大小；
(2)把绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状并说明理由；
(3)把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出的最大面积．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)的面积的最大值为
【分析】（1）由是等边三角形，可得，由，可得，由点M，P，N分别是线段上的中点，可得，则，，，由，可得；
（2）由，可得，证明，则，由点M，P，N分别是线段上的中点，可得，则，进而可得是等腰三角形．
（3）由（2）可知，，则，由点M，P，N分别是线段上的中点，可得，，，，则，是顶角为等腰三角形，由，可得，即的最大值为14，的最大值为7，如图2中，过点N作的延长线于J，则，，，由勾股定理得，，则的面积的最大值为，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∵点M，P，N分别是线段上的中点，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点M，P，N分别是线段上的中点，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）解：由（2）可知，，
∴，
∵点M，P，N分别是线段上的中点，
∴，，
∴，，
∴
，
∴是顶角为等腰三角形，
∵，
∴，即的最大值为14，的最大值为7，
如图2中，过点N作的延长线于J，

∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的面积的最大值为，
∴的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【经典题型五 圆中的周长最值问题】
1．（2023秋·山东滨州·九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）如图，等腰内接于圆，直径，是圆上一动点，连接，且交于点．下列结论： 平分； ；当时，四边形的周长最大；当，四边形的面积为，正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】证明，由圆周角定理和三角形外角的性质可证明正确；当时，四边形的周长最大，可判断正确；如图1，连接并延长交于，根据垂径定理可得，则，利用面积和可得四边形的面积，可知不正确．
【详解】解： 等腰内接于圆，是的直径，
，
，
，
平分，
故正确；
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故正确；
，
当最大时，四边形的周长最大，
当时，四边形的周长最大，
故正确；
如图1，连接并延长交于，
在Rt中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积，
故不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及面积的变换与求法，此题综合性比较强，难度比较大，在解题时充分利用以上相关知识解决问题是关键．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，已知正方形的边长为3，点E是边上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接，则当之和取最小值时，的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=3即可．
【详解】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF=DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG=AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG=DA，FG=AE，
∴AE=BG，
∴BG=FG，
∴∠FBG=45°，
∴∠CBF=45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，
∴DC'=3，
∴DF+CF的最小值为3，
∴此时的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．
【详解】解：连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是等边三边垂直平分线的交点，
，、分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
四边形的面积，③错误；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
；②错误；
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】连接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，则有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等边三角形，当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，此时＝•（+1）＝1+，α＝150°．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、．
∵O是等边三角形△ABC是中心，
∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，
∵∠BA ＝∠AC＝α，
∴∠OA＝∠OC，
在△OA和△OC中，
，
∴△OA≌△OC（SAS），
∴∠AO＝∠CO，O＝O，
∴∠O＝∠AOC＝120°，
同理可证∠O＝∠O＝120°，O＝O，
则有△O≌△O≌△O，
∴＝＝，
∴△是等边三角形，
在△O中，
∵∠O＝120°，O＝O，
∴当O最长时，最长，
∵O≤OC+C，
∴当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，
此时＝•（+1）＝1+，α＝150°，
∴△的周长的最大值为3+3．
故选：D
【点睛】本题考查旋转变换、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、最大值问题等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定，学会利用三角形的三边关系解决最大值问题．
5．（2023春·湖北孝感·九年级统考阶段练习）如图，已知正方形的边长为a，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为 ．（用含a的代数式表示）

【答案】
【分析】连接，过点作交延长线于点，先证明，即可得到点在的角平分线上运动，作点关于的对称点，当点，，三点共线时，最小，根据勾股定理求出的最小值为，即可求出此时的周长为．
【详解】解：连接，过点作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，
，，
，
，
又，
，
，，
，
即，
，
即点在的角平分线上运动，
作点关于的对称点，
点在的延长线上，
当点，，三点共线时，最小．
在中，，，
，
的最小值为，
此时的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称解决最短路径是本题的关键．
6．（2023春·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）等边的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论：①；②；③周长最小值是；④面积最大值是．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积，当时，最小，的面积最小， 周长最小，求得此时的长则可对③④进行判断．
【详解】解：连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是等边三边垂直平分线的交点，
，、分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
四边形的面积，②正确；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
∴；
当时，最小，此时，
∴面积最大值是，故④不正确；
，
的周长，
当时，最小，此时，
∴周长最小值是，故③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图所示，在扇形中，，半径．点位于的处、且靠近点的位置，点、分别在线段、上，．为的中点．连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为 ．
【答案】
【分析】连接，，，取的中点，连接，求出弧的长，再求出当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，分别求出，的长．
【详解】解：如图，连接，，，取的中点，连接．
，，
，
的长，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，
此时，
，，
是等边三角形，
，
，
，
此时阴影部分的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长，线段最小值问题，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时点与点重合．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，是以A为公共端点的两条线段，且满足，，作线段的垂直平分线l交于点D．点P为直线l上一动点，连接，以为边构造等边，连接．当的周长最小时，，则周长的最小值为 ．（用含有a、b的式子表示）
【答案】
【分析】如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，证明得到，接着证明，连接，取的中点F，则，可证明点E和点F重合，进一步证明点Q在上，作D关于直线的对称点，连接，则，可以推出当最小时，的周长最小，则当三点共线时，有最小值，此时点恰好在直线l上，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即是的角平分线，
又∵，
∴，
连接，取的中点F，则，
∴，即点E和点F重合，
又∵，
∴点Q在上，
作D关于直线的对称点，连接，则，
∵的周长，
∴当最小时，的周长最小，
∵，
∴当三点共线时，有最小值，此时点恰好在直线l上，
∴此时，则，
∴，
∴的周长最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形从而确定点Q的运动轨迹是解题的关键．
9．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“互余三角形”．如图1，在和中，若，且，则和是“互余三角形”
(1)以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“互余三角形”的是______；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)如图2，等腰直角，其中，点D是上任意一点（不与点A、B重合），则图中△______和△______是互余三角形，并求证：．
(3)如图3，的半径为5，四边形是的内接四边形，且和是“互余三角形”
①求的值；
②若°，求和的周长之差．
【答案】(1)②④
(2)和是“互余三角形”，理由见解析；
(3)①；②
【分析】（1）根据“互余三角形”的定义可知，矩形和正方形是“互余三角形”，既得答案；
（2）过C作于H，可以得到和是“互余三角形”，在中利用勾股定理的逆定理可以得到结论；
（3）①连接并延长交于E，连接，由和是“互余三角形”，可证，然后在中运用勾股定理即可求解；连接并延长交于，连接，过作于，由和是“互余三角形”可知是等腰直角三角形，解出，的值进而解题即可．
【详解】（1）根据“互余三角形”定义可知：矩形和正方形一条对角线把它分成的两个三角形，两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等，
∴矩形和正方形是“互余三角形”，
故答案为：②④；
（2）和是“互余三角形”，理由如下：
过C作于H，如图2；
∵，
∴，
又∵
∴和是“互余三角形”，
∵设A，
则，
∵，
∴，
∴
在中，
∴，
∴
∴；
（3）①连接并延长交于E，连接，如图3：
∵和是“互余三角形”，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
∴，
∴
在中，，
∴，
即的值为100；
②连接并延长交于，连接，过作于，如图：
∵
，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵和是“互余三角形”
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
在中，
∴和的周长之差=．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形的全等三角形解决问题．
10．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知为的外接圆，，点D是劣弧上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)如图1，若是直径，将绕点C逆时针旋转得到．若，求四边形的面积；
(2)如图2，若，半径为3，设线段的长为x，四边形的面积为S．
①用含有x的代数式表示S；
②若点M，N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．的周长有最小值p，随着点D的运动，p的值会发生变化．则所有p值中的最大值是 ．
【答案】(1)8
(2)①；②
【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的性质可得答案；
（2）①将绕点C逆时针旋转，得到，根据等腰三角形的性质及面积公式可得答案；
②作点D关于直线的对称点E，作点D关于的对称点F，当点E、M、N、F四点共线时，的周长不最小值，则连接交于点M，交于N，作于P，由对称性质、勾股定理、最值问题可得答案．
【详解】（1）解：∵是直径，
∴，
∵旋转得到，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的面积
；
（2）解：①如图，将绕点C逆时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴点D，B，H三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∴四边形的面积，
∵半径为3，线段的长为x，
∴；
②如图，作点D关于直线的对称点E，作点D关于的对称点F，
∵点D、E关于直线对称，
∴，
同理，，
∴的周长，
当点E、M、N、F四点共线时，的周长有最小值，
连接交于点M，交于N，连接，作于P，
∴的周长最小值为，
∵点D、E关于直线对称，
∴，
∵点D、F关于直线对称，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴当有最大值时，有最大值，即t有最大值，
∵为的弦，
∴为直径时，有最大值6，
∴t的最大值为，
此时，，
故答案为：．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，轴对称，作出辅助线找出周长有最小值是解本题的关键．
【经典题型六 圆中的旋转最值问题】
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示．
,
为等边三角形，，且直线为的对称轴，
，,，
∴，
由旋转可知：，，
∴，
．
又∵，
≌，
．
当时，最小，
∵,，
∴，
∴，
点为的中点，
∴为的中位线，
∴点为的中点，．
∴，
点为的中点，
∴，
∵≌，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质勾股定理，中位线的判定和性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出以及的最小值．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，三角形，三角形均为边长为4的等边三角形，点是、的中点，直线、相交于点，三角形绕点旋转时，线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先证明，判定出点在以为直径的圆上运动，当运动到时，最短来解决问题．
【详解】解：如图，连接、、，，
，
，，
，
，
、是等边三角形，是、的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
当时，且、在的同侧时，最短，
，
，，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识等，解题的关键是证明，判定出在以为直径的圆上运动．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】B
【分析】如图：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；旋转的性质可得，再根据直角三角形的性质可求得，由中点的定义可求得OA,最后计算即可．
【详解】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时，的长度最小；
∵将绕点A逆时针旋转角
∴
∵AC⊥，
∴
∵O为AC的中点
∴AO==3.5
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半．
5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知在矩形中，，，O为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为 ；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点M，连接，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】作于点I，由，，得，，则，所以边上的高为；延长到点G，使，连接，由，得到，再求得，由三角形中位线定理得，因为，所以，由此求出的最大值.
【详解】解：作于点I，
∵ ，，
∴，，
∴，
∴边上的高为；
延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵F、M分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：；.

【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
6．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点，将绕点按逆时针方向旋转一周得到，点是边的中点，则在旋转过程中长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】先根据含有角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，由点是边的中点可得，当点与点重合，点、、、在同一直线上时，最大，由，即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
，
由旋转的性质可得：，
点是边的中点，
，
如图所示，当点与点重合，点、、、在同一直线上时，最大，
此时，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质，旋转的性质，是解题的关键．
7．（2023·河南焦作·校考二模）如图，在中，，，，正方形的边长为1，将正方形绕点C旋转一周，点G为的中点，连接，则线段的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正方形绕点C旋转一周，得到点G的运动轨迹为定长圆，圆心为点C，半径为，得到最大值和最小值均为点A、C、G三点共线时，再求出长，得到线段的取值范围．
【详解】中，，，，
，
将正方形绕点C旋转一周，
点G的运动轨迹为定长圆，圆心为点C，半径为，
连接，
点G为的中点，正方形边长为1，
，
中，，
当点A、C、G三点共线时，
在处最大为，
在处最小为，
故．
【点睛】本题考查旋转中定长圆上一点到另一定点的距离的范围，注意图形绕一点旋转，则图形上的点的
轨迹均为定长圆，圆心为旋转点，半径为该点到旋转点的距离．且点到圆上一点最大距离为点到
圆心距离加上半径，点到圆上一点最大距离为点到圆心距离与半径的差．
8．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，，连接，取的中点F，将三角板绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线的距离的最大值是 ．
【答案】/
【分析】如图，取的中点O，连接，F为的中点，由三角形的中位线定理得出，得出在旋转过程中，点F在以O为圆心为半径的圆上动，再过O点作于R，构造直角三角形，求出长，进而即可得解．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，F为的中点，
由三角形的中位线定理得，
∴在旋转过程中，点F在以O为圆心为半径的圆上运动
过O点作于R，
在中，
∴
∴点F到直线的距离的最大值为
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识点，通过作图构造不变的线段是解题的关键．
9．（2022·福建泉州·校考模拟预测）在中，，，点是边上的一动点．是边上的动点．连接并延长至点，交于，连接．且，．

(1)如图1，若，，求的长．
(2)如图2，若点是的中点，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，旋转中的三角形记作△，取的中点为，连接．当最大时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）解等腰三角形求得，解斜三角形，求得，证明，进而求得结果；
（2）作于，作于，连接，作交的延长线于，由得出，证明可得，解斜三角形可得，进而得出和的关系，进一步求得结论；
（3）可得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点运动到的延长线交的处时，最大，然后解直角三角形和斜三角形，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，

作于，作交的延长线于，
，
，，
，
在四边形中，，，
，
，
在中，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图2，

作于，作于，连接，作交的延长线于，
由（1）知：，
，，，
点是的中点，
，
，
，
，，
点、、、共圆，
，，
，
，，
在中，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，

由（2）得：，
点是的中点，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点运动到的延长线交的处时，最大，
设，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转综合题，涉及了全等三角形的判定与性质、勾股定理了、三角函数等．第三问的难度较大，确定动点的运动轨迹是解题关键．
10．（2023秋·重庆·九年级重庆市第十一中学校校考开学考试）如图，在中，，，点D为边上一点，连接，过点B作交的延长线于点E．

(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，延长到点F使，分别连接交于点G．求证：．
(3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连接，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）设，则，利用三角形内角和的性质求得，再利用直角三角形的性质求得，即可求解；
（2）延长到，使得，连接，利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质得到，再利用三角形中位线的性质求解即可；
（3）作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，得到点在过点且垂直于的直线上运动，由三角形三边关系定理得到，从而得到，，共线时，，此时最小，画出图形后通过说明四边形为菱形，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
设，则
∴，
∵
∴，
∵
∴，解得
∴
∴，
∴，
（2）证明：延长到，使得，连接，如下图：

∵，
∴
∵，
∴垂直平分
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴为的中点，
∴为的中位线，
∴；
（3），理由如下：
作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，，

∵，
∴
∴
∵将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴，
∴点在过点且垂直于的直线上运动，
由题意可得：，
∴
∴当，，共线时，，此时最小，
如图，当，，共线时，

∵
∴
∴，
∵，
∴，
∵与关于对称，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形是菱形
∴，
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理，菱形判定与性子，充分利用旋转的性质是解题的关键．
【经典题型七 圆中的翻折最值问题】
1．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先点是的中点，得，则点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，找到的最小和最大时的点，分别通过勾股定理求解即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
将沿所在直线翻折得到△，
，
点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图），
此时即为最小值，过作，交的延长线于，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
当与重合时，最大，
此时，，
在中，由勾股定理得：
，
当与重合时，不存在，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点的运动路径是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．
【详解】解：连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，
∵点D是边的中点，
∴,
在Rt△ACD中，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，得点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，可知当点三点共线时，最小．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴ ，
∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，
∴当点三点共线时，最小，
连接，设，
∵
∴
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据可知点M在以为直径的上，作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长，然后利用勾股定理求出，进而可得答案．
【详解】解：由折叠可知，，即，
∴点M在以为直径的上，如图，
作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理以及圆外一点到圆上一点的最短距离问题，判断出点M的运动轨迹是解题的关键．
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ．
【答案】/
【分析】过点M作交延长线于点H，连接，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出，再由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得点在以M为圆心，为半径的圆上，从而得到当点在线段上时，长度有最小值，是解题的关键．
【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接，
菱形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以M为圆心，为半径的圆上，
∴当点在线段上时，长度有最小值，
∴长度的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．
6（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是 ．
【答案】8
【分析】先由折叠可知，则可得点在以为圆心，以的长为半径的圆上，然后结合已知条件求出、、的长度，最后求出的长的最小值．
【详解】解：由折叠可知，
∴点在以为圆心，以的长为半径的圆上，如图，连接，交圆于点，此时的长取最小值，
∵，，点为的中点，
∴，，
故答案为：8．
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，以及构造圆解决线段最值问题．熟练掌握折叠的性质，以及到定点等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，是解题的关键．
【经典题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）】
1．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解．
【详解】解：如图，取点，连接，．
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（当B、P、T三点共线时取等号）
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．
【详解】解：作于，作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
当与相切时，取得最大和最小，
①连接，，，如图1所示：
可得：四边形是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，即；
②连接，，，如图2所示：
可得：四边形是正方形，
，
由上同理可知：在中，，
，
在中，，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
4．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．
【详解】解：延长到，使得，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
又在中，，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
5．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得．
【详解】如图，连接，在上取一点，使得，
，
在△PDM中，PD-PM＜DM，
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形是正方形
在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．
6．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ．
【答案】5
【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cs∠ACB＝，cs∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，
∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴，
∴DQ+CQ的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，
∴BHAC，
∴BP，
∵，，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴，
∴PDPC，
∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，
∴PA+PD的最小值为，
即PA的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，
②，
③，
④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由，即可求出结果；
③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
②∵，
∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
④∵，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；
（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；
（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝；
②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝，
AD＝＝，
∴BD+AD＝，
综上所述，BD＋AD的值或；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，
∵CD＝，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM•CA，
∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD+AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，
最小值．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【经典题型九 圆中最值综合问题】
1．（2023·广东珠海·统考二模）边长为2的等边三角形中，于H，E为线段上一动点，连接．于点F，分别交于点D，G．①当E为中点时，；②；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④的最小值．正确结论是（ ）
A．②③B．②④C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质逐个分析即可．
【详解】①当时结合可得平分，
过作于，
∵E为中点，
∴，
∵
∴不可能平分，
∴，故①错误；
②连接，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴点F的运动轨迹是以中点为圆心，半径为的圆，
∴点E从点B运动到点H，点F经过路径长为，故③错误；
④取中点，连接，，则
∵，
∴
∵
∴的最小值，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是准确处理，属于中考压轴题．
2．（2021秋·重庆九龙坡·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．以下四个结论：①BQ＝QF；②DEF的周长为8；③；④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】通过证明点B、C、F、Q四点共圆，可得∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，可证BQ＝FQ，故①正确；由“SAS”可证△ABN≌△CBF，△BEF≌△BEN，可得EF＝EN，由线段的和差关系可得△DEF的周长为8，故②正确；由题意可得点H在以BC为边的圆上运动，则当点H在AP上时，AH有最小值为2−2，故④正确；通过证明△BQG∽△BFE，可得；故③正确，即可求解．
【详解】∵BQ⊥FQ，
∴∠FQB＝∠BCD＝90°，
∵点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，
∴∠QBF＝∠QFB，
∴BQ＝FQ，故①正确；
如图1，延长DA至N使AN＝CF，连接BN，
∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴，
∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF，
∵∠QBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∵∠ABE+∠ABN＝45°，
∴∠EBN＝∠EBF＝45°，
又∵BE＝BE，BF＝BN，
∴，
∴EF＝EN，
∴DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝8，故②正确；
∵CH∥FQ，
∴∠BHC＝∠BQF＝90°，
∴点H在以BC为边的圆上运动，
如图2，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH，
∴BP＝2＝HP，
∴AP＝＝＝2，
在AHP中，AH＞AP﹣HP，
∴当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确；
如图3，连接EG，
∵∠DAC＝∠QBF＝45°，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴
∴，∠EGB＝90°，
∴EG＝BG，
∴BE＝BG，
∴∠BEG＝∠BFQ＝45°，
∵点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF，
∴，
∴＝（）2＝，
∴；故③正确，
故选：D．

图1 图2 图3
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 ；
（2）如图②，若连结，，分别取、的中点P、Q，连接，M为的中点，则CM的最小值为 ．

【答案】
【分析】（1）如图，连接,则,，勾股定理得，由切线长定理得，设，由勾股定理得 解得，即；
（2）如图，连接、，取的中点H，连接，由中位线性质得，，连接，取的中点I，连接，同理，；易证四边形是平行四边形，得，由中位线性质得，求得；取的中点J，可证四边形是平行四边形，得，确定点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，最短，即最小值；延长，交于点K，L，求得，由勾股定理得中，，得解最小值．
【详解】（1）如图，连接,则,，

∴，
∵，
∴与弧相切于点B，
∴，
设，则
中，
即 解得，即，
（2）如图，连接、，取的中点H，连接，则，，连接，取的中点I，连接，同理，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵P、Q是、的中点，
∴，
∴，

取的中点J，由，
∴四边形是平行四边形，
∴，即点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，
∴当C，M，J三点共线时，最短，即最小值，
延长，交于点K，L，则，
∴点K，点L分别是的中点，
∴，，，
∴，，
中，，
∴最小值．
故答案为：2，．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键．
4．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的中，是直径，是弧的中点，绕点旋转与的两边分别交于（点与点均不重合），与分别交于两点．

(1)连接，求证：．
(2)连接，试探究；在绕点旋转的过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由．
(3)连接，试探究：在绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)为定值．且为
(3)的周长存在最小值，最小值为
【分析】（1）根据圆周角定理由是的直径得，由M是的中点得，于是可判断为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得，即可证明结论；
（2）根据圆周角定理得到，，则，所以；
（3）易得为等腰直角三角形，则，再由得，所以的周长=，根据垂线段最短得当时，最小，此时，此时的周长存在最小值．
【详解】（1）证明：是的直径，

，
是的中点，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，；
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：为定值．且为
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的周长有最小值，理由如下：
∵
∴，
为等腰直角三角形，
，
的周长
，
当时，最小，此时，此时的周长的最小值为．
的周长的最小值为．

【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定解决线段相等是解题的关键．