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人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题05实数章末重难点题型专训(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题05实数章末重难点题型专训(原卷版+解析)，共48页。
题型一 平方根概念的理解
题型二 利用算术平方根的非负性解题
题型三 与算术平方根有关的规律探索题
题型四 立方根概念的理解
题型五 立方根的实际应用
题型六 算术平方根与立方根综合应用
题型七 新定义下的实数运算
题型八 与实数运算相关的规律探索题
【经典例题一 平方根概念的理解】
知识点一：平方根
1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
【例1】一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【变式训练】
【变式1】若的两个平方根是m和n，则的值是（ ）
A．0B．C．2022D．40
【变式2】若，则_______
【变式3】已知正实数x的平方根是n和n+a（a>0）．
(1)当a＝6时，求n的值；
(2)若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
【经典例题二 利用算术平方根的非负性解题】
算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
【例2】已知实数x，y满足，则代数式的值为（ ）
A．1B．C．7D．
【变式训练】
【变式1】已知实数满足，那么的值是( )
A．1999B．2000C．2001D．2002
【变式2】已知、为实数，且，则______．
【变式3】如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是_________；
(2)求的值．
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【经典例题三 与算术平方根有关的规律探索题】
【例3】如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式训练】
【变式1】设，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
【变式3】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【经典例题四 立方根概念的理解】
知识点：立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【例4】类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【变式训练】
【变式1】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】请仔细阅读材料并完成相应的任务．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
（1）由，，1，确定是______位数；
（2）由59319的个位数字是9，确定的个位上的数是______；
（3）如果划去59319后面的319得到数59，而，，确定的十位上的数是______．
【变式3】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
（1），你能确定59319的立方根是几位数吗？
（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？
（4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根．
【经典例题五 立方根的实际应用】
【例5】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【变式训练】
【变式1】李老师想制作一个体积为的正方体教具，它的棱长大约是（结果精确到）（ ）
A．B．C．D．
【变式2】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【变式3】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)= ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求的值．
【经典例题六 算术平方根与立方根的综合应用】
总结：
【例6】若，，那么等于（ ）
A．57.68B．115.36C．26.776D．53.552
【变式训练】
【变式1】若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ）
A．1B．-1C．0D．无法确定
【变式2】已知=102， =0.102， 则 x=_________， 已知=1.558，=155.8，则 y=____________
【变式3】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
【经典例题七 新定义下的实数运算】
【例7】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)⊗3=﹣2，[(﹣2)⊕3] ⊗2=2，那么(⊕2)⊗的值为（ ）
A．2B．C．3D．3
【变式训练】
【变式1】规定不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，，．下列说法：①；②；③（a为正整数）；④若n为正整数，且，则n的最小值为6，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】定义为不大于的最大整数，如，则满足的共有_____个（为正整数）
【变式3】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”， 最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出最小算术平方根与最大算术平方根；
(2)已知16，a，36这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．
【经典例题八 与实数运算相关的规律探索题】
【例8】观察①；②；③，根据提供的信息请猜想的结果（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】将一组数，按照如图的方式进行排列：若的位置记，的位置记为，则这组数中最大的有理数9的位置记为（ ）
A．(5，2)B．(5，3)C．(6，2)D．(6，5)
【变式2】观察下列各式：①
②
③
根据上面三个等式，猜想的结果为______．
【变式3】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【培优检测】
1．，，3.14，0，，0.080080008中无理数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为16时，输出的y值是（ ）
A．2B．C．2D．
3．的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
4．我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
5．若，是两个连续的整数且，则（ ）
A．B．C．D．
6．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
7．最接近的整数是______．
8．规定表示小于a的最大整数，如，．现将37进行如下操作：．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为_____________．
9．如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 _____；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 _____；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______．
10．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则_______．
11．若．
(1)求，的值；
(2)求的值．
12．规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
13．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．
(1)求正方形纸板的边长；
(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用， 求缺少的硬纸片的面积．
14．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．
15．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000
∴，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而．
∴能确定的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴，可得．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
专题05 实数章末重难点题型专训
【题型目录】
题型一 平方根概念的理解
题型二 利用算术平方根的非负性解题
题型三 与算术平方根有关的规律探索题
题型四 立方根概念的理解
题型五 立方根的实际应用
题型六 算术平方根与立方根综合应用
题型七 新定义下的实数运算
题型八 与实数运算相关的规律探索题
【经典例题一 平方根概念的理解】
知识点一：平方根
1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
【例1】一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】C
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得2a−5+(−a+1)=0，求解即可．
【详解】∵一个正数的两个平方根分别是2a−5、−a+1，
∴2a−5+(−a+1)=0，
解得a=4．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平方根，掌握“一个正数的平方根有两个，它们互为相反数”，是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】若的两个平方根是m和n，则的值是（ ）
A．0B．C．2022D．40
【答案】B
【分析】根据平方根的定义即可求解，正数的平方根互为相反数．
【详解】解：∵2022的两个平方根是m和n，
∴
，
故选：B
【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，平方根：如果，则x叫做a的平方根，记作“”．
【变式2】若，则_______
【答案】或##或
【分析】根据算术平方根的定义与性质得到与的值，代入求值即可得到答案．
【详解】解：，
且，
，即，
，
①当时，；
②当当时，；
故答案为：或．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到实数运算、算术平根的定义与性质，根据算术平方根的定义与性质求出与的值是解决问题的关键．
【变式3】已知正实数x的平方根是n和n+a（a>0）．
(1)当a＝6时，求n的值；
(2)若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
【答案】(1)n＝﹣3
(2)±
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；
（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝a2＝x，代入式子n2+（n+a）2＝8求出x值即可．
(1)
解：∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴n+n+a＝0，
∵a＝6，
∴2n+6＝0
∴n＝﹣3；
(2)
解：∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴（n+a）2＝x，n2＝x，
∵n2+（n+a）2＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝4，
∴n＝﹣2，n+a＝2，即a＝4，
∴a﹣n＝6，
a﹣n的平方根是±．
【点睛】本题考查平方根、代数式求值、解一元一次方程，熟知正实数平方根互为相反数是解答的关键．
【经典例题二 利用算术平方根的非负性解题】
算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
【例2】已知实数x，y满足，则代数式的值为（ ）
A．1B．C．7D．
【答案】B
【分析】根据非负数的性质，可知，求解并代入求值即可．
【详解】解：根据题意，，
∵，
∴，
解得 ，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题关键．
【变式训练】
【变式1】已知实数满足，那么的值是( )
A．1999B．2000C．2001D．2002
【答案】C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：，
，即，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．
【变式2】已知、为实数，且，则______．
【答案】
【分析】根据算术平方根和平方数的非负性，列出相应的方程，求出x、y的值，代入求值即可．
【详解】解：∵
又∵，，
∴且，
∴且，
即，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方数的非负性，有理数的乘方运算，熟练掌握实数的非负性是解题的关键．
【变式3】如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是_________；
(2)求的值．
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；
（2）代入m求值即可；
（3）根据非负数的性质，求得c,d的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：（1），
故答案为：；
（2）解：
=
=
=，
故答案为：．
（3）解：∵与互为相反数，，
∴＋=0，
∵ ≥0，
∴，=0，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是两点间的距离公式、非负数的性质，关键是要会理解两点间的距离，最后求的平方根有两个．
【经典例题三 与算术平方根有关的规律探索题】
【例3】如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，
故选B．
【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．
【变式训练】
【变式1】设，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
【变式2】将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
【答案】
【分析】根据所给数据排列的顺序，找出规律即可解答．
【详解】解：根据题意知：
第2行，第1列的数为：
第3行，第2列的数为：
第4行，第3列的数为：
第5行，第4列的数为：
…
故第n行，第列的数为：
当n为偶数时，为
当n为奇数时，为
故当n=101时，第101行第100列是
故答案为：
【点睛】本题考查了数字类规律问题，根据题意找出规律是解决本题的关键．
【变式3】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可；
（3）利用（2）得出的规律即可解答．
【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：．
故答案为．
（2）解：当（n为整数）时，．
故答案为．
（3）解：若，则①；②．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
【经典例题四 立方根概念的理解】
知识点：立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【例4】类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【答案】D
【分析】利用n次方根的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，
∴负数a没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
∵任何实数a都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
∵，
∴，
∴C选项的结论不符合题意；
∵，
∴，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方根的意义，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系
【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键．
【变式2】请仔细阅读材料并完成相应的任务．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
（1）由，，1，确定是______位数；
（2）由59319的个位数字是9，确定的个位上的数是______；
（3）如果划去59319后面的319得到数59，而，，确定的十位上的数是______．
【答案】（1）两 （2）9 （3）3．
【分析】（1）根据题意可以确定为两位数；
（2）只有9的立方的个位数字才是9，据此可判断；
（3）＜59＜，据此可判断．
【详解】解：（1）∵103=1000，1003=1 000 000，而1000＜59319＜1000000，
∴10＜＜100，
因此结果为两位数；
故答案是：两；
（2）因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
故答案是：9；
（3）∵＜59＜，因此可以确定的十位上的数是3．
故答案为：3．
【点睛】考查实数的意义，立方根的意义以及立方的尾数特征等知识，理解题意是关键．
【变式3】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
（1），你能确定59319的立方根是几位数吗？
（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？
（4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根．
【答案】（1）59319的立方根是2位数；（2）59319的立方根的个位数是9；（3）59319的立方根的十位数是3；（4）57．
【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答即可；
（2）先分别求得1至9的立方，然后依据末位数字是几进行判断即可；
（3）利用（2）中的方法判断出个数数字；
（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．
【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴，
∴59319的立方根是2位数．
故答案为：2．
（2）∵，且59319的个位数字是9，
∴59319的立方根的个位数字是9．
故答案为：9．
（3）∵27＜59＜64，
∴59319的立方根的十位数字是3．
故答案为：3．
（4）∵，，
∴，
∴185193的立方根是一个两位数，
又∵185193的最后一位是3，
∴它的立方根的个位数是7，
185193去掉后3位，得到185，
∵，
∴立方根的十位数是5，则立方根一定是57．
故答案为：57．
【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键．
【经典例题五 立方根的实际应用】
【例5】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【答案】D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故选D．
【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．
【变式训练】
【变式1】李老师想制作一个体积为的正方体教具，它的棱长大约是（结果精确到）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先对棱长的值进行一个估计，然后选取一个最接近的答案．
【详解】解：∵93<900<103，93=729，103=1000，
∴|93-900|>|103-900|，
∴，，
∴（cm），
故选D．
【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及近似数的求解是解题关键．
【变式2】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【答案】-13
【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】∵＋59049＝0，
∴，
∵＜19683＜，
∴是两位整数；
∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去19683的后面三位683得到19，
而2＜＜3，
∴的十位数字是2；
∴＝27；
∴，
解得x=-13，
故答案为：-13．
【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．
【变式3】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)= ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)，；，；，
【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：，即，
∴或1或
解得：或3或1
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
【经典例题六 算术平方根与立方根的综合应用】
总结：
【例6】若，，那么等于（ ）
A．57.68B．115.36C．26.776D．53.552
【答案】C
【分析】根据立方根的运算法则即可．
【详解】解：，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了立方根的运算，解题的关键是对进行正确的拆分．
【变式训练】
【变式1】若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ）
A．1B．-1C．0D．无法确定
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可．
【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根，
∴m-n=2，
∵B=是m-2n+3的立方根，
∴m-2n+3=3，
∴
解得
∴A==3，B=
∴B-A=2-3=-1．
故选B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念．
【变式2】已知=102， =0.102， 则 x=_________， 已知=1.558，=155.8，则 y=____________
【答案】 【答题空18-1】0.010404 【答题空18-2】3780000
【分析】当被开方数的小数点每移动2位，则开方的结果小数点向相同方向移动
一位，因为0.102是102的小数点向左移动了3位，由此可以求出 x．
【详解】解：=102， =0.102，
∴x=0.010404，
∵=1.558，=155.8，
∴y=3780000，
故答案为0.010404；3780000.
【点睛】本题主要考查了立方根、算术平方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．开平方时，被开方数的小数点每移动 2 位，则开方的结果小数点移动一位．
【变式3】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】解：（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；
故答案为：12.25；0.3873；
（3），，，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵，，
∴，
∴，
∴y=-0.01．
【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
【经典例题七 新定义下的实数运算】
【例7】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)⊗3=﹣2，[(﹣2)⊕3] ⊗2=2，那么(⊕2)⊗的值为（ ）
A．2B．C．3D．3
【答案】B
【分析】根据定义新运算方法，直接代入数据计算即可．
【详解】解：∵，
∴⊕2=，
∵=3＞，
∴(⊕2) ⊗ =．
故答案为B．
【点睛】本题考查了实数大小比较以及代数式求值，其中掌握实数的大小比较是解答本题的关键．
【变式训练】
【变式1】规定不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，，．下列说法：①；②；③（a为正整数）；④若n为正整数，且，则n的最小值为6，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据取整函数的定义即可求解．
【详解】解：①，故①正确；
②
，故②正确；
③若时，，，
故（a为正整数）不一定成立，故③错误；
④若n为正整数，且，则必须45n是哪个开得尽方的正整数，
∵，
∴n的最小整数为5，故④错误；
综上分析可知，正确的个数为2，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了取整函数的定义，能够正确估算无理数的大小是解题的关键，难度不大．
【变式2】定义为不大于的最大整数，如，则满足的共有_____个（为正整数）
【答案】141
【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答．
【详解】解：由已知条件得出，
∴，
∴则满足的共有个．
故答案为：141．
【点睛】本题主要考查了无理数大小的比较，根据题目得出是解此题的关键．
【变式3】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”， 最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出最小算术平方根与最大算术平方根；
(2)已知16，a，36这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．
【答案】(1)见解析；最小算术平方根为4，最大算术平方根为20
(2)的值为9或64
【分析】（1）根据“老根数”的定义、算术平方根的定义即可得；
（2）根据“老根数”的定义、“最大算术平方根是最小算术平方根的2倍”建立方程，利用算术平方根的性质解方程即可得．
【详解】（1）证明：，，，且4，10，20都是整数，
∴2，8，50这三个数是“老根数”，
，
最小算术平方根为4，最大算术平方根为20；
（2）∵16，a，36这三个数是“老根数”，
为正整数，，且，都是整数，
∵，，，
∴分以下两种情况：
①当，即时，
则最大算术平方根是24，最小算术平方根是，
∴，
解得：，符合题设，且符合“老根数”的定义；
②当，即时，
则最大算术平方根是，最小算术平方根是24，
∴，
解得：，符合题设，且符合“老根数”的定义，
综上所述，的值为9或64．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，理解“老根数”的定义是解题关键．
【经典例题八 与实数运算相关的规律探索题】
【例8】观察①；②；③，根据提供的信息请猜想的结果（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的三个式子，得到，即可得到的结果．
【详解】解：由；
；
；
可得：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查数字类规律探究．根据给出的三个式子，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】将一组数，按照如图的方式进行排列：若的位置记，的位置记为，则这组数中最大的有理数9的位置记为（ ）
A．(5，2)B．(5，3)C．(6，2)D．(6，5)
【答案】C
【分析】根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数
的被开方数是的被开方数3的30倍，
30÷5=6，
所以位于第六行第五个数，记为（6，5）．
故最大的有理数位于第6行第2个数，记为（6，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是发现其中的规律，写出所求数对应的位置．
【变式2】观察下列各式：①
②
③
根据上面三个等式，猜想的结果为______．
【答案】
【分析】利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可．
【详解】解：根据题意，第n个等式为
＝
∴＝＝
故答案为： ．
【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．
【变式3】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【答案】(1)
(2)，49
【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
【培优检测】
1．，，3.14，0，，0.080080008中无理数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据无理数的定义，依次判断即可．
【详解】是整数，是有理数；
是分数，是有理数；
3.14是有限小数，是有理数；
0是整数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
0.080080008是有限小数，是有理数．
所以无理数的个数是1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数，无理数的定义，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数，掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．注意：是一个无限不循环小数．
2．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为16时，输出的y值是（ ）
A．2B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题先求出16的算术平方根式4，再求出4的立方根为，最后输出，即可求出y的值．
【详解】解：∵16的算术平方根式4，4是有理数，
又∵4的立方根为，是无理数，
∴y的值是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．
3．的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【答案】A
【分析】首先根据的平方根是，可得，然后根据的立方根是2，可得，据此求出、的值各是多少，即可求出的值是多少．
【详解】解：的平方根是，
①；
的立方根是2，
②；
联立①②解得，，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出、
的值各是多少．
4．我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】①根据表示距离最近的正整数，进行判断；②根据，确定n的值；③分别求出，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解．
【详解】解：①表示距离最近的正整数，
∴；故①正确；
②时，，4，5，6，
∴n的值有4个；故②错误；
③∵，
∴；故③正确；
④∵，…，
∴2个1，4个2，6个3，8个4，…，
∴；故④错误；
⑤，
∴；故⑤正确；
综上：正确的是①③⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算，以及数字规律探究．根据所给的定义，通过无理数的估算，找到数字规律是解题的关键．
5．若，是两个连续的整数且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先估算出的值的范围，从而求出，的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，是两个连续的整数且，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小以及代数式求值，熟练掌握估算无理数的大小的方法是解题的关键．
6．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
7．最接近的整数是______．
【答案】
【分析】根据，可得，进而估算出最接近的整数是．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴最接近的整数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的估算，掌握二次根式的估算方法是解题的关键．
8．规定表示小于a的最大整数，如，．现将37进行如下操作：．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为_____________．
【答案】
【分析】根据可用表示小于a的最大整数，反推回去每次求最小整数可得答案．
【详解】解：∵第四次，最小整数为，
则第三次为，最小整数为，
第二次为，最小整数为，
第一次为，最小整数为，
故答案为：
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数，用表示小于a的最大整数，反推是解题的关键．
9．如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 _____；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 _____；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______．
【答案】 25 0或1
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【详解】解：（1）当时，则；
（2）当时，，，则；
（3）当，1时，始终输不出值，
，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
所有满足要求的的值为0或1．
故答案为：；25；0或1．
【点睛】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．
10．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则_______．
【答案】
【分析】根据平方根的定义，求出a的值，再根据无理数的估算，求出c的值，进而得出的整数部分和小数部分，即可得出m和n的值，带入求解即可．
【详解】解：∵正数x的两个不等的平方根分别是和，
∴，解得：，
∵，
∴的整数部分为2，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整数部分为7，小数部分为，
∵， m为整数，，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了平方根的定义以及无理数的估算，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；以及掌握估算无理数的方法．
11．若．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性即可求出，的值；
（2）将，的值代入所求代数式，利用裂项相消法求解．
【详解】（1）解：，
，，
由，得，
将代入，得，
即，；
（2）解：当，时，
原式=
=
=
=．
【点睛】本题考查非负数的性质及有理数的混合运算，解题的关键是掌握算术平方根和平方的非负性，熟练运用裂项相消法．
12．规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)6
(2)16
(3)160
【分析】（1）根据算术平方根的定义化简，再根据的意义取整数计算；
（2）先估算，，，再判断出，，最后取整数计算；
（3）先估算，，，，再判断出，，，最后取整数计算．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，，，
∴，，
∴
；
（3）∵，，，，
∴，
，
，
∴
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．
13．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．
(1)求正方形纸板的边长；
(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用， 求缺少的硬纸片的面积．
【答案】(1)18
(2)够用，剩余79平方厘米
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；
（2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答．
【详解】（1）依题意得：(cm)，即：正方形纸板的边长为18厘米；
（2）依题意得：(cm)，
则剪切纸板的面积(cm2)，
剩余纸板的面积(cm2)
即剩余的正方形纸板的面积为79平方厘米．
【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式．
14．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先仿照题意估算出，进而得到，则可求出，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是5，小数部分是，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了与无理数整数和小数部分有关的计算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
15．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000
∴，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而．
∴能确定的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴，可得．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．
【答案】(1)两；2
(2)a=54
【分析】（1）根据上面的材料所给的方法确定1728的立方根的位数及个位数字即可.
（2）仿照上面材料所给的方法先确定a的位数，再确定个位数字，再确定十位数字即可求出a的值.
【详解】（1）解：∵，，且1000＜1728＜1000000
∴，即1728的立方根是一个两位数．
∵1728的个位数字是8，而，
∴能确定的个位数字是2.
故答案为：两，2
（2）解：∵，，且1000＜157464＜1000000
∴，即157464的立方根是一个两位数．
∵157464的个位数字是4，而，
∴能确定的个位数字是4.
如果划除157464后面的三位数，得到数157，而125＜157＜216．
∴，可得．
∴157464的立方根的十位数字是5．
∴157464的立方根是54．
即a=54
经过验证
【点睛】本题主要考查了学生的阅读理解能力，能够读懂材料并能熟练计算1-10的立方是解题的关键.
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
题型一 平方根概念的理解
题型二 利用算术平方根的非负性解题
题型三 与算术平方根有关的规律探索题
题型四 立方根概念的理解
题型五 立方根的实际应用
题型六 算术平方根与立方根综合应用
题型七 新定义下的实数运算
题型八 与实数运算相关的规律探索题
【经典例题一 平方根概念的理解】
知识点一：平方根
1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
【例1】一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【变式训练】
【变式1】若的两个平方根是m和n，则的值是（ ）
A．0B．C．2022D．40
【变式2】若，则_______
【变式3】已知正实数x的平方根是n和n+a（a>0）．
(1)当a＝6时，求n的值；
(2)若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
【经典例题二 利用算术平方根的非负性解题】
算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
【例2】已知实数x，y满足，则代数式的值为（ ）
A．1B．C．7D．
【变式训练】
【变式1】已知实数满足，那么的值是( )
A．1999B．2000C．2001D．2002
【变式2】已知、为实数，且，则______．
【变式3】如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是_________；
(2)求的值．
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【经典例题三 与算术平方根有关的规律探索题】
【例3】如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式训练】
【变式1】设，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
【变式3】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【经典例题四 立方根概念的理解】
知识点：立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【例4】类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【变式训练】
【变式1】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】请仔细阅读材料并完成相应的任务．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
（1）由，，1，确定是______位数；
（2）由59319的个位数字是9，确定的个位上的数是______；
（3）如果划去59319后面的319得到数59，而，，确定的十位上的数是______．
【变式3】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
（1），你能确定59319的立方根是几位数吗？
（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？
（4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根．
【经典例题五 立方根的实际应用】
【例5】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【变式训练】
【变式1】李老师想制作一个体积为的正方体教具，它的棱长大约是（结果精确到）（ ）
A．B．C．D．
【变式2】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【变式3】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)= ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求的值．
【经典例题六 算术平方根与立方根的综合应用】
总结：
【例6】若，，那么等于（ ）
A．57.68B．115.36C．26.776D．53.552
【变式训练】
【变式1】若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ）
A．1B．-1C．0D．无法确定
【变式2】已知=102， =0.102， 则 x=_________， 已知=1.558，=155.8，则 y=____________
【变式3】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
【经典例题七 新定义下的实数运算】
【例7】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)⊗3=﹣2，[(﹣2)⊕3] ⊗2=2，那么(⊕2)⊗的值为（ ）
A．2B．C．3D．3
【变式训练】
【变式1】规定不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，，．下列说法：①；②；③（a为正整数）；④若n为正整数，且，则n的最小值为6，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】定义为不大于的最大整数，如，则满足的共有_____个（为正整数）
【变式3】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”， 最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出最小算术平方根与最大算术平方根；
(2)已知16，a，36这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．
【经典例题八 与实数运算相关的规律探索题】
【例8】观察①；②；③，根据提供的信息请猜想的结果（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】将一组数，按照如图的方式进行排列：若的位置记，的位置记为，则这组数中最大的有理数9的位置记为（ ）
A．(5，2)B．(5，3)C．(6，2)D．(6，5)
【变式2】观察下列各式：①
②
③
根据上面三个等式，猜想的结果为______．
【变式3】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【培优检测】
1．，，3.14，0，，0.080080008中无理数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为16时，输出的y值是（ ）
A．2B．C．2D．
3．的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
4．我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
5．若，是两个连续的整数且，则（ ）
A．B．C．D．
6．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
7．最接近的整数是______．
8．规定表示小于a的最大整数，如，．现将37进行如下操作：．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为_____________．
9．如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 _____；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 _____；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______．
10．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则_______．
11．若．
(1)求，的值；
(2)求的值．
12．规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
13．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．
(1)求正方形纸板的边长；
(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用， 求缺少的硬纸片的面积．
14．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．
15．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000
∴，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而．
∴能确定的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴，可得．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
专题05 实数章末重难点题型专训
【题型目录】
题型一 平方根概念的理解
题型二 利用算术平方根的非负性解题
题型三 与算术平方根有关的规律探索题
题型四 立方根概念的理解
题型五 立方根的实际应用
题型六 算术平方根与立方根综合应用
题型七 新定义下的实数运算
题型八 与实数运算相关的规律探索题
【经典例题一 平方根概念的理解】
知识点一：平方根
1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
【例1】一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】C
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得2a−5+(−a+1)=0，求解即可．
【详解】∵一个正数的两个平方根分别是2a−5、−a+1，
∴2a−5+(−a+1)=0，
解得a=4．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平方根，掌握“一个正数的平方根有两个，它们互为相反数”，是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】若的两个平方根是m和n，则的值是（ ）
A．0B．C．2022D．40
【答案】B
【分析】根据平方根的定义即可求解，正数的平方根互为相反数．
【详解】解：∵2022的两个平方根是m和n，
∴
，
故选：B
【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，平方根：如果，则x叫做a的平方根，记作“”．
【变式2】若，则_______
【答案】或##或
【分析】根据算术平方根的定义与性质得到与的值，代入求值即可得到答案．
【详解】解：，
且，
，即，
，
①当时，；
②当当时，；
故答案为：或．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到实数运算、算术平根的定义与性质，根据算术平方根的定义与性质求出与的值是解决问题的关键．
【变式3】已知正实数x的平方根是n和n+a（a>0）．
(1)当a＝6时，求n的值；
(2)若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
【答案】(1)n＝﹣3
(2)±
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；
（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝a2＝x，代入式子n2+（n+a）2＝8求出x值即可．
(1)
解：∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴n+n+a＝0，
∵a＝6，
∴2n+6＝0
∴n＝﹣3；
(2)
解：∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴（n+a）2＝x，n2＝x，
∵n2+（n+a）2＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝4，
∴n＝﹣2，n+a＝2，即a＝4，
∴a﹣n＝6，
a﹣n的平方根是±．
【点睛】本题考查平方根、代数式求值、解一元一次方程，熟知正实数平方根互为相反数是解答的关键．
【经典例题二 利用算术平方根的非负性解题】
算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
【例2】已知实数x，y满足，则代数式的值为（ ）
A．1B．C．7D．
【答案】B
【分析】根据非负数的性质，可知，求解并代入求值即可．
【详解】解：根据题意，，
∵，
∴，
解得 ，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题关键．
【变式训练】
【变式1】已知实数满足，那么的值是( )
A．1999B．2000C．2001D．2002
【答案】C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：，
，即，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．
【变式2】已知、为实数，且，则______．
【答案】
【分析】根据算术平方根和平方数的非负性，列出相应的方程，求出x、y的值，代入求值即可．
【详解】解：∵
又∵，，
∴且，
∴且，
即，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方数的非负性，有理数的乘方运算，熟练掌握实数的非负性是解题的关键．
【变式3】如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是_________；
(2)求的值．
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；
（2）代入m求值即可；
（3）根据非负数的性质，求得c,d的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：（1），
故答案为：；
（2）解：
=
=
=，
故答案为：．
（3）解：∵与互为相反数，，
∴＋=0，
∵ ≥0，
∴，=0，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是两点间的距离公式、非负数的性质，关键是要会理解两点间的距离，最后求的平方根有两个．
【经典例题三 与算术平方根有关的规律探索题】
【例3】如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，
故选B．
【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．
【变式训练】
【变式1】设，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
【变式2】将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
【答案】
【分析】根据所给数据排列的顺序，找出规律即可解答．
【详解】解：根据题意知：
第2行，第1列的数为：
第3行，第2列的数为：
第4行，第3列的数为：
第5行，第4列的数为：
…
故第n行，第列的数为：
当n为偶数时，为
当n为奇数时，为
故当n=101时，第101行第100列是
故答案为：
【点睛】本题考查了数字类规律问题，根据题意找出规律是解决本题的关键．
【变式3】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可；
（3）利用（2）得出的规律即可解答．
【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：．
故答案为．
（2）解：当（n为整数）时，．
故答案为．
（3）解：若，则①；②．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
【经典例题四 立方根概念的理解】
知识点：立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【例4】类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【答案】D
【分析】利用n次方根的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，
∴负数a没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
∵任何实数a都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
∵，
∴，
∴C选项的结论不符合题意；
∵，
∴，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方根的意义，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系
【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键．
【变式2】请仔细阅读材料并完成相应的任务．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
（1）由，，1，确定是______位数；
（2）由59319的个位数字是9，确定的个位上的数是______；
（3）如果划去59319后面的319得到数59，而，，确定的十位上的数是______．
【答案】（1）两 （2）9 （3）3．
【分析】（1）根据题意可以确定为两位数；
（2）只有9的立方的个位数字才是9，据此可判断；
（3）＜59＜，据此可判断．
【详解】解：（1）∵103=1000，1003=1 000 000，而1000＜59319＜1000000，
∴10＜＜100，
因此结果为两位数；
故答案是：两；
（2）因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
故答案是：9；
（3）∵＜59＜，因此可以确定的十位上的数是3．
故答案为：3．
【点睛】考查实数的意义，立方根的意义以及立方的尾数特征等知识，理解题意是关键．
【变式3】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
（1），你能确定59319的立方根是几位数吗？
（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？
（4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根．
【答案】（1）59319的立方根是2位数；（2）59319的立方根的个位数是9；（3）59319的立方根的十位数是3；（4）57．
【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答即可；
（2）先分别求得1至9的立方，然后依据末位数字是几进行判断即可；
（3）利用（2）中的方法判断出个数数字；
（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．
【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴，
∴59319的立方根是2位数．
故答案为：2．
（2）∵，且59319的个位数字是9，
∴59319的立方根的个位数字是9．
故答案为：9．
（3）∵27＜59＜64，
∴59319的立方根的十位数字是3．
故答案为：3．
（4）∵，，
∴，
∴185193的立方根是一个两位数，
又∵185193的最后一位是3，
∴它的立方根的个位数是7，
185193去掉后3位，得到185，
∵，
∴立方根的十位数是5，则立方根一定是57．
故答案为：57．
【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键．
【经典例题五 立方根的实际应用】
【例5】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【答案】D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故选D．
【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．
【变式训练】
【变式1】李老师想制作一个体积为的正方体教具，它的棱长大约是（结果精确到）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先对棱长的值进行一个估计，然后选取一个最接近的答案．
【详解】解：∵93<900<103，93=729，103=1000，
∴|93-900|>|103-900|，
∴，，
∴（cm），
故选D．
【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及近似数的求解是解题关键．
【变式2】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【答案】-13
【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】∵＋59049＝0，
∴，
∵＜19683＜，
∴是两位整数；
∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去19683的后面三位683得到19，
而2＜＜3，
∴的十位数字是2；
∴＝27；
∴，
解得x=-13，
故答案为：-13．
【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．
【变式3】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)= ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)，；，；，
【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：，即，
∴或1或
解得：或3或1
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
【经典例题六 算术平方根与立方根的综合应用】
总结：
【例6】若，，那么等于（ ）
A．57.68B．115.36C．26.776D．53.552
【答案】C
【分析】根据立方根的运算法则即可．
【详解】解：，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了立方根的运算，解题的关键是对进行正确的拆分．
【变式训练】
【变式1】若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ）
A．1B．-1C．0D．无法确定
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可．
【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根，
∴m-n=2，
∵B=是m-2n+3的立方根，
∴m-2n+3=3，
∴
解得
∴A==3，B=
∴B-A=2-3=-1．
故选B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念．
【变式2】已知=102， =0.102， 则 x=_________， 已知=1.558，=155.8，则 y=____________
【答案】 【答题空18-1】0.010404 【答题空18-2】3780000
【分析】当被开方数的小数点每移动2位，则开方的结果小数点向相同方向移动
一位，因为0.102是102的小数点向左移动了3位，由此可以求出 x．
【详解】解：=102， =0.102，
∴x=0.010404，
∵=1.558，=155.8，
∴y=3780000，
故答案为0.010404；3780000.
【点睛】本题主要考查了立方根、算术平方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．开平方时，被开方数的小数点每移动 2 位，则开方的结果小数点移动一位．
【变式3】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】解：（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；
故答案为：12.25；0.3873；
（3），，，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵，，
∴，
∴，
∴y=-0.01．
【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
【经典例题七 新定义下的实数运算】
【例7】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)⊗3=﹣2，[(﹣2)⊕3] ⊗2=2，那么(⊕2)⊗的值为（ ）
A．2B．C．3D．3
【答案】B
【分析】根据定义新运算方法，直接代入数据计算即可．
【详解】解：∵，
∴⊕2=，
∵=3＞，
∴(⊕2) ⊗ =．
故答案为B．
【点睛】本题考查了实数大小比较以及代数式求值，其中掌握实数的大小比较是解答本题的关键．
【变式训练】
【变式1】规定不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，，．下列说法：①；②；③（a为正整数）；④若n为正整数，且，则n的最小值为6，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据取整函数的定义即可求解．
【详解】解：①，故①正确；
②
，故②正确；
③若时，，，
故（a为正整数）不一定成立，故③错误；
④若n为正整数，且，则必须45n是哪个开得尽方的正整数，
∵，
∴n的最小整数为5，故④错误；
综上分析可知，正确的个数为2，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了取整函数的定义，能够正确估算无理数的大小是解题的关键，难度不大．
【变式2】定义为不大于的最大整数，如，则满足的共有_____个（为正整数）
【答案】141
【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答．
【详解】解：由已知条件得出，
∴，
∴则满足的共有个．
故答案为：141．
【点睛】本题主要考查了无理数大小的比较，根据题目得出是解此题的关键．
【变式3】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”， 最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出最小算术平方根与最大算术平方根；
(2)已知16，a，36这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．
【答案】(1)见解析；最小算术平方根为4，最大算术平方根为20
(2)的值为9或64
【分析】（1）根据“老根数”的定义、算术平方根的定义即可得；
（2）根据“老根数”的定义、“最大算术平方根是最小算术平方根的2倍”建立方程，利用算术平方根的性质解方程即可得．
【详解】（1）证明：，，，且4，10，20都是整数，
∴2，8，50这三个数是“老根数”，
，
最小算术平方根为4，最大算术平方根为20；
（2）∵16，a，36这三个数是“老根数”，
为正整数，，且，都是整数，
∵，，，
∴分以下两种情况：
①当，即时，
则最大算术平方根是24，最小算术平方根是，
∴，
解得：，符合题设，且符合“老根数”的定义；
②当，即时，
则最大算术平方根是，最小算术平方根是24，
∴，
解得：，符合题设，且符合“老根数”的定义，
综上所述，的值为9或64．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，理解“老根数”的定义是解题关键．
【经典例题八 与实数运算相关的规律探索题】
【例8】观察①；②；③，根据提供的信息请猜想的结果（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的三个式子，得到，即可得到的结果．
【详解】解：由；
；
；
可得：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查数字类规律探究．根据给出的三个式子，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】将一组数，按照如图的方式进行排列：若的位置记，的位置记为，则这组数中最大的有理数9的位置记为（ ）
A．(5，2)B．(5，3)C．(6，2)D．(6，5)
【答案】C
【分析】根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数
的被开方数是的被开方数3的30倍，
30÷5=6，
所以位于第六行第五个数，记为（6，5）．
故最大的有理数位于第6行第2个数，记为（6，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是发现其中的规律，写出所求数对应的位置．
【变式2】观察下列各式：①
②
③
根据上面三个等式，猜想的结果为______．
【答案】
【分析】利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可．
【详解】解：根据题意，第n个等式为
＝
∴＝＝
故答案为： ．
【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．
【变式3】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【答案】(1)
(2)，49
【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
【培优检测】
1．，，3.14，0，，0.080080008中无理数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据无理数的定义，依次判断即可．
【详解】是整数，是有理数；
是分数，是有理数；
3.14是有限小数，是有理数；
0是整数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
0.080080008是有限小数，是有理数．
所以无理数的个数是1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数，无理数的定义，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数，掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．注意：是一个无限不循环小数．
2．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为16时，输出的y值是（ ）
A．2B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题先求出16的算术平方根式4，再求出4的立方根为，最后输出，即可求出y的值．
【详解】解：∵16的算术平方根式4，4是有理数，
又∵4的立方根为，是无理数，
∴y的值是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．
3．的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【答案】A
【分析】首先根据的平方根是，可得，然后根据的立方根是2，可得，据此求出、的值各是多少，即可求出的值是多少．
【详解】解：的平方根是，
①；
的立方根是2，
②；
联立①②解得，，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出、
的值各是多少．
4．我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】①根据表示距离最近的正整数，进行判断；②根据，确定n的值；③分别求出，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解．
【详解】解：①表示距离最近的正整数，
∴；故①正确；
②时，，4，5，6，
∴n的值有4个；故②错误；
③∵，
∴；故③正确；
④∵，…，
∴2个1，4个2，6个3，8个4，…，
∴；故④错误；
⑤，
∴；故⑤正确；
综上：正确的是①③⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算，以及数字规律探究．根据所给的定义，通过无理数的估算，找到数字规律是解题的关键．
5．若，是两个连续的整数且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先估算出的值的范围，从而求出，的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，是两个连续的整数且，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小以及代数式求值，熟练掌握估算无理数的大小的方法是解题的关键．
6．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
7．最接近的整数是______．
【答案】
【分析】根据，可得，进而估算出最接近的整数是．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴最接近的整数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的估算，掌握二次根式的估算方法是解题的关键．
8．规定表示小于a的最大整数，如，．现将37进行如下操作：．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为_____________．
【答案】
【分析】根据可用表示小于a的最大整数，反推回去每次求最小整数可得答案．
【详解】解：∵第四次，最小整数为，
则第三次为，最小整数为，
第二次为，最小整数为，
第一次为，最小整数为，
故答案为：
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数，用表示小于a的最大整数，反推是解题的关键．
9．如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 _____；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 _____；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______．
【答案】 25 0或1
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【详解】解：（1）当时，则；
（2）当时，，，则；
（3）当，1时，始终输不出值，
，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
所有满足要求的的值为0或1．
故答案为：；25；0或1．
【点睛】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．
10．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则_______．
【答案】
【分析】根据平方根的定义，求出a的值，再根据无理数的估算，求出c的值，进而得出的整数部分和小数部分，即可得出m和n的值，带入求解即可．
【详解】解：∵正数x的两个不等的平方根分别是和，
∴，解得：，
∵，
∴的整数部分为2，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整数部分为7，小数部分为，
∵， m为整数，，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了平方根的定义以及无理数的估算，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；以及掌握估算无理数的方法．
11．若．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性即可求出，的值；
（2）将，的值代入所求代数式，利用裂项相消法求解．
【详解】（1）解：，
，，
由，得，
将代入，得，
即，；
（2）解：当，时，
原式=
=
=
=．
【点睛】本题考查非负数的性质及有理数的混合运算，解题的关键是掌握算术平方根和平方的非负性，熟练运用裂项相消法．
12．规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)6
(2)16
(3)160
【分析】（1）根据算术平方根的定义化简，再根据的意义取整数计算；
（2）先估算，，，再判断出，，最后取整数计算；
（3）先估算，，，，再判断出，，，最后取整数计算．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，，，
∴，，
∴
；
（3）∵，，，，
∴，
，
，
∴
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．
13．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．
(1)求正方形纸板的边长；
(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用， 求缺少的硬纸片的面积．
【答案】(1)18
(2)够用，剩余79平方厘米
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；
（2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答．
【详解】（1）依题意得：(cm)，即：正方形纸板的边长为18厘米；
（2）依题意得：(cm)，
则剪切纸板的面积(cm2)，
剩余纸板的面积(cm2)
即剩余的正方形纸板的面积为79平方厘米．
【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式．
14．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先仿照题意估算出，进而得到，则可求出，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是5，小数部分是，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了与无理数整数和小数部分有关的计算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
15．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000
∴，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而．
∴能确定的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴，可得．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．
【答案】(1)两；2
(2)a=54
【分析】（1）根据上面的材料所给的方法确定1728的立方根的位数及个位数字即可.
（2）仿照上面材料所给的方法先确定a的位数，再确定个位数字，再确定十位数字即可求出a的值.
【详解】（1）解：∵，，且1000＜1728＜1000000
∴，即1728的立方根是一个两位数．
∵1728的个位数字是8，而，
∴能确定的个位数字是2.
故答案为：两，2
（2）解：∵，，且1000＜157464＜1000000
∴，即157464的立方根是一个两位数．
∵157464的个位数字是4，而，
∴能确定的个位数字是4.
如果划除157464后面的三位数，得到数157，而125＜157＜216．
∴，可得．
∴157464的立方根的十位数字是5．
∴157464的立方根是54．
即a=54
经过验证
【点睛】本题主要考查了学生的阅读理解能力，能够读懂材料并能熟练计算1-10的立方是解题的关键.
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
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