高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第3章第02讲3.1.2函数的表示法(知识清单+13类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

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第02讲 3.1.2函数的表示法知识点01：函数的表示法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.知识点02：求函数解析式1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。【即学即练1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）（1）已知函数，求函数的解析式.（2）已知是二次函数，且，求的解析式.（3）已知函数满足，求的解析式知识点03：分段函数对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数．注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．【即学即练2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 .知识点04：函数的图象1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.2、函数图象的对称变换①的图象的图象；②的图象的图象；③的图象的图象；3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）①的图象的图象；（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）②的图象的图象.（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）【即学即练3】（23-24高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象.(1)．题型01函数的三种表示法的应用 【典例1】（23-24高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ）    A．-1 B．0 C．3 D．4【典例2】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 .【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ）A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则其解析式为 ．【变式3】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数和分别由下表给出：则 ．题型02待定系数法求函数的解析式【典例1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式;（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式.【典例2】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）已知是一次函数，若，则的解析式为 .【变式1】（23-24高三·全国）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知为二次函数，且 ，求函数的解析式；题型03换元法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·山东淄博·期中）（1）已知，求函数的解析式；【典例2】（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，求的解析式；【变式1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式；题型04配凑法求函数的解析式【典例1】（22-23高三·全国·对口高考）（1）已知，求；【典例2】（23-24高一上·重庆涪陵·阶段练习）若，则 【变式1】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知，求的解析式．题型05方程组（消去）法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）已知，求函数的解析式；【典例2】（23-24高一上·广东佛山·期中）根据下列条件，求的解析式．(1)已知满足．【变式1】（23-24高一上·四川成都·期中）（1）已知，求的解析式．题型06求分段函数的值 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）设，则=（    ）A．3 B．5 C．-1 D．1【典例2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 .【变式1】（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）设函数，则 题型07根据分段函数的值求参数【典例1】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数．若．则实数（    ）A． B．1 C． D．2【典例2】（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则 ．【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（     ）A． B． C．或 D．或【变式2】（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若，则实数 ；题型08分段函数的值域或最值问题 【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ）A． B． C． D．【典例2】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【典例3】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则的最小值是 ．【变式1】（23-24高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．【变式3】（23-24高一上·山西运城·期中）已知函数.(1)画出函数的图象并写出它的值域；(2)若，求x的取值范围.题型09解分段不等式【典例1】（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 .【典例2】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 .【变式1】（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是 .【变式3】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 .题型10函数图象识别【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ）A．    B．  C． D．  【典例2】（22-23高一上·云南德宏·期中）函数的图象是（    ）A．   B．  C．   D．  【变式1】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高一上·陕西西安·期中）函数的图象是（        ）A． B．C． D．题型11画出具体函数图象【典例1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数.(1)写出的分段函数形式的解析式；(2)画出函数的图象；(3)当时，求实数的取值范围.【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设函数(1)将函数写成分段函数并画出函数的图像；(2)求的值；(3)求不等式的解集.【变式1】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.  【变式2】（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数．(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；(2)解不等式．题型12根据实际问题做出函数图象【典例1】（2024·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）  A．   B．  C．   D．  【典例2】（23-24高三·全国·对口高考）如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（    ）  A．   B．  C．   D．  【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ）A． B．C． D．E．均不是【变式2】（23-24高一上·湖南郴州·阶段练习）直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（    ）B．C．D．A．       B．    C．     D．    6．（2024高三·全国·专题练习）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的范围是（　　）A． B． C． D．7．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．8．（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、多选题9．（22-23高一上·重庆万州·期中）已知函数，若，则实数的值为（   ）A． B． C． D．110．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ）A． B． C． D．01．（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（    ）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ）A．1 B．11 C．12 D．10243．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．4．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 .C新定义题型1．（2024高三下·全国·专题练习）若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的序号是 ．①；②；③；④，是正整数．2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.(1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；(2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；(3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有.课程标准学习目标①了解函数的三种表示方法及特点；②掌握求函数解析式的常用方法③了解与认识分段函数及其定义域④会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质.通过本节课的学习，熟练掌握函数的三种表示方法，会求函数的解析式，掌握分段函数的解析法与图象法的表示方法与性质.优点缺点联系解析法①简明、全面的概括了变量之间的关系；②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值；③便于利用解析式研究函数的性质；①并不是所有的函数都有解析式；②不能直观地观察到函数的变化规律；解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．图象法①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势；②可以直接应用图象来研究函数的性质；①并不是所有的函数都能画出图象；②不能精确地求出某一自变量相应的函数值；列表法①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值；①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系；②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律；12343-1x123x1231313211234514916252345613245第02讲 3.1.2函数的表示法知识点01：函数的表示法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.知识点02：求函数解析式1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。【即学即练1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）（1）已知函数，求函数的解析式.（2）已知是二次函数，且，求的解析式.（3）已知函数满足，求的解析式【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）令，使用换元法可得；（2）设，根据多项式相等列方程组求出系数即可；（3）用代替，联立两个方程求解可得.【详解】（1）令，则，所以，即.（2）设，则，又，所以，解得，所以.（3）因为①，所以②，得，所以.知识点03：分段函数对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数．注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．【即学即练2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 .【答案】/【分析】根据分段函数解析式直接求解即可.【详解】.故答案为：知识点04：函数的图象1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.2、函数图象的对称变换①的图象的图象；②的图象的图象；③的图象的图象；3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）①的图象的图象；（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）②的图象的图象.（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）【即学即练3】（23-24高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象.(1)．【答案(1)图象见解析【分析】（1）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象【详解】（1）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示．题型01函数的三种表示法的应用 【典例1】（23-24高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ）    A．-1 B．0 C．3 D．4【答案】A【分析】根据函数的定义及图表计算即可.【详解】由图象可知，而由表格可知，所以.故选：A【典例2】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 .【答案】【分析】分别计算出时，与的值，比较后得到答案.【详解】，故，满足要求，，故，不满足要求，，故，满足要求，所以满足的的集合为.故答案为：【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ）A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变【答案】AD【分析】根据给定的年产量与时间的函数关系图，结合函数的性质，即可求解.【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图，可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确；第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确.故选：AD.【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则其解析式为 ．【答案】【分析】分，与三种情况，求出解析式，得到答案.【详解】当时，设，又图象过点，故，∴；当时，；当时，.综上，.故答案为：【变式3】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数和分别由下表给出：则 ．【答案】2【分析】利用给定列表，直接计算函数值即可.【详解】依题意，，所以.故答案为：2题型02待定系数法求函数的解析式【典例1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式;（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据待定系数法即可求解，（2）根据待定系数法即可求解.【详解】解：（1）设 ,, 且图象过原点,解得 （2）设 ，则, ,即 不论为何值都成立,解得 【典例2】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）已知是一次函数，若，则的解析式为 .【答案】或【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法求解即得.【详解】依题意，设，于是，而，因此，解得或，所以的解析式为或.故答案为：或【变式1】（23-24高三·全国）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式.【详解】设，，∵，则，又∵，令，则，∴，即，，令，则，，即，，∴，，.故选：D.【变式2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知为二次函数，且 ，求函数的解析式；【答案】（1）；（2）【分析】（1）设二次函数解析式，将分别代入化简计算，再用恒等思想既可计算得出结论；【详解】（1）设 ，则有： ，所以 ， 所以 ，所以 .题型03换元法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·山东淄博·期中）（1）已知，求函数的解析式；【答案】（1），（2）【分析】（1）用换元法即可求得解析式；【详解】（1）设，，，，，，.【典例2】（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，求的解析式；【答案】（1）；【分析】（1）根据题意利用换元法运算求解，注意变量的范围；【详解】（1）由，令，则，所以，故的解析式为；【变式1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式；【答案】（1）；【分析】（1）利用换元法求解即可；【详解】（1）设，则，，即，所以，所以.题型04配凑法求函数的解析式【典例1】（22-23高三·全国·对口高考）（1）已知，求；【答案】（1）或;【分析】（1）将函数变形为，利用凑配法求解析式；【详解】因为当时，当时，所以或.【典例2】（23-24高一上·重庆涪陵·阶段练习）若，则 【答案】【分析】通过配凑法即可得到答案.【详解】由题意，，则.故答案为：.【变式1】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知，求的解析式．【答案】【分析】【详解】因为，所以．题型05方程组（消去）法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）已知，求函数的解析式；【答案】；【分析】（1）利用换元法求解即可；（2）利用待定系数法求解即可；（3）利用方程组法求解即可.【详解】因为，①所以，②②①，得，所以.【典例2】（23-24高一上·广东佛山·期中）根据下列条件，求的解析式．(1)已知满足．【答案】(1)【详解】（1）在①中，令替换得②，由②得③，将③代入①得，所以./【变式1】（23-24高一上·四川成都·期中）（1）已知，求的解析式．【答案】（1），【详解】（1）由已知①，，则②，所以①②得，，所以，.题型06求分段函数的值 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）设，则=（    ）A．3 B．5 C．-1 D．1【答案】A【分析】根据分段函数的定义区间和解析式，求函数值.【详解】，则.故选：A【典例2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 .【答案】【分析】根据题意，结合函数的解析式，逐次计算，即可求解.【详解】由函数，则.故答案为：.【变式1】（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.【详解】由已知，.故选：.【变式2】（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）设函数，则 【答案】8【分析】利用分段函数的性质求解.【详解】解：因为，所以，故答案为：8题型07根据分段函数的值求参数【典例1】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数．若．则实数（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】代入分段函数依次计算即可.【详解】结合题意可得： ，，解得：.故选：B.【典例2】（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则 ．【答案】3或【分析】分和分别代入函数，解出即可.【详解】当时，，解得；当时，，解得．故答案为：3或.【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（     ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得.【详解】因为，又，所以或，解得或.故选：C【变式2】（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若，则实数 ；【答案】或【分析】由分段函数定义域解相应方程可得答案.【详解】当，；当，.故答案为： 或 .题型08分段函数的值域或最值问题 【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，分别求得当时与当时，的值域，即可得到结果.【详解】当时，，则当时，，当时，，则；当时，；综上所述，.故选：C【典例2】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】CD【分析】分别作出，根据图象可得的值域，对比选项分析判断.【详解】在同一坐标系内分别作出，可得的图象（图中实线部分），  所以的值域为，结合选项可知CD正确，AB错误.故选：CD.【典例3】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则的最小值是 ．【答案】【分析】根据题意将函数的每个分段上的最小值求出后进行比较，从而求出最小值.【详解】由题意知：当时，，所以：当时，有最小值：.当时，，令，，当时，有最大值：，且，所以得：，所以得：在时，有最小值：，所以得：当时，有最小值：.综上所述：的最小值为：.故答案为：.【变式1】（23-24高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分段求解值域，再取并集即可.【详解】当时，；当时，；当时，，所以函数的值域为.故选:A.【变式2】（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．【答案】 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值.【详解】当时，解得或，所以，作出的图象如下图所示：由图象可知：当时，有最大值，所以；当时，解得或或；当时，或，由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为；当时，的值域为，此时，由上可知，的最大值为，故答案为：；.【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质.【变式3】（23-24高一上·山西运城·期中）已知函数.(1)画出函数的图象并写出它的值域；(2)若，求x的取值范围.【答案】(1)图象详见解析，值域为(2)【分析】（1）画出的图象，结合图象求得的值域.（2）通过解不等式求得的取值范围.【详解】（1）画出的图象如下图所示，由图可知的值域为（2）由得或，解得或，所以不等式的解集为.题型09解分段不等式【典例1】（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 .【答案】 1 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解.【详解】由题意可知：；因为，当，即时，则，可得，不合题意；当，即时，可得，解得或，所以；当，即或时，则，可得，符合题意；综上所述：不等式的解集是.故答案为：1；.【典例2】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 .【答案】【分析】讨论的范围，把不等式具体化，解出不等式即可.【详解】根据分段函数的定义可知，当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为，解得；当，不等式可化为，无解.综上知，的取值范围为故答案为：【变式1】（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ．【答案】【分析】由定义表示中的最小者，分类讨论解不等式即可.【详解】令，解得或，令，解得，当或时，，由，可得：，所以；当时，，由，可得：或，所以.综上，由，可得．故答案为：【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是 .【答案】【分析】分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.【详解】当时，由得，解得，此时，；当时，由得，即，解得，此时，.综上所述，不等式的解集是.故答案为：.【变式3】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 .【答案】【分析】分类讨论，按分类解不等式．【详解】对于函数（i）当，则，解得，故此时不存在；（ii）当，则，解得或，故此时的取值范围为；（iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为.综上，的取值范围为.故答案为：．题型10函数图象识别【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ）A．    B．  C． D．  【答案】C【分析】根据的定义域即可判断.【详解】由于，得，所以的定义域是，由此排除ABD选项，所以正确的选项为C.故选：C.【典例2】（22-23高一上·云南德宏·期中）函数的图象是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】法一：根据时的函数值即可得解.法二：根据函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，即可得解.【详解】法一：当时，，只有B选项符合.法二：，则函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，只有B选项符合.故选：B.【变式1】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将函数转化为分段函数，再选择图象即可.【详解】，结合图形可知C适合题意.故选：C.【变式2】（23-24高一上·陕西西安·期中）函数的图象是（        ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数定义域和图象上的点，排除法选择正确选项.【详解】函数，定义域为，BD选项排除；时，，A选项排除.故选：C.题型11画出具体函数图象【典例1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数.(1)写出的分段函数形式的解析式；(2)画出函数的图象；(3)当时，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）直接对函数化简即可；（2）分别画出和的图象，从而可得的图象；（3）分和两种情况解不等式即可.【详解】（1），（2）的图象如图所示，（3）当时，由，得，，得，当时，由，得，，得，综上，实数的取值范围为.【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设函数(1)将函数写成分段函数并画出函数的图像；(2)求的值；(3)求不等式的解集.【答案】(1)，图像见解析(2)(3)【分析】（1）根据绝对值的定义写出函数解析式，结合二次函数图象画出分段函数图像；（2）先求，再求即可；（3）换元，先解外层不等式，再利用图象法解内层不等式即可.【详解】（1）当时，，当时，，所以，函数图像如图：    （2）因为，所以；（3）令，则，由图像及（2）知，故只需解，当时，，解得或（舍去），，解得，所以或，由图可知当时，.所以不等式的解集为.【变式1】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.  【答案】图像见解析，值域为【分析】把表示为分段函数，作出图像，由图像得函数的值域.【详解】函数，图像如图所示，  由函数图像可知，当时，函数有最小值0，函数值域为.【变式2】（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数．(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；(2)解不等式．【答案】(1)答案见解析(2)或或【分析】（1）根据分段函数的性质，结合二次函数的图象即可求解，（2）结合函数图象即可求解.【详解】（1）的图象如下：（2）由，结合（1）可得①或②，解①得或解②得故的解集为或或.题型12根据实际问题做出函数图象【典例1】（2024·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）  A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D.【典例2】（23-24高三·全国·对口高考）如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（    ）  A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断.【详解】当点在上时：；当点在上时：；当点在上时：，所以，由函数解析式可知，有三段线段，又当点在上时是减函数，故符合题意的为A.故选：A【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ）A． B．C． D．E．均不是【答案】A【分析】求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.【详解】当点在上时，，当点在上时，，当点在上时，，其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.故选：A.【变式2】（23-24高一上·湖南郴州·阶段练习）直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（    ）B．C．D．【答案】C【分析】根据图形的面积求得的表达式，进而确定正确答案.【详解】直线的方程为，当，.当时，.所以，对应的图象为C选项.故选：C题型13根据图象选择解析式【典例1】（23-24高一上·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为，因为的定义域为，所以排除C，因为的定义域为，所以排除D，因为当时，，所以排除A，故选：B【典例2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数图象的两条渐近线结合为正可得正确的选项.【详解】对于，故其图象的渐近线为，，而，结合图象可得，故A不符合；对于，故其图象的渐近线为，，而，结合图象可知D符合；对于，因为，故其图象的渐近线为，，结合图象可知B不符合；对于，因为，故其图象的渐近线为，，结合图象可知C不符合；故选：D.【变式1】（2024·福建三明）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案【详解】解：由图可知，当时，，取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,故选：CA夯实基础 B能力提升 C新定义题型A夯实基础 一、单选题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的定义求值．【详解】由题意，故选：B．2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．1和2【答案】C【分析】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得.【详解】由表可知：，则.故选：C.3．（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ）A．3 B． C．3或 D．5或【答案】D【分析】对于求解与分段函数有关的方程时，应分段考虑再合并.【详解】当时，，解得：；当时，，解得：；即实数的取值是5或.故选：D.4．（23-24高二下·安徽·阶段练习）函数的定义域为R，对于任意实数x，y，都有，则的值不可能是（    ）A．-2 B． C．1 D．2【答案】A【分析】采用“赋值法”为突破口，确定的取值范围，可得答案.【详解】令，则，解得或令，则，所以故BCD皆有可能．故选：A5．（2024·广东佛山·二模）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（    ）  A．       B．    C．     D．    【答案】A【分析】结合图形，分类讨论与，求得的解析式，从而得解.【详解】依题意，当时，可得直角三角形的两条直角边分别为，从而可以求得，当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得，所以，从而可知选项A的图象满足题意.故选：A.6．（2024高三·全国·专题练习）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的范围是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解出不等式的解集可得，再根据的定义即可得.【详解】由，解得；又表示不大于的最大整数，所以．所以的范围是故选：C．7．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解.【详解】由①，令，②，由得，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D8．（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解.【详解】因为，令，则可化为，当时，，即，解得（负值舍去），即，当时，，即，而，故上述不等式无解；综上，，若，则，解得（负值舍去）；若，则，解得（舍去）；综上：.故选：A.二、多选题9．（22-23高一上·重庆万州·期中）已知函数，若，则实数的值为（   ）A． B． C． D．1【答案】CD【分析】分和两种情况进行讨论即可【详解】因为函数，，所以当时，，解得；当时，，即解得，故选：CD10．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ）A． B． C． D．0【答案】BCD【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.【详解】①时，，值域为，满足题意；②时，若的值域为，则；综上，．故选：BCD三、填空题11．（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ．【答案】【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可．【详解】设，，，．又，.故答案为：12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为 .【答案】3【分析】作出函数的图象，根据定义作出的图象，求出交点B的坐标即可得解.【详解】作出函数的图象如图：根据定义可得的图象如图：由解得或，得，所以的最大值为3.故答案为：3四、解答题13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数.(1)求，的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可；（2）令，讨论的范围解方程求解得答案.【详解】（1）因为，且，所以. 因为，所以.（2）依题意，令， 若，则，解得，与矛盾，舍去；若，则，解得， 故，解得，所以实数的值为；综上所述：的值为.3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围.【详解】当时，，值域为当时，由，得，由，得，解得或，作出的图象如下图所示，由图象可得：，即实数的取值范围是.故选：C.4．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 .【答案】【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案.∴，故③正确；∵当时，，故④不正确．故答案为：①③2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.(1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；(2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；(3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有.【答案】(1)函数是函数在上的“L函数”，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可；（2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可；（3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可.【详解】（1）对任意的，且，.显然有，所以函数是函数在上的“L函数”；（2）因为函数是函数在上的“L函数”，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，化简得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即，解得；（3）对于，不妨设，（i）当时，因为函数是函数在上的“L函数”，所以.此时成立；（ii）当时，由得，因为，函数是函数在上的“函数，所以，此时也成立，综上，恒成立.【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可.课程标准学习目标①了解函数的三种表示方法及特点；②掌握求函数解析式的常用方法③了解与认识分段函数及其定义域④会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质.通过本节课的学习，熟练掌握函数的三种表示方法，会求函数的解析式，掌握分段函数的解析法与图象法的表示方法与性质.优点缺点联系解析法①简明、全面的概括了变量之间的关系；②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值；③便于利用解析式研究函数的性质；①并不是所有的函数都有解析式；②不能直观地观察到函数的变化规律；解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．图象法①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势；②可以直接应用图象来研究函数的性质；①并不是所有的函数都能画出图象；②不能精确地求出某一自变量相应的函数值；列表法①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值；①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系；②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律；12343-1x123x1231313211234514916252345613245123131321