高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第3章第01讲3.1.1函数的概念(知识清单+15类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

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第01讲 3.1.1函数的概念 知识点01：函数的概念1、初中学习的函数的传统定义设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系.2、函数的近代定义一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.函数的四个特征：①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.【即学即练1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ）A．B．C． D．知识点02：函数的三要素1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).【即学即练2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 .知识点03：函数相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.【即学即练3】（2024高二下·浙江·学业考试）下列各组函数表示同一函数的是（    ）A．和 B．和C．和 D．与知识点04：区间的概念1区间的概念设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间，记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．2含有无穷大的表示全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。【即学即练4】（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示：(1)；(2)；(3)；(4)或.题型01函数关系的判断 【典例1】（23-24高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ）A．   B．  C．   D．  【典例2】（多选）（23-24高一上·海南海口·阶段练习）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ）A． B．  C． D．【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列图形不可能是函数图象的是（    ）A． B．C． D．【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆永川·开学考试）下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数的图象的是（   ）A． B．C． D．题型02集合与区间的转化 【典例1】（23-24高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集：（1） ；（2） ；（3）且 ；（4） ；（5） ．【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）试用区间表示下列实数集（1）；（2）；（3）；（4）；【变式1】（2024高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合：（1）用区间表示为 ；（2）用区间表示为 .【变式2】（23-24高一·全国·课堂例题）用区间表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)．题型03同一个函数 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ）A．与B．与C．与D．与【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【变式2】（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与题型04求函数值 【典例1】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数，则（    ）A． B．2 C． D．1【典例2】（23-24高一上·黑龙江·期中）已知函数，则 ．【变式1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，的值为 .【变式2】（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数，则 ．题型05根据函数值求自变量或参数 【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知函数，且，则实数的值等于（    ）A． B． C．2 D．【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知，，则m等于（    ）A．0 B． C． D．【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ．【变式2】（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数，若，则 ．题型06函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为 .【变式1】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 .（结果写成集合或区间形式，否则不得分）【变式2】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 ．题型07函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ）A． B． C． D．【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．题型08函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例1】（2024·河北衡水）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·河北衡水·阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的定义域；(2)若函数的定义域为，求实数的取值范围.【变式1】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知函数的定义域,则实数的取值范围为A． B．C． D．【变式2】（23-24高二下·辽宁阜新·期末）函数的定义域是 .【变式3】（23-24高二上·广东清远·期末）设函数．(1)当时，求函数的定义域；(2)若函数的定义域为，求实数的取值范围．题型09函数的定义域（实际问题中的定义域） 【典例1】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·贵州遵义·期中）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为A． B． C． D．【变式1】（23-24高一·全国·单元测试）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）如图所示，在一张边长为20cm的正方形铁皮的4个角上，各剪去一个边长是cm的小正方形，折成一个容积是的无盖长方体铁盒，试写出用表示的函数关系式，并指出它的定义域．题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的值域为 ．【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）求下列函数的值域．(1)，(2)【变式1】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 .【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；题型11函数的值域（根式型函数的值域） A夯实基础 B能力提升 C新定义题型A夯实基础 一、单选题1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ）A． B．C． D．2．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）函数，则的定义域是（   ）A． B．C． D．4．（23-24高一上·河南商丘·期中）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ）A．，B．，C．，D．，5．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ）A． B． C． D．(1)；(2).14．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，．(1)当时，求的解集；(2)若的解集为，求实数的值；(3)当时，求关于的不等式的解集.B能力提升 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期中）定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（    ）A． B． C．4或 D．与的取值有关2．（23-24高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．3．（2024·辽宁沈阳）定义两种运算：，，则函数的解析式为（    ）A．，B．，C．，D．，4．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．C新定义题型1．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设函数在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的稳定点．(1)求函数的稳定点；(2)若函数有两个关于原点对称的稳定点A，B，求a的值及函数的稳定点；(3)已知函数，．若，函数恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围．课程标准学习目标①函数的概念；②了解函数的三要素；③掌握简单函数的定义域；④掌握求函数的值；⑤掌握区间的写法.通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域.集合区间集合区间第01讲 3.1.1函数的概念 知识点01：函数的概念1、初中学习的函数的传统定义设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系.2、函数的近代定义一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.函数的四个特征：①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.【即学即练1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ）A．B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的定义即可得解.【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B.故选：B.知识点02：函数的三要素1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).【即学即练2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 .【答案】【分析】保证分母不为零，被开方式大于等于零即可.【详解】由题意得，解得且，∴函数的定义域为.故答案为：.知识点03：函数相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.【即学即练3】（2024高二下·浙江·学业考试）下列各组函数表示同一函数的是（    ）A．和 B．和C．和 D．与【答案】C【分析】逐项判断两个函数的定义域、表达式和值域是否相同即可.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；对于B，，，表达式不同，不是同一函数，故B错误；对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C正确；对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误.故选：C.知识点04：区间的概念1区间的概念设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间，记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．2含有无穷大的表示全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。【即学即练4】（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示：(1)；(2)；(3)；(4)或.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用区间的概念表示出各个集合.【详解】（1）（2）（3）（4）或题型01函数关系的判断 【典例1】（23-24高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】逐项分析定义域和值域的对应情况，由此判断出结果.【详解】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误；对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确；对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误；对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误；故选：B.【典例2】（多选）（23-24高一上·海南海口·阶段练习）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ）A． B．  C． D．【答案】ABD【分析】由函数的定义进行判断.【详解】根据函数定义，A选项，对于任意的，只有唯一确定的与其对应，满足函数定义，A正确；B选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，B正确；C选项，对于，有和与其对应，不是函数，C错误；D选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，D正确.故选：ABD【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列图形不可能是函数图象的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据函数的定义判断即可【详解】选项B、C：对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系，故B、C正确；选项A、D：存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对应的唯一性，故A、D错误；故选：AD【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆永川·开学考试）下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数的图象的是（   ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据函数的定义确定正确答案.【详解】根据函数的定义可知，一个有唯一的与其对应，所以AC选项错误，BD选项正确.故选：BD题型02集合与区间的转化 【典例1】（23-24高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集：（1） ；（2） ；（3）且 ；（4） ；（5） ．【答案】 【分析】根据区间的定义逐个分析可得结果.【详解】；；且；；.故答案为：；；；；.【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）试用区间表示下列实数集（1）；（2）；（3）；（4）；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）、（2）直接写出区间即可；（3）画数轴，由集合的交集运算可得结果；（4）由集合的并集运算可得结果.【详解】（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查了区间的表示和集合的交集、并集运算，考查了计算能力，属于基础题目.【变式1】（2024高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合：（1）用区间表示为 ；（2）用区间表示为 .【答案】 【分析】根据区间与集合的关系即可得到答案.【详解】根据区间与集合的关系可得结果.故答案为：；.【变式2】（23-24高一·全国·课堂例题）用区间表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据区间的定义即可逐一求解.【详解】（1）（2）（3）（4）题型03同一个函数 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可.【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误；对B，，故B错误；对C，的定义域为，故C错误；对D，，故D正确.故选：D【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ）A．与B．与C．与D．与【答案】C【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得.【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为或，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是.故选：C【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】A【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可.【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.故选：A【变式2】（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】BD【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得.【详解】对A：对的定义域为，则，故与不是同一函数，故A错误；对B：，，故与是同一函数，故B正确；对C：定义域为，即，定义域为，即或，故与不是同一函数，故C错误；对D：与定义域与对应关系都相同，故与是同一函数，故D正确.故选：BD.题型04求函数值 【典例1】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数，则（    ）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】根据解析式求函数值.【详解】,故选:D.【典例2】（23-24高一上·黑龙江·期中）已知函数，则 ．【答案】1【分析】根据解析式直接计算函数值即可.【详解】因为，所以.故答案为：1【变式1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，的值为 .【答案】【分析】代入及即可得.【详解】因为，则.故答案为：.【变式2】（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数，则 ．【答案】【分析】求出，即可得出的值.【详解】由题意，在中，，，故答案为：.题型05根据函数值求自变量或参数 【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知函数，且，则实数的值等于（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；【详解】令，解得或由此解得，故选：D【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知，，则m等于（    ）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】令求出的值即得解.【详解】令，所以.故选：A【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ．【答案】/0.5【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可.【详解】令.故答案为：.【变式2】（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数，若，则 ．【答案】3【分析】运用换元法和代入法进行求解即可.【详解】令，得，则．因为，所以，解得．故答案为：3题型06函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据根式、分式的意义列式求解即可.【详解】令，解得且，所以函数的定义域为.故选：B.【典例2】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为 .【答案】【分析】根据分母不为零和偶次根号下非负可得函数的定义域.【详解】由题意得： ， ．故答案为：【变式1】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 .（结果写成集合或区间形式，否则不得分）【答案】【分析】根据二次根式有意义及分母不为0列不等式计算即可.【详解】由题意知，，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.【变式2】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 ．【答案】且【分析】依据条件列出不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，只需，解得：且.故答案为：且题型07函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可．【详解】由于函数的定义域为，故，解得，即函数的定义域为.故选：A.【典例2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为.故选：C【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义域求出的定义域，结合，求出函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，则，，所以的定义域为，又因为，即，所以函数的定义域为，故选：C【变式2】（23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .【答案】【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可.【详解】因为的定义域为，所以满足，又函数有意义，所以，所以函数的定义域为，故答案为：【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．【答案】【分析】求出函数的定义域，再列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：因为的定义域为，即，所以，即函数的定义域为，所以的定义域为不等式组的解集，解此不等式组得：，所以函数的定义域为.故答案为：题型08函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例1】（2024·河北衡水）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】本题考查函数的定义域及恒成立问题的解法.因为函数的定义域为R，则恒成立.①当时，函数是开口向下的抛物线，不符合题意；②当时，函数恒满足，符合题意③当时，函数满足恒成立的条件是，即，解得.由①②③知实数k的取值范围是正确答案为C【典例2】（23-24高一上·河北衡水·阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的定义域；(2)若函数的定义域为，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）把代入后，要使函数有意义使得根式下不小于0，解不等式得答案；（2）分和求解，当时转化为不等式组求解的范围得答案.【详解】（1）当时，，由题意得，即，即或，∴函数的定义域为或.（2）设，由题意得对一切都成立.当时，满足题意；当时，必须满足，即，解得，即，综上：，即.【变式1】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知函数的定义域,则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】D【详解】试题分析：由函数定义域可知对于任意实数恒成立，当时恒成立，当时需满足，解不等式得实数的取值范围为考点：二次函数性质与函数定义域【变式2】（23-24高二下·辽宁阜新·期末）函数的定义域是 .【答案】【分析】由，解不等式求得的定义域.【详解】根据函数，可得，即，求得，可得函数的定义域为.故答案为：【变式3】（23-24高二上·广东清远·期末）设函数．(1)当时，求函数的定义域；(2)若函数的定义域为，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）令代入即可求解；（2）对分类讨论，根据一元二次不等式的相关性质即可求解,【详解】（1）依题意，满足函数有意义，则：，当时，则，解得：，故函数的定义域为：.（2）若函数定义域为，则对任意的，恒成立当时，显然成立.当时，由，解得：.综上：实数的取值范围.题型09函数的定义域（实际问题中的定义域） 【典例1】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实际意义分析即可.【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了，所以，即函数的定义域为.故选：C【典例2】（23-24高一上·贵州遵义·期中）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意易得，从而得到结果.【详解】将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为，∴，解得∴函数的定义域为故选D【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.【变式1】（23-24高一·全国·单元测试）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.【详解】由题设有，由得，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.【变式2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）如图所示，在一张边长为20cm的正方形铁皮的4个角上，各剪去一个边长是cm的小正方形，折成一个容积是的无盖长方体铁盒，试写出用表示的函数关系式，并指出它的定义域．【答案】，定义域为【详解】试题分析:根据题意确定长方体的长宽高,再根据长方体体积公式得函数关系式,最后根据实际意义得定义域试题解析: , ,所以定义域为题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的值域为 ．【答案】【分析】根据二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数，根据二次函数的性质，当时，得到；当时，得到，所以函数在的值域为.故答案为：.【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）求下列函数的值域．(1)，(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接求值即可；（2）分离常数得即可讨论值域【详解】（1）∵，∴；（2），∵，∴【变式1】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】，对称轴为，，函数在上单调递减，在上单调递增，，由对称性可得，所以函数的值域是.故选：D.【变式2】（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 .【答案】【分析】根据不等式性质运算求解即可.【详解】因为，则，可得，所以在的值域为.故答案为：.【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；【答案】(1)(2)且【分析】（1）利用函数的单调性可求出最值，可求得值域；（2）将函数式分离常数，结合反比例函数的值域可得解.【详解】（1）解：由，可得其对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由当时，；当时，，所以函数的最大值为，所以函数在区间上的值域为.（2）解：由函数，可得其定义域为，则，即，所以函数的值域为且.题型11函数的值域（根式型函数的值域） 【典例1】（2024高一上·安徽·竞赛）已知函数，则的值域为 .【答案】【分析】换元后，转化为二次函数问题，求出值域.【详解】令，则，，，当时，取的最小值，最小值为，则的值域为.故答案为：【典例2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的最大值为 .【答案】8【分析】换元法求解函数最值.【详解】令，则，则，故当时，取得最大值，最大值为8.故答案为：8【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，则的值域是 ．【答案】【分析】令，则且，再令，，结合二次函数的性质求出的值域，即可得解.【详解】函数的定义域为，令，则且，令，，则，所以，当且仅当时取等号，即，所以.故答案为：【变式2】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的值域是 .【答案】【分析】利用换元法，转化为二次函数求值域.【详解】换元法：令，则，所以，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以，所以函数的值域为，即函数的值域是，故答案为: .题型12函数的值域（分式型函数的值域） 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得.【详解】因为，又因为，所以，所以，所以，所以函数，的值域为．故选：A．【典例2】（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.【详解】结合题意：，当时，；当时，，当且仅当，即，原式取得最小值；另一方面，因为，所以，即;当时，，当且仅当，即，原式取得最大值;另一方面因为，令，则，所以，所以所以，即;综上所述：函数的值域是.故选：A.【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）求函数的值域【答案】【分析】分离常数后，结合函数定义域即可求解.【详解】由题意，函数可化为，可得定义域为，所以，可得，所以值域为．【变式2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域.【答案】【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域.【详解】由变形得，当时，此方程无解；当时，因为，所以，解得，又，所以，所以函数的值域为.【变式3】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域.【答案】【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可.【详解】显然恒成立，即原函数定义域为，由，得，当时，，符合题意；当时，由，得恒有实数根，因此，解得且，所以函数的值域为.题型13重点方法之换元法求值域 【典例1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】令（），通过求出的范围，则配方后即可求得最大值.【详解】由解析式易知的定义域为，令（），所以，则，由，可知，，所以，则，所以（），则，所以的最大值为.故选：C.【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域：(1) 【答案】(1)【分析】（1）由换元法结合二次函数的性质得出值域.【详解】（1）设, 则.， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为.【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域．(1)；【答案】(1)【分析】（1）利用换元法求值域；【详解】（1）令，则，且，所以（）．故函数的值域．题型14重点方法之分离常数法求值域 【典例1】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 .【答案】【分析】分离常数法求函数的值域.【详解】定义域为，因为，所以，即，所以的值域为.故答案为：.【典例2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若，则函数的值域为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分离常数后求其值域即可.【详解】，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.故选：A.【变式1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的值域为 .【答案】,,【分析】将原函数变成，因为，所以，这样就求得了函数的值域；【详解】函数的定义域为,,∵；又，；函数的值域为,,.故答案为：,,.题型15数学思想方法（数形结合的思想方法） 【典例1】（2024高一·全国·专题练习）函数的值域是 .【答案】【分析】由函数解析式判断二次函数的开口方向和对称轴，画出图象，结合定义域得到值域即可.【详解】由题意：函数，开口向上，对称轴， 画出函数如下，函数在区间上的值域为.故答案为：【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：(1)，；(2)，．【答案】(1)图象见解析，(2)图象见解析，【分析】（1）做出函数的图象结合图象可得答案；（2）做出函数的图象结合图象可得答案.【详解】（1）该函数的图象如图所示，由图可知值域为；（2）作出函数，的图象，如图所示，由图象可知值域为.【变式1】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 【答案】【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域.【详解】设，，所以，由图象易知值域为.故答案为：.A夯实基础 B能力提升 C新定义题型A夯实基础 一、单选题1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应.【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误;对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误;对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确;对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,故选:C.2．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由被开方数大于等于零求出定义域.【详解】由已知可得，所以定义域为.故选：B3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）函数，则的定义域是（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数定义域的定义直接求解即可.【详解】由，可得可得，即定义域为，令，则，即的定义域为.故选：C4．（23-24高一上·河南商丘·期中）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】由两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数逐个分析判断.【详解】对于A，显然的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于B，与的对应关系不同，不是同一个函数；对于C，，故与的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于D，显然，即的定义域为，而或，即的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数.故选：C.5．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果.【详解】因为函数的对称轴为，则当时，，当时，，即.故选：B6．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（    ）A．4 B．8 C．64 D．256【答案】D【分析】由题意有，得，求值即可.【详解】由，当时，有，由，则有.故选：D7．（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围.【详解】因为函数的值域为，所以能取遍所有大于或等于零的实数，即方程在实数范围内有解．所以，解得．故选：B．8．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围.【详解】由题意得对任意恒成立，当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意；当时，由该不等式恒成立可得，解之得，综上，实数的取值范围是故选：A二、多选题9．（23-24高一上·山东临沂·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）A．与B．与C．与D．与【答案】AC【分析】求出各选项中函数、的定义域，结合函数相等的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，与，两个函数的定义域为，对应法则也一样，则A满足要求；对于B选项，定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数，B不满足要求；对于C选项，与，两个函数的定义域为，对应法则也一样，C满足要求；对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，不是同一个函数，D不满足要求.(2)4(3)答案见解析【分析】（1）代入直接运算求解即可；（2）由题意可知，且是方程的解，利用韦达定理运算求解；（3）由题意可得：，分类讨论两根大小分析求解.【详解】（1）当时，由，即，解得，所以的解集为.（2）由的解集为，可知，且是方程的解，则，解得，所以实数的值为4.（3）由题意可得：，因为，令，解得或1，则有：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为B能力提升 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期中）定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（    ）A． B． C．4或 D．与的取值有关【答案】A【分析】由值域结合题设条件确定定义域，从而得出的值.【详解】函数的值域为，所以区间的长度为.设的解集为，所以.因为，且，，.故选：A.4．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简函数，用基本不等式求解最值.【详解】显然，.当时，，令，当x>0时，，，当且仅当，x=1时，等号成立；当x<0时，，，且.当且仅当，x=-1时，等号成立.综上所述，的值域为所以，根据高斯函数的定义，函数的值域是故选：C.C新定义题型1．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设函数在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的稳定点．(1)求函数的稳定点；(2)若函数有两个关于原点对称的稳定点A，B，求a的值及函数的稳定点；(3)已知函数，．若，函数恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)；，，(3)【分析】（1）根据定义直接列出方程求解；（2）根据题意知方程有两个互为相反数的根，由根与系数关系求解即可；（3）根据题意，方程恒有两个不相等实数根，利用判别式恒成立求解即可.【详解】（1）由题意可知，得，故函数的稳定点为（2）设点是稳定点，则有即，由题意知方程有两个根，且这两个根互为相反数．故，且，解得．得，则稳定点为，（3）对任意实数b，函数恒有两个相异的稳定点，即恒有两个不相等实数根，即有两不等实数根，恒成立，令，视作关于b的不等式恒成立，所以，解得．课程标准学习目标①函数的概念；②了解函数的三要素；③掌握简单函数的定义域；④掌握求函数的值；⑤掌握区间的写法.通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域.集合区间集合区间