沪科版八年级数学上册举一反三系列专题12.6一次函数的综合大题专项训练(50道)练习(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学上册举一反三系列专题12.6一次函数的综合大题专项训练(50道)练习(原卷版+解析)，共67页。
专题12.6 一次函数的综合大题专项训练（50道）【沪科版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了涵盖了一次函数的综合大题所有类型！一．解答题（共50小题）1．（2022•江阴市校级模拟）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是强点．（1）点M（1，2），N（4，4），Q（6，﹣3）中，是强点的有 　 　；（2）若强点P（a，3）在直线y＝﹣x+b（b为常数）上，求a和b的值．2．（2022秋•东营区校级期末）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设三角形OPA的面积为S．（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围．（2）当点P的横坐标为5的时候，三角形OPA的面积是多少？3．（2022秋•青羊区校级期末）如图，一次函数y=−12x+5的图象l1分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，154）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）求得S△AOC﹣S△BOC的值为 　 　；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3且l1，l2，l3可以围成三角形，直接写出k的取值范围．4．（2022•来安县一模）如图，直线l对应的函数表达式为y＝x+1，在直线l上，顺次取点A1（1，2），A2（2，3），A3（3，4），A4（4，5），…，An（n，n+1），构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为S1＝3×2﹣2×1；S2＝4×3﹣3×2；S3＝5×4﹣4×3；…猜想并填空：（1）S5＝　 　；（2）Sn＝　 　（用含n的式子表示）；（3）S1+S2+S3+…+Sn＝　 　（用含n的式子表示，要化简）．5．（2022春•南昌期末）如图为一次函数l：y＝kx+b的图象．（1）用“＞”、“＝”，“＜”填空：k　 　0，b　 　0；（2）将直线l向下平移2个单位，再向左平移1个单位，发现图象回到l的位置，求k的值；（3）当k＝3时，将直线l向上平移1个单位得到直线l1，已知：直线l，直线l1，x轴，y轴围成的四边形面积等于1，求b的值．6．（2022春•保亭县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与y轴、x轴分别交于A（﹣1，0），B（0，﹣3）．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）直接写出直线AB向下平移2个单位后得到的直线解析式；（3）求在（2）的平移中直线AB在第三象限内扫过的图形面积．7．（2022•邢台三模）如图，直线y＝kx+3（k＜0）与x轴和y轴分别交于点B和点A，C点坐标为（4，2），将直线y＝kx+3在x轴下方的部分记作G，作G关于x轴的对称图形G1．（1）求A的坐标；（2）若S△ABC＝5，求k的值；（3）若G1经过点C，求k的值．8．（2022秋•南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）求四边形ABCD的面积．9．（2022春•开封期末）如图，点A、B在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）．（1）请在图中建立平面直角坐标系．（2）若C、D两点的坐标分别为（1，2）、（﹣2，2），请描出C、D两点．C、D两点的坐标有什么异同？直线CD与x轴有什么关系？（3）若点E（2m+4，m﹣1）为直线CD上的一点，则m＝　 　，点E的坐标为 　 　．10．（2022春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线y=−12x﹣2沿y轴向上平移6个单位长度得到直线l，直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点．（1）求点C的坐标，并在同一平面直角坐标系中直接画出直线l的图象；（2）连接BC，DA，求四边形ABCD的面积．11．（2022春•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）点A关于y轴的对称点为C，将直线y＝2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，点（﹣1，m）在直线y＝2x+1平移后的图形上，点（2，n）在直线BC平移后的图形上，试比较m，n的大小，并说明理由．12．（2022春•新蔡县期末）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线AB向下平移后经过点P（3，0）．（1）求平移后的直线所对应的函数表达式；（2）求△PAB的面积．13．（2022秋•泰兴市期末）点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点．（1）若k＝﹣2．①当y＜0时，x的范围为 　 　．②若将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为 　 　．（2）比较p、q的大小，并说明理由．14．（2022•兴隆县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由y=12x的图象向下平移1个单位得到．（1）直接写出这个一次函数的解析式；（2）直线y＝kx+b（k≠0）上一点A（﹣2，a），B（b，0），求△AOB的面积；（3）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，y＝mx（m≠0）的值都大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．15．（2022春•斗门区期末）已知直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的解析式．16．（2022•徐州模拟）我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB＝|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）＝　 　；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）试求点M（2，3）到直线y＝x+2的最小直角距离．17．（2022秋•永嘉县校级期末）已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）将所得函数图象平移，使它过点（0，3），求平移后直线的解析式．18．（2022春•宜州区期末）如图，平面直角坐标系中，函数y＝kx+2的图象过点A（3，0），将其图象向上平移2个单位后与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）图象经过点B和C的函数解析式为 　 　；（3）△OBC的面积为 　 　．19．（2022春•南昌期末）学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小南结合学习一次函数的经验，对函数y＝3﹣|x﹣1|的图象和性质进行了研究，下面是小南的探讨过程，请补充完整：（1）列表：表格中m＝　 　，n＝　 　；（2）①根据列表在给出的平面直角坐标系中描点、画出函数图象；②根据所画的函数图象，该函数有 　 　（填“最大值”或“最小值”）；这个值为 　 　；（3）直接写出函数图象与x轴所围成的图形的面积：　 　；（4）过点（0，a）作直线l∥x轴，结合所画的函数图象，若直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点，请直接写出a的取值范围．20．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”．若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与直线y＝3及y轴围成三角形．（1）当正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，1）；①k的值为 　 　；②此时围成的三角形内的“整点坐标”有 　 　个；写出“整点坐标”　 　．（2）若在y轴右侧，由已知围成的三角形内有3个“整点坐标”，求k的取值范围．21．（2022春•延庆区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y'），给出如下定义：若y'=y(x≥0)−y(x＜0)，则称点Q为点P的“调控变点”．例如：点（2，1）的“调控变点”为（2，1）．（1）点（﹣2，4）的“调控变点”为 　 　；（2）若点N（m，3）是函数y＝x+2上点M的“调控变点”，求点M的坐标；（3）点P为直线y＝2x﹣2上的动点，当x≥0时，它的“调控变点”Q所形成的图象如图所示（端点部分为实心点）．请补全当x＜0时，点P的“调控变点”Q所形成的图象．22．（2022春•永年区月考）一次函数y＝（2m+4）x+（3﹣n），求：（1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？（2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？（3）若m＝﹣1，n＝2时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．23．（2022秋•三元区期中）已知一次函数y＝﹣3x+b的图形过点M．（1）求实数b的值；（2）设一次函数y＝﹣3x+b的图形与y轴交于点N，连接OM．求△MON的面积．24．（2022春•东湖区期末）已知函数y1＝（m+1）x﹣m2+1（m是常数）．（1）m为何值时，y1随x的增大而减小；（2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？（3）若该函数的图象与另一个函数y2＝x+n（n是常数）的图象相交于点（m，3），求这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积．25．（2022秋•绿园区校级期中）我们把形如y=x−a(x≥a)−x+a(x＜a)的函数称为对称一次函数，其中y＝x﹣a（x≥a）的图象叫做函数的右支，y＝﹣x+a（x＜a）的图象叫做函数的左支．（1）当a＝0时：①在下面平面直角坐标系中画出该函数图象；②点P（1，m）和点Q（n，2）在函数图象上，则m＝　 　，n＝　 　；（2）点A（4，3）在对称一次函数图象上，求a的值；（3）点C坐标为（﹣1，2），点D坐标为（4，2），当一次对称函数图象与线段CD有交点时，直接写出a的取值范围．26．（2022秋•杏花岭区校级期中）已知一次函数y＝2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）在给定的直角坐标系中，画出一次函数y＝2x+2的图象；（3）判断（−12，﹣1）是否在这个函数的图象上？　 　（填“是”或“否”）；（4）该函图象与坐标轴围成的三角形面积是　 　．27．（2022秋•上城区期末）已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．28．（2022春•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y=−43x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．（1）直接写出点A与点B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）求b的值；（3）如果一次函数y=−43x+b的图象经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中m＞0，试用含m的代数式表示△ABC的面积．29．（2022秋•句容市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1）（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为　 　，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为　 　．30．（2022秋•平果市期中）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，且过点A（1，2）．（1）求k，b的值；（2）求直线y＝kx+b与x轴的交点B的坐标；（3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是12，这条直线与y轴交于点C，且点C位于x轴上方，求直线AC对应的一次函数的表达式．31．（2022秋•垣曲县期中）作出函数y＝﹣x+2的图象，并利用图象回答问题：（1）写出图象与x轴的交点A的坐标　 　，与y轴的交点B的坐标　 　．（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是　 　．（3）有一点C的坐标是（3，4），顺次连接点A、B、C得到△ABC，三角形ABC的面积为　 　．（4）点C关于x轴对称的点D的坐标；（5）连接B，D两点，求直线BD的函数关系式．32．（2022秋•建平县期末）已知一次函数y=34x+6．（1）求直线y=34x+6与x轴、y轴交点坐标；（2）求出一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积；（3）求坐标原点O到直线y=34x+6的距离．33．（2022秋•修武县期中）如图所示，直线y＝3x+5与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．34．（2022秋•上虞区期末）设y是关于x的一次函数，其图象与y轴交点的纵坐标为﹣10，且当x＝1时，y＝﹣5．（1）求该一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积；（2）当函数值为103时，自变量的取值是多少？35．（2022秋•高台县校级期中）作出函数y=43x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的增大而　 　；（2）图象与x轴的交点坐标是　 　；与y轴的交点坐标是　 　；（3）求该图象与坐标轴所围成的三角形的面积．36．（2022春•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．37．（2022春•章贡区期末）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y＝kx+b和y＝bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为“互助”函数，例如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2就是“互助”函数．根据规定解答下列问题：（1）请直接写出一次函数y=−14x+4的“互助”函数：　 　；（2）若两个一次函数y＝（k﹣b）x﹣k﹣2b与y＝（k﹣3）x+3k−52是“互助”函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．38．（2022春•忠县期末）请帮助小明探究函数y=|x−2|2的图象及性质，并按要求完成．（1）直接写出m，n的值，并在图中作出该函数图象；（2）判断下面说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请写出正确结论．①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x＝1；②该函数有最大值和最小值．当x＝﹣2或6时，函数取得最大值2；当x＝1时，函数取得最小值0．39．（2022春•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P′的坐标．定义如下：当a≥b时，P′点坐标为（b，a）；当a＜b时，P′点坐标为（﹣a，﹣b）．（1）写出A（5，3）的变换点坐标　 　，B（1，6）的变换点坐标　 　，C（﹣2，4）的变换点坐标　 　；（2）如果直线l：y=−12x+3上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W；（3）在（2）的条件下，若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围．40．（2022秋•南岸区校级期末）初三某班同学小戴想根据学习函数的经验，通过研究一个未学过的函数的图象，从而探究其各方面性质．下表是函数y与自变量x的几组对应值：（1）在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长为一个单位长度，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象．（2）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的关系式y＝　 　（请写出自变量的取值范围），并写出该函数的一条性质：　 　．（3）当直线y=−12x+b与该函数图象有3个交点时，求b的取值范围．41．（2022春•房山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）点B的坐标为　 　；（2）若点A坐标为（4，0），△ABO内的“整点”有　 　个（不包括三角形边上的“整点”）；（3）若△ABO内有3个“整点”（不包括三角形边上的“整点”），结合图象写出k的取值范围．42．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y=13x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．43．（2022秋•邗江区期末）在直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题：（1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是　 　；（2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是　 　；（3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式．44．（2022春•高邑县期中）如图，直线l是一次函数y＝﹣x+8的图象，点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，正比例函数y＝kx的图象经过点A，一次函数y＝2x+b的图象经过点B，且与x轴相交于点C．（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）求四边形OABC的面积．45．（2022春•洛宁县期中）在平面直角坐标系中画出直线y=13x+1的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线与x轴、y轴的交点的坐标；（2）求出直线与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若直线y＝kx+b与直线y=12x+1关于y轴对称，求k、b的值．46．（2022秋•下城区期末）如图，一次函数y＝x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若点P（﹣1，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是4，求m的值．47．（2022春•陆川县期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴交于点A．（1）若点A关于x轴的对称点B在一次函数y=12x+b的图象上，求b的值，并在同一坐标系中画出该一次函数的图象；（2）求这两个一次函数的图象与y轴围成的三角形的面积．48．（2022秋•浔阳区期中）如图，直线AB的函数关系式为y=−43x+4，点P为坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形，回答问题：（1）求线段AB的长度；（2）当点P为y轴正半轴上一点时，求点P的坐标；（3）当点P为x轴负半轴上一点时，求点P的坐标．49．（2022秋•瑶海区期中）定义[P，q]为一次函数y＝Px+q的特征数．（1）若特征数是[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）在平面直角坐标系中，有两点A（﹣m，0），B（0，﹣2m），且三角形OAB的面积为4（O为原点），求过A，B两点的一次函数的特征数．50．（2022秋•亭湖区校级期末）在直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）点M（3，2）　 　和谐点（填“是”或“不是”）；（2）若点P（a，6）是和谐点，a的值为　 　；（3）若（2）中和谐点P（a，6）在y＝﹣4x+m上，求m的值．x……﹣2﹣10123……y……m1232n……x…﹣2﹣10123456…y…21.510.5m0.5n1.52…x…﹣10123456912…y…﹣40481297.2643…专题12.6 一次函数的综合大题专项训练（50道）【沪科版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一次函数的综合大题的所有类型！一．解答题（共50小题）1．（2022•江阴市校级模拟）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是强点．（1）点M（1，2），N（4，4），Q（6，﹣3）中，是强点的有 　N，Q　；（2）若强点P（a，3）在直线y＝﹣x+b（b为常数）上，求a和b的值．【分析】（1）利用矩形的周长公式、面积公式结合强点的定义，即可找出点N，Q是强点；（2）分a＞0及a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，利用强点的定义可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b值；②当a＜0时，利用强点的定义可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b值．综上，即可得出结论．【解答】解：（1）∵（4+4）×2＝4×4，（6+3）×2＝6×3，∴点N，Q是强点．故答案为：N，Q．（2）分两种情况考虑：①当a＞0时，（a+3）×2＝3a，∴a＝6．∵点P（6，3）在直线y＝﹣x+b上，∴3＝﹣6+b，∴b＝9；②当a＜0时，（﹣a+3）×2＝﹣3a，∴a＝﹣6．∵点P（﹣6，3）在直线y＝﹣x+b上，∴3＝6+b，∴b＝﹣3．综上所述：a＝6，b＝9或a＝﹣6，b＝﹣3．2．（2022秋•东营区校级期末）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设三角形OPA的面积为S．（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围．（2）当点P的横坐标为5的时候，三角形OPA的面积是多少？【分析】（1）根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出S关于x的函数关系式，由函数关系式及点P在第一象限即可得出自变量x的取值范围；（2）把x＝5代入（1）中函数关系即可得出S的值；【解答】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），∴S=12×6×y＝3y．∵x+y＝8，∴y＝8﹣x．∴S＝3（8﹣x）＝24﹣3x．∴用含x的式子表示S为：S＝﹣3x+24．∵S＝﹣3x+24＞0，∴x＜8；又∵点P在第一象限，∴x＞0，综上可得，x的范围为0＜x＜8；（2）当x＝5时，S＝﹣3×5+24＝﹣15+24＝9；3．（2022秋•青羊区校级期末）如图，一次函数y=−12x+5的图象l1分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，154）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）求得S△AOC﹣S△BOC的值为 　252　；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3且l1，l2，l3可以围成三角形，直接写出k的取值范围．【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=154，CE=52，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；（3）先讨论l1，l2，l3不能围成三角形时分三种情况：①l3经过点C（52，154）时，k=1110；②l2，l3平行时，k=32；③11，l3平行时，k=−12．进而得出l1，l2，l3可以围成三角形时k的取值范围．【解答】解：（1）把C（m，154）代入一次函数y=−12x+5，可得，154=−12m+5，解得m=52，∴C（52，154）．设l2的解析式为y＝ax，将点C（52，154） 代入，得154=52a，解得a=32，∴l2的解析式为y=32x；（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=154，CE=52，y=−12x+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO＝10，BO＝5，∴S△AOC﹣S△BOC=12×10×154−12×5×52=252．故答案为252；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，如果l1，l2，l3不能围成三角形，那么可分三种情况：①l3经过点C（52，154）时，52k+1=154，解得k=1110；②l2，l3平行时，k=32；③l1，l3平行时，k=−12；又y＝kx+1是一次函数，所以k≠0．故l1，l2，l3可以围成三角形时，k的取值范围是k≠1110且 k≠32且 k≠−12且k≠0．4．（2022•来安县一模）如图，直线l对应的函数表达式为y＝x+1，在直线l上，顺次取点A1（1，2），A2（2，3），A3（3，4），A4（4，5），…，An（n，n+1），构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为S1＝3×2﹣2×1；S2＝4×3﹣3×2；S3＝5×4﹣4×3；…猜想并填空：（1）S5＝　7×6﹣6×5　；（2）Sn＝　（n+2）（n+1）﹣（n+1）n；　（用含n的式子表示）；（3）S1+S2+S3+…+Sn＝　n2+3n　（用含n的式子表示，要化简）．【分析】（1）根据例子的求解过程求解即可；（2）根据题意求解即可；（3）根据题意，化简即可．【解答】解：（1）根据题意，得S5＝7×6﹣6×5；故答案为：7×6﹣6×5；（2）根据题意，得Sn＝（n+2）（n+1）﹣（n+1）n，故答案为：（n+2）（n+1）﹣（n+1）n；（3）S1+S2+S3+…+Sn＝3×2﹣2×1+4×3﹣3×2+...+（n+2）（n+1）﹣（n+1）n＝（n+2）（n+1）﹣2×1＝n2+3n，故答案为：n2+3n．5．（2022春•南昌期末）如图为一次函数l：y＝kx+b的图象．（1）用“＞”、“＝”，“＜”填空：k　＞　0，b　＞　0；（2）将直线l向下平移2个单位，再向左平移1个单位，发现图象回到l的位置，求k的值；（3）当k＝3时，将直线l向上平移1个单位得到直线l1，已知：直线l，直线l1，x轴，y轴围成的四边形面积等于1，求b的值．【分析】（1）根据图象和坐标轴的交点位置即可判断k和b的符号；（2）根据平移规律列出关于k的方程，求出k即可；（3）用含b的式子表示出面积，列出关于b的方程，求出b即可．【解答】解：（1）∵y随着x的增大而增大，∴k＞0，∵图象与y轴的交点在x轴的上方，∴b＞0，故答案为＞，＞；（2）将直线l向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到的直线解析式为：y＝k（x+1）+b﹣2＝kx+k+b﹣2，∴k+b﹣2＝b，解得k＝2；（3）将直线l向上平移1个单位得到直线l1：y＝kx+b+1，设直线y＝3x+b与坐标轴交于A、B两点，可得A（0，b），B（−b3，0），设直线y＝3x+b+1与坐标轴交于C、D两点，可得D（0，b+1），C（−b+13，0），∴S四边形ABCD＝S△OCD﹣S△OAB＝112⋅b+13⋅(b+1)−12⋅b3⋅b=1，解得：b=52．6．（2022春•保亭县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与y轴、x轴分别交于A（﹣1，0），B（0，﹣3）．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）直接写出直线AB向下平移2个单位后得到的直线解析式；（3）求在（2）的平移中直线AB在第三象限内扫过的图形面积．【分析】（1）用待定系数法即可求出解析式；（2）根据“上加下减“可得平移后解析式；（3）画出图形，数形结合解决问题．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，﹣3）代入y＝kx+b得：−k+b=0b=−3，解得k=−3b=−3，∴直线y＝kx+b的解析式是y＝﹣3x﹣3；（2）将直线y＝﹣3x﹣3向下平移2个单位得到的直线解析式是y＝﹣3x﹣3﹣2＝﹣3x﹣5，（3）设平移后的直线与x轴交于C，与y轴交于D，如图：在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x=−53，∴C（−53，0），D（0，﹣5），∴OC=53，OD＝5，∴S△COD=12OD•OC=256，∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），∴S△AOB=12OA•OB=32，∴平移中直线AB在第三象限内扫过的图形面积是256−32=83．7．（2022•邢台三模）如图，直线y＝kx+3（k＜0）与x轴和y轴分别交于点B和点A，C点坐标为（4，2），将直线y＝kx+3在x轴下方的部分记作G，作G关于x轴的对称图形G1．（1）求A的坐标；（2）若S△ABC＝5，求k的值；（3）若G1经过点C，求k的值．【分析】（1）当x＝0时，求出y的值；（2）当点C在△AOB外部时，如图1，过点C作CD⊥x轴于D，根据面积关系可得m＝2，则0＝2k+3，可得出答案；当点C在△AOB内部时，如图2，根据面积关系求出k；（3）C关于x轴的对称点为C'（4，﹣2），可得出﹣2＝4k+3，解之得出答案．【解答】解：（1）直线y＝kx+3（k＜0）与y轴相交于A，则有y＝0×k+3＝3，所以A（0，3）；（2）当点C在△AOB外部时，如图1，过点C作CD⊥x轴于D，∵A（0，3），C（4，2），∴OA＝3，CD＝2，OD＝4．设B（m，0）∴S△ABC=S四边形OACD−S△AOB−S△CBD=12(3+2)×4−12×3×m−12(4−m)×2=5．∴m＝2，∴0＝2k+3，∴k=−32，当点C在△AOB内部时，如图2，∵S△AOB﹣S△AOC﹣S△BOC＝5，∴12×3×(−3k)−12×3×4−12×2×(−3k)=5，解得：k=−322．综合可得k=−32或−322．（3）C关于x轴的对称点为C'（4，﹣2），当C'（4，﹣2）在直线y＝kx+3上时，G1经过点C，此时有﹣2＝4k+3，解之得，k=−54．8．（2022秋•南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据直线l1的解析式求出A（﹣6，0），B（0，3）．根据上加下减的平移规律求出直线l3的解析式为y=12x﹣1，求出C（2，0），D（0，﹣1）．根据直线l2过点B、C，利用待定系数法求出直线l2的解析式；（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，∴y＝0时，12x+3＝0，解得x＝﹣6，x＝0时，y＝3，∴A（﹣6，0），B（0，3）．∵将直线l1：y=12x+3向下平移4个单位长度得到直线l3，∴直线l3的解析式为：y=12x+3﹣4，即y=12x﹣1，∵y＝0时，12x﹣1＝0，解得x＝2，x＝0时，y＝﹣1，∴C（2，0），D（0，﹣1）．设直线l2的解析式为y＝kx+b，∵直线l2过点B（0，3）、点C（2，0），∴b=32k+b=0，解得k=−32b=3，∴直线l2的解析式为y=−32x+3；（2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣1），∴AC＝2﹣（﹣6）＝8，OB＝3，OD＝1，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12AC•OB+12AC•OD=12×8×3+12×8×1＝12+4＝16．9．（2022春•开封期末）如图，点A、B在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）．（1）请在图中建立平面直角坐标系．（2）若C、D两点的坐标分别为（1，2）、（﹣2，2），请描出C、D两点．C、D两点的坐标有什么异同？直线CD与x轴有什么关系？（3）若点E（2m+4，m﹣1）为直线CD上的一点，则m＝　3　，点E的坐标为 　（10，2）　．【分析】（1）利用A、B点的坐标建立直角坐标系；（2）利用（1）所画的直角坐标系判断点C，D所在的位置，即可得到结论；（3）根据题意得到m﹣1＝2，即可求得m＝3，进一步求得点E的坐标为（10，2）．【解答】解：（1）如图，；（2）C、D两点的横坐标不同，纵坐标相同，直线CD与x轴平行；（3）∵点E（2m+4，m﹣1）为直线CD上的一点，∴m﹣1＝2，解得m＝3，∴2m+4＝10，∴点E的坐标为（10，2），故答案为：3，（10，2）．10．（2022春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线y=−12x﹣2沿y轴向上平移6个单位长度得到直线l，直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点．（1）求点C的坐标，并在同一平面直角坐标系中直接画出直线l的图象；（2）连接BC，DA，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据平移的规律求得直线l的解析式，进一步根据x轴上点的坐标特征即可求得点C的坐标；（2）求得A、B的坐标，即可求得AC的长度，由于BD＝6，即可根据12AC•BD求得结果．【解答】解：（1）将直线y=−12x﹣2沿y轴向上平移6个单位长度得到直线l为y=−12x﹣2+6=−12x+4，∵直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点，∴令y＝0，则−12x+4＝0，解得x＝8，∴C（8，0）．在同一平面直角坐标系中直接画出直线l的图象如图，（2）∵直线y=−12x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴A（﹣4，0），B（0，﹣2），∵直线y=−12x+4与x轴、y轴分别交于C，D两点，∴C（8，0），D（0，4），∴AC＝8﹣（﹣4）＝12，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB=12AC⋅BD=12×12×6=36．11．（2022春•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）点A关于y轴的对称点为C，将直线y＝2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，点（﹣1，m）在直线y＝2x+1平移后的图形上，点（2，n）在直线BC平移后的图形上，试比较m，n的大小，并说明理由．【分析】（1）令x＝0和y＝0时，代入解析式得出坐标即可；（2）求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+1，根据平移的规律得到y＝2x+1+t、y＝﹣2x+1+t，由图象上点的坐标特征得到m＝﹣2+1+t＝﹣1+t，n＝﹣4+1+t＝﹣3+t，由m﹣n＝2＞0，即可得出m＞n．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．将x＝0代入y＝2x+1，得到：y＝1，∴B（0，1），将y＝0代入y＝2x+1，得到2x+1＝0，解得：x=−12，∴A（−12，0）；（2）∵点A关于y轴的对称点为C，∴C（12，0），∴直线BC为y＝﹣2x+1，将直线y＝2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，得到y＝2x+1+t、y＝﹣2x+1+t，∵点（﹣1，m）在直线y＝2x+1+t上，∴m＝﹣2+1+t＝﹣1+t，∵点（2，n）在直线y＝﹣2x+1+t上，∴n＝﹣4+1+t＝﹣3+t，∵m﹣n＝﹣1+t﹣（﹣3+t）＝2＞0，∴m＞n．12．（2022春•新蔡县期末）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线AB向下平移后经过点P（3，0）．（1）求平移后的直线所对应的函数表达式；（2）求△PAB的面积．【分析】（1）设平移后的直线所对应的函数表达式为y＝2x+b，将点P（3，0）代入求得b即可；（2）求得A、B的坐标，即可求得AP，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）设平移后的直线所对应的函数表达式为y＝2x+b，将点P（3，0）代入，得0＝2×3+b，解得b＝﹣6，∴平移后的直线所对应的函数表达式为：y＝2x﹣6；（2）对于y＝2x+3，当x＝0时，y＝3：当y＝0时，x=−32，∴点A（−32，0）、点B（0，3），∴AP＝|3﹣（−32）|=92，∴S△PAB=12AP•OB=12×92×3=274．13．（2022秋•泰兴市期末）点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点．（1）若k＝﹣2．①当y＜0时，x的范围为 　x＞2　．②若将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为 　y＝﹣2x+7　．（2）比较p、q的大小，并说明理由．【分析】（1）①根据题意得到﹣2x+4＜0，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得；（2）根据一次函数的性质即可判断．【解答】解：（1）∵k＝﹣2，∴一次函数为y＝﹣2x+4，①∵y＜0，∴﹣2x+4＜0，∴x＞2；②将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为y＝﹣2x+4+3＝﹣2x+7；故答案为：x＞2；y＝﹣2x+7；（2）∵一次函数y＝kx+4中，k＜0，∴y随x的增大而减小，∵点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点，且m＜m+3，∴p＞q．14．（2022•兴隆县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由y=12x的图象向下平移1个单位得到．（1）直接写出这个一次函数的解析式；（2）直线y＝kx+b（k≠0）上一点A（﹣2，a），B（b，0），求△AOB的面积；（3）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，y＝mx（m≠0）的值都大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据平移的规律即可求得．（2）由根据平移后的解析式求得点A，由b＝﹣1，求得点B，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．【解答】解：（1）y=12x的图象向下平移1个单位得到y=12x﹣1，∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由y=12x的图象向下平移1个单位得到，∴这个一次函数的表达式为y=12x﹣1．（2）∵A（﹣2，a）是直线y＝kx+b（k≠0）上的一点，B（b，0），∴A（﹣2，﹣2），B（﹣1，0），∴S△AOB=12×1×2=1；（3）把x＝﹣2代入y=12x﹣1，求得y＝﹣2，∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数y=12x﹣1的交点为（﹣2，﹣2），把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y=12x﹣1的值，∴12≤m≤1．15．（2022春•斗门区期末）已知直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的解析式．【分析】（1）分别令x＝0、y＝0求得相应的y、x的值即可．（2）根据题意求得点P的坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式．【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，∴B（0，6）、A（﹣3，0）；（2）∵A（﹣3，0），∴OA＝3．∵OP＝2OA＝6，∴点P的坐标是（﹣6，0）或（6，0）．设平移后的直线为：y＝2x+b．将（﹣6，0）代入，得b＝12．∴y＝2x+12；将（6，0）代入，得b＝﹣12．∴y＝2x﹣12；综上所述，平移后直线的解析式为y＝2x+12或y＝2x﹣12．16．（2022•徐州模拟）我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB＝|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）＝　 　；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）试求点M（2，3）到直线y＝x+2的最小直角距离．【分析】（1）由P0与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；（3）根据新的运算规则知d（M，Q）＝|x﹣2|+|y﹣3|＝|x﹣2|+|x+2﹣3|＝|x﹣2|+|x﹣1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为1．【解答】解：（1）d（O，P）＝|0﹣1|+|0﹣3|＝4；故答案为：4；（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P），∴|0﹣x|+|0﹣y|＝|x|+|y|＝2，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；（3）∵d＝|x﹣2|+|y﹣3|＝|x﹣2|+|x+2﹣3|＝|x﹣2|+|x﹣1|∴x可取一切实数，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．∴点M（2，3）到直线y＝x+2的直角距离为1．17．（2022秋•永嘉县校级期末）已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）将所得函数图象平移，使它过点（0，3），求平移后直线的解析式．【分析】（1）由y+3与x成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式；（2）利用平移规律设出平移后的解析式，把（0，3）代入即可求出解析式．【解答】解：（1）设y+3＝kx，把x＝2，y＝7代入得：7+3＝2k，即k＝5，则y与x函数关系式为y+3＝5x，即y＝5x﹣3；（2）设平移后的解析式为y＝5x﹣3+m，把x＝0，y＝3代入得：3＝﹣3+m，即m＝6，则平移后直线解析式为y＝5x+3．18．（2022春•宜州区期末）如图，平面直角坐标系中，函数y＝kx+2的图象过点A（3，0），将其图象向上平移2个单位后与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）图象经过点B和C的函数解析式为 　y=−23x+4　；（3）△OBC的面积为 　12　．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据“上加下减、左加右减”的原则即可求得；（3）求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）将A（3，0）代入y＝kx+2得：3k+2＝0，∴k=−23；（2）将函数y=−23x+2的图象向上平移2个单位后得到y=−23x+2+2，即y=−23x+4，故答案为y=−23x+4；（3）在直线y=−23x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝6，∴B（6，0）、C（0，4），∴OB＝6，OC＝4，∴S△OBC=12×6×4=12，故答案为12．19．（2022春•南昌期末）学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小南结合学习一次函数的经验，对函数y＝3﹣|x﹣1|的图象和性质进行了研究，下面是小南的探讨过程，请补充完整：（1）列表：表格中m＝　0　，n＝　1　；（2）①根据列表在给出的平面直角坐标系中描点、画出函数图象；②根据所画的函数图象，该函数有 　最大值　（填“最大值”或“最小值”）；这个值为 　3　；（3）直接写出函数图象与x轴所围成的图形的面积：　9　；（4）过点（0，a）作直线l∥x轴，结合所画的函数图象，若直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点，请直接写出a的取值范围．【分析】（1）将x的值代入对应的解析式即可求得m，n的值；（2）①依据表格中对应的x，y的值作为横纵坐标，在坐标系中描出各点然后画出函数图象即可；②结合图象，函数y＝3﹣|x﹣1|有最大值，最大值为3；（3）求得函数值为0时的x的值，然后根据三角形面积公式求得即可；（4）依据题意画出图形，结合所画的函数图象，观察得到当直线l在点（1，3）的下方时满足条件，由此可得a的取值范围．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝3﹣|﹣2﹣1|＝3﹣3＝0，当x＝3时，n＝3﹣|3﹣1|＝3﹣2＝1．故答案为：0，1；（2）①以（1）中表格中x，y的对应值作为点的横纵坐标在坐标系中分别描出各点，画出如图所示的折线即为所画的函数y＝3﹣|x﹣1|的图象；②根据所画的函数图象，该函数有最大值；这个值为3；故答案为：最大值；3；（3）∵y＝0时，则x＝﹣2或x＝4，∴函数图象与x轴所围成的图形的面积为12×(4+2)×3=9；故答案为：9；（4）直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点，∴画出直线l的大致图象如下图：由图象可以看出直线l在（1，3）下方时，直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点．∴a的取值范围为a＜3．20．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”．若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与直线y＝3及y轴围成三角形．（1）当正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，1）；①k的值为 　1　；②此时围成的三角形内的“整点坐标”有 　1　个；写出“整点坐标”　（1，2）　．（2）若在y轴右侧，由已知围成的三角形内有3个“整点坐标”，求k的取值范围．【分析】（1）①把（1，1）代入y＝kx，可求出k的值，②画出函数的图象，可知三角形内有1个“整点坐标”；（2）当直线y＝x绕着点O顺时针旋转时，就有3个“整点坐标”，即k＜1，当直线y＝kx过点（3，2时，k取最小值，可得取值范围．【解答】解：（1）①∵正比例函数y＝kx（k≠0）图象过点（1，1），∴代入得：1＝k，即k＝1，故答案为：1；②如图，直线y＝x、直线x＝3和y轴围成的三角形是AOB，则三角形AOB内的“整点坐标”有1个，（1，2），故答案为：1，（1，2）；（2）当直线y＝kx过点（3，2）时，其关系式为y=23x，当直线y＝kx过点A（3，3）时，其关系式为y＝x，∴当三角形内有3个“整点坐标”，k的取值范围为23≤k＜1．21．（2022春•延庆区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y'），给出如下定义：若y'=y(x≥0)−y(x＜0)，则称点Q为点P的“调控变点”．例如：点（2，1）的“调控变点”为（2，1）．（1）点（﹣2，4）的“调控变点”为 　（﹣2，﹣4）　；（2）若点N（m，3）是函数y＝x+2上点M的“调控变点”，求点M的坐标；（3）点P为直线y＝2x﹣2上的动点，当x≥0时，它的“调控变点”Q所形成的图象如图所示（端点部分为实心点）．请补全当x＜0时，点P的“调控变点”Q所形成的图象．【分析】（1）根据“调控变点”的定义即可求出（﹣2，4）的调控变点．（2）分类讨论，利用“调控变点”的定义分别求出m＞0和m＜0两种情况下对应的m值．（3）根据定义可知：当x＜0是，P（x，2x﹣2），Q点坐标为（x，﹣2x+2），∴Q点所在函数为y＝﹣2x+2，进而画出图象即可．【解答】（1）根据定义可知点（﹣2，4）的“调控变点”纵坐标为﹣4，故（﹣2，4）的调控变点”为（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣4）．（2）设M的坐标为（m，m+2），∵N（m，3）是M的（m，m+2）“调控变点”，∴①当m＞0时，m+2＝3，m＝1．此时M的坐标为（1，3）．②当m＜0时，m+2＝﹣3，m＝﹣5，此时M的坐标为（﹣5，﹣3）．∴M的坐标为（1，3），（﹣5，﹣3）．（3）当x＜0是，P（x，2x﹣2），根据定义知：Q（x，﹣2x+2），∴Q点所在函数为y＝﹣2x+2，补全图如下图所示：22．（2022春•永年区月考）一次函数y＝（2m+4）x+（3﹣n），求：（1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？（2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？（3）若m＝﹣1，n＝2时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）根据一次函数性质得2m+4＞0，然后解不等式；（2）根据一次函数图象与系数的关系得到2m+4≠0，3﹣n＜0，然后解两个不等式；（3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）当2m+4＞0时，即m＞﹣2，y随x的增大而增大；（2）当2m+4≠0，3﹣n＜0时，即m≠﹣2，n＞3，函数图象与y轴的交点在x轴下方；（3）m＝﹣1，n＝2，一次函数为y＝2x+1，当x＝0时，y＝2x+1＝1，则一次函数与y轴的交点为（0，1）；当y＝0时，2x+1＝0，解得x=−12，则一次函数与x轴的交点坐标为（−12，0），∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积=12×1×12=14．23．（2022秋•三元区期中）已知一次函数y＝﹣3x+b的图形过点M．（1）求实数b的值；（2）设一次函数y＝﹣3x+b的图形与y轴交于点N，连接OM．求△MON的面积．【分析】（1）根据图象可以得到点M的坐标，然后根据点M在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，即可得到b的值；（2）根据（1）中的结果，可以得到点N的坐标，从而可以得到ON的长，再根据点M的坐标，可以得到点M到y轴的距离，从而可以计算出△MON的面积．【解答】解：（1）由图象可得，点M的坐标为（﹣2，4），∵一次函数y＝﹣3x+b的图象过点M（﹣2，4），∴4＝﹣3×（﹣2）+b，解得b＝﹣2，∴实数b的值是﹣2；（2）由（1）知，b＝﹣2，∴y＝﹣3x﹣2，当x＝0时，y＝﹣3×0﹣2＝﹣2，即点N的坐标为（0，﹣2），∴ON＝2，∴点M（﹣2，4），∴点M到y轴的距离是2，∴△MON的面积是：2×22=2，即△MON的面积是2．24．（2022春•东湖区期末）已知函数y1＝（m+1）x﹣m2+1（m是常数）．（1）m为何值时，y1随x的增大而减小；（2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？（3）若该函数的图象与另一个函数y2＝x+n（n是常数）的图象相交于点（m，3），求这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积．【分析】（1）根据题意m+1＜0，解得即可；（2）根据正比例函数的定义得到m+1≠0，﹣m2+1＝0，解得m＝1；（3）由函数y1＝（m+1）x﹣m2+1经过点（m，3）求得m＝2，得到交点为（2，3），根据交点坐标求得函数y1的解析式，即可求得与y轴的交点坐标，把交点坐标代入y2＝x+n，求得解析式，即可求得与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积．【解答】解：（1）由题意：m+1＜0，∴m＜﹣1，即m＜﹣1时，y随x的增大而减小；（2）若该函数是正比例函数，则m+1≠0，﹣m2+1＝0，∴m＝1，即m＝1时，该函数是正比例函数；（3）∵两个的图象相交于点（m，3），∴m（m+1）﹣m2+1＝3，∴m＝2，∴交点坐标为（2，3），∴该点到y轴的距离为2，将m＝2代入y1＝（m+1）x﹣m2+1，得：y1＝3x﹣3，将交点坐标（2，3）代入y2＝x+n，得：n＝1，∴y2＝x+1，∴两个函数图象与y轴的交点坐标分别为（0，﹣3）和（0，1），∴所围成的三角形的面积为：[1﹣（﹣3）]×2÷2＝4．25．（2022秋•绿园区校级期中）我们把形如y=x−a(x≥a)−x+a(x＜a)的函数称为对称一次函数，其中y＝x﹣a（x≥a）的图象叫做函数的右支，y＝﹣x+a（x＜a）的图象叫做函数的左支．（1）当a＝0时：①在下面平面直角坐标系中画出该函数图象；②点P（1，m）和点Q（n，2）在函数图象上，则m＝　1　，n＝　2或﹣2　；（2）点A（4，3）在对称一次函数图象上，求a的值；（3）点C坐标为（﹣1，2），点D坐标为（4，2），当一次对称函数图象与线段CD有交点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）当a＝0，则y=x(x≥0)−x(x＜0)，①画出函数图象即可；②把P（1，m）和点Q（n，2）代入解析式即可求得；（2）代入解析式即可求得；（3）把y＝2代入解析式得即可求得x＝2+a或x＝a﹣2，根据题意得到2+a≥−1a−2≤4，解得即可．【解答】解：（1）当a＝0，则y=x(x≥0)−x(x＜0)，①画出函数图象如图：②∵P（1，m）和点Q（n，2）在函数图象上，∴m＝1，n＝2或﹣2，故答案为1，2或﹣2；（2）∵点A（4，3）在对称一次函数图象上，∴3＝4﹣a或3＝﹣4+a，解得a＝1或a＝7；（3）把y＝2代入解析式得2＝x﹣a或2＝﹣x+a，∴x＝2+a或x＝a﹣2，当一次对称函数图象与线段CD有交点时，则2+a≥−1a−2≤4，解得﹣3≤a≤6．26．（2022秋•杏花岭区校级期中）已知一次函数y＝2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）在给定的直角坐标系中，画出一次函数y＝2x+2的图象；（3）判断（−12，﹣1）是否在这个函数的图象上？　否　（填“是”或“否”）；（4）该函图象与坐标轴围成的三角形面积是　1　．【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可；（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；（3）根据图象即可判断；（4）根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣1；令x＝0，则y＝2；∴点A坐标为（﹣1，0）；点B坐标为（0，2），（2）函数y＝2x+2的图象如下：（3）由图象可知（−12，﹣1）不在这个函数的图象上；故答案为：否；（4）该函图象与坐标轴围成的三角形面积是为：12×1×2=1，故答案为1．27．（2022秋•上城区期末）已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．【分析】（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中得m的方程，求出m的值便可；（2）根据抛物线与y轴交点的纵坐标小于0，列出m的不等式，求出m的取值范围便可确定函数值y随着x的增大而变化的趋势；（3）设3＜m1＜m2＜4，求出两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点M1（0和M2的坐标，以及直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点N的坐标，再用三角形的面积公式求出这两条直线与y轴围成的三角形面积，再根据m1与m2的取值范围求得S的取值范围．【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中，得2（m﹣4）+12﹣4m＝0，解得，m＝2；（2）∵图象与y轴交点位于原点下方，∴12﹣4m＜0，∴m＞3，∴当3＜m＜4时，有m﹣4＜0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而减小，当m＞4时，有m﹣4＞0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而增大；（3）设3＜m1＜m2＜4，则两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点坐标为M1（0，12﹣4m1）和M2（0，12﹣4m2），∴M1M2＝4（m2﹣m1），∵直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点坐标为N（4，﹣4），∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，任意两条直线与y轴围成的三角形面积的为：S=12M1M2⋅xN=12×4(m2−m1)×4=8(m2−m1)，∵3＜m1＜m2＜4，∴0＜m2﹣m1＜1，∴0＜S＜8，∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围0＜S＜8．28．（2022春•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y=−43x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．（1）直接写出点A与点B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）求b的值；（3）如果一次函数y=−43x+b的图象经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中m＞0，试用含m的代数式表示△ABC的面积．【分析】（1）由一次函数y=−43x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，令y＝0求出x，得到A点坐标；令x＝0，求出y，得到B点坐标；（2）根据一次函数y=−43x+b的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程，即可求出b的值；（3）根据一次函数y=−43x+b的图象经过第二、三、四象限，得出b＝﹣4，确定A（﹣3，0），B（0，﹣4）．利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D（0，35m），那么BD=35m+4，再根据S△ABC＝S△ABD+S△DBC，即可求解．【解答】解：（1）∵一次函数y=−43x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，∴当y＝0时，−43x+b＝0，解得x=34b，则A（34b，0），当x＝0时，y＝b，则B（0，b）；（2）∵S△AOB=12OA•OB=12×|34b|×|b|＝6，∴b2＝16，∴b＝±4；（3）∵一次函数y=−43x+b的图象经过第二、三、四象限，∴b＝﹣4，∴y=−43x﹣4．∴A（﹣3，0），B（0，﹣4）．设直线AC的解析式为y＝kx+t，∵A（﹣3，0），C（2，m），∴−3k+t=02k+t=m，解得k=m5t=35m，∴直线AC的解析式为y=m5x+35m．设直线AC与y轴交于点D，则D（0，35m）．∴BD=35m+4，∵S△ABC＝S△ABD+S△DBC，∴S△ABC=12×（35m+4）×（2+3）=32m+10．29．（2022秋•句容市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1）（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为　y＝﹣2x　，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为　y＝﹣2x+2　．【分析】（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；（2）分别令y＝0、x＝0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积；（3）根据上加下减，左加右减的法则可得到平移后的函数表达式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1），∴k+b=12k+b=−1，解得k=−2b=3，∴一次函数为y＝﹣2x+3；（2）在y＝﹣2x+3中，分别令x＝0、y＝0，可求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，3）、（32，0），∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S=12×3×32=94；（3）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2x，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2故答案为：y＝﹣2x，y＝﹣2x+2．30．（2022秋•平果市期中）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，且过点A（1，2）．（1）求k，b的值；（2）求直线y＝kx+b与x轴的交点B的坐标；（3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是12，这条直线与y轴交于点C，且点C位于x轴上方，求直线AC对应的一次函数的表达式．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝3，再将点A（1，2）代入y＝3x+b，求出b的值；（2）将y＝0代入（1）中所求的函数解析式即可求解；（3）先根据过点B的直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是12求出这条直线与y轴交点C的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AC的解析式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，∴k＝3，将点A（1，2）代入y＝3x+b，得3+b＝2，解得b＝﹣1；（2）将y＝0代入y＝3x﹣1，得3x﹣1＝0，解得x=13，∴点B的坐标为（13，0）；（3）∵S△OBC=12OB•OC=12，∴12×13OC=12，∴OC＝3，∵点C位于x轴上方，∴点C的坐标为（0，3）．设直线AC的解析式为y＝mx+n，则n=3m+n=2，解得m=−1n=3，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．31．（2022秋•垣曲县期中）作出函数y＝﹣x+2的图象，并利用图象回答问题：（1）写出图象与x轴的交点A的坐标　（2，0）　，与y轴的交点B的坐标　（0，2）　．（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是　y＜3　．（3）有一点C的坐标是（3，4），顺次连接点A、B、C得到△ABC，三角形ABC的面积为　5　．（4）点C关于x轴对称的点D的坐标；（5）连接B，D两点，求直线BD的函数关系式．【分析】（1）在解析式中分别令y＝0和x＝0，则可求得A、B的坐标；（2）当x＝﹣1时，y＝3，根据直线y＝﹣x+2即可得到y的取值范围；（3）用矩形的面积减去三个三角形的面积即可求得；（4）根据关于x轴对称的点的坐标特征求得即可；（5）根据待定系数法即可求得．【解答】解：y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝2；如图所示，直线y＝﹣x+2即为所求；（1）图象与x轴的交点A的坐标（2，0），与y轴的交点B的坐标（0，2），故答案为（2，0），（0，2）；当y＜0时，x的取值范围为x＞3；（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是y＜3，故答案为y＜3；当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为1＜y＜5；（3）如图，三角形ABC的面积为：4×3−12×2×2−12×1×4−12×2×3=5，故答案为5；（4）点C关于x轴对称的点D的坐标为（3，﹣4）；（5）设直线BD的解析式为y＝kx+2，把D（3，﹣4）代入得，﹣4＝3k+2，解得k＝﹣2，∴直线BD的函数表达式为y＝﹣2x+2．32．（2022秋•建平县期末）已知一次函数y=34x+6．（1）求直线y=34x+6与x轴、y轴交点坐标；（2）求出一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积；（3）求坐标原点O到直线y=34x+6的距离．【分析】（1）先令y＝0求出x的值，再令x＝0求出y的值即可；（2）根据三角形面积公式求得即可；（3）利用三角形的面积公式可得出结论．【解答】解：（1）∵令y＝0，则x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，∴直线y=34x+6与x轴、y轴交点坐标为A（﹣8，0），B（0，6）．（2）S△AOB=12OA•OB=12×8×6=24；（3）在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝82+62＝100，∴AB＝10，作OC⊥AB于C，∵S△AOB=12AB⋅OC=24，∴OC=245，∴原点O到直线y=34x+6的距离是245．33．（2022秋•修武县期中）如图所示，直线y＝3x+5与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）由直线解析式根据图象上点的坐标特征可求得A、B两点的坐标；（2）根据坐标可求得OA和OB的长，再利用三角形的面积可求得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+5中，令y＝0可得x=−53，令x＝0可得y＝5，∴A（−53，0），B（0，5）；（2）∵OA=53，OB＝5，∴S△AOB=12OA•OB=12×53×5=256．34．（2022秋•上虞区期末）设y是关于x的一次函数，其图象与y轴交点的纵坐标为﹣10，且当x＝1时，y＝﹣5．（1）求该一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积；（2）当函数值为103时，自变量的取值是多少？【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求得直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．（2）把y=103代入解析式求得即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣5，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣10，∴b=−10k+b=−5，解得：k=5b=−10，故它的解析式是：y＝5x﹣10．令y＝0，则5x﹣10＝0，解得x＝2．即图象与x轴的交点坐标为（2，0），∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为12×10×2＝10．（2）∵y＝5x﹣10，∴103=5x﹣10，解得x=83．∴当函数值为103时，自变量x的取值是83．35．（2022秋•高台县校级期中）作出函数y=43x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的增大而　增大　；（2）图象与x轴的交点坐标是　（3，0）　；与y轴的交点坐标是　（0，﹣4）　；（3）求该图象与坐标轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；（2）令y＝0，求出x的值，再令x＝0，求出y的值即可；（3）根据函数图象与坐标轴的交点得出三角形的面积即可．【解答】解：作出函数y=43x﹣4的图象如图：（1）∵函数y=43x﹣4中，k=43＞0，∴y的值随x的增大而增大．故答案为：增大；（2）∵令y＝0，则x＝3；令x＝0，则y＝﹣4，∴图象与x轴的交点坐标是（3，0），图象与y轴的交点坐标是（0，﹣4）．故答案为：（3，0），（0，﹣4）；（3）∵函数图象与x轴的交点坐标是（3，0），图象与y轴的交点坐标是（0，﹣4），∴函数y=43x﹣4的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=12×3×4＝6．36．（2022春•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得B的坐标，即可求得平移后对应点C的坐标；（2）根据A点的坐标求得D点的坐标，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；（3）求得E点为（0，﹣4），把A（﹣2，0）、D（4，0）分别代入y＝kx﹣4中，求得k的值，结合函数图象，即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，∴B（0，4），A（﹣2，0），将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为（6，4）；（2）∵A（﹣2，0），∴D（4，0），把C（6，4），D（4，0）代入y＝kx+b中得6k+b=44k+b=0解得：k＝2，b＝﹣8∴直线CD的表达式为y＝2x﹣8．（3）∵点B（0，4）关于原点的对称点为点E（0，﹣4），∴设过点E的直线y＝kx﹣4，把D（4，0）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝0，∴k＝1，把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中，∴k＝﹣2∴k≥1或k≤﹣2．37．（2022春•章贡区期末）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y＝kx+b和y＝bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为“互助”函数，例如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2就是“互助”函数．根据规定解答下列问题：（1）请直接写出一次函数y=−14x+4的“互助”函数：　y＝4x−14　；（2）若两个一次函数y＝（k﹣b）x﹣k﹣2b与y＝（k﹣3）x+3k−52是“互助”函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．【分析】（1）根据互助函数的定义，写出互助函数；（2）首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）一次函数y=−14x+4的它的互助一次函数是y＝4x−14．故答案为：y＝4x−14；（2）根据题意得：k−3=−k−2bk−b=3k−52，解得b=12k=1，则两个函数是y＝﹣2x+12和y=12x﹣2．y＝﹣2x+12和y轴的交点是（0，12），y=12x﹣2和y轴的交点是（0，﹣2）．两个函数的交点是：（1，−32）．在两个函数与y轴围成的三角形的面积是：12×52×1=54．38．（2022春•忠县期末）请帮助小明探究函数y=|x−2|2的图象及性质，并按要求完成．（1）直接写出m，n的值，并在图中作出该函数图象；（2）判断下面说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请写出正确结论．①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x＝1；②该函数有最大值和最小值．当x＝﹣2或6时，函数取得最大值2；当x＝1时，函数取得最小值0．【分析】（1）将x＝2和x＝4分别代入函数求解，化简绝对值后画分段函数．（2）由图象可得图象对称轴及最小值，进而求解．【解答】解：（1）把x＝2代入y=|x−2|2得y＝0，∴m＝0，把x＝4代入y=|x−2|2得y＝1，∴n＝1．当x﹣2≥0时，即x≥2时，y=x2−1，当x﹣2＜0时，即x＜2时，y＝1−x2，如图，（2）两个说法都错误，应改为：①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x＝2；②该函数有最小值但没有最大值．当x＝2时，函数取得最小值0．39．（2022春•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P′的坐标．定义如下：当a≥b时，P′点坐标为（b，a）；当a＜b时，P′点坐标为（﹣a，﹣b）．（1）写出A（5，3）的变换点坐标　（3，5）　，B（1，6）的变换点坐标　（﹣1，﹣6）　，C（﹣2，4）的变换点坐标　（2，﹣4）　；（2）如果直线l：y=−12x+3上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W；（3）在（2）的条件下，若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据A、B、C三点的横、纵坐标间的关系即可找出与之对应的变换点坐标；（2）根据直线DE的解析式，找出横纵坐标相等的点的坐标，根据变换点的定义，将直线DE中点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于原点对称的射线，再将直线DE中点（2，2）右侧（包括该点）作关于x＝y对称的射线，由此即可得出图形W；（3）根据W的做法找出图形W中两段射线的解析式，分别令y＝kx﹣1（k≠0）与这两段射线的交点的横坐标满足射线中x的取值范围，综合在一起即可得出结论．【解答】解：（1）∵5＞3，1＜6，﹣2＜4，∴A（5，3）的变换点坐标（3，5），B（1，6）的变换点坐标（﹣1，﹣6），C（﹣2，4）的变换点坐标（2，﹣4）；（2）直线DE的解析式为y=−12x+3．当x＝y时，有x=−12x+3，解得：x＝y＝2．画出图形W，如图所示．画图的思路，将直线DE点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于x＝y对称的射线，再将直线DE点（2，2）左侧（不包括该点）作关于原点对称的射线，由此即可得出图形W．（3）当x≤2时，y＝﹣2x+6；当x＞﹣2时，旋转后的图形解析式为﹣x=−12y﹣3；令kx﹣1＝﹣2x+6，则有x=7k+2≤2且k≠0，k≠﹣2，解得：k≥32或k＜﹣2；令kx﹣1=−12x﹣3，则有x=−42k+1＞−2（k≠2）k≠0，2k+1≠0，解得：k＞12或k＜−12．综上可知：若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，k的取值范围为k＜﹣2或k≥32．故答案为：（3，5），（﹣1，﹣6），（2，﹣4）．40．（2022秋•南岸区校级期末）初三某班同学小戴想根据学习函数的经验，通过研究一个未学过的函数的图象，从而探究其各方面性质．下表是函数y与自变量x的几组对应值：（1）在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长为一个单位长度，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象．（2）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的关系式y＝　4x，x≤336x，x＞3　（请写出自变量的取值范围），并写出该函数的一条性质：　当x≤3时，k＝4＞0，随着x的增大，y值增大　．（3）当直线y=−12x+b与该函数图象有3个交点时，求b的取值范围．【分析】（1）根据列表，即可画出函数的图象；（2）根据函数图象，当x≤3时，函数为正比例函数；当x＞3时，函数为反比例函数；（3）根据函数的图象，可以通过平移求出b的值．【解答】解：（1）（2）当x≤3时，函数为正比例函数，（1，4）代入y＝kx，解得k＝4，y＝4x．当x＞3时，函数为反比例函数，（6，6）代入y=kx，解得k＝36，y=36x．∵当x≤3时，k＝4＞0，∴随着x增大，y值增大．故答案为：y=4x，x≤336x，x＞3，当x≤3时，k＝4＞0，y随着x的增大而增大．（3）由图象可知：当 62＜b＜272时，会有函数图象有3个交点．41．（2022春•房山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）点B的坐标为　（0，2）　；（2）若点A坐标为（4，0），△ABO内的“整点”有　1　个（不包括三角形边上的“整点”）；（3）若△ABO内有3个“整点”（不包括三角形边上的“整点”），结合图象写出k的取值范围．【分析】（1）把x＝0代入关系式可得y＝2，可得B的坐标；（2）画出直线，可得△ABO内的“整点”个数；（3）根据整点的个数和直线经过的点可得k的取值范围．【解答】解（1）把x＝0代入关系式可得y＝2，所以B（0，2）．故答案为：（0，2）．（2）如图：A（4，0），△ABO内的“整点”有1个，是（1，1）．故答案为：1．（3）如图：当直线经过（3，1）时，整点有两个，此时k=−13．当直线经过（4，1）时，整点有三个，此时k=−14．所以若△ABO内有3个“整点”，则−13＜k≤−14或14≤k＜13．42．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y=13x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【分析】（1）构建方程组即可解决问题；（2）求出A、C两点坐标，根据S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB计算即可；（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．由题意可知点C′在直线CD上，求出点C′坐标，利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：（1）由y=13x+2y=3x−6，解得x=3y=3，∴B（3，3）．（2）由题意A（0，2），C（2，0），∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB=12×2×3+12×2×3＝6．（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°，∴点C′在直线CD上，由（2）可知，C（2，0）．∵B（3，3），由旋转的性质可知，C′（6，2），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有6k+b=22k+b=0，解得k=12b=−1，∴直线CD的解析式为y=12x﹣1．43．（2022秋•邗江区期末）在直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题：（1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是　4　；（2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是　﹣4≤y≤4　；（3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式．【分析】（1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；（3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，把（﹣3，1）代入求出b的值即可得出结论．【解答】解：（1）令y＝0，解得x＝2，∴直线与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，﹣4），∴此三角形的面积S＝4 （2）画图如下： 由图可知，y的取值范围为﹣4≤y≤4． （3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，将（﹣3，1）代入，解得b＝7．∴函数解析式为y＝2x+7． 故答案为：4；﹣4≤y≤444．（2022春•高邑县期中）如图，直线l是一次函数y＝﹣x+8的图象，点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，正比例函数y＝kx的图象经过点A，一次函数y＝2x+b的图象经过点B，且与x轴相交于点C．（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）求四边形OABC的面积．【分析】（1）根据题意得到点A坐标为（2，6），点B坐标为（5，3），代入y＝kx即可得到结论；（2）由于一次函数y＝2x+b的图象经过点B，得到3＝2×5+b，于是得到结论；（3）设直线x轴相交于点D，得到点D坐标为（8，0），根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，∴点A的纵坐标为6，点B的横坐标为5，即点A坐标为（2，6），点B坐标为（5，3），∵正比例函数y＝kx的图象经过点A，∴2k＝6，∴k＝3；（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点B，∴3＝2×5+b，∴b＝﹣7，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣7，∵一次函数y＝2x﹣7的图象与x轴相交于点C，∴点C坐标为（72，0）；（3）设直线x轴相交于点D，则点D坐标为（8，0），可得OC=72，OD＝8，CD=92，∵点A到x轴的距离为6，点B到x轴的距离为3，∴S四边形OABC＝S△OAD﹣S△CBD＝12×8×6−12×92×3=694．45．（2022春•洛宁县期中）在平面直角坐标系中画出直线y=13x+1的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线与x轴、y轴的交点的坐标；（2）求出直线与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若直线y＝kx+b与直线y=12x+1关于y轴对称，求k、b的值．【分析】（1）根据题意，分析可得在y=13x+1中，当x＝﹣3时，y＝0，x＝0时，y＝1，据此可以作出图象；（2）根据三角形的面积公式计算即可．（3）根据直线y=12x+1求得直线y=12x+1关于y轴的对称点，然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）令y＝0得x＝﹣3，令x＝0得y＝1，可得A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（0，1）画出图形如图：（2）因为A（﹣3，0），B（0，1）所以OA＝3，OB＝1，由三角形面积公式可知S△AOB=12OA×OB=12×3×1=32；（3）直线y=12x+1与x轴的交点为（﹣2，0），与y轴的交点为（0，1）；∴点（﹣2，0）关于y轴的对称点为（2，0），点（0，1）关于y轴的对称点为（0，1），把点（2，0）、（0，1）代入y＝kx+b得2k+b=0b=1， 解得k=−12，b＝1．46．（2022秋•下城区期末）如图，一次函数y＝x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若点P（﹣1，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是4，求m的值．【分析】（1）求出A、B点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）根据S四边形APOB＝S△AOP+S△AOB即可得出四边形APOB的面积，再由△APB的面积是4可得出m的值．【解答】解：（1）不变．∵一次函数y＝x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣2，0），B（0，2），∴OB＝2．∵P（﹣1，m），∴S△OPB=12OB×1=12×2×1＝1；（2）∵A（﹣2，0），P（﹣1，m），∴S四边形APOB＝S△AOP+S△AOB=12OA•（﹣m）+12OA×2=−12×2m+12×2×2＝2﹣m．∵S四边形APOB＝S△APB+S△OPB＝4+1＝5，∴2﹣m＝5，解得m＝﹣3．47．（2022春•陆川县期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴交于点A．（1）若点A关于x轴的对称点B在一次函数y=12x+b的图象上，求b的值，并在同一坐标系中画出该一次函数的图象；（2）求这两个一次函数的图象与y轴围成的三角形的面积．【分析】（1）先求出A点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特点得出B点坐标，代入一次函数y=12x+b求出b的值即可得出其解析式，画出该函数图象即可；（2）设两个一次函数图象的交点为点C，联立两函数的解析式得出C点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵把x＝0代入y＝﹣2x+1，得y＝1．∴点A坐标为（0，1），∴点B坐标为（0，﹣1）．∵点B在一次函数y=12x+b的图象上，∴﹣1=12×0+b，∴b＝﹣1．（2）设两个一次函数图象的交点为点C．∵y=−2x+1y=12x−1，解得x=45y=−35，∴点C坐标为（45，−35）． ∴S△ABC=12×2×45=45．48．（2022秋•浔阳区期中）如图，直线AB的函数关系式为y=−43x+4，点P为坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形，回答问题：（1）求线段AB的长度；（2）当点P为y轴正半轴上一点时，求点P的坐标；（3）当点P为x轴负半轴上一点时，求点P的坐标．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用勾股定理即可求出AB的长度；（2）分AP＝BP、AB＝AP两种情况考虑，当AP1＝BP1时，利用勾股定理及AP1＝BP1可求出点P1的坐标；当AB＝AP2时，由OP2＝OA+AB可求出点P2的坐标；（3）分AP＝AB、AB＝BP、AP＝BP三种情况考虑，当AP3＝AB时，根据等腰三角形的性质可求出点P3的坐标；当AB＝BP4时，由OP4＝AB﹣OB可求出点P4的坐标；当AP5＝BP5时，利用勾股定理及AP5＝BP5可求出点P5的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=−43x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），∴AB=32+42=5．（2）当AP1＝BP1时，设点P1的坐标为（0，m），则AP1＝4﹣m，BP1=m2+32，∴（4﹣m）2＝m2+32，解得：m=78，∴点P1的坐标为（0，78）；当AB＝AP2时，OP2＝OA+AB，∴点P2的坐标为（0，9）．综上所述，当点P为y轴正半轴上一点时，点P的坐标为（0，78）或（0，9）．（3）当AP3＝AB时，OB＝OP3，∴点P3的坐标为（﹣3，0）；当AB＝BP4时，则OP4＝AB﹣OB，∴点P4的坐标为（﹣2，0）；当AP5＝BP5时，设点P5的坐标为（n，0），则AP5=42+n2，BP5＝3﹣n，∴42+n2＝（3﹣n）2，解得：n=−76，∴点P5的坐标为（−76，0）．综上所述：当点P为x轴负半轴上一点时，点P的坐标为（﹣3，0）、（﹣2，0）或（−76，0）．49．（2022秋•瑶海区期中）定义[P，q]为一次函数y＝Px+q的特征数．（1）若特征数是[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）在平面直角坐标系中，有两点A（﹣m，0），B（0，﹣2m），且三角形OAB的面积为4（O为原点），求过A，B两点的一次函数的特征数．【分析】（1）根据题意中特征数的概念，可得k﹣1与k2﹣1的关系；进而可得k的值；（2）根据△OAB的面积为4，可得m的方程，解即可得m的值，进而可得答案．【解答】解：（1）∵特征数为[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为y＝（k﹣1）x+k2﹣1，∴k2﹣1＝0，k﹣1≠0，∴k＝﹣1；（2）∵A（﹣m，0），B（0，﹣2m），∴OA＝|﹣m|，OB＝|﹣2m|，若S△OBA＝4，则12•|﹣m|•|﹣2m|＝4，m＝±2．∴A（2，0）或（﹣2，0），B（0，4，）或（0，﹣4），∴一次函数为y＝﹣2x﹣4或y＝﹣2x+4，∴过A，B两点的一次函数的特征数[﹣2，﹣4]，[﹣2，4]．50．（2022秋•亭湖区校级期末）在直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）点M（3，2）　 　和谐点（填“是”或“不是”）；（2）若点P（a，6）是和谐点，a的值为　 　；（3）若（2）中和谐点P（a，6）在y＝﹣4x+m上，求m的值．【分析】（1）根据和谐点的定义求出矩形的周长与面积，然后即可判断；（2）根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值即可；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到﹣4a+m＝6，即m＝4a+6，然后把a的值分别代入可计算出对应的m的值．【解答】解：（1）∵点M（3，2），∴矩形OAPB的周长＝2（3+2）＝10，面积＝3×2＝6，∵10≠6，∴则点M（3，2）不是和谐点；故答案为：不是；（2）根据题意得：2（|a|+6）＝6|a|，解得：a＝±3；故答案为：±3；（3）∵点P（a，6）在直线y＝﹣4x+m上，∴﹣4a+m＝6，即m＝4a+6，当a＝3时，m＝18；当a＝﹣3时，m＝﹣6，∴m的值为18或﹣6．x……﹣2﹣10123……y……m1232n……x…﹣2﹣10123456…y…21.510.5m0.5n1.52…x…﹣10123456912…y…﹣40481297.2643…