高考数学一轮复习课时质量作业(十八)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(十八)含答案，共3页。试卷主要包含了已知x∈，求证，已知函数f ＝x2＋ln x.等内容，欢迎下载使用。
证明：要证x2－1x0.
故x2－1x0，则g′(x)＝ex－1>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0，即ex>x＋1.
接下来证明ln x≤x－1.令h(x)＝x－ln x－1，x>0，则h′(x)＝1－1x＝x－1x.
由h′(x)x＋1＝(x－1)＋2≥ln x＋2，即ex>ln x＋2，原不等式得证．
3．已知函数f (x)＝ax＋x ln x，a∈R.
(1)判断f (x)的单调性；
(2)若a＝1，00)．
令h(x)＝ex-1－1x，所以h′(x)＝ex-1＋1x2>0，
所以φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又φ′(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，φ′(x)0，
所以φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)min＝φ(1)＝0，所以φ(x)≥0，所以f (x)≥φ(x)≥0.故f (x)≥0得证．
(方法二)令g(x)＝ex－x－1，所以g′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(0)＝0，
故ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．
同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．
由ex≥x＋1，得ex-1≥x(当且仅当x＝1时取“＝”)，
由x－1≥ln x，得x≥ln x＋1(当且仅当x＝1时取“＝”)，
所以ex-1≥x≥ln x＋1，
即ex-1≥ln x＋1，即ex-1－ln x－1≥0(当且仅当x＝1时取“＝”)．故f (x)≥0得证．