初中数学人教版（2024）八年级上册14.1 整式的乘法综合与测试教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册14.1 整式的乘法综合与测试教案设计，共33页。

课时目标
1.理解同底数幂的乘法法则并运用法则解决一些实际问题,培养学生运算、推理能力,发展应用意识.
2.会用数学的思维推导“同底数幂的乘法法则”,使学生初步理解从特殊到一般、从一般到特殊的认知规律,发展学生观察、归纳、类比等能力.
3.在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.
学习重点
理解并掌握同底数幂的乘法法则.
学习难点
运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.
课时活动设计
情境引入
教师简述我国超级计算机的发展历程,引出课本问题:一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103 s可进行多少次运算?
解:103×1015=1018
设计意图:通过探究问题激发学生的民族自豪感,也让学生体会生活中存在着大量的较大的数据,激发学生的学习兴趣.
探究新知
问题1:对于上一教学活动中提出的问题,应如何列式?学生动笔列式,大部分学生可以列出.
追问:其中1015中“10”“15”“1015”分别叫做什么?“1015”表示的意义是什么?
问题2:1015×103等于多少?学生小组讨论,展示计算过程.
1015×103=(10×…×10)15个10×(10×10×10)=10×10×…×1018个10=1018.
追问1:根据乘方的意义计算23×22.学生快速计算,展示结果.
解:23×22=2×2×2×2×2=25
追问2:请同学们观察上面各算式的左右两边底数、指数的关系,猜一猜:am·an的结果(m,n都是正整数)
师生根据乘方的意义共同验证结论的正确性.
教师把结论板书在黑板上:am·an=am+n(m,n都是正整数).
师生活动:教师引导学生试着用文字概括这个性质.
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
追问3:当三个或三个以上同底数幂相乘时,是否也具有这一性质呢?小组合作,验证结论,并点名展示.
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数)
设计意图:让学生根据幂的意义,通过计算得到结果.再观察、比较得到等号左右两边底数、指数的关系.通过猜想、验证,抽象概括出同底数幂的乘法运算的本质特征,发展学生观察、归纳、类比能力,体现了从特殊到一般的认知规律.让学生在计算过程中明白算法和算理.适当拓展,为发展学生思维助力.
典例精讲
例1 计算:(1)x2·x5;(2)a·a6.
解:(1)x2·x5=x2+5=x7.
(2)a·a6=a1+6=a7.
教师总结点拨:不要忽略指数是“1”的因式,如a·a6≠a0+6.
例2 计算:
(1)(b+2)3(b+2)4(b+2);(2)-x6·(-x)10.
解:(1)原式=(b+2)3+4+1=(b+2)8.
(2)原式=-x6+10=-x16.
小组合作完成,并选小组代表上台板演.教师讲解,并让学生理解:底数是单项式,也可以是多项式,通常把底数看成一个整体来运算.把不同底数幂转化为同底数幂时要注意符号的变化.
例3 已知:am=4,am+n=20,求an的值.
解:am+n=am·an(逆运算)=4×an=20,所以an=5.
师生共同解答,并总结:当幂的指数是和的形式时,可以逆运用同底数幂乘法法则,将幂指数和转化为同底数幂相乘,然后把幂作为一个整体,带入变形后的幂的运算式中求解.
设计意图:师生共同完成,教师板书过程并着重让学生说明是不是同底数幂相乘,底数是多少,指数是多少,引导学生用运算法则进行计算.通过计算,让学生积累解题经验的同时,体会从一般到特殊的认知规律,将同底数幂的乘法转化为指数相加运算的思想.
巩固训练
1.x3·x2的运算结果是( C )
A.x2 B.x3 C.x5 D.x6
2.若an-2·an+1=a11,则n= 6 .
3.计算:
(1)xn·xn+1; (2)(x+y)3·(x+y)4.
解:(1)原式=xn+n+1=x2n+1.
(2)原式=(x+y)3+4=(x+y)7.
设计意图:通过巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果.
课堂小结
今天我们学了哪些内容:
同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
am·an=am+n(m,n都是正整数).
设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.
课堂8分钟.
1.教材第104页习题14.1第1题(1)(2)和第2题(1).
2.七彩作业.
教学反思

14.1.2 幂的乘方
课时目标
1.理解幂的乘方法则并运用法则解决一些实际问题,发展运算、推理能力和应用意识.
2.类比同底数幂的乘法法则学习幂的乘方的法则,发展学生观察、归纳、类比等能力,体验数学的化归思想.
3.培养学生合作交流意识和探索精神,让学生体会数学的应用价值.
学习重点
理解幂的乘方性质.
学习难点
幂的乘方运算法则及灵活应用.
课时活动设计
回顾引入
问题1:叙述同底数幂的乘法法则,并用字母表示.
问题2:请口答下列各题:
(1)33×35;(2)y2·y;(3)am·a2.
设计意图:通过点名学生回答,复习同底数幂的乘法法则,加深对所学知识的巩固和理解.通过口算,既检验了上节课的学习效果,也为学习本节课知识打下基础.
探究新知
问题3:请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.
(1)(32)3=32×32×32=3(6).
(2)(a2)3=a2·a2·a2=a(6).
(3)(am)3=am·am·am=a(3m)(m是正整数).
追问1:(am)3底数是 a ,底数是什么形式?
追问2:观察计算的结果,你能发现什么规律?根据规律猜想幂的乘法法则.
学生口述规律,教师引导学生得到(am)n=amn(m,n都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
教师讲述:规律的正确性需要严谨的证明,如何把特殊一般化,常用的方法是用字母去表示数.
追问3:试着证明你的猜想.
设计意图:问题3引导学生根据幂的意义,将幂的乘方转化为同底数幂的乘法.追问1、2让通过观察底数、指数的变化,猜想幂的乘方法则.追问3让学生类比问题3计算,并小组内交流.通过问题推进探索规律,让学生自主构建获得新知,培养学生的语言表达能力和符号意识.
典例精讲
例1 计算:
(1)(103)5; (2)(a2)4; (3)(am)2; (4)-(x4)3.
解:(1)原式=103×5=1015.
(2)原式=a2×4=a8.
(3)原式=am·2=a2m.
(4)原式=-x4×3=-x12.
例2 计算:
(1)[(x+y)2]2; (2)[(-x)4]3.
解:(1)原式=(x+y)2×3=(x+y)6.
(2)原式=(-x)4×3=(-x)12.
设计意图:运用幂的乘方法则进行计算时,一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.在幂的乘方中,底数可以是单项式,也可以是多项式.在运算时,注意把底数看成一个整体,同时注意“负号”.将底数由单项式变式为多项式,在思考过程中实现了知识的迁移,训练了学生的思维,进一步感悟整体思想.
巩固训练
1.计算:
(1)(x4)3·x6;
(2)(y4)2+(y2)3·y2.
解:(1)原式=x4×3·x6=x12·x6=x18.
(2)原式=y4×2+y2×3+2=y8+y8=2y8.
教师点拨:与幂的乘方有关的混合运算中,一般先算幂的乘方,再算乘除,最后算加减.
2.已知10m=3,10n=2,求下列各式的值.
(1)103m;(2)102n;(3)103m+2n.
解:(1)原式=(10m)3=33=27.
(2)原式=(10n)2=22=4.
(3)原式=103m×102n=27×4=108.
3.已知2x+5y-3=0,求4x·32y的值.
解:∵2x+5y-3=0,
∴2x+5y=3.
∴4x·32y=(22)x·(25)y=22x·25y=22x+5y=23=8.
教师点拨:此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式,将所求值的式子正确变形,然后代入已知条件求值即可.
4.比较3500,4400,5300的大小.
解:3500=35×100=(35)100=243100
4400=44×100=(44)100=256100
5300=53×100=(53)100=125100
∵256100>243100>125100,∴4400>3500>5300.
教师点拨:比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:1.底数相同,指数越大,幂就越大;2.指数相同,底数越大,幂就越大.
设计意图:使帮助学生巩固刚刚学习的新知识,在此基础上加深知识的应用,培养学生的逆向思维,增强学生思维的灵活性.
课堂小结
设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.
课堂8分钟.
1.教材第104页习题14.1第1题(3)(4)(6)第2题(4).
2.七彩作业.
教学反思

14.1.3 积的乘方
课时目标
1.利用几何图形,探索积的乘方运算性质,进一步体会幂的意义,发展学生的空间观念、推理能力和有条理语言、符号表达能力,掌握转化的数学思想.
2.能用积的乘方的运算法则解决问题,提高学生的应用意识.
3.通过探究学习过程,激发学习数学的兴趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美.
学习重点
积的乘方运算法则的理解及其应用.
学习难点
积的乘方推导过程的理解和灵活运用.
课时活动设计
回顾引入
在前面的学习中,我们知道了同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则,你能分别用字母表示出来吗?
教师总结,课件展示.
设计意图:学生口答同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则,为学习本节课的内容做好知识储备,要注意语言的准确性.
探究新知
问题1:如图,正方形的边长为2a,求该正方形的面积.
学生展示结果.教师记录:有学生列式(2a)2,有学生列式2a×2a.
追问1:根据正方形面积的意义,判断(2a)2与2a×2a的数量关系.
学生回答:(2a)2=2a×2a.
问题2:2a×2a=2×2×a×a 依据(乘法交换律)
=22× a2 依据(乘法结合律)
= 4a2 .
所以(2a)2= 4a2 .
师生共同探索,用几何图形验证上面等式.
(2a)2=4a2.
猜想:(3×4)2和32×42相等吗?
学生通过计算,发现(3×4)2=32×42.
追问2:观察(2a)2和(3×4)2,它们底数分别是什么?
学生口答:2a和3×4.
追问3:接着观察(2a)2=4a2,(3×4)2=32×42,你发现什么规律?
学生小组讨论,每个小组派代表口述规律.
追问4:你能用符号表示你发现的规律吗?
师生活动:学生独立思考并书写,教师板书在黑板上:(ab)n=anbn(n是正整数).
追问5:你能将上述发现的规律推导出来吗?
师生活动:学生独立证明,并小组交流,教师板书证明过程.
(ab)n=(ab)·(ab)…(ab)=a·a…a·b·b…b=anbn.
设计意图:学生计算正方形的面积,预设得到两种不同的形式.通过设置问题,让学生判断每一步的依据,使学生明白算理.通过两个例子,学生初步获得结论,用符号概括出所发现的规律.通过学生自己观察、概括总结,既培养了学生的参与意识,也为学生探索类似知识提供了研究方法.
典例精讲
例1 计算:
(1)(3x)2; (2)(-2b)5; (3)(-2xy)4; (4)(3a2)n.
解:(1)原式=32x2=9x2.
(2)原式=(-2)5b5=-32b5.
(3)原式=(-2)4x4y4=16x4y4.
(4)原式=3n(a2)n=3na2n.
例2 用简便方法计算:
(1)23×53; (2)(0.125)2 023×82 024.
解:(1)原式=(2×5)3=103=1 000.
(2)原式=(0.125)2 023×82 023×8=(0.125×8)2 023×8=8.
教师点拨:逆用积的乘方公式an·bn=(ab)n,要灵活运用,对于不符合公式的形式,要通过恒等变形,转化为公式的形式.
设计意图:师生共同解答,通过针对性练习,让学生直观地理解各知识点,实现陈述性知识向程序性知识的转化.用学生熟悉的数之间的关系引导学生感受简便方法,使学生初步感知积的乘方的逆运算,形成简便运算意识,有效培养思维的灵活性.
巩固训练
1.计算(-x2y)2的结果是( A )
A.x4y2 B.-x4y2 C.x2y2 D.-x2y2
2.下列运算正确的是( C )
A.x·x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4
3.计算:
(1)2(x3)2·x3-(3x3)3+(-5x)2·x7;
(2)(3xy2)2+(-4xy3)·(-xy).
解:(1)原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7=2x9-27x9+25x9=0.
(2)原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.
设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时查漏补缺.
课堂小结
今天我们学了哪些内容?
积的乘方法则:(ab)n=an·bn(n是正整数).
注意点:
(1)注意防止符号上的错误;
(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质;
(3)积的乘方法则也可以逆用.
设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.
课堂8分钟.
1.教材第104页习题14.1第1题(5)第2题(2)(3).
2.七彩作业.
教学反思

14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
课时目标
1.理解单项式乘以单项式的算理,会进行简单的运算.
2.经历探索单项式乘以单项式的过程,体会从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程和转化思想.
3.培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.
学习重点
单项式与单项式相乘的运算法则及其应用.
学习难点
灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.
课时活动设计
回顾引入
教师讲述:同学们,在七年级我们学习了整式加减的运算方法,今天我们继续学习整式的乘法.整式包含单项式和多项式,什么是单项式?出示课件展示:回答问题-2xy的系数是 -2 ,次数是 2 .
设计意图:通过回顾单项式的概念,指出单项式的系数和次数,为学习单项式乘以单项式做好知识储备.
探究新知
问题1:光的速度约为每秒3×105千米,太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102秒,求地球与太阳的距离约是多少千米?如何列式?
学生独立思考列出算式:(3×105)×(5×102)km.
追问1:怎样计算(3×105)×(5×102)呢?计算过程中运用哪些运算律和运算性质?
师生活动:学生计算结束后,教师黑板书写计算过程:
(3×105)×(5×102)=(3×5)×105+2=15×107=1.5×108 km
教师引导学生发现计算过程中运用了乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质.
追问2:将上式中的数字改为字母ac5·bc2,类比上面的运算方法计算这个式子.
学生独立计算,选一名学生在黑板上书写计算过程:
ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7.
追问3:这是什么运算?如何进行运算?
教师引导学生试着用文字概括这个性质:
这是单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
设计意图:教师引导学生观察、分析两个单项式如何相乘,使学生能运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式.在此基础上,教师引导归纳,最后得出单项式乘单项式法则.让学生在自主探究中掌握解决这类问题的一般方法,体会了从特殊到一般的认识规律.通过小组交流讨论归纳法则,培养学生的归纳总结能力.
典例精讲
例1 计算:(1)(-5a2b)(-3a); (2)(2x)3(-5xy2).
解:(1)原式=[(-5)×(-3)](a2·a)b=15a3b.
(2)原式=8x3·(-5xy2)=[8×(-5)](x3·x)y2=-40x4y2.
例2 计算:(1)-2a3bc·(-ab2)·(-ab2)2;
(2) -9x2y·(a-b)3·13xy2·(b-a)2.
解:(1)原式=-2a3bc·(-ab2)·a2b4=2a6b7c.
(2)原式=-9x2y·13xy2·(a-b)3·(a-b)2=-3x3y3(a-b)5.
设计意图:本着循序渐进原则逐步增加运算类型,由单一到综合.通过练习使学生在实际应用中掌握法则及三点注意.通过教师点评使学生掌握解题过程及书写格式,使学生完成知识迁移从而提高综合运用知识的能力.
巩固训练
1.计算3a2·2a3的结果是( B )
A.5a5 B.6a5 C.5a6 D.6a6
2.若(ambn)·(a2b)=a5b3,则m+n=( D )
A.8 B.7 C.6 D.5
3.已知-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项,求m2+n的值.
解:∵-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项,
∴2n-3-m=1,3m+1+n-6=4.解得n=3,m=2.
∴m2+n=7.
设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时查漏补缺.
课堂小结
今天我们学了哪些内容?
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
设计意图:通过课堂小结,对本节课内容进行梳理,加深学生对本节课所学内容的理解和掌握,为接下来的学习打好基础.
课堂8分钟.
1.教材第104页习题14.1第3题.
2.七彩作业.
教学反思

第2课时 单项式与多项式相乘
课时目标
1.探索并了解单项式与多项式相乘的法则,会运用法则进行简单计算.
2.经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会分配律的作用和转化思想,感受运算法则和相应的几何模型之间的联系,发展数形结合的思想.
3.让学生逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的严密性和初步解决问题的能力.
学习重点
单项式与多项式相乘的法则.
学习难点
整式乘法法则的推导与应用.
课时活动设计
复习回顾
计算.
(1)(-2ac)2(-3ab2c);
(2)(-12)×12-23+16.
解:(1)-12a3b2c3. (2)0.
设计意图:学生独立完成两个计算题.第一题复习了单项式乘以单项式,第二题复习了乘法分配律.这两个知识点是研究单项式乘多项式的基础,为这节课的学习做了知识准备.
探究新知
问题:为了扩大绿地的面积,要把街心花园的一块长p米,宽b米的长方形绿地,向两边分别加宽a米和c米,你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积?
分四人小组,与同伴交流,寻求不同的表示方法.教师根据学生讨论情况适时点拨启发.
在同学讨论的基础上,分小组展示不同方法.
教师记录并总结:1.把它看成三个小长方形,扩大后绿地的面积为pa+pb+pc.
2.把它看成一个大长方形,则面积为p(a+b+c).
追问1:p(a+b+c)和pa+pb+pc之间有着怎样的关系?为什么?
学生观察可知p(a+b+c)=pa+pb+pc,因为它们都表示的是同一个量:扩大后长方形绿地的面积.
追问2:你能用乘法分配律证明这个等式吗?
学生回答:由乘法分配律的公式推出结论p(a+b+c)=pa+pb+pc.
追问3:观察等式左边是什么与什么相乘?
学生回答:单项式和多项式.
追问4:你能总结单项式与多项式相乘的法则吗?
教师引导学生在不同代数式的呈现中,找到规律:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加.
教师鼓励学生用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则.
设计意图:用几何图形的面积验证了两个整式相等,发展了学生的几何直观.类比前面的知识,还可以通过代数方法验证,即乘法分配律来验证.两种方法是学习本章知识的主要方法,体现了数形结合思想.在解决问题过程中,学生观察、总结规律,探究法则,总结出单项式乘以多项式的法则,培养学生的概括能力和语言的严谨性.
典例精讲
例1 计算:
(1)(-4x2)(3x+1); (2)23ab2-2ab·12ab.
解:(1)原式=(-4x2)·(3x)+(-4x2)×1=(-4×3)(x2·x)+(-4x2)=-12x3-4x2.
(2)原式=23ab2·12ab+(-2ab)·12ab=13a2b3-a2b2.
教师点拨:在计算过程中要注意符号,多项式的每一项都包含前面的符号.用单项式去乘多项式的每一项,结果是一个多项式,项数与因式中多项式的项数相同.
例2 先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2.
解:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a.
当a=-2时,原式=-20×(-2)2+9×(-2)=-20×4-9×2=-98.
教师点拨:在整式乘法的混合运算中,要注意运算顺序.按运算法则进行化简,然后代入求值,特别注意的是代入“负数”要用括号括起来.
例3 如果(-3x)2(x2-2nx+2)的展开式中不含x3项,求n的值.
解:(-3x)2(x2-2nx+2)=9x2(x2-2nx+2)=9x4-18nx3+18x2
∵展开式中不含x3项,
∴n=0.
教师总结点拨:注意当要求多项式中不含有哪一项时,则表示这一项的系数为0.
设计意图:通过例题的讲解,巩固单项式乘以多项式的运算法则.适当增加题目类型,拓展学生思维,培养学生对所学知识的综合应用能力.
巩固训练
1.如果(x+a)x-2(x+a)的结果中不含x项,那么a的值为( A )
A.2 B.-2 C.0.5 D.-0.5
2.计算:
(1)4(a-b+1)= 4a-4b+4 ;
(2)3x(2x-y2)= 6x2-3xy2 ;
(3)(2x-5y+6z)(-3x)= -6x2+15xy-18xz ;
(4)(-2a2)2(-a-2b+c)= -4a5-8a4b+4a4c .
设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果.
课堂小结
1.单项式与多项式相乘的法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
2.单项式与多项式相乘,实质上是转化为单项式与单项式相乘.
3.单项式与多项式相乘,应注意(1)“不漏乘”;(2)注意“符号”.
设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点,进一步巩固强化.
课堂8分钟.
1.教材第105页习题14.1第4题.
2.七彩作业.
教学反思

第3课时 多项式与多项式相乘
课时目标
1.理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法法则进行简单的计算,发展运算、推理能力和应用意识.
2.经历探索多项式乘法法则的过程,用数学的思维体会乘法分配律的作用与转化思想,体会数形结合思想.
3.应用多项式与多项式相乘的法则解决实际问题,发展应用意识.
学习重点
多项式乘法法则的理解及运用.
学习难点
探索多项式乘法的法则,注意多项式的乘法运算中“漏项”“符号”的问题.
课时活动设计
回顾引入
请口算下列练习中的(1)、(2):
(1)3x(x+y)= 3x2+3xy .
(2)(a+c)c= ac+bc .
(3)(a+n)(m+b)= am+nm+ab+nb .
比较(3)与(1)、(2)在形式上有何不同?
设计意图:学生口算(1)、(2),复习了单项式乘多项式.通过与(3)式比较发现式子形式不同,引导学生从对单项式乘多项式的认识过渡到对多项式乘多项式的认识,从而激发学生对学习新知识的欲望.
探究新知
拿出准备好的硬纸板,画出如图所示的图形,并标上字母.要求学生根据图中的数据,求一下这个长方形的面积.
与同伴交流,表示出它的面积为(m+b)(n+a).
问题1:请同学们将纸板上的长方形沿中间的竖线剪开,分成两部分,如图.剪开之后,分别求一下这两部分的面积,再求一下它们的和.
学生分成小组,合作探究,求出第一块的面积为m(n+a),第二块的面积为b(n+a),它们的和为m(n+a)+b(n+a).
组织学生继续沿着横的线段剪开,将图形分成四部分,如图,求这四块长方形的面积.
求出S1=mn;S2=nb;S3=am;S4=ab,它们的和为S=mn+nb+am+ab.
追问:依据上面的操作求得的图形面积,那么(m+b)(n+a)应该等于什么?
解:(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.
学生分成小组讨论交流自己的看法.学生能够发现,因为以上三次计算是按照不同的方法对同一个长方形的面积进行的计算,那么,每次的计算结果应该是相同的,所以(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.
问题2:你能类比单项式与多项式相乘的法则,叙述多项式与多项式相乘的法则吗?
师生共同归纳:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
字母呈现:.
设计意图:让学生用几何图形探究代数公式,体现数形结合思想;利用环环相扣的问题,为学生设置了思考与探索空间;通过归纳多项式乘多项式的法则,培养了学生归纳、概括的能力,让学生体会转化、类比和整体的数学思想.
典例精讲
例1 计算:
(1)(3x+1)(x+2); (2)(x-8y)(x-y); (3)(x+y)(x2-xy+y2).
解:(1)原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2.
(2)原式=x·x-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2.
(3)原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.
例2 已知ax2+bx+1(a≠0)与3x-2的积不含x2项,也不含x项,求系数a,b的值.
解:(ax2+bx+1)(3x-2)=3ax3-2ax2+3bx2-2bx+3x-2=3ax3+(-2a+3b)x2+(-2b+3)x-2.
∵积不含x2的项,也不含x的项,
∴-2a+3b=0,-2b+3=0.∴a=94,b=32.
设计意图:通过例题的讲解,巩固多项式乘以多项式的运算法则,使教材呈现的知识慢慢内化为学生的认知结构,加深对知识的理解和掌握.
巩固训练
1.计算(x-1)(x-2)的结果为( D )
A.x2+3x-2 B.x2-3x-2 C.x2+3x+2 D.x2-3x+2
2.计算:(1)(x-3y)(x+7y); (2)(2x+5y)(3x-2y).
解:(1)原式=x2-3xy+7xy-21y2=x2+4xy-21y2.
(2)原式=6x2+15xy-4xy-10y2=6x2+11xy-10y2.
3.化简求值:(4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y),其中x=1,y=-2.
解:原式=16x2-12xy+12xy-9y2+6x2-10xy+3xy-5y2=22x2-7xy-14y2.
把x=1,y=-2代入,得22×12-7×1×(-2)-14×(-2)2=-20.
设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时查漏补缺.
课堂小结
今天我们学了哪些内容?
1.多项式与多项式相乘法则:多项式与多项式相乘,先用 一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 ,再把所得的 积相加 .
2.(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn .
3.多项式与多项式相乘,实际上是转化为 单项式与多项式相乘 的运算.
设计意图:以填空的形式回顾本节课所学知识,加深学生对本节课所学知识的理解和掌握.
课堂8分钟.
1.教材第105页习题14.1第5题.
2.七彩作业.
教学反思

第4课时 同底数幂的除法
课时目标
1.经历探索同底数幂除法公式的推导过程,发展学生的推理能力和表达能力.
2.进一步体会幂的意义,理解零指数幂.
3.理解同底数幂的除法运算性质,能解决实际问题,培养学生的应用意识.
学习重点
同底数幂的除法运算法则及其应用.
学习难点
探索同底数幂的除法法则的过程.
课时活动设计
回顾引入
回顾同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方公式内容及推导套路,引出课题,并让学生小组合作探究结果,教师适时适当点拨.
如何解决两个整式相除的问题?
方法一:除法意义或除法与分数的关系;
方法二:乘除互逆.
设计意图:让学生有迹可寻,运用套路,体会数学公式学习的一般方法步骤.一个问题既可自然引出课题,又可继续探索公式推导的方法.
探究新知
问题1:我们如何计算am÷an(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)?
学生小组讨论,教师引导学生运用乘法的逆运算解决问题.
根据除法是乘法的逆运算,计算被除数除以除数所得的商,也就是求一个数,使它与除数的积等于被除数.
学生完成后,教师在黑板上写出解题过程:
∵am-n·an=a(m-n)+n=am,
∴am÷an=am-n.
师生活动:教师引导学生试着用文字概括这个性质.
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
问题2:底数a可以是什么样的数,不能是什么样的数?
根据多位学生的回答,教师总结得出结论:
同底数幂相除的运算中,相同底数可以是不为0的数字或字母,也可以是单项式、多项式.
问题3:根据除法的意义和问题1的内容,探讨a0=?
师生共同解答,并总结:
同底数幂相除,如果被除式的指数等于除式的指数,例如am÷am,根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面,如果按照同底数幂的除法来计算,又有am÷am=am-m=a0.
于是规定a0=1(a≠0).任何不等于0的数的0次幂都等于1.
设计意图:从学生已有的知识和经验出发,引导学生探索发现同底数幂的除法的运算规律,遵循循序渐进的认知规律.通过学生小组讨论,根据以往学习的经验,自主学习新知识,培养探究能力.
典例精讲
例 计算:
(1)x8÷x2; (2)(ab)5÷(ab)2.
解:(1)原式=x8-2=x6.
(2)原式=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.
设计意图:通过练习使学生掌握同底数幂相除的运算法则.通过教师点评使学生掌握解题过程及书写格式,使学生完成知识迁移从而提高综合运用知识的能力.
巩固训练
1.下列运算正确的是( D )
A.(-a)6÷a2=a3 B.(-a)3÷(-a)2=a
C.a8÷a2=a4 D.(-a)2÷a2=1
2.计算:(1)(mn)7÷(mn)5;(2)123÷12.
解:(1)原式=(mn)7-5=(mn)2.
(2)原式=123-1=122=14.
设计意图:通过设置巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果.
课堂小结
通过这节课的学习,你有哪些收获?
1.同底数幂相除,底数不变,指数相减.
2.任何不等于0的数的0次幂都等于1.
设计意图:小结新课内容,及时梳理,使学生对前后的知识有所串联,让新知识与旧知识得到同化,并且内化成自身的数学体系,提高学生的数学素质.
课堂8分钟.
1.教材第104页练习第1题.
2.七彩作业.
第4课时 同底数幂的除法
1.am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n).
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
2.a0=1(a≠0).
任何不等于0的数的0次幂都等于1.
教学反思

第5课时 单项式除以单项式
课时目标
1.经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程,会进行单项式与单项式的除法运算.
2.熟练掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用,培养应用意识.
3.从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中,积累研究数学问题的经验.
学习重点
单项式除以单项式的运算法则及其应用.
学习难点
探索单项式除以单项式法则的过程.
课时活动设计
回顾引入
回顾单项式与单项式相乘:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
问题:计算:4a2x3·3ab2.
解:原式=12a2+1b2x3=12a3b2x3.
设计意图:复习回顾单项式与单项式相乘的内容,为单项式除以单项式的内容作铺垫.
探究新知
问题:计算12a3b2x3÷3ab2.
同底数幂的除法我们是运用了乘法的逆运算来求的,那么单项式除以单项式可不可以用同样的方法来计算?
学生独立完成,教师黑板上展示计算过程:
∵4a2x3·3ab2=12a3b2x3,
∴12a3b2x3÷3ab2=4a2x3.
追问:通过计算,你发现了什么规律?
让学生自己发现规律,自由发表见解,教师概括探究两个单项式相除的方法:
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
设计意图:类比同底数幂的除法的探究方法,利用乘法的逆运算探索单项式除以单项式的运算法则;通过学生小组讨论总结规律,培养学生总结归纳能力和有条理的表达能力,构建新的认知结构.
典例精讲
例 计算:
(1)28x4y2÷7x3y;(2)-5a5b3c÷15a4b.
解:(1)原式=(28÷7)x4-3y2-1=4xy.
(2)原式=-(5÷15)a5-4b3-1c=-13ab2c.
教师总结点拨:单项式除以单项式要按照法则逐项进行,不得漏项,并且要注意符号的变化.
设计意图:学生独立完成,及时巩固本节课所学知识,加深学生对法则的理解,进一步发展学生的运算能力.
巩固训练
计算:
(1)24a3b2÷3ab2;
(2)-21a2b3c÷3ab;
(3)(6xy2)2÷3xy.
解:(1)原式=(24÷3)a3-1b2-2=8a2.
(2)原式=-(21÷3)a2-1b3-1c=-7ab2c.
(3)原式=36x2y4÷3xy=(36÷3)x2-1y4-1=12xy3.
设计意图:通过设置巩固训练,及时巩固本节课所学知识,发展学生的运算能力.
课堂小结
通过这节课的学习,你有哪些收获?
1.利用乘法的逆运算探索单项式除以单项式的运算法则.
2.单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
设计意图:小结新课内容,及时梳理,使学生对前后的知识有所串联,为多项式除以单项式的学习作铺垫.
课堂8分钟.
1.教材第104页练习第2题.
2.七彩作业.
第5课时 单项式除以单项式
1.单项式与单项式相乘.
2.利用乘法的逆运算探索单项式除以单项式的运算法则.
3.单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
教学反思

第6课时 多项式除以单项式
课时目标
1.探索多项式除以单项式的方法,培养学生的创新精神.
2.掌握多项式除以单项式的法则,积累研究数学问题的经验.
3.运用多项式除以单项式的方法进行计算,提高学生的运算水平.
学习重点
多项式除以单项式方法的总结以及运用方法进行计算.
学习难点
多项式除以单项式方法的探究过程.
课时活动设计
问题引入
问题:有了单项式除以单项式的经验,你会做多项式除以单项式的运算吗?
计算:(ma+mb+mc)÷m.
学生完成计算后,教师板书:原式=(ma÷m)+(mb÷m)+(mc÷m)=a+b+c.
设计意图:通过提出问题,让学生积极参与到课堂中来,并且引导学生自主探索,发现规律,从而掌握整式的除法的运算法则.
探究新知
问题1:从教学活动1的计算中,你能发现什么规律?与同伴交流一下.
学生小组交流讨论,教师概括:多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法.
问题2:张大爷家一块长方形的田地,它的面积是6a2+2ab,宽为2a,聪明的你能帮助张大爷求出田地的长吗?
(1)回忆长方形的面积公式: 长方形的长×长方形的宽=长方形的面积 ,即 (长方形的长)·2a=6a2+2ab .
(2)已知面积和宽,如何求田地的长呢?列式计算:
解:田地的长=(6a2+2ab)÷2a=6a2÷2a+2ab÷2a=3a+b.
教师引导学生用文字总结多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
设计意图:借助实际生产生活的实例,引出多项式除以单项式的内容,激发学生学习新内容的兴趣.
典例精讲
例1 计算:(12a3-6a2+3a)÷3a.
解:原式=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a
= (12÷3)a3-1-(6÷3)a2-1+1
=4a2-2a+1.
例2 先化简,后求值:[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷xy,其中x=2 025,y=2 024.
解:原式=[2x3y-2x2y2+x2y2-x3y]÷xy,
=[x3y-x2y2]÷x2y
=x3-2y1-1-x2-2y2-1
=x-y.
把x=2 025,y=2 024代入上式,得原式=2 025-2 024=1.
设计意图:教师鼓励学生独立完成,引导学生发现多项式除以单项式的实质是利用乘法的分配律,将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决.提醒学生在计算过程中,要注意符号问题.巩固多项式除以单项式的法则,提高学生的运算能力.
巩固训练
计算:
(1)(12a3-6a2+3a)÷3a;
(2)(20a2-4a)÷4a;
(3)[(a+b)2-(a-b)2]÷2ab;
(4)(24x2y-12xy2+8xy)÷(-6xy).
解:(1)原式=(12÷3)a3-1-(6÷3)a2-1+(3÷3)a1-1
=4a2-2a+1.
(2)原式=(20÷4)a2-1-(4÷4)a1-1
=5a-1.
(3)原式=[a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)]÷2ab
=4ab÷2ab
=2.
(4)原式=-(24÷6)x2-1y1-1+(12÷6)x1-1y2-1-(8÷6)
=-4x+2y-43.
设计意图:通过巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习效果.
课堂小结
1.多项式除以单项式的解题步骤是什么?
2.在多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的过程中,需要注意哪些细节?
3.在计算过程中,遇到了哪些问题?
设计意图:通过课堂小结,让新知识与旧知识得到同化,并且内化成自身的数学体系,提高学生的数学素质.
课堂8分钟.
1.教材第104页练习第3题,教材第105页习题14.1第6题(5),(6).
2.七彩作业.
第6课时 多项式除以单项式
1.多项式除以单项式的法则.
2.解决方法:转化为单项式除以单项式.
3.注意正负号.
教学反思
运算种类
公式
法则中运算
计算结果
底数
指数
同底数幂乘法
am·an=am+n
乘法
不变
指数相加
幂的乘方
(am)n=amn
乘方
不变
指数相乘