07 第53讲　抛物线 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份07 第53讲　抛物线 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共8页。试卷主要包含了了解抛物线的简单应用，若过点P的直线l与抛物线C等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的 ,直线l叫作抛物线的 .
2.抛物线的标准方程和几何性质
3.直线和抛物线的位置关系
(1)将直线的方程y=kx+m与抛物线的方程y2=2px(p>0)联立成方程组,消元转化为关于x(或y)的一元二次方程k2x2+2(km-p)x+m2=0(或ky2-2py+2pm=0),其判别式为Δ.
当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点.
当k≠0时,
①Δ>0⇔直线和抛物线相交,有两个公共点;
②Δ=0⇔直线和抛物线相切,有一个公共点;
③Δ0)于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=
(x1-x2)21+y1-y2x1-x22=1+k2|x1-x2|,同理可得|P1P2|=1+1k2|y1-y2|(k≠0).
这里|x1-x2|,|y1-y2|的求法通常使用根与系数的关系,需作以下变形:
|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2,
|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2.
常用结论
抛物线的几个常用结论:
(1)若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则:
①x1x2=p24;②y1y2=-p2;
③|AF|=p1-csα,|BF|=p1+csα,1|FA|+1|FB|=2p;
④弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α,抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫作抛物线的通径)最短;
⑤S△OAB=p22sinα(其中O为坐标原点);
⑥以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
⑦过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
(2)过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交,交点分别为A,B(如图),则直线AB过定点M(2p,0);反之,若过点M(2p,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,则必有OA⊥OB.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知抛物线C:y=4x2,则抛物线C的焦点到其准线的距离为 .
2.[教材改编] 如图所示,某桥是抛物线形拱桥,此时水面宽为4 m,经过一次暴雨后,水位上升了1 m,水面宽为3 m,则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为 m.
3.[教材改编] 已知F是抛物线y=4x2的焦点,点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,则y0= .
题组二 常错题
◆索引:忽视抛物线的焦点位置;忽视直线与抛物线位置关系中的特殊情形.
4.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4),则该抛物线的方程为 .
5.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有
条.
抛物线的定义及应用
例1 (1)[2023·北京卷] 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( )
A.7B.6
C.5D.4
(2)已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,点P(2,3),且点M为抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为( )
A.5B.6
C.7D.8
总结反思
1.抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,注意转化思想的运用.
2.利用抛物线定义可以解决距离的最大或最小问题,该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
3.利用抛物线定义进行距离转化的同时,要注意平面几何知识在其中的应用.
变式题 (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,点B满足OB=5OF(O为坐标原点),且线段AB的中垂线经过点F,则|AB||AF|=( )
A.32B.1C.2D.3
(2)[2023·全国乙卷] 已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
(3)[2024·广州模拟] 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p= .
抛物线的标准方程
例2 (1)[2023·天津卷] 过原点O的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交抛物线y2=2px(p>0)于O,P两点,若|OP|=8,则p的值为 .
(2)分别根据下列条件,求抛物线的方程.
①抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
②抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.


总结反思
求抛物线标准方程的方法:
①直接法:直接利用题中已知条件确定参数p.
②待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx(m≠0)或x2=my(m≠0).
注意:参数p的几何意义是焦点到准线的距离,可以利用它的几何意义来解决问题.
变式题 (1)若点A,B均在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,正三角形OAB的面积为43,则该抛物线的方程是 .
(2)[2023·山东肥城模拟] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,∠HFM=30°,则抛物线C的方程为 .
抛物线的几何性质
例3 (1)(多选题)已知直线l:3x-y-3=0过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是( )
A.抛物线C的方程为y2=4x
B.线段AB的长度为83
C.∠MFN=90°
D.线段AB的中点到y轴的距离为83
(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,则直线AB的方程为 .
总结反思
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想.
变式题 (1)抛物线C:y2=4x的焦点为F,P,R为C上位于F右侧的两点,Q为平面内任意一点,若四边形PFRQ为正方形,则|PF|=( )
A.4+22B. 4-22
C. -2+22D. 2+22
(2)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
直线与抛物线
例4 (1)[2023·郴州模拟] 过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作斜率为22的直线l,与抛物线C交于A,B两点,若AF=λFB,则λ=( )
A.12B.13或3
C.12或2D.3
(2)(多选题)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
总结反思
(1)求解直线与抛物线问题,一般利用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),则可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则可用弦长公式.
变式题1 (1)[2024·武汉九校联考] 抛物线E:y2=3x的焦点为F,顶点为O,其上两点A,B满足OA⊥OB,过点O作OC⊥AB于C,则|CF|的取值范围是( )
A.(0,3] B.94,332
C.34,94D.34,3标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
性
质
顶点
O(0,0)
对称轴
直线y=0
直线x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=
准线方程




范围
x≥0,y∈R
x≤0,
y∈R
y≥0,
x∈R
y≤0,
x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中
P(x0,y0))
|PF|=

|PF|=

|PF|=

|PF|=

通径长
2p
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(进群送往届全部资料)(2)[2023·浙江Z20名校联盟三联] 已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点M(1,0)作直线l交C于A,B两点,且AM=2MB,则点B的横坐标为 .
变式题2 [2023·全国甲卷] 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,FM·FN=0,求△MFN面积的最小值.