09 增分微课4　空间中的动态问题 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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例2 52 [解析] 如图,取BB1的中点P,连接CP,PD1,CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得BA1∥CD1,∵BA1⊂平面A1BE,CD1⊄平面A1BE,∴CD1∥平面A1BE.由P为BB1的中点,E为DD1的中点,易得CP∥A1E,∵A1E⊂平面A1BE,CP⊄平面A1BE,∴CP∥平面A1BE.又CP∩CD1=C,∴平面PCD1∥平面A1BE.若D1M∥平面A1BE,则M∈平面PCD1,又M∈侧面B1BCC1,∴点M的轨迹为线段PC.由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,得PC=1+14=52,即点M的轨迹长度为52.
例3 (1)AC (2)64 [解析] (1)对于A,△ADC和△ABC是全等三角形,∠ABC=90°,
∠BAC=60°,AB=2,可得AC的中点O到A,B,C,D的距离均相等,故O为三棱锥D1-ABC的外接球的球心,AC为外接球的直径,∴外接球的半径为12AC=2,∴三棱锥D1-ABC的外接球的表面积为4π×22=16π,为定值,故A正确;对于B,根据三垂线定理可得,当CD1在底面ABC上的射影为BC时,才能满足AB⊥CD1,此时CD1与CB重合,不能构成三棱锥,∴不存在满足条件的D1,故B错误;对于C,当三棱锥A1-BCD的体积最大时,平面A1BD⊥平面BCD,此时BD=23,△BCD为等边三角形,点A1到平面BCD的距离为1,∴VA1-BCD=13×12×(23)2×32×1=3,故C正确;当A1C⊥A1D时,可得A1C⊥A1B,∵A1B∩A1D=A1,∴A1C⊥平面A1BD,则∠A1BC是BC与平面A1BD所成的角,∵BC=23,A1B=2,∴由勾股定理可得A1C=22,在Rt△A1BC中,
sin∠A1BC=A1CBC=2223=63,故D错误.故选AC.
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(进群送往届全部资料)(2)如图所示,取BD的中点E,连接CE,AE,AC,因为AB=AD,CB=CD,所以BD⊥AE,BD⊥CE,故∠CEA是二面角A-BD-C的平面角,且BD⊥平面ACE.依题可知△ACE是正三角形,作AF⊥CE于点F,连接BF,则BD⊥AF,又因为AF⊥CE,BD∩CE=E,所以AF⊥平面BCD,即∠ABF是直线AB与平面BCD所成的角.在Rt△AFE中,AF=32AE,又AE=12BD,所以AF=32AE=34BD,因为△ABD是等腰直角三角形,所以AB=22BD,从而sin∠ABF=AFAB=34BD22BD=64.
例4 (1)A (2)D [解析] (1)如图,连接PC,则∠CPB为直线PB与平面CC1D1D所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,PC1=x(0≤x≤a),∴PB=BC2+PC2=BC2+PC12+CC12=2a2+x2,∴sin∠CPB=BCPB=a2a2+x2=12+xa2,又∵ 0≤xa≤1,∴ 2≤2+xa2≤3,∴13≤12+xa2≤12,则33≤12+xa2≤22,即直线PB与平面CC1D1D所成角的正弦值的取值范围是33,22.故选A.
(2)如图,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系.设BP=λBD1(0≤λ≤1),则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),所以BD1=(-1,-1,2),所以BP=λBD1=(-λ,-λ,2λ),因为AB=(0,1,0),AC=(-1,1,0),所以AP=AB+BP=(0,1,0)+(-λ,-λ,2λ)=(-λ,1-λ,2λ).设平面APC的法向量为n=(x,y,z),则n·AC=-x+y=0,n·AP=-λx+(1-λ)y+2λz=0,可取n=(2λ,2λ,2λ-1),则点B到平面APC的距离d=|AB·n||n|=|2λ|12λ2-4λ+1.当λ=0时,点B到平面APC的距离为0,当0<λ≤1时,d=|2λ|12λ2-4λ+1=13-1λ+14λ2=12+141λ-22≤22,当且仅当λ=12时取等号,所以点B到平面APC距离的最大值为22.故选D.