02 增分微课3　与球有关的切、接问题 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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(1)A (2)C (3)C [解析] (1)由题意,设球的球心为O,半径为R,正三棱台的上、下底面分别为△A1B1C1,△A2B2C2,A1A2,B1B2,C1C2均为正三棱台的棱,则△A1B1C1,△A2B2C2都是等边三角形.设△A1B1C1,△A2B2C2的外接圆圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2=1.连接O1A1,O2A2,∵等边三角形A1B1C1和等边三角形A2B2C2的边长分别为33,43,∴O1A1=3,O2A2=4.连接OA1,OA2,若点O在线段O1O2上,则R2=O1A12+OO12=O2A22+(1-OO1)2,即32+OO12=42+(1-OO1)2,可得OO1=4>O1O2,矛盾,故点O在线段O1O2的延长线上.由题意得R2=O1A12+(OO2+1)2=O2A22+OO22,可得OO2=3,R=5,∴该球的表面积S=4πR2=100π.
(2)因为VA⊥底面ABC,AB,AC⊂底面ABC,所以VA⊥AB,VA⊥AC,因为∠BAC=90°,所以AB⊥AC,又AB=AC=AV=2,所以AB,AC,VA可看作棱长为2的正方体共顶点的三条棱,易知该正方体与三棱锥V-ABC有相同的外接球,所以该三棱锥外接球的半径R=12×22+22+22=3.设该三棱锥的内切球的半径为r,因为∠BAC=90°,所以BC=AB2+AC2=22+22=22,因为VA⊥AB,VA⊥AC,AB=AC=VA=2,所以VB=VC=VA2+AB2=22+22=22.由三棱锥的体积公式可得3×13×12×2×2·r+13×12×22×22×32·r=13×12×2×2×2,解得r=3-33,所以r∶R=3-33∶3=(3-1)∶3,故选C.
(3)如图,设正方形ABCD的边长为2x,在等边三角形PAB中,过点P作PE⊥AB于E,因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PE⊥平面ABCD.因为△PAB是等边三角形,所以PE=3x,所以VP-ABCD=13·S正方形ABCD·PE=13×(2x)2×3x=363,解得x=3.设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,O1为正方形ABCD的中心,O2为等边三角形PAB的中心,O为四棱锥P-ABCD外接球的球心,连接O2O,OO1,EO1,PO,则易知四边形OO2EO1为矩形,则OO2=EO1=12AD=3,PO2=23PE=23×33=23,所以R=OP=OO22+PO22=9+12=21,所以外接球的表面积S=4π×(21)2=84π.故选C.
变式题 (1)B (2)D [解析] (1)由题意可知,四面体A-BCD可以看成一个长方体的一部分,如图所示,设该长方体共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,则x2+y2=7,x2+z2=29,y2+z2=28,可得x=2,y=3,z=5.易知四面体A-BCD与长方体有相同的外接球,设外接球的半径为R,则(2R)2=(3)2+52+22,可得R=22,所以四面体A-BCD外接球的表面积S=4πR2=4×π×(22)2=32π.故选B.
(2)如图,因为三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,PA为球O的直径,所以PB⊥AB,PC⊥AC.因为∠ACB=90°,即AC⊥BC,PC∩BC=C,所以AC⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC,所以AC⊥PB.又AB⊥PB,AC∩AB=A,所以PB⊥平面ABC.在Rt△PAB中,PA=4,AB=2,所以PB=PA2-AB2=23,即点P到底面ABC的距离为23.故选D.
例2 [思路点拨] 根据正三棱锥的几何性质,确定六面体外接球球心的位置及半径与正三棱锥的底边长、高的关系,从而列方程求得半径,即可得六面体外接球的体积.
1639π [解析] 如图所示,记两个全等的正三棱锥为三棱锥A-BCD和三棱锥A'-BCD,设点A在平面BCD上的射影为点O,连接AO,A'O,BO,则A',O,A三点共线.因为组合后的六面体存在外接球,所以O为外接球的球心.设AO=a,则BO=a,外接球的半径也为a,因为O为△BCD的中心,所以BCsinπ3=2a,则BC=3a,所以VA-BCD=13S△BCD·OA=13×(3a)2×34·a=1,可得a3=433,所以六面体外接球的体积V=43πa3=43π×433=1639π.
变式题 B [解析] 设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面圆的距离为d,∵V球=43πR3=323π,∴R=2.又两个圆锥的高之比为1∶3,∴d=1,r=22-1=3,∴这两个圆锥的体积之和为13π×(3)2×4=4π.
例3 [思路点拨] 求出该正三棱锥的表面积与体积,再利用等体积法列方程求解.
D [解析] 设该正三棱锥为P-ABC,内切球的半径为r,过点P作PD⊥平面ABC于点D,连接AD并延长,交BC于点E,连接PE.∵△ABC是正三角形,∴E是BC的中点,D为△ABC的中心.∵AB=23,∴S△ABC=33,DE=1,PE=2,∴该正三棱锥的表面积S表=3×12×23×2+33=36+33.该正三棱锥的体积V=13×33×1=3,则13S表·r=V,即13×(36+33)·r=3,解得r=2-1.故选D.
变式题 4-65 [解析] 因为BA,BC,BD两两垂直,BA=1,BC=BD=2,所以AC=AD=5,CD=22.取CD的中点E,连接AE,则AE⊥CD,所以AE=AD2-DE2=3,则△ACD的面积为12×22×3=6,所以四面体ABCD的表面积S=12×1×2×2+12×2×2+6=4+6,易知四面体ABCD的体积V=13×1×12×22=23.设四面体ABCD内切球的半径为r,则V=13S·r,所以r=3VS=24+6=4-65.
例4 [思路点拨] (1)设正四棱锥的高为h,由l的取值范围得到h的取值范围,将体积表示成关于h的函数,则可利用导数法或基本不等式法求出体积的取值范围.(2)设出相应的量,得到球O的半径R的表达式,即可利用基本不等式求最小值,进而得到表面积的最小值.
(1)C (2)43π [解析] (1)方法一(导数法):如图,连接AC,BD交于点O1,连接SO1.设正四棱锥S-ABCD的高SO1=h,底面边长为a,则AO1=22a,设正四棱锥外接球的半径为R,则由43πR3=36π,得R=3.延长SO1,交球面于点M,连接AM,则SM为球的直径,易知AO1⊥SM,在Rt△SAM中,由射影定理知,l2=6h,12a2=h(6-h),所以a2=2h(6-h),h=l26∈32,92,所以正四棱锥S-ABCD的体积为13a2h=23h2(6-h)=23(-h3+6h2).记V(h)=23(-h3+6h2),h∈32,92,则V'(h)=2(-h2+4h),h∈32,92,当h∈32,4时,V'(h)>0,V(h)单调递增,当h∈4,92时,V'(h)<0,V(h)单调递减,所以V(h)max=V(4)=643,V(h)min=minV32,V92=min274,814=274,所以该正四棱锥体积的取值范围是274,643.
方法二(基本不等式法):由方法一得V=13a2h=13(12-2h)h×h≤13×(12-2h)+h+h33=643(当且仅当h=4时取等号),当l=3时,h=32,a=332,则V=13a2h=13×3322×32=274.当l=33时,h=92,a=332,正四棱锥的体积V=13a2h=13×3322×92=814,274<814<643,故该正四棱锥体积的取值范围是274,643.
(2)设正三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,AC=BC=AB=a,则3a×h=9,所以h=3a.设△ABC外接圆的半径为r,则2r=asinπ3,解得r=3a3.设球O的半径为R,则R2=r2+h24=a23+94a2≥3,当且仅当a2=332时,等号成立,所以球O的表面积的最小值为4π×3=43π.
变式题 (1)B (2)C [解析] (1)设矩形的两邻边长分别为x,y,可得8=xy≤x+y22,当且仅当x=y=22时,等号成立,则x+y≥42,所以当矩形ABCD是边长为22的正方形时,矩形的周长最小.沿对角线AC把△ACD折起,得到三棱锥D-ABC,易知三棱锥D-ABC外接球的球心是AC的中点,半径为AC长的一半,此时外接球的半径R=12AC=22AB=2,所以此时三棱锥D-ABC外接球的表面积S=4πR2=16π,故选B.
(2)设该圆锥内切球的球心为O,圆锥底面圆的圆心为O1,底面半径为R,高为h,体积为V,作出该几何体的轴截面,如图所示,圆O与PB切于点C,连接OC,PO1,则P,O,O1三点共线.
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(进群送往届全部资料)方法一:由等面积法可得S△PAB=12×2R·h=12×(2R+2R2+h2)×1,化简得h=2R2R2-1,所以V=13πR2·h=2π3×R4R2-1,又R4R2-1=(R2-1)2+2(R2-1)+1R2-1=(R2-1)+1R2-1+2≥2(R2-1)·1R2-1+2=4,当且仅当R2-1=1R2-1,即R=2时取等号,所以V≥2π3×4=8π3.
方法二:易知△POC∽△PBO1,所以Rh=1(h-1)2-12,所以R2=hh-2,则V=13πR2·h=π3×h2h-2=π3×(h-2)+4h-2+4≥8π3,当且仅当h-2=4h-2,即h=4时取等号.故选C.