07 第45讲　空间角 【正文】作业 高考数学二轮复习练习

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1.已知直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则( )
A.α=θ B.α=π-θ
C.cs θ=|cs α| D.cs α=|cs θ|
2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若=2π3,则l与α所成的角为( )
A.2π3 B.π3C.π6D.5π6
3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是( )
A.8525B.455C.855D.4525
4.点A,B分别在空间直角坐标系Oxyz的x,y轴的正半轴上,点C(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为θ,则cs θ的值为( )
A.-53B.53
C.-23D.23
5.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,△ABC是正三角形,M,N分别是AB,PC的中点,则直线MN与PB所成角的余弦值为 .
6.[2023·丹东二模] 如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”,底部封闭,上部开口,把该升斗看作一个正四棱台,尺寸如图所示,则该四棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 .
7.[2023·莆田模拟] 在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是边长为8的等边三角形,PA⊥平面ABC,PA=14,则AB与平面PBC所成角的正弦值为( )
A.7183122B.793122
C.5183122D.61122
8.如图,在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼,四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱看成正四棱柱,钟面圆心在棱柱侧面中心上),在整点时刻(在0点至12点中取整数点,含0点,不含12点),已知在3点时和9点时,相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直,则在2点时和8点时,相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为( )
A.26B.14
C.36D.24
9.(多选题)[2023·湖州模拟] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1,若直线AC1与BB1所成的角是45°,则( )
A.直线A1B1与BC所成的角为60°
B.直线AC1与BC所成角的余弦值为24
C.直线AA1与平面AB1C1所成的角为45°
D.直线AB与平面A1ACC1所成的角为60°
10.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在面对角线B1C上运动,则下列结论正确的有( )
A.直线BD1⊥平面A1C1D
B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是π4,π2
D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为63
11.(多选题)已知异面直线a与b所成的角为60°,平面α与平面β的夹角为80°,直线a与平面α所成的角为15°,点P为平面α,β外一定点,则下列结论正确的是( )
A.过点P且与直线a,b所成的角均为30°的直线有3条
B.过点P且与平面α,β所成的角均为30°的直线有4条
C.过点P作与平面α成55°角的直线,可以作无数条
D.过点P作与平面α成55°角的直线,可以作3条
12.[2023·山东潍坊三模] 已知四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD=26,且该四面体的体积为122,则异面直线AD与BC所成角的大小为 .
13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,E是侧面AA1B1B(含边界)上的动点,且有AB1⊥平面C1DE,则直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为 .
14.[2023·安徽亳州一中二模] 已知四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,BC=CD=12AB=2,PA⊥BD.
(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
15.[2023·沈阳三模] 如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC,点D为BC的中点.
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(进群送往届全部资料)(1)求平面PAD与平面PBD的夹角的余弦值.
(2)在直线AB上是否存在点M,使得PM与平面PAD所成角的正弦值为16?若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由.
16.[2023·福建泉州三模] 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上.
(1)证明:PN⊥AM;
(2)当平面PMN与平面ABC的夹角为45°时,求平面PMN与侧面A1ACC1的交线长.