2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷

2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷

1. 下列四个数中，最小的数是

A. 0 B.  C. 2022 D.

2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 2021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 如图所示正三棱柱的主视图是
    

A.
B.
C.
D.
 

5. 如图，点D，E分别在的边BA，BC上，，过BA上的点位于点D上方作，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 一次函数的图像经过

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

7. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为

A. 7h，7h B. 8h， C. 7h， D. 8h，8h

8. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是
   
    

A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是
   
    

A.  B.
C. 或 D. 或

10. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是

A.  B.
C.  D.

11. 因式分解：______.
12. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是______.
13. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为______.
14. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：
    ①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接
    ②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接则的度数为______.
15. 一块直角边分别为6cm和8cm的三角木板，绕6cm的边旋转一周，则斜边扫过的面积是______ 结果用含的式子表示
    
     

16. 在直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到；第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为______.

17. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
18. 解不等式组：
    
    
    
    
    
    
     
19. 长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是已知楼房高AB约是结果用根号表示
    求楼房与电视塔底部距离AD的长；
    求电视塔的高度．

20. 为贯彻全民健身国家战略、实施健康中国行动，长沙市设立了多个智慧社区健身中心，相比于传统商业健身房，智慧社区健身中心有距离近、价格优惠、场馆智能等优势．为了解消费者对于身边智慧社区健身中心的满意程度，随机抽取若干名到智慧社区健身中心的消费者进行调研，根据调研情况制作了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
    
    此次随机调研了______人，并将条形统计图补充完整；
    在扇形统计图中，满意程度为“非常满意”所占百分比为______，满意程度为“基本满意”所对应的扇形圆心角的度数为______；
    若目前到智慧社区健身中心健身的人有600人，请你估计对于智慧社区健身中心持满意观点满意及以上的人数．
    
    
    
    
    
    
     
21. 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，顶点为
    求抛物线的解析式；
    求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．
    该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？
    该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，四边形ABCD中，，，点E是AD的中点，连接BE，将沿BE折叠后得到，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接
    求证：四边形ABCD是矩形；
    求证：；
    若点，，求DF的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 在y关于x的函数中，对于实数a，，当时，函数y有最大值，满足，则称函数为“倍增函数”．
    当，时，判断下列函数是否为“倍增函数”？如果是，请在对应_____内画“√”，如果不是，请在对应_____内画“”；
    ①______；
    ②______；
    ③______.
    当时，反比例函数为“倍增函数”，求实数a的值；
    已知二次函数是“倍增函数”，且y有最大值4，求实数a的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，BC为的一条弦，D为弦BC所对的劣弧的中点，A为弦BC所对的优弧上的点，连接AD交BC于点E；
    
    如图1，过D作的切线MN，求证：；
    如图2，若BC为的直径，连接AB，AC，DB；
    ①求证：；
    ②若，，点F为的内心，求OF的长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：，，而，
，
最小的数是
故选：
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】【试题解析】

解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．
根据科学计数法的形式，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】
解：393000米米．
故选  

4.【答案】B
 

【解析】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选
 

5.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
，



故选：
根据，得，由，得，，由此求得即可．
本题考查了平行线的性质和垂线的定义，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的性质．一次函数的图象有四种情况：
①当，，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当，，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
根据一次函数中的k、b判定该函数图象所经过的象限．
【解答】
解：，
一次函数的图象一定经过第二、四象限；
又，
一次函数的图象与y轴交于负半轴，
一次函数的图象经过第二、三、四象限；
故选  

7.【答案】C
 

【解析】解：出现了19次，出现的次数最多，
所调查学生睡眠时间的众数是7h；
共有50名学生，中位数是第25、26个数的平均数，
所调查学生睡眠时间的中位数是
故选：
直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．
此题主要考查了众数、中位数的概念，正确把握中位数的概念是解题关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作，，

两把完全相同的长方形直尺，
，
平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，
故选：
过两把直尺的交点P作，，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：点，，以原点O为位似中心，将扩大为原来的4倍，
点A的对应点的坐标是：或
故选：
直接利用位似图形的性质得出对应点坐标．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
由题意可得门高尺、宽尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得的方程．
【解答】
解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
，
故选：  

11.【答案】
 

【解析】解：
故答案为：
根据因式分解的定义，用提公因式法得
本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握公因式的找法是解题的关键．
 

12.【答案】7
 

【解析】解：由题意可得，
红球的概率为，
则这个口袋中红球的个数：个
故答案为：
先求出摸到红球的频率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 

13.【答案】2022
 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，

故答案为：
根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由作法得，，
，
，
，
，
，

故答案为：
由作法得，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，，然后计算即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
 

15.【答案】
 

【解析】解：一块直角边分别为6cm和8cm的三角木板，绕6cm的边旋转一周，
斜边扫过的面积是底面半径为8cm，母线长为的圆锥，
，
故答案为：
利用斜边扫过的面积是底面半径为8cm，母线长为10cm的圆锥，利用圆锥侧面积公式，求出即可．
此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及几何旋转体的知识等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．得到这个立体图形是一个圆锥，利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：点坐标为，
，
第一次旋转后，点在第一象限，；
第二次旋转后，点在第二象限，；
第三次旋转后，点在 x轴负半轴，；
第四次旋转后，点在第三象限，；
第五次旋转后，点在第四象限，；
第六次旋转后，点在 x轴正半轴，；
如此循环，每旋转6次， A的对应点又回到 x轴正半轴上，
，
循环了337次，点在x轴正半轴上，且，

每旋转6次， A的对应点又回到 x轴正半轴上，故在x轴正半轴上，且，由此求解即可．
本题主要考查了点的坐标规律探索，旋转变换，涉及等边三角形、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够根据题意找到规律．
 

17.【答案】解：原式


 

【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、有理数的乘方运算法则、二次根式的性质分别化简，进而利用实数的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、有理数的乘方运算、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是，
，
在中，，
，
，
答：楼房与电视塔底部距离AD的长为；
在一楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是，
，
在中，，

答：电视塔的高度为
 

【解析】由锐角三角函数定义求出AD的长即可；
由锐角三角函数定义求出CD的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：此次随机调研了：人，
“非常满意”的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

故答案为：200；
在扇形统计图中，满意程度为“非常满意”所占百分比为：，满意程度为“基本满意”所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：；；
人，
答：估计对于智慧社区健身中心持满意观点满意及以上的人数为420人．
根据“满意”的人数和所占的百分比求出总人数，进而求出“非常满意”的人数，再将条形统计图补充完整即可；
用“非常满意”人数除以总人数即可得出满意程度为“非常满意”所占百分比，再用乘以“非常满意”部分所占的百分比即可求出该部分的扇形的圆心角的度数；
用样本估算总体即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】解：直线，当时，由，得；当时，，
、，
将、代入，得，解得，
抛物线的解析式为
，
抛物线的顶点P为，如图，
设AB交对称轴于C，则，
，

 

【解析】由直线求出其与坐标轴的交点坐标，再代入抛物线解析式，求出待定系数的值；
求得抛物线的顶点P，进而求得直线AB交对称轴的交点C，然后根据即可求得．
此题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】解：设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，
依题意得：，
解之得：
答：物流公司月运输A种货物100吨，B种货物150吨．
设A种货物为a吨，则B种货物为吨，
依题意得：，
解得：，
设获得的利润为W元，则，
根据一次函数的性质，可知W随着a的增大而增大
当W取最大值时，
即元．
所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．
 

【解析】设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等式组，解方程组求解即可；
运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．
本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形；
证明：将沿BE折叠后得到，
≌，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
解：由折叠可知，
由知，
，
，，，
，，
，
，
解得
 

【解析】根据，，可得，即可证明四边形ABCD是矩形；
由折叠的性质得出，，可证明，则可得出结论；
由全等三角形的性质得出，由勾股定理可得出答案．
本题为四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握翻折变换是轴对称变换，变换前后图形互相重合是解题的关键．
 

24.【答案】
 

【解析】解：，，
，
①当时，对，当时函数有最大值6，
不是“倍增函数”；
②当时，对，当时函数有最大值0，
不是“倍增函数”；
③当时，对，当时函数有最大值4，
是“倍增函数”；
故答案为：，，√；
，
，
反比例函数为“倍增函数”，
当时，函数y有最大值，
当时，对函数，当时函数有最大值8，
，
；
当时，对函数，当时函数有最大值，
，
，
，
无解；
综上所述：；
，y有最大值4，
，
二次函数是“倍增函数”，
当时，函数有最大值为，
，
，
解得或；
当时，函数有最大值为，
，
解得或；
综上所述：a的值为或或或
①当时函数有最大值6；②当时函数有最大值0；③当时函数有最大值4；
由题意可得，分两种情况讨论：当时，当时函数有最大值8，即，可求；当时，当时函数有最大值，则，此时a无解；
由题意可得，分两种情况讨论：当时，函数有最大值为，解得或；当时，函数有最大值为，解得或
本题考查函数的新定义，理解定义，能将所求的问题转化为反比例函数与二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：连接OD，交BC于点P，

为弧BC的中点，
，
与相切，
，

①，
，
∽，
，

②，，
由①可得：，
，
，
设，则，
，，
∽，

，
，
解得：或舍，
∽，
，
，
，
如图，将单独分析，过点F作于点G，作于点Q，作于点P，

为内心，
，
，
，
，
，

 

【解析】连接OD，证明且即可；
①利用∽，即可得出结论；
②首先根据①可求出BD，再求出BC，利用∽可求出BE、CE、AC，利用勾股定理求出AB，由于F为内心，过F点作三边的垂线，均为内切圆半径，可求出内切圆半径，进而可得CP的长度，在中利用勾股定理即可求出结果．
本题考查圆综合问题，熟练掌握圆中的常见相似模型、内切圆的性质是解题关键．