2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（二）（含解析）

2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（二）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列四个实数中，是无理数的为

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子从左边至右边变形错误的是

A.  B.  C.  D.

3. 一张纸的厚度约为，则用科学记数法可以表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，要使≌则添加的一个条件不能是

A.
B.
C.
D.
 

5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是

A.  B.
C.  D.

6. 已知的直径是，圆心到直线的距离是，则直线和的位置关系是

A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 外切

7. 如图，为的外接圆，，的半径为，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度与下滑的时间的关系如下表：

以下结论错误的是

A. 当时，约秒
B. 随高度增加，下滑时间越来越短
C. 估计当时，一定小于秒
D. 高度每增加了，时间就会减少秒

9. 如果一组数据的方差是，已知是这组数据中的一个数据，现把去掉，则所得新数据的平均数是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，的圆心依次按点，，，，，循环，其弧长分别记为，，，，，，当时，等于

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 如图，等边三角形的边长为，是它的中位线则的长为______ ．
    
     

12. 计算：______．
13. 单项式的系数为______．
14. 如图，已知，，则的度数是______

15. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是______．
16. 甲、乙、丙、丁与小强这位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，到目前为止，甲赛了盘，乙赛了盘，丙赛了盘，丁赛了盘．则小强已经赛了______盘．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年．星期日，小明与小丽两人来到广阔的草原，一前一后在水平地面上放风筝，结果风筝在空中处纠缠在一起，如图所示，测得，，且小丽、小明之间的距离，求此时风筝处距离地面的高度．温馨提示：，，，，结果保留一位小数

20. “端午节”所示我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽以下分别用、、、表示这四种不用口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图尚不完整．
    
    请根据以上信息回答：
    本次参加抽样调查的居民有多少人？
    将两幅不完整的图补充完整；
    若居民区有人，请估计爱吃粽的人数；
    若有外型完全相同的、、、粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是粽的概率．
21. 如图，矩形的对角线、相交于点，点与点关于对称．
    连接、，求证：四边形是菱形；
    若，，求点、之间的距离．

22. 小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵元，已知用元购买大本作业本的数量与用元购买小本作业本的数量相同．
    求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
    因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的倍，总费用不超过元．则大本作业本最多能购买多少本？
23. 如图，在锐角是中，，以为直径分别交，于点，，于点．
    求证：；
    若，判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求的半径长．

24. 我们将自变量为的函数记作，若点和都在函数的图象上，则称点是点在函数作用下的传承点．如点是点在函数作用下的传承点．
    求点在函数作用下的传承点的坐标；
    直线与双曲线交于、两点，且是在这两个函数作用下的传承点，求直线与双曲线的解析式；
    抛物线与直线交于抛物线对称轴两侧的、两点，点的横坐标为，且是在这两个函数作用下的传承点，抛物线的对称轴是直线，二次函数在、之间的最大值与最小值之差为，求点、的坐标．
25. 如图，是的外接圆，点在上，连结，，，过点作的平行线交于点．
    如图，求证：∽；
    如图，若，，，求；
    如图，为的内心，若在线段上，，，当最大时，求出的半径．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：，，
当添加时，根据“”判定≌；
当添加时，根据“”判定≌；
当添加时，根据“”判定≌．
故选：．
由于，加上为公共角，然后根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
 

5.【答案】

【解析】解：从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C.是因式分解，故C符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：的直径是，
的半径是，圆心到直线的距离是，
直线和相交．
故选：．
直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可．
本题考查的是直线与圆的位置关系，即设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线与圆相交．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，连接，，

是的外接圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：．
由是的外接圆，，易得是等腰直角三角形，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理以及勾股定理，此题难度不大，利用圆周角定理得出是等腰直角三角形是解决此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：由表格知当时，约秒，正确；
B.由表格知随高度增加，下滑时间越来越短，正确；
C.由表格估计当时，一定小于秒，正确；
D.当支撑物高度从升高到，下滑时间的减少，
从升高到时，下滑时间就减少，
从升高到时，下滑时间就减少，
从升高到时，下滑时间就减少，
因此，“高度每增加了，时间就会减少秒”是错误的，
故选：．
根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．
本题考查变量之间的关系，理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意知：新数据平均值．
故选：．
本题根据题意可知平均数为，将乘以得出总数，再用总数减去最后除以即可得到新数据的平均数．
本题关键是从方差公式得到原来的平均数的值和数据的容量，然后再根据平均数的公式计算．
 

10.【答案】

【解析】解：根据正六边形的性质可知，其外角都是，即，
弧长，，，，，，所对应的半径分别为，，，，，
所以，
故选：．
根据正六边形的性质求出“渐开线”每段的圆心角及半径，利用弧长的计算方法进行计算即可．
本题考查弧长的计算，求出弧所在圆的半径和相应的圆心角的度数是正确计算的关键．
 

11.【答案】

【解析】根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
解：是的中位线，
，
故答案为：．
 

12.【答案】

【解析】解：原式


．
故答案为：．
直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：单项式的系数为．
故答案为：．
根据单项式的概念即可求出答案．
本题考查单项式，解题的关键是熟练运用单项式的概念，本题属于基础题型．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，

，
，
，
又，
，
故答案为：．
由“内错角相等，两直线平行”推知，则根据“两直线平行，同位角相等”得到．
本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
 

15.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据弧长计算公式进行求解即可得出答案．
本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式进行求解是解决本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：由于甲已经赛了盘，则甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘；
因为丁赛了盘，则丁这一盘是与甲赛的，没有与其他人赛；
因为乙赛了盘，则乙与甲、丙、小强各下了一盘；
因为丙赛了盘，则丙是与甲和乙赛的．
所以小强赛了两盘，是与甲和乙赛的．
故答案为：．
先根据甲已经赛了盘，可判断甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，再根据丁赛了盘，乙赛了盘，可判断乙与甲、丙、小强各下了一盘，再根据丙赛了盘，可判断小强赛了两盘，是与甲和乙赛的．
本题主要考查推理与论证，根据每人需要赛的总盘数及此时每人已赛的盘数进行分析推理是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：



．

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式


．

【解析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键．
 

19.【答案】解：过点作，垂足为，

设为，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，
，
答：风筝处距离地面的高度为米．

【解析】要求风筝处距离地面的高度，所以过点作，垂足为，设为，然后放在和中，分别表示出和，最后利用，进行解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：人．
答：本次参加抽样调查的居民由人；
，，；
补全统计图如图所示：

人．
答：该居民区有人，估计爱吃粽的人有人；
如图：

第二次吃到粽．
答：他第二个恰好吃到的是粽的概率为

【解析】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
利用频数百分比总数，求得总人数；
根据条形统计图先求得类型的人数，然后根据百分比频数总数，求得百分比，从而可补全统计图；
用居民区的总人数即可；
首先画出树状图，然后求得所有的情况以及他第二个恰好吃到的是粽的情况，然后利用概率公式计算即可．
 

21.【答案】证明：如图，连接交于点，

四边形是矩形，
，，，
，
点与点关于对称．
垂直平分，
，，
，
四边形是菱形；
四边形是矩形，
，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
垂直平分，
，

，
点、之间的距离为．

【解析】连接，根据点与点关于对称．可得垂直平分，可得，进而可以证明结论；
根据矩形性质和证明是等边三角形，进而可得点、之间的距离．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

22.【答案】解：设小本作业本每本元，则大本作业本每本元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：大本作业本每本元，小本作业本每本元．
设大本作业本购买本，则小本作业本购买本，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
的最大值为．
答：大本作业本最多能购买本．

【解析】设小本作业本每本元，则大本作业本每本元，根据数量总价单价结合用元购买大本作业本的数量与用元购买小本作业本的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设大本作业本购买本，则小本作业本购买本，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：四边形是的内接四边形，
，
，
，
同理，，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：直线与相切，理由如下：
，，
是等边三角形，
，
由得，
，
，
是的直径，
直线与相切；
解：连接，

是的直径，
，
，
，
设，则，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
的半径长为．

【解析】首先根据圆内接四边形的性质得，，则，再利用等腰三角形的性质可证明结论；
由三边相等得是等边三角形，得，由得，从而得出，可知直线与相切；
连接，根据圆周角定理得，则，设，则，利用勾股定理得，再求出，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理等知识，利用同弧所对的圆周角相等进行等角的转化是解题的关键．
 

24.【答案】解：将代入中，得，
点在函数作用下的传承点的坐标为；

设，，
点，都在反比例函数图象上，
，
，
将，代入中得，两式相减得，
直线的解析式为，双曲线的解析式为；

抛物线与直线交于抛物线对称轴两侧的、两点，点的横坐标为，
，且，即，
则，即，
对于二次函数在、之间的最大值与最小值之差为，
分和两种情况讨论，
当时，抛物线开口向上，直线上升，由于点在对称轴右侧，点在对称轴左侧，
二次函数在、之间的最大值在点处取得，最小值在顶点处取得，
从而有，解得，
故F，代入，解得或，
当时，求得，，两点重合，舍去，
当时，求得，；
当时，抛物线的开口向下，直线下降，由于点在对称轴右侧，在对称轴左侧，
二次函数在，之间的最小值在点处取得，最大值在顶点处取得，
从而有，解得，
故F，代入，解得或，
当时，求得，，两点重合，舍去，
当时，求得，；
综上所述，，或，

【解析】将代入反比例函数的解析式中求出的值，结合传承点的知识求出答案；
设，，求出和之间的关系，进而求出的值，于是得到答案；
首先求出与和之间的关系，用和表示出点点的坐标，再分和两种情况，用结合最大值和最小值之差为求出和点坐标，最后把点坐标代入二次函数的解析式即可求出的值，即可求出点和点的坐标．
本题主要考查了二次函数的额综合题，设计到知识点有求函数的解析式，二次函数图象与性质以及函数最值的求解，此题需要理解新定义以及分类讨论的解题思想，此题有一定的难度．
 

25.【答案】证明：点在圆上，
，，
又，
，
∽；
解：由可得∽，
，
，
，
；
解：由得：，
，
如图，作，

，
设，，，
，
解得，，
故BC，
，
连接，
为的内心，
，，
，
，
，
当时，最大，
此时，圆的半径为．

【解析】证出，由相似三角形的判定可得出结论；
由相似三角形的性质可得出，则可得出答案；
设，，，由勾股定理可得出，证出，当时，最大，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内心的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．