08 第28讲　余弦定理、正弦定理应用举例 【正文】听课高考数学练习

这是一份08 第28讲　余弦定理、正弦定理应用举例 【正文】听课高考数学练习，共7页。试卷主要包含了方向角，坡角与坡度，1 m,参考数据等内容，欢迎下载使用。

1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫 ,视线在水平线下方时与水平线的夹角叫 (如图①).
2.方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角,范围为[0°,360°)(如图②).
3.方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°,如图③).
4.坡角与坡度
(1)坡角:坡面与水平面的夹角(如图④,角θ为坡角).
(2)坡度:坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比(如图④,i为坡度).
题组一 常识题
1.[教材改编] 如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为
km.
2.[教材改编] 如图,山脚下有一座小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20 m,则山高CD= m.
3.[教材改编] 如图所示,已知A船在灯塔C北偏东80°方向上,且A,C间的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°方向上,且A,B两船间的距离为3 km,则B,C间的距离为
km.
题组二 常错题
◆索引:仰角、俯角的概念不清致误;方向角、方位角的概念不清致误.
4.若某人在点A处测得塔顶端的仰角为30°,此人往塔的方向走了80米到达点B处,测得塔顶端的仰角为45°,则塔的高度约为 米.(忽略人的身高,结果保留整数,3≈1.732)
5.点A在点B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,则点A的方位角是 .
测量距离问题
例1 如图所示,隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达,在岸边取相距4 km的C,D两点,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),则两目标A,B间的距离为( )

A.853 km
B.4153 km
C.2153 km
D.25 km
总结反思
测量距离问题的解题步骤:
(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理求解,如果都可用,那么就选择更便于计算的定理.
变式题 (1)[2023·河北廊坊模拟] 如图是隋唐天坛,古叫圜丘,它位于唐长安城明德门外东1千米处,即今西安市雁塔区陕西师范大学南侧.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径,在天坛外围测得AB=60米,BC=60米,CD=40米,∠ABC=60°,∠BCD=120°,据此可以估计天坛最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236,7≈2.646)( )
A.39米B.43米C.49米D.53米
(2)如图为张衡地动仪,现要在相距200 km的A,B两地各放置一个地动仪,B在A的北偏东30°方向上,若A地的地动仪正东方向的铜丸落下,B地的地动仪东南方向的铜丸落下,则地震的位置在A地正东方向的 km处.
测量高度问题
例2 (1)如图,小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度,他在自己家阳台M处测得M到楼地面底部点N的距离MN为40(2-3)m,假设电视塔底部为E点,顶部为F点,在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P,且E,N,P三点共处同一水平线,在P处测得阳台M、电视塔顶部F的仰角分别是α=15°和β=60°,在阳台M处测得电视塔顶部F的仰角γ=45°,假设EF,MN和点P在同一平面内,则小明测得的电视塔的高EF为( )
A.120 mB.90 m
C.403 mD.(803-120) m
(2)2023年7月28日,第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕.东安阁是公园十二景中的第一景东阁望川,整体采用唐代风格,按照唐式高阁的建筑形制设计建造.某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中,如图,选取与阁底A在同一水平面的B,C两处作为观测点,测得BC=36 m,∠ABC=45°,∠ACB=105°,在C处测得阁顶P的仰角为45°,则他们测得东安阁的高度AP约为(精确到0.1 m,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)( )
A.72.0 mB.25.5 m
C.50.8 mD.62.3 m
总结反思
(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线之间的夹角.
(2)要根据题意正确画出图形,同时空间图形和平面图形要区分开,以免影响解答.
变式题 佛宫寺释迦塔又称应县木塔,始建于公元1056年,是世界上现存最高大、最古老纯木结构楼阁式建筑,与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.如图,小张为测量木塔AB的高度,设计了如下方案:在木塔所在地面上取一点M,并垂直竖立一高度为1 m的标杆MN,从点N处测得木塔顶端A的仰角为60°,再沿BM方向前进92 m到达C点,并垂直竖立一高度为2.5 m的标杆CD,再沿BC方向前进2 m到达点E处,此时恰好发现点A,D在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离EF=1.5 m,则小张用此法测得的木塔的高度AB约为(结果保留1位小数,参考数据:3≈1.732)( )
A.64.5 mB.67.8 m
C.70.2 mD.72.4 m
测量角度问题
例3 某渔船在航行过程中不幸遇险,发出求救信号,我国海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10海里的C处,并测得该渔船正沿方位角为105°的方向以10海里/时的速度向小岛靠拢,我国海军舰艇立即以103海里/时的速度沿直线前去营救,恰好在B处追上渔船,求舰艇航行的方位角和追上渔船所需的时间.


总结反思
(1)先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知和所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键和最主要的一步.
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变式题 (1)(多选题)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°,距离为126 n mile处,测得灯塔C在北偏西30°,距离为83 n mile处.货轮由A处向正北方向航行到D处时,测得灯塔B在南偏东60°方向上,则下列说法正确的是( )
A.A与D之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D的西偏南60°方向上
D.D在灯塔B的北偏西30°方向上
(2)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”,如图,CP为土坡顶部一根旗杆,在坡脚A处测得∠PAC=15°,沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处,测得∠PDC=45°.已知旗杆CP=10 m,PB⊥AB,设土坡对于地平面的坡角为θ,则cs θ=( )
A.2-1B.3-1
C.52-54D.53-54