08 第28讲　余弦定理、正弦定理应用举例 【答案】听课高考数学练习

这是一份08 第28讲　余弦定理、正弦定理应用举例 【答案】听课高考数学练习，共5页。
【知识聚焦】
1.仰角 俯角
【对点演练】
1.3 [解析] 在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理得ABsinC=BCsinA,则AB=BCsinCsinA=1×3212=3(km).
2.10(3+3) [解析] 如图,过点C作CE∥DB,与BA的延长线交于点E,则∠ACE=45°,
∠DBC=60°.设CD=x m,则AE=(x-20)m.因为tan 60°=CDBD,所以CE=BD=CDtan60°=x3=3x3(m).
在△AEC中,AE=CE,故x-20=3x3,解得x=10(3+3).
3.6-1 [解析] 由题意知∠ACB=80°+40°=120°,设BC=x km,
则由余弦定理知9=x2+4-4xcs 120°,∵x>0,∴x=6-1.
4.109 [解析] 如图,设CD为塔,由题知AB=80米.设CD=h米,则BC=h米,则由已知得(80+h)×tan 30°=h,解得h=40(3+1)≈109.
5.200° [解析] 根据方位角的概念可得点A的方位角为200°.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 在△ACD中,利用正弦定理求出AD,在△BCD中,利用正弦定理求出BD,在△ABD中,利用余弦定理求出AB.
B [解析] 在△ACD中,∠CAD=180°-75°-45°-30°=30°,∠ACD=75°+45°=120°,由正弦定理得CDsin∠CAD=ADsin∠ACD,则AD=CD·sin∠ACDsin∠CAD=4×3212=43.在△BCD中,∠CBD=180°-45°-45°-30°=60°,
∠BCD=45°,由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD,则BD=CD·sin∠BCDsin∠CBD=4×2232=463.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cs∠ADB=48+323-2×43×463×22=803,可得AB=4153,则A,B间的距离为4153 km.故选B.
变式题 (1)D (2)100(3+1) [解析] (1)连接AC,在△ACB中,AB=60米,BC=60米,
∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,则AC=60米,∠ACB=60°,所以∠ACD=120°-60°=60°.在△CDA中,AD2=AC2+CD2-2AC·CDcs 60°=602+402-2×60×40×12=2800,所以AD=207≈53(米).
(2)如图,设地震的位置在C处,由已知得AB=200 km,A=60°,B=75°,C=45°.根据正弦定理可得200sin45°=ACsin75°,又sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cs 30°+cs 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24,所以AC=200sin75°sin45°=200×6+2422=100(3+1)(km),所以地震的位置在A地正东方向的100(3+1)km处.
例2 [思路点拨] (1)根据题意可得PM=MNsin15°,在△FPM中利用正弦定理可求得PF=3MN1-cs30°,进而在Rt△PEF中可求得EF.(2)在△ABC中,由正弦定理可求得AC=362 m,进而在△APC中可得结果.
(1)A (2)C [解析] (1)在Rt△PMN中,PM=MNsin15°,在△FPM中,∠FMP=45°+15°=60°,
∠FPM=180°-60°-15°=105°,则∠MFP=180°-105°-60°=15°,由正弦定理得MPsin∠MFP=PFsin∠PMF,则PF=sin∠PMFsin∠MFP·MP=sin60°sin15°·MNsin15°=32×MNsin215°=3MN1-cs30°.在Rt△PEF中,EF=PF·sin 60°=3MN1-cs30°·
sin 60°=403×(2-3)1-32×32=120(m).故选A.
(2)在△ABC中,∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=30°,因为BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,所以AC=BCsin∠ABCsin∠BAC=36×2212=362(m).在△APC中,∠PAC=90°,∠ACP=45°,即△APC为等腰直角三角形,所以AP=AC=362≈50.8(m).故选C.
变式题 B [解析] 如图,过点N作NQ⊥AB于点Q,过点F作FP⊥AB于点P,交CD于点G,则四边形BMNQ,BCGP,CEFG,BEFP都是矩形,所以BQ=MN=1 m,
BM=QN,BP=CG=EF=1.5 m,FG=CE=2 m,所以DG=CD-CG=2.5-1.5=1(m).在Rt△AQN中,QN=AQtan∠ANQ=AB-1tan60°=AB-13,所以FP=BM+MC+CE=AB-13+94,由已知得△DFG∽△AFP,所以FGDG=FPAP,即21=AB-13+94AB-1.5,所以AB=581+95311≈581+95×1.73211≈67.8(m).故选B.
例3 [思路点拨] 设所需时间为t小时,用t表示出AB和CB,在△ABC中应用余弦定理可求出t,再用正弦定理可求出∠CAB,进而可得方位角.
解:如图所示,设所需时间为t小时,则AB=103t海里,CB=10t海里,在△ABC中,
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cs 120°,
即(103t)2=102+(10t)2-2×10×10tcs 120°,
整理得2t2-t-1=0,可得t=1,
所以舰艇需1小时追上渔船.AB=103海里,CB=10海里,
在△ABC中,由正弦定理得CBsin∠CAB=ABsin∠ACB,
所以sin∠CAB=CBsin∠ACBAB=10×32103=12,
所以∠CAB=30°,所以舰艇航行的方位角为75°.
变式题 (1)AC (2)D [解析] (1)如图,由题意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,
∠CAD=30°,AB=126,AC=83,所以B=180°-60°-75°=45°.在△ABD中,由正弦定理得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=126×2232=24,故A正确;在△ACD中,由余弦定理得CD=AC2+AD2-2AC·ADcs∠CAD,
即CD=(83)2+242-2×83×24×32=83,故B错误;由B项解析知CD=AC,所以
∠CDA=∠CAD=30°,所以灯塔C在D的西偏南60°方向上,故C正确;由∠ADB=60°,得D在灯塔B的北偏西60°方向上,故D错误.故选AC.
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(2)在△ADP中,由正弦定理可得AP=ADsin135°sin30°=252,在Rt△ABP中,易知AB=252cs(θ+15°),PB=252sin(θ+15°),则tan θ=sinθcsθ=252sin(θ+15°)-10252cs(θ+15°),
整理可得cs θ=522sin 15°=522×6-24=53-54.故选D.