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新高考地区专用高中数学高二上学期第一次月考卷02（空间向量与；立体几何+直线与圆）含答案解析.zip
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这是一份新高考地区专用高中数学高二上学期第一次月考卷02（空间向量与；立体几何+直线与圆）含答案解析.zip，文件包含高二数学第一次月考卷02全解全析docx、高二数学第一次月考卷02考试版A4docx、高二数学第一次月考卷02参考答案docx、高二数学第一次月考卷02答题卡A3版docx、高二数学第一次月考卷02考试版A3docx等5份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与方程。
5．难度系数：0.7。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知直线的斜率为.故选：A
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据点关于平面对称时，
横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，
点关于平面的对称点为，故选：C.
3．过原点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为，
又直线过原点，故其方程为.故选：C.
4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
可得，
则，
所以直线，所成角的余弦值为.故选：B.
5．如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．B．C．85D．97
【答案】B
【解析】依题意可得，，，，
，．
，
，
，即的长为.故选：B．
6．若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】D
【解析】因为直线与直线平行，
所以有，所以有，
又因为这两条平行线间距离为，
所以有，或舍去，
所以，故选：D
7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于选项A，，所以，
根据线面垂直的性质可知,故在平面内；
对于选项B，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项C，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项D，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,
故不在平面内；故选：A
8．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（ ）
A．853B．2373
C．415D．533
【答案】A
【详解】解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直线BC的方程为x+y-4=0.
设P(t,0)(0易得P1(4,4-t)，P2(-t,0).
易知直线P1P2就是RQ所在的直线.
所以直线RQ的方程为y=4-t4+t×(x+t).
设△ABC的重心为G，则G43,43，
所以43=4-t4+t⋅43+t，即3t2-4t=0，所以t=0（舍去）或t=43，
所以P14,83，P2-43,0.
结合对称关系可知QP=QP1，RP=RP2，
所以△PQR的周长即线段P1P2的长度为：4+432+83-02=853.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】ACD
【解析】因为，故，故直线的斜截式方程为：，
因为，，故，，
故直线经过第一象限、第三象限、第四象限．故选：ACD．
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【答案】AD
【解析】对于A项：非零向量，，若，则，故A项正确；
对于B项：若对空间中任意一点，有，
则，化简得：，
由空间向量基本定理可知，，，四点不共面，故B项错误；
对于C项：由是空间中的一组基底，则向量，，不共面，而，
所以向量，，共面不能作为基底，故C项错误；
对于D项：若空间四个点，，，， ，
则，即，
所以共线，又因为有公共点，所以，，三点共线，故D项正确.故选：AD.
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A．与平面的夹角的正弦值为B．点到的距离为
C．线段的长度的最大值为D．与的数量积的范围是
【答案】ABD
【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
可得，，
若，则，可得，
则，解得，即.
对于选项A：可知平面的法向量，
则，
所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；
对于选项B：因为，
所以点到的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
且，可得当且仅当时，取到最大值，
所以线段的长度的最大值为3，故C错误；
对于选项D：因为，，
则，
且，可知当时，取到最小值；
当时，取到最大值；
所以与的数量积的范围是，故D正确；故选：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，设直线，，若，则 .
【答案】
【解析】由题意得
当时，直线重合，舍去，故.
13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
【答案】
【解析】由投影向量的定义可知，.
14．已知，则的最小值为
【答案】
【解析】，
设在直线上，点，，
则，，
则,
如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长，
设，则，解得，即，
故，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
【解析】（1）由菱形的性质可知，则分
所以边所在直线的方程为，即；分
边所在直线的方程为，即分
（2）线段的中点为，分
由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，分
所以对角线所在直线的方程为，即分
16．（15分）已知空间向量，，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【解析】（1）空间向量，，，
因为，所以存在实数k，使得，
所以，解得，分
则．分
（2）因为，则，解得，所以，分
故．分
17．（15分）设直线l的方程为a+1x+y-5-2a=0a∈R．
(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A(xA,0)，B(0,yB)，当△AOB面积最小时，求此时的直线方程；
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．
【详解】（1）由a+1x+y-5-2a=0得ax-2+x+y-5=0，
则x-2=0x+y-5=0，解得x=2y=3， ………….(2分)
∴不论a为何值，直线l必过一定点P2,3； ………….(3分)
（2）由a+1x+y-5-2a=0，
当x=0时，yB=5+2a，当y=0时，xA=5+2aa+1， ………….(5分)
又由yB=5+2a>0xA=5+2aa+1>0，得a>-1， ………….(6分)
∴S△AOB=12⋅5+2a⋅5+2aa+1=124a+1+9a+1+12≥1224a+1⋅9a+1+12=12，
当且仅当4a+1=9a+1，即a=12时，取等号． ………….(9分)
∴A4,0，B0,6，
∴直线方程为3x+2y-12=0． ………….(10分)
（3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，
即5+2a，5+2aa+1均为正整数，而a也为正整数， ………….(12分)
∵5+2aa+1=2+3a+1，∴a=2， ………….(14分)
∴直线l的方程为3x+y-9=0． ………….(15分)
18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点，
∴，
∵，∴，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．分
（2）∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD，
又AD，平面ABCD，∴，而，，分
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
∵M为棱PC的中点，
∴分
（i），
设平面BDM的一个法向量为，
则，令，则，∴，
平面PDM的一个法向量为，分
∴，
根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为分
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，
则，分
由（2）知平面BDM的一个法向量为，
，
∴点Q到平面BDM的距离是，分
∴，∴．分
19．（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
【解析】（1）由，，
知，，
所以，所以；分
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，分
①，
分
②因为，所以，
则，分
∵，
∴，分
，
所以与的夹角的余弦值为分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与方程。
5．难度系数：0.7。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知直线的斜率为.故选：A
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据点关于平面对称时，
横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，
点关于平面的对称点为，故选：C.
3．过原点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为，
又直线过原点，故其方程为.故选：C.
4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
可得，
则，
所以直线，所成角的余弦值为.故选：B.
5．如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．B．C．85D．97
【答案】B
【解析】依题意可得，，，，
，．
，
，
，即的长为.故选：B．
6．若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】D
【解析】因为直线与直线平行，
所以有，所以有，
又因为这两条平行线间距离为，
所以有，或舍去，
所以，故选：D
7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于选项A，，所以，
根据线面垂直的性质可知,故在平面内；
对于选项B，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项C，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项D，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,
故不在平面内；故选：A
8．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（ ）
A．853B．2373
C．415D．533
【答案】A
【详解】解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直线BC的方程为x+y-4=0.
设P(t,0)(0
易知直线P1P2就是RQ所在的直线.
所以直线RQ的方程为y=4-t4+t×(x+t).
设△ABC的重心为G，则G43,43，
所以43=4-t4+t⋅43+t，即3t2-4t=0，所以t=0（舍去）或t=43，
所以P14,83，P2-43,0.
结合对称关系可知QP=QP1，RP=RP2，
所以△PQR的周长即线段P1P2的长度为：4+432+83-02=853.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】ACD
【解析】因为，故，故直线的斜截式方程为：，
因为，，故，，
故直线经过第一象限、第三象限、第四象限．故选：ACD．
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【答案】AD
【解析】对于A项：非零向量，，若，则，故A项正确；
对于B项：若对空间中任意一点，有，
则，化简得：，
由空间向量基本定理可知，，，四点不共面，故B项错误；
对于C项：由是空间中的一组基底，则向量，，不共面，而，
所以向量，，共面不能作为基底，故C项错误；
对于D项：若空间四个点，，，， ，
则，即，
所以共线，又因为有公共点，所以，，三点共线，故D项正确.故选：AD.
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A．与平面的夹角的正弦值为B．点到的距离为
C．线段的长度的最大值为D．与的数量积的范围是
【答案】ABD
【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
可得，，
若，则，可得，
则，解得，即.
对于选项A：可知平面的法向量，
则，
所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；
对于选项B：因为，
所以点到的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
且，可得当且仅当时，取到最大值，
所以线段的长度的最大值为3，故C错误；
对于选项D：因为，，
则，
且，可知当时，取到最小值；
当时，取到最大值；
所以与的数量积的范围是，故D正确；故选：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，设直线，，若，则 .
【答案】
【解析】由题意得
当时，直线重合，舍去，故.
13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
【答案】
【解析】由投影向量的定义可知，.
14．已知，则的最小值为
【答案】
【解析】，
设在直线上，点，，
则，，
则,
如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长，
设，则，解得，即，
故，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
【解析】（1）由菱形的性质可知，则分
所以边所在直线的方程为，即；分
边所在直线的方程为，即分
（2）线段的中点为，分
由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，分
所以对角线所在直线的方程为，即分
16．（15分）已知空间向量，，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【解析】（1）空间向量，，，
因为，所以存在实数k，使得，
所以，解得，分
则．分
（2）因为，则，解得，所以，分
故．分
17．（15分）设直线l的方程为a+1x+y-5-2a=0a∈R．
(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A(xA,0)，B(0,yB)，当△AOB面积最小时，求此时的直线方程；
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．
【详解】（1）由a+1x+y-5-2a=0得ax-2+x+y-5=0，
则x-2=0x+y-5=0，解得x=2y=3， ………….(2分)
∴不论a为何值，直线l必过一定点P2,3； ………….(3分)
（2）由a+1x+y-5-2a=0，
当x=0时，yB=5+2a，当y=0时，xA=5+2aa+1， ………….(5分)
又由yB=5+2a>0xA=5+2aa+1>0，得a>-1， ………….(6分)
∴S△AOB=12⋅5+2a⋅5+2aa+1=124a+1+9a+1+12≥1224a+1⋅9a+1+12=12，
当且仅当4a+1=9a+1，即a=12时，取等号． ………….(9分)
∴A4,0，B0,6，
∴直线方程为3x+2y-12=0． ………….(10分)
（3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，
即5+2a，5+2aa+1均为正整数，而a也为正整数， ………….(12分)
∵5+2aa+1=2+3a+1，∴a=2， ………….(14分)
∴直线l的方程为3x+y-9=0． ………….(15分)
18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点，
∴，
∵，∴，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．分
（2）∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD，
又AD，平面ABCD，∴，而，，分
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
∵M为棱PC的中点，
∴分
（i），
设平面BDM的一个法向量为，
则，令，则，∴，
平面PDM的一个法向量为，分
∴，
根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为分
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，
则，分
由（2）知平面BDM的一个法向量为，
，
∴点Q到平面BDM的距离是，分
∴，∴．分
19．（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
【解析】（1）由，，
知，，
所以，所以；分
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，分
①，
分
②因为，所以，
则，分
∵，
∴，分
，
所以与的夹角的余弦值为分
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