人教A版2019高中数学高二上学期第一次月考卷02（选择性必修第一册第1.1~2.3章空间向量与立体几何+直线）含答案解析.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1~2章（空间向量与立体几何+直线与圆）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】易知的斜率为，显然倾斜角为.
故选：C
2．已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由在圆上，故圆心在直线上，
由在圆上，故圆心在直线上，
即圆心，半径，
故方程为.
故选：A.
3．已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4B．2C．3D．1
【答案】D
【解析】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
故选：D
4．已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ）
A．内含B．外切C．相交D．外离
【答案】C
【解析】圆，化为，圆心为，半径为；
圆，化为，圆心为，半径为．
则两圆心距离为，
因为，所以圆与圆相交．
故选：C．
5．在三棱柱中，记，，，点P满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】三棱柱中，记，，，如图所示：

故
．
故选：B．
6．点在圆上运动，点在直线上运动，若的最小值是2，则的值为（ ）
A．10B．C．20D．
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
由于的最小值是，所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
故选：D
7．直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，解得，则直线与直线交于点，
在直线上取点，设点关于直线的对称点，
依题意，，整理得，解得，即点，
直线的方程为，即，
所以直线关于直线对称的直线方程为.
故选：D
8．如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，
为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以．
又因为，平面,
所以平面,平面，所以DC⊥PM．
由于,所以四边形为平行四边形，所以．
又，所以，所以．
因为，所以，
又，平面，所以平面，则面．
取中点，连接，由面，面，则面面，面面，
根据已知易知，所以为三棱柱，
设，多面体的体积为，
则
．
解得．
建立如图所示的空间直角坐标系，则，．
则平面的一个法向量，且，
设平面的一个法向量，则即取．
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量
【答案】ACD
【解析】向量
若，则，，所以，A选项正确；
若，，，不满足，B选项错误；
若，，则，C选项正确；
若，，则向量在向量上的投影向量:
，D选项正确.
故选：ACD
10．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆与轴相切
C．若与圆有交点，则的最大值为0
D．若平分圆的周长，则
【答案】AB
【解析】对于选项A，直线的方程可化为，由，
解得，所以直线过定点，故选项A正确，
对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确，
对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即，
由，整理得到，得到，
又，所以，解得，故选项C错误，
对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误，
故选：AB.
11．已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（ ）
A．的最小值为B．直线必过定点
C．满足的点有两个D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】圆的圆心为，半径，
则到直线的距离，
则，故A错误；
设，以为直径的圆，
又圆，两圆的方程相减得，即，
由，解得，因此直线过定点，故B正确；
对于直线，令，则，即，
令，则，所以，
则的中点为，，
则以为直径的圆的方程为，又，
则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确；
因为，，设，Mx,y，则，
则，即
又，，所以，
所以，
当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知空间向量两两夹角为，且，则 ．
【答案】
【解析】依题意，，
则
，
.
故答案为：.
13．已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）
【解析】由圆可知，圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
由垂径定理可知，
由面积为知：，解得或，
则由点到直线的距离公式得：，
当时，有，解得：，
当时，有，解得：，
故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）.
14．在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
【答案】
【解析】记在底面内的投影为，则底面，
又、平面，故、，
则，，
又，则，
所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，
作Ox⊥BD，Oy∥BD，建立如下图所示的空间直角坐标系：
设，，，
所以，
所以，
设直线与直线的所成角为，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知△ABC的三个顶点为，，．求：
（1）AB所在直线的方程；
（2）AB边上的高所在直线的方程．
【解析】（1）依题意，直线AB的斜率，（2分）
所以直线AB的方程为，（5分）
即．（6分）
（2）由（1）知，直线AB的斜率为2，所以AB边上的高所在直线的斜率为，（9分）
所以AB边上的高所在直线的方程为，（12分）
即．（13分）
16．（15分）
已知圆C：，点．
（1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程；
（2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围．
【解析】（1）因为，所以圆C的方程为（1分）
①当l的斜率不存在时，l的方程为，与圆C相切，符合题意；（2分）
②当l的斜率存在时，设l的方程为，即，（3分）
圆心C到l的距离，解得，（5分）
则l的方程为，即，（6分）
综上可得，l的方程为或．（7分）
（2）由题意可得圆C：，圆心，半径，（8分）
则圆心C到的距离，（9分）
要使C上存在到P的距离为1的点，
则，即，（13分）
解得，
所以m的取值范围为．（15分）
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.
【解析】（1）连接EC，设与AC相交于点O，连接OG，如图，
因为，且，，
所以四边形为矩形，
所以O为的中点，又因为G为PB的中点，
所以OG为的中位线，即，（2分）
因为平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF，（3分）
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以，（4分）
因为平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF，（5分）
因为平面GAC，平面GAC，，
所以平面平面GAC.（6分）
（2）因为底面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，，因为，
所以PA,AB,AD两两互相垂直，（7分）
以A为原点，所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则A0,0,0，，C1,1,0，，P0,0,1，（8分）
所以，，，（9分）
设平面的法向量为n=x,y,z，则，所以，（11分）
令，可得，，所以，（12分）
设直线与平面所成角为θ，则，（14分）
所以直线与平面所成角的正弦值为.（15分）
18．（17分）
如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．

图1 图2
（1）证明：平面；
（2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求动点Q到线段的距离的取值范围．
【解析】（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，
所以，所以，（1分）
在折叠前分别为中点，
所以，又因为折叠前，所以，（2分）
所以在折叠后，，；以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，（3分）
为中点，所以，，设平面的法向量为
m=x,y,z，又，，所以，
，令，则，，所以，（5分）
所以，
所以，所以平面.（6分）
（2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上，
且，所以，所以，
所以，，，所以，（7分）
，，设平面的法向量为，，
，令，则，，所以，（9分）
设平面的法向量为，（10分）
所以，（11分）
所以平面与平面的夹角的余弦值为.（12分）
（3）设，，，动点Q在线段上，
所以，，即，即，
所以，（13分）
，，
设点Q到线段的距离为，，（14分）
，，（15分）
，，令，，
则，，根据二次函数的性质可知，（16分）
所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为.（17分）
19．（17分）
已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点），直线，的斜率分别为，，且，
①证明：直线过定点，并求出点的坐标；
②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【解析】（1）设，，由中点坐标公式得．（1分）
因为点的轨迹方程是，所以，（3分）
整理得曲线的方程为．（4分）
（2）①设直线的方程为，，，，
联立，得，（5分）
所以，即，
所以，，（7分）
所以，（10分）
所以且，（11分）
所以直线的方程为，（12分）
即直线过定点．（13分）
②如图所示，
因为为定值，且于，所以为直角三角形，为斜边，（14分）
所以当点是的中点时，此时为定值．（15分）
因为，，所以由中点坐标公式得．（16分）
所以存在定点使得为定值．（17分）