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【精品同步练习】全套专题数学2023-2024：长郡教育集团七年级下学期期末数学试卷含解析
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这是一份【精品同步练习】全套专题数学2023-2024：长郡教育集团七年级下学期期末数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题，几何证明与计算，应用题，拓展延伸题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在﹣3，，0.3，2π，，3.1415926中，无理数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：﹣3是整数，0.3，3.1415926是有限小数，是分数，它们不是无理数；
，2π是无限不循环小数，它们是无理数，共2个；
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+3＞b+3B．﹣2a＜﹣2bC．D．ac＞bc
【分析】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+3＞b+3，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴＞，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴①c＞0时，ac＞bc；②c＝0时，ac＝bc；③c＜0时，ac＜bc，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）以下调查中，适合全面调查的是（ ）
A．调查一批笔记本电脑的使用寿命
B．调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量
C．调查湘江的水质情况
D．调查全市中学生每天完成作业需要的时间
【分析】根据全面调查与抽样调查的概念进行解题即可．
【解答】解：A、调查一批笔记本电脑的使用寿命适合抽样调查，不符合题意；
B、调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量适合全面调查，符合题意；
C、调查湘江的水质情况适合抽样调查，不符合题意；
D、调查全市中学生每天完成作业需要的时间适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（3分）中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．直方图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【解答】解：根据题意，知：要求直观比较五座山的高度，结合统计图各自的特点，应选择条形统计图．
故选：A．
【点评】本题主要考查统计图的选择，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别计算出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．最后用数轴表示不等式的解集即可，用数轴表示不等式的解集要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【解答】解：，
解①得：m≤1，
解②得：m＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜m≤1，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
6．（3分）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（ ）
A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（﹣2，6）D．（2，﹣6）
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2，纵坐标为﹣6，
∴点P的坐标为（2，﹣6）．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一、二、三、四象限内各点的符号分别为（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣）、（+，﹣）．
7．（3分）如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：这样做的依据是垂线段最短．
故选：D．
【点评】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．
8．（3分）下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．是无理数B．2＜＜3
C．5的平方根是D．是5的算术平方根
【分析】根据无理数、算术平方根、平方根的定义以及无理数大小的估算法则解答．
【解答】解：A、是无理数，本选项不符合题意；
B、2＜＜3，本选项不符合题意；
C、5的平方根是±，本选项符合题意；
D、是5的算术平方根，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数、算术平方根、平方根以及无理数大小的估算，关键是熟练掌握各知识点．
9．（3分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x＝3代入，求得a的值便可．
【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
，
把x＝3代入得，
，
由③得，y＝5，
把y＝5代入④得，12+5a＝27，
∴a＝3，
故选：C．
【点评】此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组．
10．（3分）已知不等式组的解是为x＜2，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≤3C．a≥3D．a＞3
【分析】首先计算出两个不等式的解集，然后根据不等式解集的规律：大大取大确定a的范围即可．
【解答】解：解不等式x+1＜a得：x＜a﹣1，
解不等式﹣3x＞﹣6得：x＜2，
∵不等式组的解是为x＜2，
∴a﹣1≥2，
解得：a≥3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握不等式解集的规律．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若点P（2a﹣6，2﹣a）在x轴上，则a的值为 2 ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0求出a的值即可．
【解答】解：∵点P（2a﹣6，2﹣a）在x轴上，
∴2﹣a＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
12．（3分）若，则x+y＝ ﹣1 ．
【分析】根据偶次幂及算术平方根的非负性求得x，y的值，将其代入x+y中计算即可．
【解答】解：由题意可得x﹣3＝0，y+4＝0，
解得：x＝3，y＝﹣4，
则x+y＝3﹣4＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查偶次幂及算术平方根的非负性，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
13．（3分）已知方程3x﹣2y＝6，用含x的代数式表示y，则y＝ x﹣3 ．
【分析】将含x的项移到方程的右边，再两边除以﹣2即可得．
【解答】解：∵3x﹣2y＝6，
∴﹣2y＝6﹣3x，
y＝＝x﹣3，
故答案为：x﹣3．
【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
14．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是 4 ．
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出m﹣n的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：m＝1，n＝﹣3，
则m﹣n＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4．
故答案为：4
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
15．（3分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为 15° ．
【分析】由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB＝45°，即可求出∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．
【解答】解：∵BC∥DF，
∴∠CDF＝∠ACB＝45°，
∵∠EDF＝30°，
∴∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB．
16．（3分）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2050的坐标为 （1，﹣1025） ．
【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出点A2050的坐标即可．
【解答】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，
当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，
因为2050÷4＝512余2，所以横坐标为1，
∴A2050的坐标为（1，﹣1025），
故答案为：（1，﹣1025）．
【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．
三、解答题（本大题共6小题，共30分）
17．（4分）计算：．
【分析】先计算乘方，算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减．
【解答】解：
＝﹣1+4﹣2﹣2
＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18．（4分）解方程组：；
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2+②得：13x＝39，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（4分）求不等式的非负整数解．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1可得结论．
【解答】解：，
6﹣3（x﹣2）≥2（2+x），
6﹣3x+6≥4+2x，
﹣5x≥﹣8，
x≤，
∴不等式的非负整数解为0，1．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．
20．（4分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2（1﹣x）＜x+5得：x＞﹣1，
由x﹣1≤x得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1．
（1）请在图中画出△A1B1C1；
（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；
A1（ ﹣2 ， ﹣3 ）
B1（ 0 ， 1 ）
C1（ ﹣3 ， 0 ）
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标；
（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）A1（﹣2，﹣3），B1（0，1），C1（﹣3，0）；
故答案为：﹣2，﹣3；0，1；﹣3，0．
（3）如图可得：
S△ABC＝S长方形EFGB﹣S△BEC﹣S△CFA﹣S△AGB
＝BE•EF﹣EB•CE﹣CF•FA﹣AG•BG
＝3×4﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×4
＝5．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（7分）某学校“爱数学”社团随机抽取部分八年级学生时“学习习惯”进行问卷调查，其中有一个题是：
会对在自己做的题目进行整理、分折错因并更正（ ）
A．很少
B．有时
C．常常
D．总是
“爱数学”社团将测查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：
根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 200 ，a＝ 12% ，b＝ 36% ；
（2）请你补全条形统计图；
（3）求“常常”对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因并更正的学生共有多少名？
【分析】（1）首先用“有时”对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数除以22%，即可求出样本容量；然后分别用很少、总是对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；
（2）求出常常对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数，补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以“常常”对应的人数的百分比即可；
（4）用该校学生的人数乘以常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因的学生占的百分比即可．
【解答】解：（1）该调查的样本容量为44÷22%＝200，
∴a%＝×100%＝12%，b%＝×100%＝36%，
故答案为：200，12%，36%；
（2）常常对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数200×30%＝60（人），
补全条形统计图如下：
（3）“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%＝108°；
（4）3000×（30%+36%）＝1980（名），
答：估计其中“常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因并更正的学生共有1980名．
【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
四、几何证明与计算（本大题共2小题，共14分）
23．（7分）几何证明填空：
已知，如图，E，F分别是AB和CD上的点，DE，AF分别交BC于G，H两点，∠A＝∠D，∠1＝∠2．
求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知）．
∠1＝∠AHB（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠AHB（等量代换），
∴AF∥ED（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠D＝ ∠AFC （两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知）．
∴∠A＝∠AFC（等量代换），
∴ AB ∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠B＝∠C．（ 两直线平行，内错角相等 ）
【分析】由对顶角相等得∠1＝∠AHB，从而有∠2＝∠AHB，即可判定AF∥DE，则有∠D＝∠AFC，可得∠A＝∠AFC，即有AB∥CD，可求证∠B＝∠C．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠2＝∠AHB（等量代换），
∴AF∥ED（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠AFC（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴∠A＝∠AFC（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等 ）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；∠AFC；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
24．（7分）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；
（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．
五、应用题（本大题共1小题，共8分）
25．（8分）为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元，购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．
（1）购买一个甲种足球，一个乙种足球各需要多少钱？
（2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？
【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，根据购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元，购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．得：，即可解得购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买（80﹣m） 个，根据题意得：，故，而m为整数，从而得学校共有四种购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，
根据题意得：，
解得，
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买（80﹣m） 个，
根据题意得：，
解得 ，
∵m为整数，
∴m可取27，28，29，30；
答：学校共有四种购买方案．
【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和找到不等关系列不等式组．
六、拓展延伸题（本大题共2小题，共20分）
26．（10分）定义；若m，n都是不为0的实数，且满足m+n＝mn，则称点为“爱心点”．
（1）①在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（2024，2023）中，是“爱心点”的有 BC （填字母）；
②若点P（a，b）是爱心点”，则a，b满足的关系式为 a﹣b＝1 ．
（2）若Q（s，t）是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解．求k的取值范围；
（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点M（x，y）是“爱心点”，求p﹣q的平方根．
【分析】（1）①根据点的坐标，确定m，n的值，看是否满足m+n＝mn判断；
②点P（a，b）是爱心点”，则m＝a，n＝，即可得出a+＝a•整理得出a﹣b＝1，
（2）由不等式组解得，根据Q（s，t）是“爱心点”，得出s﹣t＝1，由s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，即可求得s＝﹣2，t＝﹣3，由此得出﹣4≤＜﹣3，解得．
（3）两方程相减得出x﹣y＝2，由点M（x，y）是“爱心点”可知x﹣y＝1，即可得出2＝1，由p，q为有理数得出p＝0，q＝﹣，故p﹣q＝，求得p﹣q的平方根为．
【解答】解：（1）①点A（2，3），
∵3＝2÷，
∴m＝2，n＝，
∵2+≠2×，
∴点A不是“爱心点”，
B（﹣2，﹣3），
∵﹣3＝﹣2，
∴m＝﹣2，n＝，
∵﹣2+＝﹣2×，
∴点B是“爱心点”，
C（2024，2023），
∵2023＝2024÷，
∴m＝2024，n＝，
∵2024+＝2024×
∴点C是“爱心点”，
故答案为：BC；
②∵点P（a，b）是爱心点”，
∴b＝a÷，
∵m＝a，n＝
∴a+＝a•
∴，
∴b+1＝a，
∴a﹣b＝1，
故答案为：a﹣b＝1；
（2）由不等式组解得，
∵若Q（s，t）是“爱心点”，
∴s﹣t＝1，
∵s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解．
∴s＝﹣2，t＝﹣3，
∴﹣4≤＜﹣3，
∴．
（3），
②﹣①得x﹣y＝2，
∵点M（x，y）是“爱心点”，
∴x﹣y＝1，
∴2，
∵p、q是有理数，
∴p＝0，q＝﹣，
∴p﹣q＝，
∴p﹣q的平方根为．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，解一元一次不等式组，平方根，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“爱心点”的概念．
27．（10分）如图1，点E是直线AB上一点，F是直线CD上一点，AB∥CD．
（1）求证：∠P＝∠PEA+∠PFC；
（2）如图2，∠PFC＝∠PFQ，FQ与∠AEP的平分线交于点Q，与PE相交于点M，若∠EMF＝120°，求∠P+∠Q的度数；
（3）如图3，EQ平分∠AEP，FM平分∠PFD，FN∥EQ，当∠P的大小不变时，下列结论：①∠PFC+∠NFD的度数不变；②∠MFN的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ，进而得∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC，则∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC，由此可得出结论；
（2）设∠AEQ＝α，∠PFC＝∠PFQ＝β，则∠CFQ＝2β，根据EQ平分∠AEP得∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠AEP＝2α，
由（1）的结论得∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+2β，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+β，∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝2α+2β，则∠P+∠Q＝3α+3β，120°＝2α+2β，由此可得∠P+∠Q的度数；
（3）连接EF，设∠AEQ＝∠PEQ＝α，设∠MFN＝β，则∠AEP＝2α，根据AB∥CD，FN∥EQ得∠AEQ＝∠NFD＝α，则∠DFM＝a+β，根据FM平分∠PFD得∠PFD＝2（a+β），则∠PFC＝180°﹣2（a+β），由（1）的结论得∠P＝∠AEP+∠PFC，则β＝90°﹣∠P，即∠MFN＝90°﹣∠P，然后根据∠P的大小不变得∠MFN的大小不变，由此可得出答案．
【解答】（1）证明：过点P作PQ∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC，
∴∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC，
∴∠EPF＝∠PEA+∠PFC；
（2）解：如图2所示：
设∠AEQ＝α，∠PFC＝∠PFQ＝β，
则∠CFQ＝2β，
∵EQ平分∠AEP，
∴∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠AEP＝2α，
由（1）的结论得：∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+2β，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+β，
∴∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝2α+2β，
∵∠EMF＝120°，
∴∠P+∠Q＝3α+3β，120°＝2α+2β，
∴α+β＝60°，
∴∠P+∠Q＝180°；
（3）解：结论②∠MFN的度数不变正确，理由如下：．
连接EF，如图3所示：
∵EQ平分∠AEP，
∴设∠AEQ＝∠PEQ＝α，设∠MFN＝β，
∴∠AEP＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠DFE①，
∵FN∥EQ，
∴∠QEF＝∠NFE②，
①﹣②得：∠AEF﹣∠QEF＝∠DFE﹣∠NFE，
即∠AEQ＝∠NFD＝α，
∴∠DFM＝∠NFD+∠MFN＝a+β，
∵FM平分∠PFD，
∴∠PFD＝2∠DFM＝2（a+β），
∴∠PFC＝180°﹣∠PFD＝180°﹣2（a+β），
由（1）的结论得：∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+180°﹣2（a+β），
∴β＝90°﹣∠P，
即∠MFN＝90°﹣∠P，
∵∠P的大小不变，
∴∠MFN的大小不变．
故结论②正确；
∵∠PFC＝180°﹣2（α+β），β＝90°﹣1/2∠P，
∴∠PFC＝180°﹣2α﹣180°+∠P＝∠P﹣2α，
又∵∠NFD＝α，
∴∠PFC+∠NFD＝∠P﹣2α+α＝∠P﹣α，
∴∠PFC+∠NFD的度数随∠AEQ的度数的变化而变化，
故结论①不正确．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 9:30:45；用户：高老师；邮箱：13207316879；学号：50587240山名
东岳泰山
南岳衡山
西岳华山
北岳恒山
中岳嵩山
海拔（m）
1533
1300
2155
2016
1492
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在﹣3，，0.3，2π，，3.1415926中，无理数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：﹣3是整数，0.3，3.1415926是有限小数，是分数，它们不是无理数；
，2π是无限不循环小数，它们是无理数，共2个；
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+3＞b+3B．﹣2a＜﹣2bC．D．ac＞bc
【分析】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+3＞b+3，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴＞，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴①c＞0时，ac＞bc；②c＝0时，ac＝bc；③c＜0时，ac＜bc，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）以下调查中，适合全面调查的是（ ）
A．调查一批笔记本电脑的使用寿命
B．调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量
C．调查湘江的水质情况
D．调查全市中学生每天完成作业需要的时间
【分析】根据全面调查与抽样调查的概念进行解题即可．
【解答】解：A、调查一批笔记本电脑的使用寿命适合抽样调查，不符合题意；
B、调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量适合全面调查，符合题意；
C、调查湘江的水质情况适合抽样调查，不符合题意；
D、调查全市中学生每天完成作业需要的时间适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（3分）中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．直方图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【解答】解：根据题意，知：要求直观比较五座山的高度，结合统计图各自的特点，应选择条形统计图．
故选：A．
【点评】本题主要考查统计图的选择，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别计算出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．最后用数轴表示不等式的解集即可，用数轴表示不等式的解集要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【解答】解：，
解①得：m≤1，
解②得：m＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜m≤1，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
6．（3分）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（ ）
A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（﹣2，6）D．（2，﹣6）
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2，纵坐标为﹣6，
∴点P的坐标为（2，﹣6）．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一、二、三、四象限内各点的符号分别为（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣）、（+，﹣）．
7．（3分）如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：这样做的依据是垂线段最短．
故选：D．
【点评】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．
8．（3分）下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．是无理数B．2＜＜3
C．5的平方根是D．是5的算术平方根
【分析】根据无理数、算术平方根、平方根的定义以及无理数大小的估算法则解答．
【解答】解：A、是无理数，本选项不符合题意；
B、2＜＜3，本选项不符合题意；
C、5的平方根是±，本选项符合题意；
D、是5的算术平方根，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数、算术平方根、平方根以及无理数大小的估算，关键是熟练掌握各知识点．
9．（3分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x＝3代入，求得a的值便可．
【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
，
把x＝3代入得，
，
由③得，y＝5，
把y＝5代入④得，12+5a＝27，
∴a＝3，
故选：C．
【点评】此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组．
10．（3分）已知不等式组的解是为x＜2，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≤3C．a≥3D．a＞3
【分析】首先计算出两个不等式的解集，然后根据不等式解集的规律：大大取大确定a的范围即可．
【解答】解：解不等式x+1＜a得：x＜a﹣1，
解不等式﹣3x＞﹣6得：x＜2，
∵不等式组的解是为x＜2，
∴a﹣1≥2，
解得：a≥3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握不等式解集的规律．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若点P（2a﹣6，2﹣a）在x轴上，则a的值为 2 ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0求出a的值即可．
【解答】解：∵点P（2a﹣6，2﹣a）在x轴上，
∴2﹣a＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
12．（3分）若，则x+y＝ ﹣1 ．
【分析】根据偶次幂及算术平方根的非负性求得x，y的值，将其代入x+y中计算即可．
【解答】解：由题意可得x﹣3＝0，y+4＝0，
解得：x＝3，y＝﹣4，
则x+y＝3﹣4＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查偶次幂及算术平方根的非负性，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
13．（3分）已知方程3x﹣2y＝6，用含x的代数式表示y，则y＝ x﹣3 ．
【分析】将含x的项移到方程的右边，再两边除以﹣2即可得．
【解答】解：∵3x﹣2y＝6，
∴﹣2y＝6﹣3x，
y＝＝x﹣3，
故答案为：x﹣3．
【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
14．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是 4 ．
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出m﹣n的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：m＝1，n＝﹣3，
则m﹣n＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4．
故答案为：4
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
15．（3分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为 15° ．
【分析】由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB＝45°，即可求出∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．
【解答】解：∵BC∥DF，
∴∠CDF＝∠ACB＝45°，
∵∠EDF＝30°，
∴∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB．
16．（3分）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2050的坐标为 （1，﹣1025） ．
【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出点A2050的坐标即可．
【解答】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，
当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，
因为2050÷4＝512余2，所以横坐标为1，
∴A2050的坐标为（1，﹣1025），
故答案为：（1，﹣1025）．
【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．
三、解答题（本大题共6小题，共30分）
17．（4分）计算：．
【分析】先计算乘方，算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减．
【解答】解：
＝﹣1+4﹣2﹣2
＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18．（4分）解方程组：；
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2+②得：13x＝39，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（4分）求不等式的非负整数解．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1可得结论．
【解答】解：，
6﹣3（x﹣2）≥2（2+x），
6﹣3x+6≥4+2x，
﹣5x≥﹣8，
x≤，
∴不等式的非负整数解为0，1．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．
20．（4分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2（1﹣x）＜x+5得：x＞﹣1，
由x﹣1≤x得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1．
（1）请在图中画出△A1B1C1；
（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；
A1（ ﹣2 ， ﹣3 ）
B1（ 0 ， 1 ）
C1（ ﹣3 ， 0 ）
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标；
（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）A1（﹣2，﹣3），B1（0，1），C1（﹣3，0）；
故答案为：﹣2，﹣3；0，1；﹣3，0．
（3）如图可得：
S△ABC＝S长方形EFGB﹣S△BEC﹣S△CFA﹣S△AGB
＝BE•EF﹣EB•CE﹣CF•FA﹣AG•BG
＝3×4﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×4
＝5．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（7分）某学校“爱数学”社团随机抽取部分八年级学生时“学习习惯”进行问卷调查，其中有一个题是：
会对在自己做的题目进行整理、分折错因并更正（ ）
A．很少
B．有时
C．常常
D．总是
“爱数学”社团将测查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：
根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 200 ，a＝ 12% ，b＝ 36% ；
（2）请你补全条形统计图；
（3）求“常常”对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因并更正的学生共有多少名？
【分析】（1）首先用“有时”对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数除以22%，即可求出样本容量；然后分别用很少、总是对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；
（2）求出常常对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数，补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以“常常”对应的人数的百分比即可；
（4）用该校学生的人数乘以常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因的学生占的百分比即可．
【解答】解：（1）该调查的样本容量为44÷22%＝200，
∴a%＝×100%＝12%，b%＝×100%＝36%，
故答案为：200，12%，36%；
（2）常常对自己做的题目进行整理、分折错因的学生的人数200×30%＝60（人），
补全条形统计图如下：
（3）“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%＝108°；
（4）3000×（30%+36%）＝1980（名），
答：估计其中“常常“和“总是”对错题进行整理，分析错因并更正的学生共有1980名．
【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
四、几何证明与计算（本大题共2小题，共14分）
23．（7分）几何证明填空：
已知，如图，E，F分别是AB和CD上的点，DE，AF分别交BC于G，H两点，∠A＝∠D，∠1＝∠2．
求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知）．
∠1＝∠AHB（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠AHB（等量代换），
∴AF∥ED（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠D＝ ∠AFC （两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知）．
∴∠A＝∠AFC（等量代换），
∴ AB ∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠B＝∠C．（ 两直线平行，内错角相等 ）
【分析】由对顶角相等得∠1＝∠AHB，从而有∠2＝∠AHB，即可判定AF∥DE，则有∠D＝∠AFC，可得∠A＝∠AFC，即有AB∥CD，可求证∠B＝∠C．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠2＝∠AHB（等量代换），
∴AF∥ED（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠AFC（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴∠A＝∠AFC（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等 ）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；∠AFC；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
24．（7分）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；
（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．
五、应用题（本大题共1小题，共8分）
25．（8分）为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元，购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．
（1）购买一个甲种足球，一个乙种足球各需要多少钱？
（2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？
【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，根据购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元，购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．得：，即可解得购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买（80﹣m） 个，根据题意得：，故，而m为整数，从而得学校共有四种购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元，
根据题意得：，
解得，
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买（80﹣m） 个，
根据题意得：，
解得 ，
∵m为整数，
∴m可取27，28，29，30；
答：学校共有四种购买方案．
【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和找到不等关系列不等式组．
六、拓展延伸题（本大题共2小题，共20分）
26．（10分）定义；若m，n都是不为0的实数，且满足m+n＝mn，则称点为“爱心点”．
（1）①在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（2024，2023）中，是“爱心点”的有 BC （填字母）；
②若点P（a，b）是爱心点”，则a，b满足的关系式为 a﹣b＝1 ．
（2）若Q（s，t）是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解．求k的取值范围；
（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点M（x，y）是“爱心点”，求p﹣q的平方根．
【分析】（1）①根据点的坐标，确定m，n的值，看是否满足m+n＝mn判断；
②点P（a，b）是爱心点”，则m＝a，n＝，即可得出a+＝a•整理得出a﹣b＝1，
（2）由不等式组解得，根据Q（s，t）是“爱心点”，得出s﹣t＝1，由s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，即可求得s＝﹣2，t＝﹣3，由此得出﹣4≤＜﹣3，解得．
（3）两方程相减得出x﹣y＝2，由点M（x，y）是“爱心点”可知x﹣y＝1，即可得出2＝1，由p，q为有理数得出p＝0，q＝﹣，故p﹣q＝，求得p﹣q的平方根为．
【解答】解：（1）①点A（2，3），
∵3＝2÷，
∴m＝2，n＝，
∵2+≠2×，
∴点A不是“爱心点”，
B（﹣2，﹣3），
∵﹣3＝﹣2，
∴m＝﹣2，n＝，
∵﹣2+＝﹣2×，
∴点B是“爱心点”，
C（2024，2023），
∵2023＝2024÷，
∴m＝2024，n＝，
∵2024+＝2024×
∴点C是“爱心点”，
故答案为：BC；
②∵点P（a，b）是爱心点”，
∴b＝a÷，
∵m＝a，n＝
∴a+＝a•
∴，
∴b+1＝a，
∴a﹣b＝1，
故答案为：a﹣b＝1；
（2）由不等式组解得，
∵若Q（s，t）是“爱心点”，
∴s﹣t＝1，
∵s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解．
∴s＝﹣2，t＝﹣3，
∴﹣4≤＜﹣3，
∴．
（3），
②﹣①得x﹣y＝2，
∵点M（x，y）是“爱心点”，
∴x﹣y＝1，
∴2，
∵p、q是有理数，
∴p＝0，q＝﹣，
∴p﹣q＝，
∴p﹣q的平方根为．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，解一元一次不等式组，平方根，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“爱心点”的概念．
27．（10分）如图1，点E是直线AB上一点，F是直线CD上一点，AB∥CD．
（1）求证：∠P＝∠PEA+∠PFC；
（2）如图2，∠PFC＝∠PFQ，FQ与∠AEP的平分线交于点Q，与PE相交于点M，若∠EMF＝120°，求∠P+∠Q的度数；
（3）如图3，EQ平分∠AEP，FM平分∠PFD，FN∥EQ，当∠P的大小不变时，下列结论：①∠PFC+∠NFD的度数不变；②∠MFN的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ，进而得∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC，则∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC，由此可得出结论；
（2）设∠AEQ＝α，∠PFC＝∠PFQ＝β，则∠CFQ＝2β，根据EQ平分∠AEP得∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠AEP＝2α，
由（1）的结论得∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+2β，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+β，∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝2α+2β，则∠P+∠Q＝3α+3β，120°＝2α+2β，由此可得∠P+∠Q的度数；
（3）连接EF，设∠AEQ＝∠PEQ＝α，设∠MFN＝β，则∠AEP＝2α，根据AB∥CD，FN∥EQ得∠AEQ＝∠NFD＝α，则∠DFM＝a+β，根据FM平分∠PFD得∠PFD＝2（a+β），则∠PFC＝180°﹣2（a+β），由（1）的结论得∠P＝∠AEP+∠PFC，则β＝90°﹣∠P，即∠MFN＝90°﹣∠P，然后根据∠P的大小不变得∠MFN的大小不变，由此可得出答案．
【解答】（1）证明：过点P作PQ∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC，
∴∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC，
∴∠EPF＝∠PEA+∠PFC；
（2）解：如图2所示：
设∠AEQ＝α，∠PFC＝∠PFQ＝β，
则∠CFQ＝2β，
∵EQ平分∠AEP，
∴∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠AEP＝2α，
由（1）的结论得：∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+2β，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+β，
∴∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝2α+2β，
∵∠EMF＝120°，
∴∠P+∠Q＝3α+3β，120°＝2α+2β，
∴α+β＝60°，
∴∠P+∠Q＝180°；
（3）解：结论②∠MFN的度数不变正确，理由如下：．
连接EF，如图3所示：
∵EQ平分∠AEP，
∴设∠AEQ＝∠PEQ＝α，设∠MFN＝β，
∴∠AEP＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠DFE①，
∵FN∥EQ，
∴∠QEF＝∠NFE②，
①﹣②得：∠AEF﹣∠QEF＝∠DFE﹣∠NFE，
即∠AEQ＝∠NFD＝α，
∴∠DFM＝∠NFD+∠MFN＝a+β，
∵FM平分∠PFD，
∴∠PFD＝2∠DFM＝2（a+β），
∴∠PFC＝180°﹣∠PFD＝180°﹣2（a+β），
由（1）的结论得：∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+180°﹣2（a+β），
∴β＝90°﹣∠P，
即∠MFN＝90°﹣∠P，
∵∠P的大小不变，
∴∠MFN的大小不变．
故结论②正确；
∵∠PFC＝180°﹣2（α+β），β＝90°﹣1/2∠P，
∴∠PFC＝180°﹣2α﹣180°+∠P＝∠P﹣2α，
又∵∠NFD＝α，
∴∠PFC+∠NFD＝∠P﹣2α+α＝∠P﹣α，
∴∠PFC+∠NFD的度数随∠AEQ的度数的变化而变化，
故结论①不正确．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．
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东岳泰山
南岳衡山
西岳华山
北岳恒山
中岳嵩山
海拔（m）
1533
1300
2155
2016
1492
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