【专项练习】全套专题数学2023-2024：长郡教育集团八年级下学期期末数学试卷含解析

这是一份【专项练习】全套专题数学2023-2024：长郡教育集团八年级下学期期末数学试卷含解析，共29页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2+bx+c＝0D．x2﹣3x＝0
2．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点（1，﹣1）
B．其图象可由y＝﹣2x的图象向上平移3个单位长度得到
C．y随x的增大而增大
D．图象经过一、二、三象限
3．（3分）对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（3分）函数y＝3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣2，4）C．（2，4）D．（2，﹣4）
5．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8B．众数是9C．平均数是8D．方差是0
6．（3分）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A．x2＝1980B．x（x+1）＝1980
C．x（x﹣1）＝1980D．x（x﹣1）＝1980
7．（3分）为庆祝建党100周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
8．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
9．（3分）若点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2（x﹣1）2+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
10．（3分）如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
③若关于x的方程ax2+bx+c＝a﹣1无实数根，则；
④代数式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是x＝2，则a的值为 ．
12．（3分）已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则x＝ ．
13．（3分）一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是 ．
14．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 ．
15．（3分）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣38，烟花可以达到的最大高度是 米．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17题8分每个方程4分，第18、19题每小题8分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题8分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）选择适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝4；（2）x2﹣5x+1＝0．
18．（6分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝3，求点C的坐标．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
20．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的m＝ ，本次调查数据的中位数是 h，本次调查数据的众数是 h；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．

21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围；
（3）当时，求y得取值范围．
22．（8分）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加50%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
23．（8分）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．
（2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
24．（10分）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y的取值范围是m≤y≤n，且满足n﹣m＝t（b﹣a），则称此函数为“t系郡园函数”．
（1）已知正比例函数y＝ax（1≤x≤4）为“1系郡园函数”，则a的值为多少？
（2）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+a2，当1≤x≤3时，y是“t系郡园函数”，求t的取值范围；
（3）已知一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，P（x，y）是函数y＝kx+1上的一点，若不论m取何值二次函数y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1的图象都不经过点P，求满足要求的点P的坐标．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，若S△BEF：S△BDE＝2：3，求出点D的坐标；
（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21
2023-2024：长郡教育集团八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2+bx+c＝0D．x2﹣3x＝0
【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．
【解答】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点（1，﹣1）
B．其图象可由y＝﹣2x的图象向上平移3个单位长度得到
C．y随x的增大而增大
D．图象经过一、二、三象限
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项A符合题意；利用一次函数图象与系数的关系，可判断出选项B不符合题意；利用一次函数的性质，可判断出选项C不符合题意；利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项D不符合题意．
【解答】A．当x＝1时，y＝1．所以图象不过（1，﹣1），不符合题意；
B．其图象可由y＝﹣2x的图象向上平移3个单位长度得到，符合题意；
C．由于一次函数y＝﹣2x+3中的k＝﹣2＜0，所以y随x的增大而减小，不符合题意；
D．∵k＝﹣2＜0，b＝3＞0，
∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
3．（3分）对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵2.56＞1.34＞0.21＞0.16，
∴乙的方差最小，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．（3分）函数y＝3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣2，4）C．（2，4）D．（2，﹣4）
【分析】由函数解析式即可求得答案．
【解答】解：
∵y＝3（x﹣2）2+4，
∴函数图象顶点坐标为（2，4），
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
5．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8B．众数是9C．平均数是8D．方差是0
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
【解答】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为8.375，则方差为，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．
6．（3分）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A．x2＝1980B．x（x+1）＝1980
C．x（x﹣1）＝1980D．x（x﹣1）＝1980
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x＝1980．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张贺卡，有x个人是解决问题的关键．
7．（3分）为庆祝建党100周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
8．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
9．（3分）若点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2（x﹣1）2+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
【分析】先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2+1，
∴对称轴为直线x＝1，
∴点A到对称轴的距离为：1﹣（﹣2）＝3，
点B到对称轴的距离为：2﹣1＝1，
点C到对称轴的距离为：3﹣1＝2，
∵a＝2＞0，
∴函数开口向上，
∵1＜2＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小．
10．（3分）如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
③若关于x的方程ax2+bx+c＝a﹣1无实数根，则；
④代数式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由对称轴为直线x＝1，得则2a+b＝0可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，故求得函数的最小值为﹣4a，可判断②；将ax2+bx+c＝a﹣1变形为：ax2+bx+c﹣a+1＝0，利用根的判别式可判断③；将c＝﹣3a，b＝﹣2a代入（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）可判断④，结合以上结论可判断正确的项．
【解答】解：由图象可知，图象开口向上，a＞0，
对称轴为直线x＝1，故，即b＝﹣2a，则2a+b＝0，故①正确，符合题意；
由图象可知当x＝1时，函数取最小值，
将x＝1，代入y＝ax2+bx+c，中得：y＝a+b+c，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，故函数图象与x轴的另一交点为（3，0），
设函数解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
故化简得：y＝ax2﹣2ax﹣3a，
将x＝1，代入可得：y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，故函数的最小值为﹣4a，故②正确，符合题意；
ax2+bx+c＝a﹣1变形为：ax2+bx+c﹣a+1＝0，
要使方程无实数根，则b2﹣4a（c﹣a+1）＜0，
将c＝﹣3a，b＝﹣2a，代入得：20a2﹣4a＜0，
因为a＞0，则20a﹣4＜0，则，
综上所述，故③正确，符合题意；
因为c＝﹣3a，b＝﹣2a，
所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝（a+2a）（﹣2a﹣3a）（3a﹣a）
＝3a•a•（﹣4a）＝﹣12a3，
因为a＞0，
所以﹣12a3＜0，即（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0，故④正确，符合题意；
则①②③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是x＝2，则a的值为 5 ．
【分析】把x＝2代入求值即可．
【解答】解：把x＝2代入可得22﹣2a+6＝0，
解得a＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程22﹣2a+6＝0是解此题的关键．
12．（3分）已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则x＝ 8 ．
【分析】根据平均数的定义进行计算．
【解答】解：平均数为：（8+9+x+3）÷4＝7，
解得：x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平均数，掌握平均数表示一组数据的平均程度是关键．
13．（3分）一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是 x＞5 ．
【分析】利用函数图象，写出直线y1＝4x+5在直线y2＝3x+10上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察函数图象得x＞5时，一次函数y1＝4x+5的图象在函数y2＝3x+10的图象的上方，
故y1＞y2的解集是x＞5．
故答案为：x＞5．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
14．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 10 ．
【分析】先利用因式分解法解x2﹣6x+8＝0得到x1＝2，x2＝4，然后分类讨论：当三角形的腰为4，底为2时，易得三角形的周长；当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
当三角形的腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2＝10，
当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
15．（3分）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣38，烟花可以达到的最大高度是 12 米．
【分析】依据题意，将y＝﹣0.5x2+10x﹣38变形为y＝﹣0.5（x﹣10）2+12，再由二次函数的性质进行判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵y＝﹣0.5x2+10x﹣38＝﹣0.5（x﹣10）2+12，
又a＝﹣0.5＜0，
∴当x＝10时，烟花可以达到的最大高度，最大高度是12米．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 （4，0） ．
【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2﹣2ax+c，可得对称轴是直线x＝﹣＝1，又二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），可得另一个交点的横坐标为：1+（1+2）＝4，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
∴对称轴是直线x＝﹣＝1．
又二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴另一个交点的横坐标为：1+（1+2）＝4．
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17题8分每个方程4分，第18、19题每小题8分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题8分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）选择适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝4；
（2）x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方即可求解；
（2）利用求根公式即可求解．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得：x1＝5，x2＝1；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝25﹣4×1×1＝21＞0，
∴x＝＝，
则x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（6分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝3，求点C的坐标．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC＝3求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC＝3，
∴×2•x＝3，
解得x＝3，
∴y＝2×3﹣2＝4，
∴点C的坐标是（3，4）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，即可得根的判别式Δ≥0，即可得不等式（﹣2）2+4m≥0，继而求得答案；
（2）由根与系数的关系，即可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣m，又由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6，即可得方程：22+2m＝11，解此方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2﹣2x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2+4m≥0，
解得：m≥﹣1．
故m的取值范围是m≥﹣1；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6，
∴22+2m＝6，
解得：m＝1．
故m的值是1．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
20．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的m＝ 25 ，本次调查数据的中位数是 3 h，本次调查数据的众数是 3 h；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出m的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；
（3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴m＝25，
调查的时间有：1，2，3，4，5，
本次调查数据的中位数是3，众数为3．
故答案为：25，3，3；
（2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时；
（3）（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围；
（3）当时，求y得取值范围．
【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的两交点坐标，则可设交点式y＝ax（x﹣2），然后把（1，﹣1）代入求出a即可；
（2）根据图象，找出抛物线在x轴上所对应的自变量的范围即可；
（3）观察函数图象即可得到﹣1≤y≤0．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣2），
把（1，﹣1）代入得a•1•（1﹣2）＝﹣1，解得a＝1，
所以二次函数解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x；
（2）当x＜0或x＞2时，y＞0；
（3）y＝（x﹣1）2﹣1，
当x＝1时时，y有最小值﹣1；
当x＝0，y＝2；
当时，y得取值范围为﹣1≤y≤0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．（8分）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加50%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，列出方程1000（1+x）2＝1440，解答即可；
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，列出不等式96×（1+50%）y≤1440×（1+20%），解答即可．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20 6，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，
依题意得：96×（1+50%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤12，
∴y的最大值为12．
答：该市在2024年最多可以改造12个老旧小区．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．
（2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
【分析】（1）根据平面直角坐标系中的函数图象，可以设抛物线的解析式为y＝ax2，然后将（﹣2，﹣2）代入，即可得到抛物线的解析式；
（2）将y＝﹣3代入解析式，求出对应的x的值，即可得到CD的长，然后减去AB的长，即可得到水面宽度增加多少米．
【解答】解：（1）设该抛物线的函数解析式为y＝ax2，
由已知可得，点A的坐标为（﹣2，﹣2）且点A在该抛物线上，
∴﹣2＝a×（﹣2）2，
解得：a＝﹣，
即该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2；
（2）将y＝﹣3代入y＝﹣x2，
得﹣3＝﹣x2，
解得x＝±，
∴CD＝﹣（﹣）＝2，
∵AB＝4，
∴CD﹣AB＝2﹣4，
即水面宽度增加米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y的取值范围是m≤y≤n，且满足n﹣m＝t（b﹣a），则称此函数为“t系郡园函数”．
（1）已知正比例函数y＝ax（1≤x≤4）为“1系郡园函数”，则a的值为多少？
（2）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+a2，当1≤x≤3时，y是“t系郡园函数”，求t的取值范围；
（3）已知一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，P（x，y）是函数y＝kx+1上的一点，若不论m取何值二次函数y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1的图象都不经过点P，求满足要求的点P的坐标．
【分析】（1）在正比例函数y＝ax中，令x＝1得y＝a，令x＝4得y＝4a，①当a＞0时，4a﹣a＝1×（4﹣1），可得a＝1，②当a＜0时，a﹣4a＝1×（4﹣1），可得a＝﹣1；
（2）二次函数 y＝﹣x2+2ax+a2 的对称轴为直线x＝a，求出当x＝1时，y＝a2+2a﹣1，当x＝3时，y＝a2+6a﹣9，当x＝a，y＝2a2；①当a≥3时，（3﹣1）t＝n﹣m＝（a2+6a﹣9）﹣（a2+2a﹣1）＝4a﹣8，可得t＝2a﹣4，知2a﹣4≥2，故t≥2；②当2≤a＜3时，（3﹣1）t＝n﹣m＝2a2﹣（a2+2a﹣1）＝a2﹣2a+1，可得，故；③当1＜a＜2时，2t＝n﹣m＝a2﹣6a+9，同理得；④当a≤1时，同理得t≥2；
（3）根据一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，有（kb+1）﹣（ka+1）＝2（b﹣a），故k＝2，y＝2x+1，而y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1＝m（x2+x﹣2）﹣2x+1，可知抛物线过定点（1，﹣1），（﹣2，5），在y＝2x+1中，令x＝1得y＝3，令x＝﹣2得y＝﹣3，即得P为（1，3），（﹣2，﹣3），求出过点 （1，﹣1），（﹣2，5）的直线为y＝﹣2x+1，联立，可解得两直线y＝﹣2x+1，y＝2x+1相交于（0，1），又抛物线也不会过点（0，1），从而可知点P的坐标为（1，3），（﹣2，﹣3），（0，1）．
【解答】解：（1）在正比例函数y＝ax中，令x＝1得y＝a，令x＝4得y＝4a，
①当a＞0时，4a＞a，
∴4a﹣a＝1×（4﹣1），
解得a＝1，
②当a＜0时，a＞4a，
∴a﹣4a＝1×（4﹣1），
∴a＝﹣1，
综上所述，a的值是±1；
（2）二次函数 y＝﹣x2+2ax+a2 的对称轴为直线x＝a，
当x＝1时，y＝a2+2a﹣1，
当x＝3时，y＝a2+6a﹣9，
当x＝a，y＝2a2；
①当a≥3时，n＝a2+6a﹣9，m＝a2+2a﹣1，
∵y是“t系郡园函数”，
∴（3﹣1）t＝n﹣m＝（a2+6a﹣9）﹣（a2+2a﹣1）＝4a﹣8，
∴t＝2a﹣4，
∵a≥3，
∴2a﹣4≥2，
∴t≥2；
②当2≤a＜3时，n＝2a2，m＝a2+2a﹣1，
∴（3﹣1）t＝n﹣m＝2a2﹣（a2+2a﹣1）＝a2﹣2a+1，
∴，
∵2≤a＜3，
∴；
③当1＜a＜2时，n＝2a2，m＝a2+6a﹣9，
∴2t＝n﹣m＝a2﹣6a+9，
∴，
∴；
④当a≤1时，n＝a2+2a﹣1，m＝a2+6a﹣9，
∴2t＝n﹣m＝﹣4a+8，
∴t＝﹣2a+4，
∴t≥2，
综上所述，t的取值范围为；
（3）∵一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，
∴（kb+1）﹣（ka+1）＝2（b﹣a），
解得k＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+1，
∵y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1＝m（x2+x﹣2）﹣2x+1，
∴当x2+x﹣2＝0 时，y是定值，即函数图象过定点，
由x2+x﹣2＝0得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴y1＝﹣1，y2＝5，
∴抛物线过定点（1，﹣1），（﹣2，5），
在y＝2x+1中，令x＝1得y＝3，令x＝﹣2得y＝﹣3，
∴直线y＝2x+1过点（1，3），（﹣2，﹣3），
∴P为（1，3），（﹣2，﹣3），
由待定系数法知，过点 （1，﹣1），（﹣2，5）的直线为y＝﹣2x+1，
联立，
解得，
∴两直线y＝﹣2x+1，y＝2x+1相交于（0，1），
∴抛物线也不会过点（0，1），
∴点P的坐标为（1，3），（﹣2，﹣3），（0，1）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂“t系郡园函数”的定义及分类讨论思想的应用．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，若S△BEF：S△BDE＝2：3，求出点D的坐标；
（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1），设抛物线为y＝a（x﹣3）（x+1），可得﹣3＝﹣3a，解得a＝1，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）求出C（0，﹣3），直线BC的解析式为y＝x﹣3，设 D（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m﹣3），F（m，0），可得EF＝3﹣m，DE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，由S△BEF：S△AEF＝2：3，即＝，解出m的值得D点的坐标为 ；
（3）设P（a，0），Q（b，b2﹣2b﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3），①当PQ，BC为对角线时，则PQ，BC的中点重合，有，可解得P（1，0）；②当PB，QC为对角线时，PB，QC中点重合，可得或 ；③当PC，QB为对角线时，可得，从而得P的坐标为（1，0）、（﹣2+，0）、、（5，0）．
【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，设抛物线为y＝a（x﹣3）（x+1），
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣3＝﹣3a，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0）、C（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设 D（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m﹣3），F（m，0），
∴EF＝3﹣m，DE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵S△BEF：S△AEF＝2：3，
∴EF：ED＝2：3，
∴＝，
解得：m1＝3 （不符合，舍去），，
∴D点的坐标为 ；
（3）存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设P（a，0），Q（b，b2﹣2b﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3），
①当PQ，BC为对角线时，则PQ，BC的中点重合，
，
解得：或（此时B，P重合，舍去），
∴P（1，0）；
②当PB，QC为对角线时，PB，QC中点重合，
∴
解得：或，
∴或 ；
③当PC，QB为对角线时，
∴（舍去）或，
∴P（5，0）．
综上所述，P的坐标为（1，0）、（﹣2+，0）、、（5，0）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21