【精品同步练习】全套专题数学2023-2024：华益中学七年级下学期期末数学试卷含解析

这是一份【精品同步练习】全套专题数学2023-2024：华益中学七年级下学期期末数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，符合题意；
B．是轴对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，关键掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．（3分）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（ ）
A．B．C．D．π
【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【解答】解：是分数，它不是无理数；
，，π是无限不循环小数，它们是无理数；
故选：A．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）下列调查项目中：①了解某班50名学生的体重情况；②选出某校短跑最快的学生参加全市比赛；③调查中央电视台新闻联播的收视率；④调查某批次汽车的抗撞击能力．适宜抽样调查的项目是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：①了解某班50名学生的体重情况，适宜全面调查；
②选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，适宜全面调查；
③调查中央电视台新闻联播的收视率，适宜抽样调查；
④调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（3分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．a+4＞b+4B．2a＞2b
C．ac2＞bc2D．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴2a＞2b，故本选项不符合题意；
C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，c2+1≠0，
∴＝，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（3分）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
【分析】根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解．
【解答】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF，
∴△ACD≌△BEF（SSS），
∴∠MBN＝∠PAQ，
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，正确理解题中的作图是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（0，﹣4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点解答即可．
【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，4）．
故选：C．
【点评】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
7．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A′的位置，∠A＝35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ADE+∠AED的度数，根据折叠的性质，得到∠ADA′+∠AEA′＝2（∠ADE+∠AED），进而得到∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），即可得解．
【解答】解：∵∠A＝35°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝145°，
∵折叠，
∴∠ADA′+∠AEA′＝2（∠ADE+∠AED）＝290°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′＝360°﹣290°＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是180°，是解题的关键．
9．（3分）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可．
【解答】解：由题意得：
，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键．
10．（3分）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值是（ ）
A．2B．1或1.5C．2或1.5D．1或2
【分析】根据题意得AP＝t（cm），BQ＝tx（cm），则BP＝（8﹣t）cm，由于∠A＝∠B＝60°，根据全等三角形的判定方法，当AC＝BP，AP＝BQ时可判断△ACP≌△BPQ，即8﹣t＝6，t＝tx；当AC＝BQ，AP＝BP时可判断△ACP≌△BQP，即xt＝6，t＝8﹣t，然后分别求出对应的x的值即可．
【解答】解：根据题意得AC＝6cm，AP＝t（cm），BQ＝tx（cm），则BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ（SAS），
即8﹣t＝6，t＝tx，
解得t＝2，x＝1；
当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP（SAS），
即xt＝6，t＝8﹣t，
解得t＝4，x＝1.5，
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x的值是1或1.5．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知x|m|﹣1+（m+2）y＝7是关于x，y的二元一次方程，则m＝ 2 ．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到答案．
【解答】解：∵x|m|﹣1+（m+2）y＝7是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查的是二元一次方程的定义及绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
12．（3分）若实数a、b满足，则a+b的算术平方根是 2 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵|a+2|+＝0，
|a+2|≥0，0，
∴a+2＝0，b﹣6＝0，
解得：a＝﹣2，b＝6，
则a+b＝﹣2+6＝4，
故a+b的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及算术平方根，正确得出a，b的值是解题的关键．
13．（3分）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．那么小明一共走了 180 米．
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得正多边形的边数，进而求得小明走的路程即可．
【解答】解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20＝18，
∵18×10＝180（米），
∴淇淇一共走了180米，
故答案为：180．
【点评】本题考查了正多边形的外角，掌握正多边形的外角以及多边形的内角和是解题的关键．
14．（3分）如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则CE的长为 2 ．
【分析】根据△ABC≌△DEF得到BC＝EF，从而得到BF＝EC，最后求得答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣BE＝EF﹣BE，
即：BF＝EC，
∵CF＝8，BE＝4，
∴CE＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出BF＝EC是解题关键．
15．（3分）将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于 105° ．
【分析】由题意可得∠A＝60°，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，从而可求得∠ACO的度数，再利用三角形的外角性质即可求∠AOB的度数．
【解答】解：如图：
由题意得：∠A＝60°，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠ACO＝∠ACD﹣∠BCD＝45°，
∵∠AOB是△AOC的外角，
∴∠AOB＝∠A+∠ACO＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
16．（3分）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则S△DEF等于 cm2．
【分析】根据三角形中线将三角形面积平均分成两个部分求解即可．
【解答】解：∵点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，
∴AD、CE、DF分别是△ABC、△ACD、△CDE的中线，
∴S（cm2），
∴S（cm2），
∴S（cm2），
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，熟记三角形中线将三角形面积平均分成两个部分是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣（﹣1）2×|﹣2|+．
【分析】原式利用算术平方根、立方根定义，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝9﹣1×2+3＝9﹣2+3＝10．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而在数轴上表示其解集．
【解答】解：由x﹣1≤2x得：x≥﹣1，
由＜得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2；
（3）△ABC的面积为 3.5 ．
【分析】（1）依据平移的性质，即可得到△A1B1C1各顶点即可；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△A2B2C2各顶点即可；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示；△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）△ABC的面积为3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝3.5．
故答案为：3.5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的概念，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
20．（8分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度AB．
【分析】选择方案①：先证明∠ABC＝∠C，结合∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，可得△ABD≌△ECD，再利用全等三角形的性质可得结论；
选择方案②：直接利用SAS证明△ACB≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得结论；
【解答】解：选择方案①；
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，
∴△ABD≌△ECD，
∵CE＝20m，
∴AB＝CE＝20（m），
∴水潭的宽度AB为20m；
选择方案②：
∵AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE，
∴△ACB≌△DCE，
∵DE＝20m，
∴AB＝DE＝20（m），
∴水潭的宽度AB为20m；
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键．
21．（8分）长沙市华益中学为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．
请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若制成扇形统计图，则C组所对应的圆心角为 72 °；
（3）若我校学生有4000人，请根据以上调查结果估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
【分析】（1）根据频率＝求出调查人数，进而求出m、n、p的值；
（2）求出p的值，即C组所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
（3）求出样本中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占的百分比，估计总体中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）调查人数为：50÷25%＝200（人），
m＝200×40%＝80，n＝200×15%＝30，
条形统计图如下：
（2）360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）4000×＝1400（人），
答：该校4000名学生中，每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有1400人．
【点评】本题考查频数分布表，掌握频率＝是正确解答的前提．
22．（9分）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？
（2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？
【分析】（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该货车一次可运输m套这种设备，根据内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：，
解得：，
答：1个A部件的质量为0.6吨，1个B部件的质量为0.8吨；
（2）设该货车一次可运输m套这种设备，
根据题意得：（0.6+0.8×3）•m+6≤49，
解得：m≤14，
∵m为正整数，
∴m的最大值为14，
答：该货车一次最多可运输14套这种设备．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度数．
【分析】（1）连接BP，AP，PC，根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PA＝PC，从而证明结论即可；
（2）先根据相等垂直平分线的性质证明FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°，再设∠B＝x，∠C＝y，然后根据三角形ABC的内角和是180°，求出x+y，再根据直角三角形的性质求出∠BFE和∠CNM，再根据对顶角的性质求出∠PFN，∠PNF，最后利用三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】（1）证明：如图所示：连接BP，AP，PC，
∵PE⊥AB，PM⊥AC，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）解：∵PE⊥AB，PM⊥AC，
∴FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°，
∴∠B+∠BFE＝∠C+∠MNC＝90°，
设∠B＝x，∠C＝y，
∴∠B＝∠BAF＝x，∠C＝∠CAN＝y，∠BFE＝90°﹣x，∠MNC＝90°﹣y，
∴∠PFN＝∠BFE＝90°﹣x，∠PNF＝∠MNC＝90°﹣y，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∠FAN＝56°
∴2x+2y+56°＝180°，
2（x+y）＝124°，
x+y＝62°，
∵∠PFN+∠PNF+∠FPN＝180°，
∴90°﹣x+90°﹣y+∠FPN＝180°，
∴∠FPN＝180°﹣180°+（x+y）＝62°．
【点评】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质等．
24．（10分）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，BE平分∠ABC，AE平分∠BAC的外角，CE平分∠ACB的外角，则点E为△ABC的“幸福点”．
根据定义，解决下列问题．
（1）判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”）
①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 真 命题）
②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 真 命题）
③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 真 命题）
（2）如图2，若点I是△ABC的“幸福点”，设∠BAC＝α，∠BIC＝β，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想；
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC的一个“幸福点”，过D作DE⊥AC，交CA的延长线于点E，若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AE的长．
【分析】（1）由新定义“幸福点”可得出结论；
（2）由角平分线的定义证出2（180°﹣β）＝180°+α，则可得出答案；
（3）过点D作DM⊥CB的延长线于点M，连接CD，证出△CDE是等腰直角三角形，则CE＝DE，同理可得CM＝MD，设AE＝x，则CE＝CM＝4+x，证出∠ADB＝45°，过点D作DG⊥AD交CB的延长线于点G，证明△DEA≌△DMG（ASA），得出AE＝MG＝x，求出x＝2，则可得出答案．
【解答】解：（1）①每个三角形都有3个“幸福点”，是真命题；
②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部，是真命题；
③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等，是真命题；
故答案为：真，真，真；
（2）∵点I是△ABC 的“幸福点”，
∴B平分∠MBC，CI平分∠NCB，
∴∠MBC＝2∠IBC，∠NCB＝2∠ICB，
∵∠MBC+∠NCB＝2∠IBC+2∠ICB＝2（180°﹣β），
∴∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NCB＝180°﹣∠ACB，
又∵∠ABC＝180°﹣（α+∠ACB），∠ACB＝180°﹣（α+∠ABC），
∴∠MBC＝180°﹣180°+（α+∠ACB），∠NCB＝180°﹣180°+（α+∠ABC），
即∠MBC＝α+∠ACB，∠NCB＝α+∠ABC，
∴∠MBC+∠NCB＝α+∠ACB+α+∠ABC＝2α+180°﹣α＝180°+α，
∴2（180°﹣β）＝180°+α，
∴；
（3）过点D作DM⊥CB的延长线于点M，连接CD，
∵点D是△ABC 的一个“幸福点”，
∴CD平分∠ACB，
∵DE⊥CE，DM⊥CM，
∴DE＝DM，
∵，DE⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，
同理可得，CM＝MD，
∴CE＝CM，
设AE＝x，则CE＝CM＝4+x，
∴BM＝4+x﹣3＝x+1，
由（2）得，，
∴，
过点D作DG⊥AD交CB的延长线于点G，
∵∠DEC＝∠ECB＝∠DMC＝90°，
∴∠EDM＝90°，
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠ADM+∠MDG＝90°，
∴∠EDA＝∠MDG，
又∵∠DEA＝∠DMG＝90°，DE＝DM，
∴△DEA≌△DMG（ASA），
∴AE＝MG＝x，
∴BG＝BM+MG＝x+1+x＝2x+1，
∵∠EDA+∠BDM＝90°，∠EDA＝∠MDG，
∴∠BDM+∠MDG＝45°＝∠BDG，
∴∠ADB＝∠GDB，
又∵DB＝DB，
∵△ADB≌△GDB（SAS），
∴AB＝BG＝5，
∴2x+1＝5，
解得x＝2，
即AE＝2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，新定义“幸福点”，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（10分）已知关于x、y的二元一次方程ax+by＝c．
（1）若和都是二元一次方程的解，求6a﹣3b+2024的值；
（2）①若，b＝1，c＝2，求二元一次方程的整数解；
②当a每取一个值，都可得到一个方程，若a+b﹣c＝4，3a﹣b﹣c＝10，求这些方程的公共解；
（3）当b＝1，a＜0且是二元一次方程的解时，若也是方程的解，其中m、n满足m+n＝a且﹣2a＞n＞m，求t的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由和都是二元一次方程ax+by＝c的解，可得，从而可得2a﹣b＝0，故6a﹣3b＝0，进而代入计算可以得解；
（2）①依据题意，由，b＝1，c＝2，则x+y＝2，故x＝2﹣y，再结合x，y均为整数，进而可以判断得解；
②依据题意，由a+b﹣c＝4，3a﹣b﹣c＝10，可得a＝＝，b＝，从而方程化成（ ）x+（）y＝c，故c（x+y﹣1）+（x+y）＝0，结合a每取一个值，都可得到一个方程，则对于任意的c也成立，故x+y﹣1＝0，且x+y＝0，求出x，y即可判断得解；
（3）依据题意，把方程的解代入at﹣3n＝a，可得t＝1+，再由﹣2a＞n＞m，结合等量代换及不等式的性质，可得﹣5＜1+＜，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵和都是二元一次方程ax+by＝c的解，
∴．
∴①﹣②得，2a﹣b＝0．
∴3（2a﹣b）＝0．
∴6a﹣3b＝0．
∴6a﹣3b+2024＝0+2024＝2024．
（2）①由题意，∵，b＝1，c＝2，
∴x+y＝2．
∴x＝2﹣y．
又∵x，y均为整数，
∴x＝0，y＝2．
∴二元一次方程的整数解为．
②由题意，∵a+b﹣c＝4，3a﹣b﹣c＝10，
∴a＝＝，b＝．
∴（ ）x+（）y＝c．
∴c（x+y﹣1）+（x+y）＝0．
∵a每取一个值，都可得到一个方程，
∴对于任意的c也成立．
∴x+y﹣1＝0，且x+y＝0．
∴x＝﹣，y＝．
∴这些方程的公共解为．
（3）由题意，∵b＝1，
∴ax+y＝c．
又∵是二元一次方程的解，
∴c＝2a．
∴ax+y＝2a．
∵也是方程的解，
∴at+m﹣2n＝2a．
∵m+n＝a，
∴m＝a﹣n．
∴at+a﹣n﹣2n＝2a，即at﹣3n＝a．
∴at＝a+3n（a＜0）．
∴t＝1+．
∵﹣2a＞n＞m，
∴a﹣n＜n＜﹣2a．
由a﹣n＜n得，2n＞a，
∴n＞．
∴＜n＜﹣2a．
∴＜3n＜﹣6a．
∵a＜0，
∴＞＞﹣6．
∴﹣5＜1+＜．
∴﹣5＜t＜．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、二元一次方程的解、二元一次方程组的解、解三元一次方程组，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/14 14:37:34；用户：高老师；邮箱：13207316879；学号：50587240方案
方案①
方案②
测量示意图


测量说明
如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度
如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD＝AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE＝BC，测出D、E两点之间的距离
测量结果
CE＝20m，BD＝CD，CE∥AB
AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m
组别
锻炼时间（分钟）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤30
50
25%
B
30＜x≤60
m
40%
C
60＜x≤90
40
p
D
x＞90
n
15%