【专项练习】全套专题数学2023-2024：明德教育集团八年级下学期期末数学试卷含解析

这是一份【专项练习】全套专题数学2023-2024：明德教育集团八年级下学期期末数学试卷含解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17B．1，，C．1，3，D．5，12，13
2．（3分）学校开展捐书活动，其中6名同学捐的书本数分别为2，3，1，2，6，4．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1，2B．1.5，2C．2.5，2D．1.5，1.5
3．（3分）一次函数y＝﹣2x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）甲、乙两个同学在四次模拟测试中，数学的平均成绩都是112分，方差分别是S甲2＝5，S乙2＝12，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲B．乙
C．甲和乙一样D．无法确定
5．（3分）已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则它的面积为（ ）
A．24B．48C．12D．96
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ）
A．AD∥BC
B．∠B＝∠D
C．AB＝CD
D．AD＝BC
7．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠CBD
B．∠BAD＝2∠ABC
C．AB＝BC
D．OB＝OD
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为各边中点，对角线AC＝6，BD＝8，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．7B．10C．14D．28
9．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形
C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2）
B．（0，﹣1.5）
C．（0，﹣1）
D．（﹣2，0）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝50°，则∠ABD的度数是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，若BD＝2，则AC的长为 ．
14．（3分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若AB＝2，∠AOD＝120°，则BC的长为 ．
15．（3分）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣12＝0的一根是﹣6，则该方程的另一根为 ．
16．（3分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解下列方程：
（1）3x2＝6x；（2）x2+4x+2＝0．
19．（6分）如图所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求：
（1）BD的长；
（2）△ABC的面积．
20．（8分）为调查了解学校选报引体向上的初三男生的成绩情况，工作人员随机抽测了两个分校区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了两幅不完整的统计图．你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）计算扇形图中a的值，并补全条形图；
（2）分别写出在这次抽测中，测试成绩的众数为 个，中位数为 个；
（3）若在体育中考在学校选报引体向上的男生共有800人，按照长沙市体育中考标准，引体向上完成6个，该项即可得到14分，请你估计在学校选报引体向上的男生能获得14分及以上的有多少人？
21．（8分）如图，直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝10，求点C的坐标．
22．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．
23．（9分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促销，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价4元，当天可获利多少元？
（2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2100元，则每件商品应降价多少元？
24．（10分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有 ；
①2x﹣2＝0；
②2x2+x﹣1＝0；
③|x﹣2|＝1．
（2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝6，且当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围．
25．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，∠AEF＝90°且EF交正方形的外角∠DCG的角平分线于点F．
（1）求证：∠BAE＝∠FEG．
（2）试猜想线段AE与线段EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图2，线段BD与AF交于点N，若AB＝6，CG＝2，连接GN，求GN+NF的最小值．
2023-2024：明德教育集团八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17B．1，，C．1，3，D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理，先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【解答】解：A、82+152＝172，故是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，故是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，故C选项符合题意；
D、52+122＝132，故是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
2．（3分）学校开展捐书活动，其中6名同学捐的书本数分别为2，3，1，2，6，4．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1，2B．1.5，2C．2.5，2D．1.5，1.5
【分析】将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数．
【解答】解：将6名同学捐的书本数从小到大排列：1，2，2，3，4，6．
则这组数据的中位数为，众数为2，
故选：C．
【点评】本题考查中位数和众数，清楚中位数和众数的概念是解题的关键．
3．（3分）一次函数y＝﹣2x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+2中，k＝﹣2＜0，b＝2＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．
4．（3分）甲、乙两个同学在四次模拟测试中，数学的平均成绩都是112分，方差分别是S甲2＝5，S乙2＝12，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲B．乙
C．甲和乙一样D．无法确定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵甲、乙两个同学的平均成绩都是112分，方差分别是S甲2＝5，S乙2＝12，
∴S甲2＜S乙2，
∴成绩比较稳定的是甲；
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则它的面积为（ ）
A．24B．48C．12D．96
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长度分别为6和8，
∴它的面积＝×6×8＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，菱形的面积可以用对角线乘积的一半求解，也可以利用底乘以高求解．
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ）
A．AD∥BCB．∠B＝∠DC．AB＝CDD．AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【解答】解：A、当AB∥CD，AD∥BC时，
故可证明四边形ABCD为平行四边形；
B、∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、当AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．∠BAD＝2∠ABC
C．AB＝BCD．OB＝OD
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD，AD∥CB，
∴∠ABD＝∠CDB，∠BAD+∠ABC＝180°，则A，B，C不正确，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为各边中点，对角线AC＝6，BD＝8，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．7B．10C．14D．28
【分析】根据三角形中位线定理分别求出四边形EFGH的各边长，进而求出四边形EFGH的周长．
【解答】解：∵点E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF、FG、GH、EH分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线，
∴EF＝AC＝×6＝3，FG＝BD＝4，GH＝AC＝3，EH＝BD＝4，
∴四边形EFGH的周长为：3+4+3+4＝14，
故选：C．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
9．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形
C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣1.5）C．（0，﹣1）D．（﹣2，0）
【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵A（2，3），
∴OD＝2，AD＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝1，
∴C（0，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据菱形的性质得到CD＝AD＝3．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝50°，则∠ABD的度数是 65° ．
【分析】根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠C+∠ABD+∠CBD＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABD＝（180°﹣50°）＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，若BD＝2，则AC的长为 4 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 AC＝2BD，进而可得答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，D是AC的中点，
∴AC＝2BD，
∵BD＝2，
∴AC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
14．（3分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若AB＝2，∠AOD＝120°，则BC的长为 ．
【分析】由矩形的性质可得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，再由勾股定理即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝OC＝2，
∴AC＝4，
∴BC＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等．解答此题的关键在于数形结合思想的应用．
15．（3分）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣12＝0的一根是﹣6，则该方程的另一根为 1 ．
【分析】设另一根为x＝t，由题意，利用根与系数的关系求出两根之积，进而确定出t即可．
【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣mx﹣12＝0的一根是﹣6，另一根设为t，
∴﹣6t＝﹣＝﹣6，
解得：t＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
16．（3分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣4，﹣2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【解答】解：函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），
即x＝﹣4，y＝﹣2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x、y的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】先算乘法，去绝对值，计算负整数指数幂，然后计算加减法即可．
【解答】解：
＝+2﹣﹣2
＝3+2﹣﹣2
＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（6分）解下列方程：
（1）3x2＝6x；
（2）x2+4x+2＝0．
【分析】（1）先变形，然后根据因式分解法即可解答此方程；
（2）根据配方法即可解答此方程．
【解答】解：（1）3x2＝6x，
3x2﹣6x＝0，
3x（x﹣2）＝0，
∴3x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）x2+4x+2＝0，
x2+4x＝﹣2，
x2+4x+4＝﹣2+4，即（x+2）2＝2，
∴x+2＝，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
19．（6分）如图所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求：
（1）BD的长；
（2）△ABC的面积．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，在Rt△BCD中再利用勾股定理计算BD的长；
（2）根据计算即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵AC2＝132＝169，AD2+CD2＝52+122＝169，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，；
（2）△ABC的面积：．
【点评】本题考查勾股定理以及逆运算，熟练掌握勾股定理的含义是解题的关键．
20．（8分）为调查了解学校选报引体向上的初三男生的成绩情况，工作人员随机抽测了两个分校区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了两幅不完整的统计图．你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）计算扇形图中a的值，并补全条形图；
（2）分别写出在这次抽测中，测试成绩的众数为 5 个，中位数为 5 个；
（3）若在体育中考在学校选报引体向上的男生共有800人，按照长沙市体育中考标准，引体向上完成6个，该项即可得到14分，请你估计在学校选报引体向上的男生能获得14分及以上的有多少人？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出a的值，然后根据测试成绩5个的人数和所占的百分比，可以求得本次抽测的人数，然后即可计算出测试成绩为6个的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据扇形统计图中的数据，可以得到在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数；
（3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出两校体育中考中选报引体向上的男生能获得14分及以上的有多少人．
【解答】解：（1）a＝1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%，
本次抽测的人数为：60÷30%＝200，
则测试成绩为6个的学生有：200×25%＝50（人），
补全的条形统计图如图所示；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数是5个，中位数是5个；
故答案为：5，5；
（3）800×（25%+20%）＝800×45%＝360（人），
即两校体育中考中选报引体向上的男生能获得14分及以上的有360人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）如图，直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝10，求点C的坐标．
【分析】（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把点A（2，0）与点B（0，﹣4）解方程组即可得到结论；
（2）设点C的坐标（a，2a﹣4），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把点A（2，0）与点B（0，﹣4）代入得，，
∴，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣4；
（2）设点C的坐标（a，2a﹣4），
∵S△BOC＝10，
∴×4×a＝10，
∴a＝5，
∴点C的坐标为：（5，6）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先证CD＝AD＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝∠DAB＝30°，由直角三角形的性质和勾股定理可求AC，BD的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴AC＝2CE＝2，AB＝2BO，
∴AO＝CO＝，
∵AB2＝AO2+BO2，
∴4BO2﹣BO2＝3，
∴BO＝1（负值舍去），
∴BD＝2，
∴菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
23．（9分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促销，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价4元，当天可获利多少元？
（2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2100元，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）设每件商品应降价x元，根据要使商场日盈利达到2100元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，（50﹣4）×（30+2×4）＝1748（元）；
答：某天该商品每件降价4元，当天可获利1748元；
（2）设每件商品应降价x元，
根据题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝20，x2＝15（不符合题意，舍去），
答：每件商品应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（10分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有 ①③ ；
①2x﹣2＝0；
②2x2+x﹣1＝0；
③|x﹣2|＝1．
（2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝6，且当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围．
【分析】（1）依据题意，根据“明一方程”定义逐个计算即可判断得解；
（2）依据题意，由当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，从而可得k＝3﹣b，再由S△AOB＝OA•OB＝×|﹣|×|b|＝6，进而求出k，b即可判断得解；
（3）依据题意，由ax2+bx+c＝0为“明一”方程，则方程必有一个根是x＝1，故a+b+c＝0，结合a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，且a＞﹣a﹣c＞c，可得﹣2＜＜﹣，又x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0的两个根，从而其中一个是x＝1，而另一个为x＝＜0，故|x1﹣x2|＝1﹣，再由﹣2＜＜﹣，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）解方程2x﹣2＝0得x＝1，
∴2x﹣2＝0是“明一方程”；
解方程2x2+x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝，
∴2x2+x﹣1＝0不是“明一方程”；
解方程|x﹣2|＝1得x1＝1，x2＝3，
∴|x﹣2|＝1是“明一方程”；
故答案为：①③；
（2）由题意，∵当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，
∴当y＝3时，x＝1．
∴k+b＝3．
∴k＝3﹣b．
又直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣，0），B（0，b）．
∴S△AOB＝OA•OB＝×|﹣|×|b|＝6．
∴b2＝12|k|．
又k＝3﹣b，
∴b2＝12|3﹣b|．
∴b＝﹣3±6或b＝6．
∴或或．
∴直线解析式为y＝（9﹣6）x﹣3+6或y＝（9+6）x﹣3﹣6或y＝﹣3x+6．
（3）由题意，∵ax2+bx+c＝0为“明一”方程，
∴方程必有一个根是x＝1．
∴a+b+c＝0．
又∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，且a＞﹣a﹣c＞c．
∴﹣2＜＜﹣．
∵x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0的两个根，
∴其中一个是x＝1，而另一个为x＝＜0．
∴|x1﹣x2|＝1﹣．
∵﹣2＜＜﹣，
∴＜1﹣＜3．
∴＜|x1﹣x2|＜3．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
25．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，∠AEF＝90°且EF交正方形的外角∠DCG的角平分线于点F．
（1）求证：∠BAE＝∠FEG．
（2）试猜想线段AE与线段EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图2，线段BD与AF交于点N，若AB＝6，CG＝2，连接GN，求GN+NF的最小值．
【分析】（1）观察图1易得∠BAE和∠FEG均与∠AEB互余，即可求证结论．
（2）在线段AB上截取BH＝BE，连接EH．易得∠EHB＝∠FCG＝45°，然后通过（1）的结论，推出∠AEH＝∠FEC，进而证明△AEH≌△EFC（AAS）即可．
（3）连接AC交BD于点O，根据正方形关于其对角线的对称性，以及ON为△ACF的中位线，得出AN＝NF，故当点A，N，G三点共线时，线段AG的长度即为所求．
【解答】解：（1）证明：∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEG＝180°﹣∠AEF＝90°．
∵S四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG．
（2）猜想：AE＝EF．
证明：如图，连接EH，在线段AB上截取BH，使BH＝BE，根据正方形的性质，易得AH＝EC．
易知△HEB为等腰直角三角形，则∠EHB＝45°．
又∵CF为∠DCG的角平分线．
∴∠FCG＝45°＝∠EHB．
又∵∠EHB＝∠EAH+∠AEH，∠FCG＝∠FEC+∠EFC，
由（1）的结论可知，∠BAE＝∠FEG，
∴∠AEH＝∠EFC．
在△AEH和△EFC中，
，
∴△AEH≌△EFC（AAS）．
∴AE＝EF．
（3）如图，连接AC交BD于点O．
根据正方形ABCD关于对角线BD对称的性质，可知点O为AC的中点，∠DBG＝∠FCG＝45°．
∴BD∥CF，
∴ON为△ACF的中位线，AN＝NF．
∴GN+NF＝GN+AN．
点N为线段BD上的动点，当点A，N，G三点共线时，则AG即为GN+NF的最小值．
在Rt△ABG中，由勾股定理得，AB2+BG2＝AG2．
∴AG＝＝10．
故GN+NF的最小值为10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质．把两条线段长度之和的最小值问题转化为求两定点的距离，是“将军饮马”几何模型的基本思想，也是本题的难点．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 10:25:15；用户：高老师；邮箱：13207316879；学号：50587240