【专项练习】全套专题数学2023-2024：长沙县八年级下学期期末数学试卷含解析

这是一份【专项练习】全套专题数学2023-2024：长沙县八年级下学期期末数学试卷含解析，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）化简的结果是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．9
2．（3分）“心有阳光，一路芬芳”．下列与心理健康有关的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．转动抽奖转盘一次，中奖
C．在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6
D．一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球
4．（3分）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，若∠A+∠C＝300°，则∠A的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
6．（3分）“志愿服务，青春担当”，长沙县某校的学生积极参与志愿服务，展现了志愿者精神．如表是对10名学生本学期参与志愿服务情况的统计：
则关于志愿服务参与次数的统计数据的众数和中位数分别是（ ）
A．2，2B．2，3C．4，3D．4，3.5
7．（3分）如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为AB，点P是AB的中点，A′B′表示云梯AB在沿墙下滑过程中的某个位置，点A，B，P的对应点分别为点A′，B′，P′，在云梯的下滑过程中，下列关于OP与OP′的长度关系判断正确的是（ ）
A．OP＞OP′
B．OP＝OP′
C．OP＜OP′
D．无法确定
8．（3分）将函数y＝﹣3x的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y＝﹣3x+4B．y＝﹣3x﹣4C．y＝﹣3（x+4）D．y＝﹣3（x﹣4）
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝55°，将△ABC以点A为中心，逆时针旋转，得到△ADE，点B，点C的对应点分别是点D，点E，当点D恰好第一次落在BC边上时，则旋转角的度数等于（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，按照如下步骤作图：
第一步：连接对角线BD；
第二步：分别以点B，点D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；
第三步：连接PQ分别交AB，CD于点E，点F，连接DE，BF．
由上述作图过程可知，的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则字母x的取值范围是 ．
12．（3分）已知△ABC的三边a，b，c满足，则△ABC一定是 三角形．
13．（3分）为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足 时，选择乙种消费卡更为划算．
14．（3分）一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 ．
15．（3分）为提升学生的综合素养，某校举行了“新时代好少年，爱党爱国，强国有我”的主题演讲活动．参赛学生最终得分按照“内容”“表达”“效果”分别占50%，20%，30%计算．若1号参赛学生的得分为：“内容”得分96分，“表达”得分95分，“效果”得分90分，则1号参赛学生的最终得分为 分．
16．（3分）如图，将正方形ABCD放置于平面直角坐标系中，若点A（0，3），点D（1，0），则点B的坐标为 ．
三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
（1）；
．
18．（6分）我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题．
（1）如果x2＝2，则x＝ ；（直接写出答案）
（2）如果x满足2（x﹣1）2＝4，试求x的值，请写出必要的解答过程．
19．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点的坐标是点A（3，﹣5），点B（1，﹣2），点C（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）再将△ABC以点O为中心，顺时针旋转90°，作出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2的位置，试判断它们是否关于某条直线对称？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
20．（8分）为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为A组，及格为B组，良好为C组，优秀为D组，画出了下列不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）本次抽取的学生人数是 人；m＝ ；n＝ ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）A组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率．
21．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积．
22．（9分）为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值．
23．（9分）我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．
（1）如图，△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝6，AB＝c＝5，请利用上述公式求△ABC的面积；
（2）在（1）的条件下，作BD⊥AC于点D，求BD，CD的长．
24．（10分）根据以下活动项目提供的材料，完成相关任务．
【活动主题】怎样确定巡航船接收信号的有效时长？
【活动过程】素材1：如图（1），A，B，C三个海岛在同一条直线上，巡航船从A岛出发沿直线行驶，航行速度一直保持不变，经过B岛驶向C岛，执行巡航任务．
素材2：B岛处有一个不间断发射信号的发射台，发射信号的覆盖半径为30km；
素材3：设该巡航船行驶的时间为x（h），与B岛的距离为y（km），y与x的函数关系的图象如图（2）所示．
【问题解决】
（1）A岛与C岛之间的距离为 km，a＝ ？
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）试确定该巡航船接收信号的有效时长．
25．（10分）我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题．
（1）试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”．①平行四边形 ；②矩形 ；③菱形 ；
（2）如图（1），在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，DA＝DC，AB＜CB．求证：四边形ABCD是“互补四边形”．
（3）如图（2），若▱ABCD是“互补四边形”，点O是▱ABCD内部一个动点，且不与四边重合，过动点O作AD，AB的平行线，交▱ABCD的边于点F，H，E，G，连接EF，FG，GH，HE，AB＝8，AD＝5，当点O运动时，求四边形EFGH周长的最小值．
参与次数
5
4
3
2
1
参与人数
2
3
2
2
1
2023-2024：长沙县八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）化简的结果是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．9
【分析】根据算术平方根是非负数，可得答案．
【解答】解：＝3，故A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简，算术平方根是非负数．
2．（3分）“心有阳光，一路芬芳”．下列与心理健康有关的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．转动抽奖转盘一次，中奖
C．在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6
D．一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
B、转动抽奖转盘一次，中奖，是随机事件，不符合题意；
C、在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6，是随机事件，不符合题意；
D、一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中，k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
5．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，若∠A+∠C＝300°，则∠A的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【分析】根据平行四边形对角相等即可求出∠A．
【解答】解：在▱ABCD中有：∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝300°，
∴∠A＝∠C＝150°，
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题关键．
6．（3分）“志愿服务，青春担当”，长沙县某校的学生积极参与志愿服务，展现了志愿者精神．如表是对10名学生本学期参与志愿服务情况的统计：
则关于志愿服务参与次数的统计数据的众数和中位数分别是（ ）
A．2，2B．2，3C．4，3D．4，3.5
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据4出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为4，
第5、6个数据分别为4，3，
所以这组数据的中位数为＝3.5，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．（3分）如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为AB，点P是AB的中点，A′B′表示云梯AB在沿墙下滑过程中的某个位置，点A，B，P的对应点分别为点A′，B′，P′，在云梯的下滑过程中，下列关于OP与OP′的长度关系判断正确的是（ ）
A．OP＞OP′B．OP＝OP′C．OP＜OP′D．无法确定
【分析】根据题意可得：∠AOB＝90°，AB＝A′B′，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得OP＝AB，OP′＝A′B′，从而利用等量代换可得：OP＝OP′，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠AOB＝90°，AB＝A′B′，
在Rt△AOB中，点P是AB的中点，
∴OP＝AB，
在Rt△A′OB′中，点P′是A′B′的中点，
∴OP′＝A′B′，
∴OP＝OP′，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
8．（3分）将函数y＝﹣3x的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y＝﹣3x+4B．y＝﹣3x﹣4C．y＝﹣3（x+4）D．y＝﹣3（x﹣4）
【分析】根据“上加下减”，即可找出平移后的函数关系式，此题得解．
【解答】解：根据平移的性质可知：将函数y＝﹣3x的图象沿y轴向上平移4个单位长度后的函数关系式为y＝﹣3x+4．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝55°，将△ABC以点A为中心，逆时针旋转，得到△ADE，点B，点C的对应点分别是点D，点E，当点D恰好第一次落在BC边上时，则旋转角的度数等于（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】根据旋转的性质得AB＝AD，则∠B＝∠ADB＝55°，再利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：由题意知，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝55°，
∴∠BAD＝180°﹣55°×2＝70°，
∴旋转角的度数等于70°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，按照如下步骤作图：
第一步：连接对角线BD；
第二步：分别以点B，点D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；
第三步：连接PQ分别交AB，CD于点E，点F，连接DE，BF．
由上述作图过程可知，的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由作图可知PQ垂直平分线段BD，推出EB＝ED，设EB＝ED＝x，则有x2＝62+（8﹣x）2，解方程可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
由作图可知PQ垂直平分线段BD，
∴EB＝ED，
设EB＝ED＝x，则有x2＝62+（8﹣x）2，
解得x＝，
∴AE＝AB﹣EB＝8﹣＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查作图＝基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则字母x的取值范围是 x≥20 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：由题可知，
x﹣20≥0，
解得x≥20．
故答案为：x≥20．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．
12．（3分）已知△ABC的三边a，b，c满足，则△ABC一定是 直角 三角形．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：∵ABC的三边a，b，c满足，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c（c最大）满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
13．（3分）为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足 大于10 时，选择乙种消费卡更为划算．
【分析】根据函数与不等式的关系求解．
【解答】解：由图象得：当x＝10时，甲乙费用一样，当x＞10时，乙的费用较少，
故答案为：大于10．
【点评】本题考查了函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
14．（3分）一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 6 ．
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和n个白球，
∴由简单概率公式可得，解得n＝6，
∴白球有6个，
故答案为：6．
【点评】本题考查利用概率求个数，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键．
15．（3分）为提升学生的综合素养，某校举行了“新时代好少年，爱党爱国，强国有我”的主题演讲活动．参赛学生最终得分按照“内容”“表达”“效果”分别占50%，20%，30%计算．若1号参赛学生的得分为：“内容”得分96分，“表达”得分95分，“效果”得分90分，则1号参赛学生的最终得分为 94 分．
【分析】利用加权平均数的计算公式进行求解即可．
【解答】解：由题意可得，
96×50%+95×20%+90×30%
＝48+19+27
＝94（分），
即1号参赛学生的最终得分为94分，
故答案为：94．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
16．（3分）如图，将正方形ABCD放置于平面直角坐标系中，若点A（0，3），点D（1，0），则点B的坐标为 （3，4） ．
【分析】过点B作BE⊥y轴，易证△AOD≌△BEA（AAS），可得BE＝OA＝3，AE＝OD＝1继而可求点B坐标．
【解答】解：过点B作BE⊥y轴，垂足为E，
∵点A（0，3），点D（1，0），
∴OA＝3，OD＝1，
在△AOD和△BEA中，
，
∴△AOD≌△BEA（AAS），
∴BE＝OA＝3，AE＝OD＝1，
∴OE＝4，
∴B（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则、除法法则、绝对值和零指数幂的意义计算，然后化简二次根式后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣+﹣2+1
＝﹣2+﹣2+1
＝﹣1；
（2）原式＝﹣2+（）2﹣1
＝﹣2+3﹣1
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键．
18．（6分）我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题．
（1）如果x2＝2，则x＝ ± ；（直接写出答案）
（2）如果x满足2（x﹣1）2＝4，试求x的值，请写出必要的解答过程．
【分析】（1）利用平方根的定义即可求得答案；
（2）利用平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）解：如果x2＝2，则x＝±，
故答案为：±；
（2）原方程整理得：（x﹣1）2＝2，
则x﹣1＝±，
解得：x＝1+或x＝1﹣．
【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
19．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点的坐标是点A（3，﹣5），点B（1，﹣2），点C（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）再将△ABC以点O为中心，顺时针旋转90°，作出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2的位置，试判断它们是否关于某条直线对称？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）连接B1B2，作线段B1B2的垂直平分线l，结合轴对称的性质可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）连接B1B2，作线段B1B2的垂直平分线l，
则△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称．
这直线l的解析式为y＝kx，
将（1，﹣1）代入，得﹣k＝1，
解得k＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝﹣x．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、旋转变换、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键．
20．（8分）为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为A组，及格为B组，良好为C组，优秀为D组，画出了下列不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）本次抽取的学生人数是 50 人；m＝ 42 ；n＝ 30 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）A组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率．
【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次抽取的学生人数；用条形统计图中D的人数除以本次抽取的学生人数再乘以100%可得n%，进而可得m%，即可得m，n的值．
（2）根据（1）所求数据补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2人来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽取的学生人数是10÷20%＝50（人），
∴n%＝15÷50×100%＝30%，
C组的人数为50﹣4﹣10﹣15＝21（人），
∴m%＝21÷50×100%＝42%，
∴m＝42，n＝30．
故答案为：50；42；30．
（2）补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2人来自不同班级的结果有：（小振，小张），（小振，小沙），（小星，小张），（小星，小沙），（小张，小振），（小张，小星），（小张，小沙），（小沙，小振），（小沙，小星），（小沙，小张），共10种，
∴随机抽取的2人来自不同班级的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
21．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC得平行四边形ABCD为菱形，再根据AB⊥BC即可得出结论；
（2）连接AC，根据CF⊥AE于点F，点F为AE的中点得CF为线段AE的垂直平分线，则AC＝CE＝8√2，在Rt△ACD中由勾股定理得AD2＝64，据此可得四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形，
又∵AB⊥BC，
∴菱形ABCD为正方形，
（2）连接AC，如图所示：

∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点，
∴CF为线段AE的垂直平分线，
∴AC＝CE＝8√2，
∵四边形ABCD为正方形，
∵AD＝BC，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
∴AD2＝AC2＝＝64，
∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64．
【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键．
22．（9分）为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值．
【分析】（1）根据题意w＝甲种奖品费用+乙种奖品费用，即可列出函数关系式；
（2）由甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，得x≥（30﹣x），故x≥7.5，从而知x的最小值为8，再由一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：w＝30x+15（30﹣x）＝15x+450；
（2）∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，
∴x≥（30﹣x），
解得x≥7.5，
∵x为整数，
∴x的最小值为8；
在w＝15x+450中，15＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝8时，w取最小值，最小值为15×8+450＝570（元），
此时30﹣x＝30﹣8＝22，
∴购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元．
【点评】本题考查一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式和列出不等式．
23．（9分）我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．
（1）如图，△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝6，AB＝c＝5，请利用上述公式求△ABC的面积；
（2）在（1）的条件下，作BD⊥AC于点D，求BD，CD的长．
【分析】（1）根据公式先求出p，再求出S即可；
（2）根据三角形面积公式求出BD，再根据勾股定理求出CD即可．
【解答】解：（1）∵p＝（7+6+5）＝9，
∴S＝＝6，
∴△ABC的面积是6．
（2）∵AC•BD＝6，即×6BD＝6，
∴BD＝2，
∴CD＝＝＝5．
【点评】本题考查三角形的面积和勾股定理，掌握三角形的面积公式和勾股定理是解题的关键．
24．（10分）根据以下活动项目提供的材料，完成相关任务．
【活动主题】怎样确定巡航船接收信号的有效时长？
【活动过程】素材1：如图（1），A，B，C三个海岛在同一条直线上，巡航船从A岛出发沿直线行驶，航行速度一直保持不变，经过B岛驶向C岛，执行巡航任务．
素材2：B岛处有一个不间断发射信号的发射台，发射信号的覆盖半径为30km；
素材3：设该巡航船行驶的时间为x（h），与B岛的距离为y（km），y与x的函数关系的图象如图（2）所示．
【问题解决】
（1）A岛与C岛之间的距离为 120 km，a＝ 1.5 ？
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）试确定该巡航船接收信号的有效时长．
【分析】（1）由图象可知，A海岛距B海岛40km，B海岛距C海岛80km，可知A岛与C岛之间的距离为120（km），求出巡航船速度为40÷0.5＝80（km/h），即知a＝120÷80＝1.5；
（2）当0≤x≤0.5时，y＝40﹣80x；当0.5＜x≤1.5时，y＝80（x﹣0.5）＝80x﹣40；
（3）在y＝40﹣80x中，令y＝30得x＝；在y＝80x﹣40中，令y＝30得x＝；故该巡航船接收信号的有效时长为h．
【解答】解：（1）由图象可知，A海岛距B海岛40km，B海岛距C海岛80km，
∴A岛与C岛之间的距离为40+80＝120（km），
巡航船速度为40÷0.5＝80（km/h），
∴a＝120÷80＝1.5；
故答案为：120，1.5；
（2）当0≤x≤0.5时，y＝40﹣80x；
当0.5＜x≤1.5时，y＝80（x﹣0.5）＝80x﹣40；
∴y＝；
（3）在y＝40﹣80x中，令y＝30得30＝40﹣80x，
解得x＝；
在y＝80x﹣40中，令y＝30得30＝80x﹣40，
解得x＝；
∵﹣＝（h），
∴该巡航船接收信号的有效时长为h．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
25．（10分）我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题．
（1）试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”．①平行四边形 × ；②矩形 √ ；③菱形 × ；
（2）如图（1），在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，DA＝DC，AB＜CB．求证：四边形ABCD是“互补四边形”．
（3）如图（2），若▱ABCD是“互补四边形”，点O是▱ABCD内部一个动点，且不与四边重合，过动点O作AD，AB的平行线，交▱ABCD的边于点F，H，E，G，连接EF，FG，GH，HE，AB＝8，AD＝5，当点O运动时，求四边形EFGH周长的最小值．
【分析】（1）①由平行四边形的对角不一定互补，可判断平行四边形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案；
②由矩形的四个角都是直角，可判断矩形的对角互补，则矩形是“互补四边形”，于是得到问题的答案；
③由菱形的对角不一定互补，可判断菱形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案；
（2）在BC上截取LB＝AB，连接DL，可证明△ABD≌△LBD，得∠A＝∠BLD，DA＝DL，而DA＝DC，则DL＝DC，所以∠C＝∠DLC，则∠A+∠C＝∠BLD+∠DLC＝180°，所以∠ABC+∠ADC＝180°，即可证明四边形ABCD是“互补四边形”；
（3）由▱ABCD是“互补四边形”，推导出∠DAB＝∠DCB＝∠ABC＝∠ADC＝90°，则四边形ABCD、四边形AEOF、四边形BFOG、四边形DEOH、四边形CGOH都是矩形，连接AC、BD交于点I，连接OA、OB、OC、OD，则EF＝OA，GH＝OC，FG＝OB，EH＝OD，所以EF+FG+GH+EH＝OA+OC+OB+OD，由AB＝8，AD＝5，求得AC＝BD＝，则OA+OC≥，OB+OD≥，可证明EF+FG+GH+EH≥2，求得四边形EFGH周长的最小值为2．
【解答】（1）解：①∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补，
∴平行四边形不是“互补四边形”，
故答案为：×．
②∵矩形的四个角都是直角，
∴矩形的对角互补，
∴矩形是“互补四边形”，
故答案为：√．
③∵菱形的对角相等，但对角不一定互补，
∴菱形不是“互补四边形”，
故答案为：×．
（2）证明：如图（1），在BC上截取LB＝AB，连接DL，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠LBD，
在△ABD和△LBD中，
，
∴△ABD≌△LBD（SAS），
∴∠A＝∠BLD，DA＝DL，
∵DA＝DC，
∴DL＝DC，
∴∠C＝∠DLC，
∴∠A+∠C＝∠BLD+∠DLC＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，
∴四边形ABCD是“互补四边形”．
（3）解：如图（2），∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD，CD∥AB，∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADC，
∵FH∥AD，EG∥AB，
∴FH∥CB，EG∥CD，
∴四边形AEOF、四边形BFOG、四边形DEOH、四边形CGOH都是平行四边形，
∵▱ABCD是“互补四边形”，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠DAB＝∠DCB＝×180°＝90°，∠ABC＝∠ADC＝×180°＝90°，
∴四边形ABCD、四边形AEOF、四边形BFOG、四边形DEOH、四边形CGOH都是矩形，
连接AC、BD交于点I，连接OA、OB、OC、OD，则EF＝OA，GH＝OC，FG＝OB，EH＝OD，
∴EF+FG+GH+EH＝OA+OC+OB+OD，
∵AB＝8，AD＝5，
∴AC＝BD＝＝＝，
∵OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，
∴OA+OC≥，OB+OD≥，
∴OA+OC+OB+OD≥2，
∴EF+FG+GH+EH≥2，
∴当点O与点I重合时，EF+FG+GH+EH＝AC+BD＝2，
∴EF+FG+GH+EH的最小值为2，
∴四边形EFGH周长的最小值为2．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
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