第3章 对圆的进一步认识（章末重点题型归纳）2024-2025学年9年级数学上册（青岛版）

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第3章 对圆的进一步认识（章末重点题型归纳）题型一 利用垂径定理求解1．如图，是的直径，弦于点E，，，则（     ）A．6 B． C．9 D．12【答案】C【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．【详解】解：，，在中，．故选：C．2．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【答案】C【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离．【详解】解：如图，作于E，于F，连，则，∵，∴E、O、F三点共线，在中，，在中，，当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离．所以与的距离是14或2．故选：C．3．下列判断正确的是（　　）A．弦心距相等则弦也相等B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等D．弦的垂直平分线必定经过圆心【答案】D【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．【详解】解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误；B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误；C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误；D、根据垂径定理得到，故该选项正确．故选：D．4．如图，在中，于点C，若，，则的半径长为 ．  【答案】5【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：连接，  ∵于点C，，∴，在中：∴．∴的半径长为5．故答案为：55．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．【答案】2,1【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，据此即可求解；【详解】解：由图可知：，分别作出弦的垂直平分线，如图所示：根据弦的垂直平分线必过圆心可得：该圆弧所在圆的圆心坐标为2,1，故答案为：2,16．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ．【答案】/度【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：∵半径经过的中点．∴，∵，∴，∵，，∴，故答案为：．7．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）【答案】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，，是半径，且，，在中，，，解得：，故答案为：．8．如图，在平面直角坐标系中，，，．(1)在图中画出经过 ，， 三点的圆弧所在圆的圆心；(2)点的坐标为 ．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，解决本题的关键是能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．（1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心；（2）根据点M的位置写出坐标即可．【详解】（1）如图，点M即为所求，（2）如图所示，则圆心为，故答案为：．题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求解9．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可．【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，，∴，∴，故选B．10．如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案．【详解】连接，∵弦平行于直径，∴，又∵，则，∴，∵∴．故选：A．11．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵，∴，，故A正确；，∴， ,∴，故B正确；,∴，故C错误；∵，∴，故D正确；故选：C．12．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线．如图，取弧的中点，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题．【详解】解：如图，取弧的中点，连接，．，，，，，．故选：B．13．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．【详解】解：如图，连接 ∵，∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B．【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．14．如图，是的直径，，，则的度数是 °．  【答案】【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质；可求，从而可求，由等腰三角形的性质可求；掌握“同弧所对的圆心角相等”是解题的关键．【详解】解：，，，，，，，；故答案：．15．已知是的弦，点在上，连接，．(1)如图①，当时，___________°；(2)如图②，当时，___________°；(3)如图③，当时，___________°．【答案】(1)70(2)100(3)100【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．（1）根据等弧所对圆心角相等，求得，再利用等边对等角即可求解；（2）利用平行线的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解；（3）先证明是等边三角形，求得，据此求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：70；（2）解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：100；（3）解：∵，又，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，故答案为：100．16．如图，，，， 是 上的点，，．(1)求证：；(2)能否求出 BD 的长?若能，求出 BD的长，若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)能，【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理；（1）先证明即可得到结论；（2）由证明即可.【详解】（1）证明：， ，即 ． ∴．（2）解：∵，．，．17．如图，中，弦，相交于点，．(1)比较与的长度，并证明你的结论；(2)求证：．【答案】(1)相等，理由见解析(2)见解析【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到．（2）由证明，即可推出．【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下：，，，；（2）证明：在和中，，，．题型三 确定圆的条件18．如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（    ）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】D【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案．【详解】平面内有一点到圆心的距离为4，．该点在圆外，点符合要求．故选：D．19．点P到圆O的圆心的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r可能是（　　）A．7 B．8 C．5 D．【答案】C【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可．【详解】解：∵点P到圆O的圆心的距离为6，点P在圆O外，∴圆O的半径小于6，∴四个选项中只有C选项符合题意，故选：C．20．下列说法正确的是（     ）A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等【答案】B【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D．【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意；垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意；各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意；三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意；故选：B．21．已知中，，则外接圆的半径为（　　）A．3 B．4 C．5 D．不确定【答案】C【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，在中，利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答．【详解】解：在中，，∴，∴外接圆的半径，故选：C．22．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解．【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示：的外心是点，故选：A．23．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　）A． B．a与b不平行 C． D．【答案】B【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交，故选：B24．若的直径为3， ，则点P与的位置关系是：点P在 （填“内““外”或“上”）【答案】外【分析】由条件可求得圆的半径为1.5，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P在圆外．本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．【详解】解：∵的直径为3，∴半径，∵，∴，∴点P在外．故答案为：外．25．如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合．【答案】120【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据等边三角形的性质可得点O是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用除以3计算即可得解．【详解】解：∵O为为外接圆圆心，，∴点O是的中心，∵，∴以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合．故答案为：120．26．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ．【答案】/140度【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可．【详解】点是的外心是等腰三角形故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键．27．如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块．【答案】①【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①．故答案为：①．【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键．28．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3r，即r<3即当r<3时，点A在⊙C外；（2）点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，综合起来，当3