初中数学青岛版九年级上册第3章 对圆的进一步认识综合与测试单元测试测试题

青岛版初中数学九年级上册第三单元《对圆的进一步认识》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，是以为直径的半圆上一点，连结，，分别以、为直径作半圆，其中，分别是、为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽为，桥顶到水面的距离为，则这座桥桥拱半径为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，弓形中，，弓形所在圆的半径是，则弓形高的长是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，中，，，于点，，是半径为的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点不与，重合，下列结论：；；当最长时，；，其中一定正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

6. 如图，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心、为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点，，，，在上，的度数为，则等于   (    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，点，，，都在上，，平分，则(    )

A.
B.
C.
D.

9. 平面内，的半径为，点到的距离为，过点可作的切线条数为(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条

10. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，已知的周长为，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知矩形的顶点，，，分别在正六边形的边，，，上，且在点从移向与不重合的过程中，下列的判断中，正确的是(    )

A. 矩形的面积与周长保持不变
B. 矩形的面积逐渐减小，周长逐渐增大
C. 矩形的面积与周长均逐渐增大
D. 矩形的面积与周长均逐渐减小
 

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为______结果保留

14. 如图，中，，，点是所在平面上的一个动点，且，则面积的最大值是______．

15. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，若与坐标轴有三个公共点，则的半径为______．
16. 如图，正六边形内接于，是圆上任意一点，连接，，则的度数为_____．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，铁路和公路在点处交会，，在点处有一栋居民楼，如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为，居民楼受噪声影响的时间约为多少秒结果保留小数点后一位？

18. 如图，，，分别是半径，的中点．求证：．

19. 如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点．
     

求证：

若，，求外接圆的半径．

20. 如图，已知外接圆的圆心在高上，点在延长线上，．
    求证：；
    当，时，求的长．

21. 如图，四边形是的内接四边形，且对角线为直径，过点作的切线，与的延长线交于点，已知平分．
    求证：；
    若的半径为，，求的长．

22. 如图，中，，，点是的内心．求的度数．

23. 如图，是的直径，垂直与过点的切线，交与于，连接．
    求证：平分；
    若的半径为，，求劣弧的长度．

24. 如图，四边形内接于半，是半的直径，、是半圆弧的三等分点连接，过作交的延长线于．
    求证：是半的切线；
    已知，求图中阴影部分的面积．

25. 如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
    作法如图．
    作直径．
    以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，．
    连结，，．
    求的度数．
    是正三角形吗？请说明理由．
    从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正边形，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：连接，，分别交，于，，
，分别是、为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是，，
，，由对称性可知：，，三点共线，，，三点共线，
、是、的中点，
，
，，
，
，
故选：．
连接，，根据，分别是、为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是，得到，，从而得到、是、的中点，利用中位线定理得到和，从而利用求解．
本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，题目中还考查了垂径定理和轴对称的知识，有难度．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
连接，设，则，根据垂径定理得出，然后根据勾股定理得出关于的方程，解方程即可得出答案．
【解答】
解：连接，

由题意可得：，设半径，
则，
由勾股定理可得：，
解得：．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查垂径定理，勾股定理，作出辅助线是解答此题的关键．
设弓形所在的圆的圆心为，连接，由垂径定理得，再利用勾股定理可得结论．

【解答】

解：如图，设弓形所在的圆的圆心为，
连接，

，，
，
中，由勾股定理得：

，
则弓形高的长是．

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
当取最大值时，的长最
是半径为的上一动点，
当过圆心时，最大，
，，
，
的半径为，
的最大值为，
长的最大值为，
故选：．
连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理得到，则当取最大值时，的长最大，求得的最大值，即可求得长的最大值．
本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，的长最大是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，，
，故正确；
点是弧上一动点，
与不一定相等，
与不一定相等，故错误；
当最长时，为直径，
，
，
，
，故正确；
在上取一点，使，如图：

，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，故正确；
正确的有，共个，
故选：．
由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断正确；由点是弧上一动点，可判断错误；根据最长时，为直径，可判定故正确；在上取一点，使，可得是等边三角形，从而≌，有，可判断正确．
本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造三角形全等解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，当与在第一象限相切时，有最小值，此时点、、重合，连接，过点作轴与点，则，

，，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
当与在第一象限相切时，有最小值，此时点、、重合，连接，过点作轴与点，则，由，，得出，由切线的性质得出，由勾股定理求出，由等积法，进而求出，，得出，即可求出．
本题考查了坐标与图形的性质，掌握勾股定理，两点间的距离公式，等积法，切线的性质等知识是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得到，结合图形计算即可．

【解答】
解：连接，


的度数为为，
，
四边形为的内接四边形，
，
．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题综合考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等．解答此题的关键点是利用“同弧所对的圆周角相等”得出先根据三角形的内角和定理求得的度数，然后根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理求出，根据同弧所对的圆周角相等得出，于是得到结论．

【详解】

解：在中，

的半径，

，

又，，

，，

平分，

，

，

．

故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有个公共点的直线，理解定义是解题的关键．
先根据题意确定点在圆外，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】
解：的半径为，点到圆心的距离为，
，
点与的位置关系是：在外，
过圆外一点可以作圆的条切线，
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故选：．
由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．
本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，
的周长为，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，
，，，
，，
，
，
解得：，
即．
故选：．
设，根据切线长定理得出，，，求出，，根据，代入求出即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出，，，用了方程思想．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，交于，如图：

设，，
多边形是正六边形，四边形是矩形，
，，，，
在中，，，
，，
，
矩形周长，
矩形面积，
当点从移向与不重合的过程中，由向变化，
矩形周长随的减小而减小，
，矩形面积的图象是一条开口向下，对称轴为直线的抛物线，
由向变化过程中，随的减小而减小，
即由向变化过程中，矩形周长和矩形的面积均逐渐减小，
故选：．
连接，交于，设，，表示出，，可得矩形周长，面积，由一次函数及二次函数性质可得答案．
本题属于代数几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了正多边形及矩形的性质，一次函数的性质，二次函数的最值，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于，
，过圆心，是弦，
，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：．
根据垂径定理，勾股定理求出，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作于，
，，
，
，
，
，，
以为圆心，为半径作，延长交于点，
，
点在上运动，当运动到如图的位置时，面积的最大值，最大值为：．
故答案为：．
因为，，可得，以为圆心，为半径作，与的延长线相交于点，因为，所以点在上运动，当运动到如图的位置时，面积最大，根据三角形面积公式即可得出面积的最大值．
本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是得出点在上运动．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当半径小于时，与坐标轴共有个公共点，
当半径等于时，如图，与轴相切且与轴有个交点，共有个公共点，

当半径等于到原点的距离时，如图，共有个公共点，

当半径大于时，与坐标轴共有个公共点．
即与坐标轴有三个公共点，则的半径为或．
故答案为：或．
由已知，可以知道圆心到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，由此可以确定，与坐标轴共有三个公共点时圆的半径是和．
此题考查的知识点是直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，关键是能够正确分析出圆与坐标轴有个公共点时的位置关系．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正六边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案．

【解答】
解：连接、，如图所示：

正六边形内接于，

，

是圆上任意一点，，

根据圆周角定理，，

故答案为：．

17.【答案】解：居民楼会受到噪声的影响．
如图所示，作，，垂足为．
，
．
．
 
又，
受影响的时间为 
答：居民楼受噪声影响的时间约为．

【解析】见答案
 

18.【答案】证明：如图所示，连接，，．
，
 
又，为公共边，
≌，
 
又，分别是，的中点，
，
≌，
．

【解析】见答案
 

19.【答案】证明： 平分，．

又，．

平分，，

，

又，，

．

解：如图，连接．

，是圆的直径，．

，，，

，

外接圆的半径为．

【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
通过证明得到；
连接，如图，证明为等腰直角三角形得到，从而得到外接圆的半径；
 

20.【答案】证明：外接圆的圆心在高上，
，，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】由三角形的外接圆的性质可判定，，即可得，利用等腰三角形的性质可得，，再结合三角形外角的性质可证明结论；
连接，由特殊角的三角函数值可得，由直角三角形的性质可求解，再利用含角的直角三角形的而性质可求解，，进而可求解．
本题主要考查圆的概念及性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握圆的概念及性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，

是的切线，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
解：过点作，垂足为，

，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据切线的性质可得，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答；
过点作，垂足为，可得四边形是矩形，从而可得，，然后先利用垂径定理求出的长，从而去除的长，再在中，利用勾股定理求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：点是的内心，
，分别平分，．
，．
．
，
． 

【解析】见答案
 

23.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，

是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
或舍去，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
劣弧的长度，
劣弧的长度为 

【解析】连接，利用切线的性质可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可证平分，即可解答；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可证∽，然后利用相似三角形的性质可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用弧长公式进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质，弧长的计算，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
、是半圆弧的三等分点，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是半的切线；
解：连接，

，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
的面积的面积，
，
，
在中，，
，
，
阴影部分的面积扇形的面积

，
阴影部分的面积为 

【解析】根据垂直定义可得，再根据、是半圆弧的三等分点，可得，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答；
连接，根据已知可求出，从而可得是等边三角形，进而可得，，然后利用平行线的判定可得，从而可得的面积的面积，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据阴影部分的面积扇形的面积进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：五边形是正五边形，
，
即；
是正三角形，
理由：连接，，
由题意可得：，
是等边三角形，
，
，
同理可得：，
，
是正三角形；
，
，
，
，
，
的值是． 

【解析】根据正五边形内角和，可以计算出的度数；
先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；
根据题意和中的结果，计算出的度数，然后即可计算出的值．
本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．