北京市海淀区第一零一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知为等差数列，，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列性质，，求出式子的值.
【详解】因为是等差数列，所以.
故选：C.
2. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为
A. （1,1]B. （0,1]C. [1，+∞）D. （0，+∞）
【答案】B
【解析】
【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B
考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域
3. 由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A. 24B. 12C. 10D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
分个位数是0和个位数是5两类求解.
【详解】当个位数是0时，有个，
当个位数是5时，有个，
所以能被5整除的个数是10，
故选：C
4. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A. 14B. 24C. 28D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】利用间接法，用总数减去没有女生的情况即可.
【详解】从6名学生中选派4人有种选法，
从6名学生中选派4人，没有女生有种选法，
故要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为种选法.
故选：A.
5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立.
【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以，
则的取值范围为.
故选：B
6. 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）

A. 5B. 7C. 9D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象判定斜率大小即可.
【详解】
若果树前n年的总产量与n在图中对应点
则前n年的年平均产量，即为直线OP的斜率，
由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大.
即前9年的年平均产量最高.
故选：C.
7. 已知等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合等比数列通项公式可求得的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，
由得：，又，，解得：，
，充分性成立；
由得：，又，，解得：或，
当时，，，必要性不成立.
“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题.
8. 对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，得到时，单调非递增函数，时，单调非递减函数求解.
【详解】因为，
所以当，即时，，则单调非递增函数，
所以；
当，即时，，单调非递减函数，
所以；
由不等式的性质得：.
故选：B
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.
9. 关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 的解集是B. 是极小值，是极大值
C. 没有最小值，也没有最大值D. 有最大值，没有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数的极值、最值判断BCD.
【详解】函数的定义域为R，
对于A，，解得，即的解集是，A正确；
对于BCD，，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此是极小值，是极大值，B正确；
显然当时，恒成立，当时，，，
而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值，C错误，D正确.
故选：C
10. 数列的前项和为，若数列与函数满足：
（1）的定义域为；
（2）数列与函数均单调递增；
（3）使成立，
则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列四个结论：
①与具有“单调偶遇关系”；
②与具有“单调偶遇关系”；
③与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；
④与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A ①③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项①，②；以一次函数为例，可判断③；令，通过计算可判断④．
【详解】对于①：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足（1），
数列和均单调递增满足（2），
数列的前项和，
由得，解得，
所以使成立，满足（3），故①正确；
对于②：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足（1），
数列和均单调递增满足（2），
的前项和，由得恒成立，
所以使成立满足（3），
故与具有“单调偶遇关系”，故②说法正确；
对于③：以一次函数为例，，，，
即，
整理得，只要方程有正整数解且即可，如方程中取，则有，
即，对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故③说法不正确；
对于④：中令．
由得，取，即可保证恒有解，故选项④正确．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：通过①可想到③中以一次函数为例，通过②可想到④中令，通过举例达到解决问题的目的.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 在的展开式中，常数项为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】的展开式的通项公式为，令，则常数项为，
故答案为：6.
12. 函数的零点个数为____________，其极小值为_____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接令求零点，求导，确定单调性后可得极值.
【详解】令，则或（舍去）
所以，故函数的零点个数为；
又，
令，得，在上单调递减，
令，得，在上单调递增，
故的极小值为.
故答案为：；.
13. 曲线在处的切线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求导得切线斜率，由直线的点斜式即可求解直线方程.
【详解】由得，故，又，
所以切线方程为，即，
故答案为：
14. 已知函数的导函数为，能说明“若对任意的都成立且，则在上必有零点”为假命题的一个函数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题得在上递减，且，在与轴无交点，选中这样的一个函数即可.
【详解】“若对任意的都成立且”,则在上递减，
且，再由“在上必有零点”为假命题，
可得的图象在与轴无交点，这样的函数可以是，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题.
15. “S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.
给出下列四个结论：
①对任意，存在，使得；
②对任意，存在，使得；
③对任意，存在，使得；
④对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①②
【解析】
【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项.
【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），
设导数在取最大值，结合的图象可知，
且当时，为增函数，在上为减函数，
对于①，任意，取，则有，故①成立.
对于②，设，由图象的性质可平移直线至处，
此时平移后的直线与图象相切，且，取，
故，故②正确.
对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线，
交的图象于，由函数的图象特征可得，
取，则，故③不成立.
对于④，取（为①中最大值点），
则过切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线，
否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.
故答案为：①②.
【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断.
16. 已知函数，存在，使得成立.给出下列四个结论:
①当时，; ②当时，;
③当时，; ④当时，.
其中所有正确结论的序号是________________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】由，可得，即，转化为，然后对求导，求出其单调区间，画出的图象，结合图象逐个分析判断即可．
【详解】由，得，
所以当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以的大致图象如图所示：

因为，
所，即，
所以，
当时，或或或，
则或或或，所以，所以①正确；
当时，若，此时与均可以趋于，所以③错误；
当时，由，得，所以，
因为，所以由图象可知当时，有，
所以，所以②正确；
当时，由图和②可知，
则，
所以，
令，，
则，所以在上单调递增，
所以，
即当时，成立，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点为将条件变形为，从而，通过函数的性质来研究问题.
三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.
（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.
【小问1详解】
，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
【小问2详解】
，因此
18. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最值；
（3）若，求的单调区间．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）答案见解析
【解析】
分析】（1）求导，再令即可得解；
（2）利用导数求出函数的单调区间，在求出函数的极值和端点的函数值，即可得出函数的最值；
（3）求导，再分和两种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
，则；
【小问2详解】
，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
【小问3详解】
，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为；
19 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若为函数的极小值点，求的取值范围；
(3)曲线是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】(1)对求导，得出所求切线的斜率即可得解；
(2)按a值取正负零分别讨论在0左右两侧值的正负而得解；
(3)假定曲线存在两个不同点关于y轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，讨论性质即可得解.
【详解】(1)由已知得，
，所以曲线在点处的切线方程为；
(2)，
①当时，函数在上单调递增，无极值，不符；
②当时，x<0，，则，与为函数的极小值点矛盾，不符；
③当时，令，则，时，在上递增，时，在上递减，
，且，x<0时，，
时，，，，为函数的极小值点，则，
时，因在上递增，值从增到0，则直线与在上图象有公共点，
即存在使得，，，即，
所以存在，时，而x>0时，为函数的极小值点，则有，
所以当时，为函数的极小值点，
综上有；
(3)不存在，
假定曲线存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标为，其中，
则有，
令，于是有，
由(2)知函数在上单调递增，由得，即与矛盾，
所以曲线不存在两个不同的点关于y轴对称.
【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是，且在x0左侧与右侧的符号不同．
20. 在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为．
（1）设数列为，写出，，，的值；
（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；
（3）设，，求的值．（用p，q，A表示）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据使得成立的的最大值为，结合数列为，分析即可；
（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；
（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出 的值．
【小问1详解】
由使得成立的的最大值为，数列为，
得，则，
，则，
，则，
，则，
所以；
【小问2详解】
由题意，得，
结合条件，得，
又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，
所以，.，
设，则，
假设，即，
则当时，，当时，，
所以，，
因为为等差数列，
所以公差，
所以，其中，
这与矛盾，
所以，
又因为，
所以，
由为等差数列，得，其中，
因为使得成立的的最大值为，
所以，
由，得；
【小问3详解】
设，
因为，
所以，且 ，
所以数列中等于1的项有个，即个，
设，
则，且，
所以数列中等于2的项有个，即个，
以此类推，数列中等于的项有个.，
所以
，
即.
【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键.