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北京市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）
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1. 若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，且，则x的值为（ ）
A. -2B. 2C. -8D. 8
3. 在三角形中，角对应的边分别为，若，，，则＝（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
8. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角.设为非零向量，则下列说法错误的是
A. B.
C. 若，则D.
9. 如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 不存在点，使
C. 对任意点，都有
D. 存在点，使平面
10. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分，共30分）
11. 已知复数，则________；________．
12. 已知向量，，则________；向量在上的投影向量的坐标为________．
13. 在正四面体A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值是_______ .
14. 已知点，，，则___________；若是以为边的矩形的顶点，则___________.
15. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
16. 如图矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成．若为线段的中点，则在翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．
①是定值；
②一定存在某个位置，使；
③一定存某个位置，使；
④一定存在某个位置，使．
三、解答题（每题14分，共70分）
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
18. 已知．
（1）求最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
19. 如图，四边形菱形，平面，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．
20. 在中，.
（Ⅰ）若，求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
21. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．
（1）判断是否具有性质；
（2）若，且具有性质，求的值；
（3）若具有性质，求证：且当时，．
1. 若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，且，则x的值为（ ）
A. -2B. 2C. -8D. 8
3. 在三角形中，角对应的边分别为，若，，，则＝（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
8. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角.设为非零向量，则下列说法错误的是
A. B.
C. 若，则D.
9. 如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 不存在点，使
C. 对任意点，都有
D. 存在点，使平面
10. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分，共30分）
11. 已知复数，则________；________．
12. 已知向量，，则________；向量在上的投影向量的坐标为________．
13. 在正四面体A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值是_______ .
14. 已知点，，，则___________；若是以为边的矩形的顶点，则___________.
15. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
16. 如图矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成．若为线段的中点，则在翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．
①是定值；
②一定存在某个位置，使；
③一定存某个位置，使；
④一定存在某个位置，使．
三、解答题（每题14分，共70分）
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
18. 已知．
（1）求最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
19. 如图，四边形菱形，平面，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．
20. 在中，.
（Ⅰ）若，求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
21. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．
（1）判断是否具有性质；
（2）若，且具有性质，求的值；
（3）若具有性质，求证：且当时，．
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