北师大版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.7有理数的乘除法【十大题型】学案(学生版+解析)

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专题2.7 有理数的乘除法【十大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29337" 【题型1 利用有理数的乘法辨别符号】  PAGEREF _Toc29337 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc29585" 【题型2 利用有理数乘法运算律进行巧算】  PAGEREF _Toc29585 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc16565" 【题型3 倒数、绝对值、相反数的综合求值】  PAGEREF _Toc16565 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4683" 【题型4 有理数乘法的实际应用】  PAGEREF _Toc4683 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20793" 【题型5 有理数的混合运算】  PAGEREF _Toc20793 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2640" 【题型6 有理数四则运算的实际应用】  PAGEREF _Toc2640 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2710" 【题型7 利用倒数法求解有理数的除法】  PAGEREF _Toc2710 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc8083" 【题型8 化简分数】  PAGEREF _Toc8083 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc5600" 【题型9 与有理数乘除有关的新定义问题】  PAGEREF _Toc5600 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc28439" 【题型10 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】  PAGEREF _Toc28439 \h 8知识点1：有理数的乘法1.有理数的乘法有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。2.有理数乘法运算律乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。【题型1 利用有理数的乘法辨别符号】【例1】（23-24七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 (      )A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个【变式1-1】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）若a−b<0，ab>0，那么这两个数（    ）A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号不能确定【变式1-2】（23-24七年级·重庆江津·阶段练习）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘积ac的值一定是（　　）A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定【变式1-3】（23-24七年级·安徽宣城·期末）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（　　）A．ab>0 B．a+b>0 C．a−1b−1>0 D．a+1b−1>0【题型2 利用有理数乘法运算律进行巧算】【例2】（23-24七年级·全国·假期作业）计算：(−1×2)×(−12×32)×(−23×43)×(−34×54)×…×(−20212022×20232022)×(−20222023×20242023)．【变式2-1】（23-24七年级·全国·课后作业）计算1557×716，最简便的方法是（　　）A．15+57×716 B．16−27×716 C．1107×716 D．10+557×716【变式2-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）用简便方法计算：(1)−7.5×+25×−0.04；(2)−4120×1.25×−8．【变式2-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）用简便方法计算：(1)191718×−9；(2)0.618×97+3×0.618．知识点2：倒数1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。【题型3 倒数、绝对值、相反数的综合求值】【例3】（23-24七年级·重庆·期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为 ．【变式3-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数a的相反数是它本身，乙说：一个数b的倒数也是它本身，则a-b= 【变式3-2】（23-24七年级·四川成都·期末）若a，b互为相反数，a+1的倒数是−14，则b的值为 ．【变式3-3】（23-24七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于4，p是数轴上原点表示的数．(1)分别直接写出a+b，cd，m，p的值；(2)p−cd+a+bcd+m的值是多少？【题型4 有理数乘法的实际应用】【例4】（23-24七年级·广东广州·开学考试）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 种不同的着色方法．  【变式4-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）某商店将一种取暖器先提价20%，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（    ）A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断【变式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为 尺．【变式4-3】（23-24七年级·山东临沂·期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付费 元．（游客只能在公园售票处购票）知识点3：有理数的除法1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。【题型5 有理数的混合运算】【例5】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）计算(1)−25÷−13÷−325×523(2)1÷−18+73÷15−23【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题．计算：(−15)÷(13−3−32)×6解：原式=(−15)÷(−256)×6……第一步     =(−15)÷(−25)……第二步     =−35……第三步解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程．【变式5-2】（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）计算：−45×214+−14×45−112×−45．【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）老师布置了一道练习：计算−16÷14−13×12．嘉嘉和淇淇的解答过程如下：(1)①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第______步；②淇淇解题过程中开始出现错误的是第______步．(2)把正确的解题过程写出来．(3)计算：−24×34+16−58÷14．【题型6 有理数四则运算的实际应用】【例6】（23-24七年级·山东威海·期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降0.6℃．已知山脚的温度是8℃．(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是−1℃，此时他距山脚有多高？【变式6-1】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？【变式6-2】（23-24七年级·四川成都·期中）小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：+12,−13,+15,+11,−17,−11,0,−13. 请通过计算说明：（1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？（3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75元，按他的预计第二次售价可获利多少元？【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？【题型7 利用倒数法求解有理数的除法】【例7】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab和ba，即若设a÷b=x，则b÷a=1x；材料二：分配律：a+bc=ac+bc；利用上述材料，请用简便方法计算：−160÷13−14+112．【变式7-1】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用分配律．对于下面这道计算题：−142÷16−27+23−314，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒数：16−27+23−314÷−142=16−27+23−314×(−42)=−16×42+27×42−23×42+314×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣114请你仿照以上小明的做法计算：−124÷1−112−38+712【变式7-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．计算：−115÷15−13．解：方法一：原式=−115÷315−515=−115÷−215=12．方法二：原式的倒数为：15−13÷−115=15−13×−15=15×−15−13×−15=−3+5=2故原式=12．用适当的方法计算：−130÷23−110+16−25．POPA． 例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO=PA，所以P=1． 如图，点P1,P2,P3为数轴上三个点，点P1表示的数为−14，点P2表示的数与点P1表示的数互为相反数，点P3表示的数为2．  (1)点P2表示的数为：___________；(2)求P1,P2,P3的值，比较P1,P2,P3的大小，并用“<”连接；(3)若数轴上有一点M满足OM=13OA，求M．【变式9-1】（23-24七年级·湖南岳阳·期末）定义新运算“⊗”：a⊗b=a+2ba，如：2⊗3=2+2×32，则4⊗2⊗−1= ．【变式9-2】（23-24七年级·甘肃陇南·期中）如果对于任何有理数a、b定义运算“Δ”如下：aΔb=1a÷−b2，如2Δ3=12÷−32=−13，求−2Δ7Δ4的值．【变式9-3】（23-24七年级·四川成都·期中）在数轴上有理数a，11−a分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a=−12时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为 ．【题型10 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】【例10】（23-24七年级·安徽滁州·期中）下列结论：①若x=−3，则x=±3；②若−x=−3，则x=3；③若x=y，则x=y；④若x+y=0，则xy=1；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则aa+bb+cc−abcabc的值为2或−2．其中，正确的结论是 （填写序号）．【变式10-1】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知abc≠0，化简abab+acac+bcbc=（  ）A．−3 B．3或1 C．3或−1 D．±3【变式10-2】（23-24·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|构成的各种数值是 ．【变式10-3】（23-24七年级·北京海淀·阶段练习）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则b+ca+a+cb+a+bc= ．购票张数1～29张30～60张60张以上每张票的价格20元18元16元嘉嘉的解答过程解：原式=−16÷−112×12（第一步）=−16÷−1（第二步）=16（第三步）淇淇的解答过程解：原式=−16÷14−13×12（第一步）=−64−4（第二步）=−68（第三步）1月2月3月4月5月6月7月气表读数（立方米）433450468485500514535专题2.7 有理数的乘除法【十大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29337" 【题型1 利用有理数的乘法辨别符号】  PAGEREF _Toc29337 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc29585" 【题型2 利用有理数乘法运算律进行巧算】  PAGEREF _Toc29585 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16565" 【题型3 倒数、绝对值、相反数的综合求值】  PAGEREF _Toc16565 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc4683" 【题型4 有理数乘法的实际应用】  PAGEREF _Toc4683 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc20793" 【题型5 有理数的混合运算】  PAGEREF _Toc20793 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc2640" 【题型6 有理数四则运算的实际应用】  PAGEREF _Toc2640 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc2710" 【题型7 利用倒数法求解有理数的除法】  PAGEREF _Toc2710 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc8083" 【题型8 化简分数】  PAGEREF _Toc8083 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc5600" 【题型9 与有理数乘除有关的新定义问题】  PAGEREF _Toc5600 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc28439" 【题型10 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】  PAGEREF _Toc28439 \h 24知识点1：有理数的乘法1.有理数的乘法有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。2.有理数乘法运算律乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。【题型1 利用有理数的乘法辨别符号】【例1】（23-24七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 (      )A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个【答案】A【分析】本题考查了多个有理数的乘法运算．熟练掌握多个有理数相乘，奇负偶正是解题的关键．根据多个有理数相乘，奇负偶正，进行作答即可．【详解】解：由多个不为0的数相乘，奇数个负数积为负数，偶数个负数积为正数可知，这4个有理数中，负数有1个或3个，故选：A．【变式1-1】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）若a−b<0，ab>0，那么这两个数（    ）A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号不能确定【答案】D【分析】根据有理数的乘法法则，有理数的减法法则，即可解答．【详解】解：∵ab>0，∴a，b同号，若a，b都是负数，存在a−b<0，若a，b都是正数，同样存在a−b<0，∴这两个数符号不能确定，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘法及有理数的加法，掌握有理数的乘法及有理数的减法是解题的关键．【变式1-2】（23-24七年级·重庆江津·阶段练习）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘积ac的值一定是（　　）A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定【答案】B【分析】根据题意，判断出a、c的正负，即可求解．【详解】解：∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0，即a与c异号，则ac的值一定是负数．故选：A．【点睛】此题考查了有理数乘法以及加法运算，解题的关键是正确判断出a、c的正负．【变式1-3】（23-24七年级·安徽宣城·期末）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（　　）A．ab>0 B．a+b>0 C．a−1b−1>0 D．a+1b−1>0【答案】B【分析】先根据数轴确定a，b的取值范围，再逐一判定即可解答．【详解】解：由数轴可得：−10，a−1b−1<0，a+1b−1<0，故B正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了数轴，有理数的乘法，解决本题的关键是根据数轴确定a，b的取值范围．【题型2 利用有理数乘法运算律进行巧算】【例2】（23-24七年级·全国·假期作业）计算：(−1×2)×(−12×32)×(−23×43)×(−34×54)×…×(−20212022×20232022)×(−20222023×20242023)．【答案】−20242023【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键．【详解】解：原式=−1×2×12×32×23×43×34×54×…×20212022×20232022×20222023×20242023=−1×2×12×32×23×43×34×54×…×20212022×20232022×20222023×20242023，=−20242023．【变式2-1】（23-24七年级·全国·课后作业）计算1557×716，最简便的方法是（　　）A．15+57×716 B．16−27×716 C．1107×716 D．10+557×716【答案】B【分析】根据有理数乘法运算法则逐项验证即可得到答案．【详解】解：1557×716最简便的计算方法是16−27×716，故选：A．【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则是解决问题的关键．【变式2-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）用简便方法计算：(1)−7.5×+25×−0.04；(2)−4120×1.25×−8．【答案】(1)7.5(2)4012【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律．（1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算；（2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可．【详解】（1）解：−7.5×+25×−0.04=7.5×25×0.04=7.5×1=7.5；（2）解：−4120×1.25×−8=4120×1.25×8=4+120×10=40+12=4012．【变式2-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）用简便方法计算：(1)191718×−9；(2)0.618×97+3×0.618．【答案】(1)−17912(2)61.8【分析】本题考查有理数乘法的运算律，掌握利用乘法分配律进行计算是解题的关键．（1）利用乘法分配律计算即可；（2）利用乘法分配律计算即可．【详解】（1）解：原式=20−118×−9=20×−9−118×−9=−180+12=−17912；（2）原式=0.618×97+3=0.618×100=61.8．知识点2：倒数1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。【题型3 倒数、绝对值、相反数的综合求值】【例3】（23-24七年级·重庆·期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为 ．【答案】−23【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可．【详解】解：∵−1.5=−32，∴−32的倒数是−23，∴−23的绝对值是23，∴23的相反数为−23，∴−1.5的倒数的绝对值的相反数为−23，故答案为−23．【点睛】本题考查了倒数的定义，绝对值的定义，相反数的定义，掌握倒数的定义及相反数的定义是解题的关键．【变式3-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数a的相反数是它本身，乙说：一个数b的倒数也是它本身，则a-b= 【答案】±1.【分析】利用相反数和倒数的定义求出a、b，然后相减即可.；【详解】解：a的相反数是它本身，说明a为0；一个数b的倒数也是它本身，说明b为±1；那么a-b=a±1=0±1=±1答案为：±1.【点睛】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，熟记概念并确定出a、b的值是解题的关键.【变式3-2】（23-24七年级·四川成都·期末）若a，b互为相反数，a+1的倒数是−14，则b的值为 ．【答案】5【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，列式计算即可．【详解】∵a，b互为相反数，a+1的倒数是−14，∴a+b=0，a+1=−4，∴a=−b，∴−b+1=−4，解得b=5，故答案为：5．【变式3-3】（23-24七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于4，p是数轴上原点表示的数．(1)分别直接写出a+b，cd，m，p的值；(2)p−cd+a+bcd+m的值是多少？【答案】(1)a+b=0，cd=1，m=±4，P=0；(2)3或−5【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，a，b互为相反数，得到a+b=0，根据c，d互为倒数，得到cd=1，根据m的绝对值等于4，所以m=±4，p是数轴上原点表示的数，所以p=0；（2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将a+b、cd、m、p代入求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∵c，d互为倒数，∴cd=1，∵m的绝对值等于4，∴m=±4，∵p是数轴上原点表示的数，∴p=0；（2）解：①当m=4时，∴p−cd+a+bcd+m=0−1+0+4=3，②当m=−4时，∴p−cd+a+bcd+m=0−1+0−4=−5，∴p−cd+a+bcd+m的值为3或−5．【题型4 有理数乘法的实际应用】【例4】（23-24七年级·广东广州·开学考试）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 种不同的着色方法．  【答案】96【分析】本题考查了有理数的乘法运算，按照A，B，C，D，E的顺序依次着色，判断各部分可以使用的颜色种树即可求解．【详解】解：由题意得：A有四种颜色可以选择，B有三种颜色可以选择，则C有两种颜色可以选择，D有两种颜色可以选择，E有两种颜色可以选择，∴这幅图一共有着色方法：4×3×2×2×2=96（种）故答案为：96【变式4-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）某商店将一种取暖器先提价20%，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（    ）A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断【答案】C【分析】假设取暖器原价为100元，则现价为100×1+20%×0.85%=102（元），进而可求；【详解】解：假设取暖器原价为100元，则现价为100×1+20%×0.85%=102（元），∵100<102，∴取暖器的现价比原来涨了．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，列出算式并正确计算是解题的关键．【变式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为 尺．【答案】34【分析】本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式．根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可．【详解】解：3×12×12=34（尺）故答案为：34．【变式4-3】（23-24七年级·山东临沂·期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付费 元．（游客只能在公园售票处购票）【答案】540【分析】本题考查了有理数大小比较的运用，本题只需仔细分析图表即可解决问题．根据公园门票价格规定，通过计算得出应尽量设计的能够享受优惠的购票方案．【详解】解：解：28人买28张的话需付28×20=560（元），买30张的话，付30×18=540（元），所以最少应付费540元．故买30张付540元是最少的付费方式．故答案为：540．知识点3：有理数的除法1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。【题型5 有理数的混合运算】【例5】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）计算(1)−25÷−13÷−325×523(2)1÷−18+73÷15−23【答案】(1)−2(2)−3【分析】（1）先将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法的运算法则按照同级运算从左到右的顺序计算即可得到答案；（2）先算绝对值里面的，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，再结合有理数加法运算法则求解即可得到答案．【详解】（1）解：−25÷−13÷−325×523=−25÷−13÷−175×173=−25×−3×−517×173=−2；（2）解：1÷−18+73÷15−23=1×−8+73÷315−1015=1×−8+73÷−715=1×−8+73÷715=1×−8+73×157=−8+5=−3．【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及绝对值运算，熟练掌握加减乘除运算法则及运算顺序是解决问题的关键．【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题．计算：(−15)÷(13−3−32)×6解：原式=(−15)÷(−256)×6……第一步     =(−15)÷(−25)……第二步     =−35……第三步解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程．【答案】见解析【分析】根据有理数的运算顺序和运算法则判断即可得；依据混合运算顺序和运算法则判断即可得；由乘除同级运算应该从左到右依次计算和两数相除同号得正判断可得；先计算括号内的数，然后化除为乘再进行有理数的乘法运算．【详解】解：解答过程有错．错在第二步和第三步．第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算；第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除，同号得正． 正确过程：(−15)÷(13−3−32)×6解：原式=(−15)÷(−256)×6 =(−15)×(−625)×6 =1085【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．【变式5-2】（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）计算：−45×214+−14×45−112×−45．【答案】−45【分析】逆用乘法分配律，提出−45，计算出括号内的值，而后相乘即得．【详解】−45×214+−14×45−112×−45=−45×94+14×−45−32×−45=−45×94+14−32=−45×1=−45．【点睛】本题主要考查了乘法的分配律，熟练掌握乘法的分配律，有理数的加减法、乘法，是解决问题的关键．【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）老师布置了一道练习：计算−16÷14−13×12．嘉嘉和淇淇的解答过程如下：(1)①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第______步；②淇淇解题过程中开始出现错误的是第______步．(2)把正确的解题过程写出来．(3)计算：−24×34+16−58÷14．【答案】(1)①二，②一(2)见解析(3)−12【分析】（1）①嘉嘉在第二步计算乘除混合运算时，应按照从左到右顺序依次计算；②淇淇第一步计算含有括号时，应该先计算括号里面的；（2）按照有理数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．（3）根据有理数的混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）解：①嘉嘉解题过程中第二步计算有错误，故答案为：二；②淇淇解题过程中第一步有错误，故答案为：一；（2）解：−16÷14−13×12=−16÷−112×12=−16×−12×12=192×12=2304；（3）−24×34+16−58÷14=−24×1824+424−1524×114=−24×724×114=−12．【点睛】本题考查了有理数混合运算，在计算有理数混合运算时，有括号先计算括号里面的，再计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减，同级运算时从左往右依次进行计算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键．【题型6 有理数四则运算的实际应用】【例6】（23-24七年级·山东威海·期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降0.6℃．已知山脚的温度是8℃．(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是−1℃，此时他距山脚有多高？【答案】(1)−4℃(2)1500米【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用．（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．【详解】（1）解：8−2000÷100×0.6=8−12=−4℃，即山顶的温度为−4℃；（2）8−−1÷0.6×100=9÷0.6×100=1500（米），即他距山脚1500米．【变式6-1】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？【答案】这个公司2017年平均每月亏损 0.175 万元．【分析】首先用这个公司去年每个季度的盈亏额乘3，求出每个季度的盈亏额分别是多少；然后把它们相加，再除以12即可求解．【详解】解： −1.5×3+2×3+1.7×3+−2.9×3=−4.5+6+5.1+−8.7=−2.1（万元）−2.1÷12=−0.175（万元）答：这个公司2017年平均每月亏损 0.175 万元．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是求出每个季度的盈亏额分别是多少．【变式6-2】（23-24七年级·四川成都·期中）小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：+12,−13,+15,+11,−17,−11,0,−13. 请通过计算说明：（1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？（3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75元，按他的预计第二次售价可获利多少元？【答案】（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了444元；（2）每套儿童服装的平均售价是78元；（3）按他的预计第二次售价可获利2100元.【分析】（1）把所得的正负数相加，再同以55元售价售出的总价相加，求出买出的钱数，再同400元进行比较，可知赚了还是亏了，进而求出赚或亏的钱数；（2）用售出的总价除以8可求出平均售价是多少元，据此解答．（3）根据利润=售价-进价即可求得.【详解】(1)(+12)+(−13)+(+15)+(+11)+(−17)+(-11)+0+(−13)= −16.80×8 −16=640−16=624(元)624>180，所以赚钱624−180=444(元)答：当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了444元；(2)624÷8=78(元)答：每套儿童服装的平均售价是78元.(3)每套衣服的进价为：180÷8=22.5元,第二次可以购进服装900÷22.5=40套，75×40−900=2100. 答：按他的预计第二次售价可获利2100元.【点睛】考查了正数与负数的应用，得到总售价是解决问题的关键.【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？【答案】（1）17；17；（2）43元；（3）80.8元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家1月份的用气量和1−6月份平均每月的用气量（2）根据小明家2月份的气费为36元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家6月份的用气量超过20立方米且不超过30立方米，超过20立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算（3）根据题意，可计算出小明家7月的用气量，再结合题意，即可计算【详解】（1）由表格数据可得：小明家1月份的用气量为450−433=17立方米；1−6月份平均每月的用气量为：535−433÷6=17立方米故答案为：17；17（2）∵小明家2月份的气费为36元，2月份的气费量为：468−450=18<20∴一级用气价格为：36÷18=2（元/立方米）∵ 6月份的用气量为535−514=21立方米，气量超过20立方米且不超过30立方米的部分按第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的1.5倍收取∴ 6月份小明家需交气费为：20×2+1×2×1.5=43元（3）∵小明家6月份的用气量为：21立方米，7月份的用气量比6月份的多12立方米∴ 7月份的用气量为：21+12=33立方米∵气量超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的1.5倍收取，用气量超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取费用∴ 7月份小明家需交气费为：20×2+10×2×1.5+3×2×1.8=80.8元【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准．【题型7 利用倒数法求解有理数的除法】【例7】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab和ba，即若设a÷b=x，则b÷a=1x；材料二：分配律：a+bc=ac+bc；利用上述材料，请用简便方法计算：−160÷13−14+112．【答案】−110【分析】设a=−160，b=13−14+112，先求得b÷a的值，再由倒数关系a÷b=1b÷a即可解答；【详解】解：设a=−160，b=13−14+112，b÷a=13−14+112÷−160=13−14+112×−60=13×−60+−14×−60+112×−60=−20+15−5=−10，∵a÷b和b÷a互为倒数，∴a÷b=1b÷a=−110，∴−160÷13−14+112=−110；【点睛】本题考查了倒数，乘法分配律，有理数的混合运算；当a÷b较难计算而b÷a较易计算时，可以利用倒数关系来简化运算．【变式7-1】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用分配律．对于下面这道计算题：−142÷16−27+23−314，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒数：16−27+23−314÷−142=16−27+23−314×(−42)=−16×42+27×42−23×42+314×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣114请你仿照以上小明的做法计算：−124÷1−112−38+712【答案】17【分析】仿照小明的做法，计算即可求出所求．【详解】解：先求原式的倒数=1−112−38+712÷−124＝（1﹣112﹣38+712）×（﹣24）＝﹣24+36+9﹣14＝7，则原式＝17．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式7-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．计算：−115÷15−13．解：方法一：原式=−115÷315−515=−115÷−215=12．方法二：原式的倒数为：15−13÷−115=15−13×−15=15×−15−13×−15=−3+5=2故原式=12．用适当的方法计算：−130÷23−110+16−25．【答案】−110【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．求出原式的倒数，即可确定出原式的值．【详解】解：∵23−110+16−25÷−130=23−110+16−25×−30=−20+3−5+12=−10，∴原式=−110．【变式7-3】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料：计算：160÷13−14+112．解法①：原式=160÷13−160÷14+160÷112=160×3−160×4+160×12=1160．解法②：原式=160÷412−312+112=160÷16=160×6=110．解法③：原式的倒数为13−14+112÷160=13−14+112×60=13×60−14×60+112×60=20−15+5=10，∴原式=110解法④：原式=160×60÷13−14+112×60=1÷20−15+5=110(1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的；(2)在正确的解法中，选择一种解法计算：−142÷37−514+23−16【答案】(1)①(2)−24【分析】（1）根据有理数的运算法则以及运算顺序观察，由于除法没有分配律，即可求解；（2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可．【详解】（1）解：解法①是错误的，除法没有分配律；故答案为：①．（2）原式的倒数为37−514+23−16÷−142=37−514+23−16×−42=37×−42−514×−42+23×−42−16×−42=−18+15−28+7=−24，∴原式=−124【点睛】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键．【题型8 化简分数】【例8】（23-24七年级·全国·专题练习）化简下列分数：(1)−217；(2)3−36；(3)−54−8；(4)−6−0.3．【答案】(1)−3(2)−112(3)274(4)20【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可．【详解】（1）−217=−21÷7=−21×17=−3；（2）3−36=−3×136=−112；（3）−54−8=−54×−18=274；（4）−6−0.3=−6÷−0.3=−6×−103=20．【点睛】此题考查有理数的除法，解题关键是先明确式子的符号，再利用除一个数就是乘这个数的倒数的计算法则计算．【变式8-1】（23-24·上海杨浦·三模）下列分数中，能化为有限小数的是（    ）A．112 B．312 C．115 D．515【答案】B【分析】本题考查分数和小数的互化，解题的关键是运用有理数的除法法则分别计算即可判断．【详解】解：A．112=0.083·，故此选项不符合题意；B．312=0.25，故此选项符合题意；C．115=0.06·，故此选项不符合题意；D．515=0.3·，故此选项不符合题意．故选：A．【变式8-2】（23-24七年级·全国·课后作业）化简下列各分数：−1255= ，4−36= ，−3−12= ，−5−0.2= ．【答案】 −25； −19； 6； 25．【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可．【详解】解：−1255=−1255=−25，4−36=−436=−19，−3−12=312=6，−5−0.2=50.2=25，故答案为：−25，−19，6，25．【点睛】此题考查了有理数除法运算，解题的关键是掌握有理数除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．【变式8-3】（23-24七年级·全国·专题练习）如果y<00，∴xx=1，∵x>0,y<0，∴xyxy=−1，∴xx+xyxy=1-1=0，故答案为：0．【点睛】本题考查绝对值的化简，有理数的乘除法运算，理解绝对值的意义，掌握有理数乘除法运算法则是解题关键．【题型9 与有理数乘除有关的新定义问题】【例9】（23-24七年级·河北石家庄·期中）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A． 对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作P，即P=POPA． 例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO=PA，所以P=1． 如图，点P1,P2,P3为数轴上三个点，点P1表示的数为−14，点P2表示的数与点P1表示的数互为相反数，点P3表示的数为2．  (1)点P2表示的数为：___________；(2)求P1,P2,P3的值，比较P1,P2,P3的大小，并用“<”连接；(3)若数轴上有一点M满足OM=13OA，求M．【答案】(1)14(2)P1=15，P2=13，P3=2，P10，则abab+acac+bcbc=−abab−acac+bcbc=−1；④同负：abab+acac+bcbc=abab+acac+bcbc=3；故选：D．【变式10-2】（23-24·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|构成的各种数值是 ．【答案】±4，0【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；【详解】解：∵a，b，c为有理数，①若a>0,b>0,c>0，∴a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+1+1=4；②若a，b，c中有两个负数，则abc>0，∴a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1−2+1=0，③若a，b，c中有一个负数，则abc<0，∴a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=2−1+−1=0，④若a，b，c中有三个负数，则abc<0，∴a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=−3+−1=−4，故答案为：±4，0．【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【变式10-3】（23-24七年级·北京海淀·阶段练习）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则b+ca+a+cb+a+bc= ．【答案】1或−1【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可．【分析】解：∵a+b+c=0，∴b+c=−a，a+c=−b，a+b=−c．∵有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负，∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定a>0，b<0，c<0，∴原式=−aa+−bb+−cc=aa+−bb+−cc=1−1−1=−1，当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定a<0，b>0，c>0，∴原式=−aa+−bb+−cc=−aa+bb+cc=−1+1+1=1．综上，b+ca+a+cb+a+bc=1或−1．故答案为：1或−1．【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．购票张数1～29张30～60张60张以上每张票的价格20元18元16元嘉嘉的解答过程解：原式=−16÷−112×12（第一步）=−16÷−1（第二步）=16（第三步）淇淇的解答过程解：原式=−16÷14−13×12（第一步）=−64−4（第二步）=−68（第三步）1月2月3月4月5月6月7月气表读数（立方米）433450468485500514535