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北师大版八年级数学上册专题7.1平行线的判定【八大题型】同步练习(学生版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学上册专题7.1平行线的判定【八大题型】同步练习(学生版+解析)，共35页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc152" 【题型1 定义与命题】 PAGEREF _Tc152 \h 1
\l "_Tc1780" 【题型2 判断命题真假】 PAGEREF _Tc1780 \h 2
\l "_Tc27130" 【题型3 推理与论证】 PAGEREF _Tc27130 \h 2
\l "_Tc24776" 【题型4 确定两直线平行的条件】 PAGEREF _Tc24776 \h 4
\l "_Tc22063" 【题型5 补充过程证明两直线平行】 PAGEREF _Tc22063 \h 5
\l "_Tc31798" 【题型6 利用平行线的判定进行证明】 PAGEREF _Tc31798 \h 7
\l "_Tc31835" 【题型7 旋转使两直线平行】 PAGEREF _Tc31835 \h 8
\l "_Tc22126" 【题型8 平行线判定的实际应用】 PAGEREF _Tc22126 \h 9
【知识点1 定义与命题】
1、 命题的概念
叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。
备注：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
2、 命题的结构
每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
【题型1 定义与命题】
【例1】（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）下列语句中：①若∠1=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等。是命题的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2013下·八年级课时练习）下列叙述错误的是( )
A．所有的命题都有条件和结论B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题D．所有的公理都是真命题
【变式1-2】（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）把命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是：
【变式1-3】（2023下·四川凉山·八年级校考阶段练习）下列命题①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短 可作为定理的有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点2 真命题与假命题】
如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。
备注：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
【题型2 判断命题真假】
【例2】（2023上·安徽合肥·八年级校考期中）下列命题：①在同一平面内，已知直线a、b，若a⊥b,b⊥c，则a⊥c；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，其中真命题是（ ）
A．①②③B．②④C．②③④D．③④
【变式2-1】（2023上·浙江·八年级周测）下列可以作为命题“若x>y，则x2>y2”是假命题的反例是（ ）
A．x=−2，y=−1B．x=2，y=−1C．x=−1，y=−2D．x=2，y=1
【变式2-2】（2023上·山西晋城·八年级统考期中）命题“若a>b，则a>b”是 命题．（填“真”或“假”）
【变式2-3】（2023上·八年级单元测试）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
【题型3 推理与论证】
【例3】（2023·浙江·八年级期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子B．5号杯子C．6号杯子D．7号杯子
【变式3-1】（2023·江西上饶·八年级期中）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间(单位：小时)如下：
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
【变式3-2】（2023上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）A，B，C，D，E五名同学猜测自己的数学成绩. A说：“如果我得优，那么B也得优.”B说：“如果我得优，那么C也得优.”C说：“如果我得优，那么D也得优.”D说：“如果我得优，那么E也得优.”大家都没说错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 （填字母）.
【变式3-3】（2023·江苏·南京外国语学校八年级期中）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 .
【知识点3 平行线的判定】
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型4 确定两直线平行的条件】
【例4】（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
∠1=∠3B．∠4＝∠5
C．∠B=∠DD．∠B+∠2+∠4=180°
【变式4-1】（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AB∥CDB．若∠1+∠3=180°，则AB∥CD
C．若∠3=∠5，则AB∥CDD．若∠4=∠5，则AB∥CD
【变式4-2】（2023下·山东日照·八年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【变式4-3】（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是 ．（只填序号）
【题型5 补充过程证明两直线平行】
【例5】（2023下·福建宁德·八年级统考期中）请把以下说理过程补充完整：
如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
说明BE与DF平行的理由．
解：理由是：
因为AB⊥BC ，
所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．
因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，
所以___________=___________（___________）．
所以BE∥DF（_____________________）．
【变式5-1】（2023下·北京延庆·八年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【变式5-2】（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ ），
∴ ＝ （ ）
∴BE∥CF（ ）．
【变式5-3】（2023下·浙江·八年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ ）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【题型6 利用平行线的判定进行证明】
【例6】（2023下·广西南宁·八年级统考期末）如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．
(1)∠DAB+∠B等于多少度？
(2)若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论．
【变式6-1】（2023下·广东东莞·八年级校考期中）在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．证明：AD∥BC．
【变式6-2】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，设BC与AE交于点F．
(1)若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长；
(2)若∠ADC=∠DAC，证明：DE∥AC．
【变式6-3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线AB和CD被直线MN所截．
(1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足______时， AB∥CD，并说明平行的理由；
(2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由；
(3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由．
【题型7 旋转使两直线平行】
【例7】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【变式7-1】（2023下·河北秦皇岛·八年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t= 秒．
【变式7-2】（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图（1），在△ABC中，∠A=42°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当∠ACB'=（ ）时，CB'//AB．
A．42°B．138°C．42°或138°D．42°或128°
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足a−5+b−12=0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【题型8 平行线判定的实际应用】
【例8】（2023下·浙江台州·八年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【变式8-1】（2023下·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【变式8-2】（2023下·全国·八年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
原料
时间
工序
原料A
原料B
原料C
上漆
10
16
13
描绘花纹
15
8
12
组合
连接
a⊕b
b⊕d
d⊕c
专题7.1 平行线的判定【八大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc152" 【题型1 定义与命题】 PAGEREF _Tc152 \h 1
\l "_Tc1780" 【题型2 判断命题真假】 PAGEREF _Tc1780 \h 3
\l "_Tc27130" 【题型3 推理与论证】 PAGEREF _Tc27130 \h 5
\l "_Tc24776" 【题型4 确定两直线平行的条件】 PAGEREF _Tc24776 \h 7
\l "_Tc22063" 【题型5 补充过程证明两直线平行】 PAGEREF _Tc22063 \h 11
\l "_Tc31798" 【题型6 利用平行线的判定进行证明】 PAGEREF _Tc31798 \h 15
\l "_Tc31835" 【题型7 旋转使两直线平行】 PAGEREF _Tc31835 \h 19
\l "_Tc22126" 【题型8 平行线判定的实际应用】 PAGEREF _Tc22126 \h 24
【知识点1 定义与命题】
1、 命题的概念
叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。
备注：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
2、 命题的结构
每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
【题型1 定义与命题】
【例1】（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）下列语句中：①若∠1=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等。是命题的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据命题的定义逐项判断即可．
【详解】②③都不是判断一件事情的语句，不是命题；①④⑤为判断一件事情的语句，是命题．
【点睛】本题主要考查命题的识别，牢记命题的定义（判断一件事情的语句叫做命题）是解题的关键．
【变式1-1】（2013下·八年级课时练习）下列叙述错误的是( )
A．所有的命题都有条件和结论B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题D．所有的公理都是真命题
【答案】B
【详解】A.所有的命题都有条件和结论，
C.所有的定理都是命题，
D.所有的公理都是真命题，
均正确，不符合题意；
B.只有真命题才是定理，故错误，本选项符合题意
故选：B
【点睛】概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
【变式1-2】（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）把命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是：
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式．
【详解】解：把命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【变式1-3】（2023下·四川凉山·八年级校考阶段练习）下列命题①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短 可作为定理的有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理对①进行判断；根据对顶角的定义对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断；根据直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短可对④进行判断．
【详解】解∶两直线平行，同旁内角互补，所以①可作为定理；
相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；
等角的补角相等，所以③可作为定理；
垂线段最短，所以④可作为定理．
故选∶ C．
【点睛】本题考查了命题与定理∶判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
【知识点2 真命题与假命题】
如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。
备注：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
【题型2 判断命题真假】
【例2】（2023上·安徽合肥·八年级校考期中）下列命题：①在同一平面内，已知直线a、b，若a⊥b,b⊥c，则a⊥c；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，其中真命题是（ ）
A．①②③B．②④C．②③④D．③④
【答案】B
【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定，垂线的性质，平面内直线的位置关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：①在同一平面内，已知直线a、b，若a⊥b,b⊥c，则a∥c；故①错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；故②正确；
③同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故③错误；
④已知直线a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，故④正确；
故真命题有②④；
故选B．
【变式2-1】（2023上·浙江·八年级周测）下列可以作为命题“若x>y，则x2>y2”是假命题的反例是（ ）
A．x=−2，y=−1B．x=2，y=−1C．x=−1，y=−2D．x=2，y=1
【答案】A
【分析】此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论．
【详解】解：∵当x=−1，y=−2时，−22>−12，而−2<−1，
∴x>y，但是x2∴x=−1，y=−2是假命题的反例．
其他选项不能说明；
【变式2-2】（2023上·山西晋城·八年级统考期中）命题“若a>b，则a>b”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据绝对值的性质判断真假即可．
【详解】解：∵−5>2，但−5<2，
∴命题“若a>b，则a>b”是假命题．
故答案为：假
【变式2-3】（2023上·八年级单元测试）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
【答案】（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，反例见解析；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【分析】（1）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平角的定义可得该命题是真命题；
（2）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是假命题；利用相交直线被第三条直线所截，内错角不相等可举反例；
（3）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是真命题；．
【详解】（1）题设：如果两个角的和等于平角，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；
（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；
（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理的相关知识．将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．
【题型3 推理与论证】
【例3】（2023·浙江·八年级期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子B．5号杯子C．6号杯子D．7号杯子
【答案】D
【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案．
【详解】解：∵1号杯子左侧出口比右侧高，
∴水先从左侧流出，进入3号杯子，
∵3杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭
∴水最终会先灌满3号杯子，
【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可．
【变式3-1】（2023·江西上饶·八年级期中）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间(单位：小时)如下：
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
【答案】47
【分析】根据分析，甲按A、C、B的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可．
【详解】甲按A、C、B的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要10+13+16+8=47（小时），
故答案为：47．
【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序．
【变式3-2】（2023上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）A，B，C，D，E五名同学猜测自己的数学成绩. A说：“如果我得优，那么B也得优.”B说：“如果我得优，那么C也得优.”C说：“如果我得优，那么D也得优.”D说：“如果我得优，那么E也得优.”大家都没说错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 （填字母）.
【答案】C,D,E
【分析】本题考查逻辑推理，根据题意结合反证法的思想作相应推理得出结论．
【详解】解：由题意，若A得优，则A，B，C，D，E均为优，不合题意，则A非优；若B得优，则B，C，D，E均为优，不合题意，故B非优；因只有三个得优，故C,D,E得优．
故答案为：C,D,E
【点睛】本题考查逻辑推理,根据题意由条件，得出相应结论，运用反证法的思想是解题问题的关键．
【变式3-3】（2023·江苏·南京外国语学校八年级期中）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 .
【答案】a⊕c
【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论．
【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形；
结合后两个图可以看出：d代表圆；
因此a代表线段，c代表三角形，
所以图形的连接方式为：a⊕c.
故答案为a⊕c.
【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形．
【知识点3 平行线的判定】
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型4 确定两直线平行的条件】
【例4】（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
∠1=∠3B．∠4＝∠5
C．∠B=∠DD．∠B+∠2+∠4=180°
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】解：A．∠1=∠3，不能判定AB∥CD，不符合题意；
B．∠4=∠5，根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
C．∠B=∠D，不能判定AB∥CD，不符合题意；
D．∠B+∠4+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
【变式4-1】（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AB∥CDB．若∠1+∠3=180°，则AB∥CD
C．若∠3=∠5，则AB∥CDD．若∠4=∠5，则AB∥CD
【答案】A
【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各项进行判断即可．
【详解】解：A、∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、如图，
∵∠1+∠3=180°，∠1+∠6=180°，
∴∠3=∠6，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
C、∠3，∠5不是内错角，故∠3=∠5不能判定AB∥CD，本选项错误，故本选项符合题意；
D、∠4，∠5是内错角，可以判定出AB∥CD，故本选项不符合题意．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
【变式4-2】（2023下·山东日照·八年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】因为∠1=∠2，
所以DE∥BC，
故A不符合题意；
因为∠3=∠4，
不能判断DE∥BC，
故B符合题意；
因为∠5=∠C，
所以DE∥BC，
故C不符合题意；
因为∠B+∠BDE=180°，
所以DE∥BC，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式4-3】（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是 ．（只填序号）
【答案】①③④⑤⑥
【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得∠4=∠6，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断⑤；过点B作BD∥b，则∠3=∠ABD，从而得出∠2=∠CBD，进而得出BD∥a，最后根据平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴a∥b，
故①能够判定直线a∥b，符合题意；
②∠2=∠3不能判定a∥b，故②不符合题意；
③∵∠3=∠5，
∴a∥b，
故③能够判定直线a∥b，符合题意；
④∵∠3+∠4=180∘，
∴a∥b，
故④能够判定直线a∥b，符合题意；
⑤∵∠5+∠6=180∘，∠5+∠4=180∘，
∴∠4=∠6，
∴∴a∥b，
故⑤能够判定直线a∥b，符合题意；
⑥过点B作BD∥b，
∵BD∥b，
∴∠3=∠ABD，
∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，
∴∠2=∠CBD，
∴BD∥a，
∴a∥b．
故⑥能够判定直线a∥b，符合题意；
综上：能够判定直线a∥b的有：①③④⑤⑥．
故答案为：①③④⑤⑥．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．
【题型5 补充过程证明两直线平行】
【例5】（2023下·福建宁德·八年级统考期中）请把以下说理过程补充完整：
如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
说明BE与DF平行的理由．
解：理由是：
因为AB⊥BC ，
所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．
因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，
所以___________=___________（___________）．
所以BE∥DF（_____________________）．
【答案】90，90；∠1，∠4，等角的余角相等；同位角相等两直线平行
【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，根据∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等两直线平行即可得证．
【详解】解： 理由是：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3＋∠4＝90°．
又∵∠1＋∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE//DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定以及余角和补角，利用等角的余角相等找出∠1＝∠4是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·北京延庆·八年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】见解析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式5-2】（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ ），
∴ ＝ （ ）
∴BE∥CF（ ）．
【答案】已知；∠3；∠4；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】注意观察图中角之间的位置关系，主要依据为同角或等角的余角相等，平行线的判定定理．
【详解】解：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ 已知 ），
∴∠3=∠4（ 等角的余角相等 ）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【点睛】本题主要考查同角或等角的余角相等，内错角相等，两直线平行；熟练相关定理的运用是解题的关键．
【变式5-3】（2023下·浙江·八年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ ）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】角平分线的定义；2∠2；等式的性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】首先根据角平分线的定义可得∠BDC=2∠1，∠ABD=2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【详解】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的定义）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ 等式的性质）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
【题型6 利用平行线的判定进行证明】
【例6】（2023下·广西南宁·八年级统考期末）如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．
(1)∠DAB+∠B等于多少度？
(2)若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论．
【答案】(1)180
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，已知∠1=30°，∠B=60°，根据∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B计算即可；
（2）由（1）得：∠DAB+∠B=180°，结合∠B=∠D，得∠DAB+∠D=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明AB与CD平行．
【详解】（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
又∵∠1=30°，∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°，
故∠DAB+∠B等于180度．
（2）∵∠B=∠D，
由（1）得：∠DAB+∠B=180°，
∴∠DAB+∠D=180°，
∴ AB与CD平行．（同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】本题考查了角度计算、平行线的判定，熟练计算、掌握平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．
【变式6-1】（2023下·广东东莞·八年级校考期中）在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．证明：AD∥BC．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再由∠1=∠3，可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，即可得证．
【详解】证明：∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠1=∠2，
又∵ ∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴ AD∥BC．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，设BC与AE交于点F．
(1)若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长；
(2)若∠ADC=∠DAC，证明：DE∥AC．
【答案】(1)AF的长为4；
(2)见解析
【分析】（1）设BD=a，DF=b，AF=x，由折叠的性质得DE=BD=a，AB=AE=x+EF，再根据周长公式列式计算即可求解；
（2）由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，由邻补角的性质结合已知，推出∠DAC+∠ADE=180°，根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：设BD=a，DF=b，AF=x，
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE=BD=a，AB=AE=x+EF，
∵△DEF的周长4，
∴EF=4−a+b，
∴AB=x+4−a+b，
∵△ABF的周长为12，，
∴x+4−a+b+a+b+x=12，
解得x=4，即AF的长为4；
（2）证明：由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∵∠ADC=∠DAC，
∴∠DAC+∠ADE=180°，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式6-3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线AB和CD被直线MN所截．
(1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足______时， AB∥CD，并说明平行的理由；
(2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由；
(3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由．
【答案】(1)∠1+∠2=90°，见解析
(2)∠1=∠2，见解析
(3)∠1=∠2，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1+∠2=90°，即可得出∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，即可判断AB∥CD；
（2）根据角平分线的定义可得∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1=∠2，即可得∠BEM=∠DFE，即可判断AB∥CD；
（3）同（2）的分析即得结论．
【详解】（1）当∠1与∠2满足∠1+∠2=90°时， AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，
∴AB∥CD；
（2）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，
∴∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠BEM=∠DFE，
∴AB∥CD；
（3）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【题型7 旋转使两直线平行】
【例7】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【答案】B
【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，a∥b，进而算出答案．
【详解】解：∵当∠AOB=65°时，a∥b
∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，
故选：B
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．
【变式7-1】（2023下·河北秦皇岛·八年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t= 秒．
【答案】5或95
【分析】分①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】∵∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°−∠DCF=180°−60°=120°，
分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD=120°−3t°，∠BAC=110°−t°，
要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°−3t°=110°−t°，
解得t=5；
如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF=360°−3t°−60°=300°−3t°，∠BAC=110°−t°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°−3t°=110°−t°，
解得t=95；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∠DCF=3t°−(180°−60°+180°)=3t°−300°，∠BAC=t°−110°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即3t°−300°=t°−110°，
解得t=95，
此时∠BAC=t°−110°<0°，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．
故答案为：5或95．
【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论．
【变式7-2】（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图（1），在△ABC中，∠A=42°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当∠ACB'=（ ）时，CB'//AB．
A．42°B．138°C．42°或138°D．42°或128°
【答案】A
【分析】结合旋转的过程可知，因为CB'位置的改变，∠ACB'与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2）①，
当∠ACB'=42°时，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2）②，
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'+∠A=138°+42°=180°．
∴CB'∥AB．
综上可得，当∠ACB'=42°或∠ACB'=138°时，CB'∥AB．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足a−5+b−12=0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【答案】15或22.5
【分析】先由题意得出a，b的值，再推出射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，然后分情况讨论即可．
【详解】∵a−5+b−12=0，
∴a=5，b=1，
设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行，如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，分两种情况：
①当9＜t＜18时，如图，∠QBQ'=t°，∠M'AM"=5t°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM"=5t-45°，
当∠ABQ'=∠BAM"时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=5t-45°，
解得t=15；
②当18＜t＜27时，如图∠QBQ'=t°，∠NAM"=5t°-90°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM"=45°-（5t°-90°）=135°-5t°，
当∠ABQ'=∠BAM"时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=135°-5t，
解得t=22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM射线BQ互相平行．
故答案为：15或22.5
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的判定，掌握知识点是解题关键．
【题型8 平行线判定的实际应用】
【例8】（2023下·浙江台州·八年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】D
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5=90°，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3=90°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
【变式8-1】（2023下·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a∥b；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以a∥b；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以a∥b．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式8-2】（2023下·全国·八年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出∠1与∠2的补角相等，再根据∠3=∠4，结合内错角相等，两直线平行即可判定a∥b．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，∵∠1=∠2，
∴∠5=∠6，
∵∠3=∠4，
∴∠3+∠5=∠4+∠6，
∴a∥b．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
【变式8-3】（2023下·陕西延安·八年级统考期末）如图，一条公路绕湖而过，测得三个拐弯的角度分别为∠A＝120°，∠B＝150°，∠C＝150°，试判断公路AE与CF是否平行，并说明理由．
【答案】DE∥CF.
【分析】延长CB交AE于点D，先由邻补角定义得出∠ABD的度数，再由三角形内角和定理求得∠BDA，
原料
时间
工序
原料A
原料B
原料C
上漆
10
16
13
描绘花纹
15
8
12
组合
连接
a⊕b
b⊕d
d⊕c
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc152" 【题型1 定义与命题】 PAGEREF _Tc152 \h 1
\l "_Tc1780" 【题型2 判断命题真假】 PAGEREF _Tc1780 \h 2
\l "_Tc27130" 【题型3 推理与论证】 PAGEREF _Tc27130 \h 2
\l "_Tc24776" 【题型4 确定两直线平行的条件】 PAGEREF _Tc24776 \h 4
\l "_Tc22063" 【题型5 补充过程证明两直线平行】 PAGEREF _Tc22063 \h 5
\l "_Tc31798" 【题型6 利用平行线的判定进行证明】 PAGEREF _Tc31798 \h 7
\l "_Tc31835" 【题型7 旋转使两直线平行】 PAGEREF _Tc31835 \h 8
\l "_Tc22126" 【题型8 平行线判定的实际应用】 PAGEREF _Tc22126 \h 9
【知识点1 定义与命题】
1、 命题的概念
叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。
备注：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
2、 命题的结构
每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
【题型1 定义与命题】
【例1】（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）下列语句中：①若∠1=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等。是命题的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2013下·八年级课时练习）下列叙述错误的是( )
A．所有的命题都有条件和结论B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题D．所有的公理都是真命题
【变式1-2】（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）把命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是：
【变式1-3】（2023下·四川凉山·八年级校考阶段练习）下列命题①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短 可作为定理的有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点2 真命题与假命题】
如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。
备注：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
【题型2 判断命题真假】
【例2】（2023上·安徽合肥·八年级校考期中）下列命题：①在同一平面内，已知直线a、b，若a⊥b,b⊥c，则a⊥c；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，其中真命题是（ ）
A．①②③B．②④C．②③④D．③④
【变式2-1】（2023上·浙江·八年级周测）下列可以作为命题“若x>y，则x2>y2”是假命题的反例是（ ）
A．x=−2，y=−1B．x=2，y=−1C．x=−1，y=−2D．x=2，y=1
【变式2-2】（2023上·山西晋城·八年级统考期中）命题“若a>b，则a>b”是 命题．（填“真”或“假”）
【变式2-3】（2023上·八年级单元测试）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
【题型3 推理与论证】
【例3】（2023·浙江·八年级期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子B．5号杯子C．6号杯子D．7号杯子
【变式3-1】（2023·江西上饶·八年级期中）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间(单位：小时)如下：
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
【变式3-2】（2023上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）A，B，C，D，E五名同学猜测自己的数学成绩. A说：“如果我得优，那么B也得优.”B说：“如果我得优，那么C也得优.”C说：“如果我得优，那么D也得优.”D说：“如果我得优，那么E也得优.”大家都没说错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 （填字母）.
【变式3-3】（2023·江苏·南京外国语学校八年级期中）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 .
【知识点3 平行线的判定】
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型4 确定两直线平行的条件】
【例4】（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
∠1=∠3B．∠4＝∠5
C．∠B=∠DD．∠B+∠2+∠4=180°
【变式4-1】（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AB∥CDB．若∠1+∠3=180°，则AB∥CD
C．若∠3=∠5，则AB∥CDD．若∠4=∠5，则AB∥CD
【变式4-2】（2023下·山东日照·八年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【变式4-3】（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是 ．（只填序号）
【题型5 补充过程证明两直线平行】
【例5】（2023下·福建宁德·八年级统考期中）请把以下说理过程补充完整：
如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
说明BE与DF平行的理由．
解：理由是：
因为AB⊥BC ，
所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．
因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，
所以___________=___________（___________）．
所以BE∥DF（_____________________）．
【变式5-1】（2023下·北京延庆·八年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【变式5-2】（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ ），
∴ ＝ （ ）
∴BE∥CF（ ）．
【变式5-3】（2023下·浙江·八年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ ）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【题型6 利用平行线的判定进行证明】
【例6】（2023下·广西南宁·八年级统考期末）如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．
(1)∠DAB+∠B等于多少度？
(2)若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论．
【变式6-1】（2023下·广东东莞·八年级校考期中）在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．证明：AD∥BC．
【变式6-2】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，设BC与AE交于点F．
(1)若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长；
(2)若∠ADC=∠DAC，证明：DE∥AC．
【变式6-3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线AB和CD被直线MN所截．
(1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足______时， AB∥CD，并说明平行的理由；
(2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由；
(3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由．
【题型7 旋转使两直线平行】
【例7】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【变式7-1】（2023下·河北秦皇岛·八年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t= 秒．
【变式7-2】（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图（1），在△ABC中，∠A=42°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当∠ACB'=（ ）时，CB'//AB．
A．42°B．138°C．42°或138°D．42°或128°
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足a−5+b−12=0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【题型8 平行线判定的实际应用】
【例8】（2023下·浙江台州·八年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【变式8-1】（2023下·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【变式8-2】（2023下·全国·八年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
原料
时间
工序
原料A
原料B
原料C
上漆
10
16
13
描绘花纹
15
8
12
组合
连接
a⊕b
b⊕d
d⊕c
专题7.1 平行线的判定【八大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc152" 【题型1 定义与命题】 PAGEREF _Tc152 \h 1
\l "_Tc1780" 【题型2 判断命题真假】 PAGEREF _Tc1780 \h 3
\l "_Tc27130" 【题型3 推理与论证】 PAGEREF _Tc27130 \h 5
\l "_Tc24776" 【题型4 确定两直线平行的条件】 PAGEREF _Tc24776 \h 7
\l "_Tc22063" 【题型5 补充过程证明两直线平行】 PAGEREF _Tc22063 \h 11
\l "_Tc31798" 【题型6 利用平行线的判定进行证明】 PAGEREF _Tc31798 \h 15
\l "_Tc31835" 【题型7 旋转使两直线平行】 PAGEREF _Tc31835 \h 19
\l "_Tc22126" 【题型8 平行线判定的实际应用】 PAGEREF _Tc22126 \h 24
【知识点1 定义与命题】
1、 命题的概念
叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。
备注：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
2、 命题的结构
每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
【题型1 定义与命题】
【例1】（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）下列语句中：①若∠1=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等。是命题的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据命题的定义逐项判断即可．
【详解】②③都不是判断一件事情的语句，不是命题；①④⑤为判断一件事情的语句，是命题．
【点睛】本题主要考查命题的识别，牢记命题的定义（判断一件事情的语句叫做命题）是解题的关键．
【变式1-1】（2013下·八年级课时练习）下列叙述错误的是( )
A．所有的命题都有条件和结论B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题D．所有的公理都是真命题
【答案】B
【详解】A.所有的命题都有条件和结论，
C.所有的定理都是命题，
D.所有的公理都是真命题，
均正确，不符合题意；
B.只有真命题才是定理，故错误，本选项符合题意
故选：B
【点睛】概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
【变式1-2】（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）把命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是：
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式．
【详解】解：把命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【变式1-3】（2023下·四川凉山·八年级校考阶段练习）下列命题①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短 可作为定理的有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理对①进行判断；根据对顶角的定义对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断；根据直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短可对④进行判断．
【详解】解∶两直线平行，同旁内角互补，所以①可作为定理；
相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；
等角的补角相等，所以③可作为定理；
垂线段最短，所以④可作为定理．
故选∶ C．
【点睛】本题考查了命题与定理∶判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
【知识点2 真命题与假命题】
如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。
备注：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
【题型2 判断命题真假】
【例2】（2023上·安徽合肥·八年级校考期中）下列命题：①在同一平面内，已知直线a、b，若a⊥b,b⊥c，则a⊥c；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，其中真命题是（ ）
A．①②③B．②④C．②③④D．③④
【答案】B
【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定，垂线的性质，平面内直线的位置关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：①在同一平面内，已知直线a、b，若a⊥b,b⊥c，则a∥c；故①错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；故②正确；
③同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故③错误；
④已知直线a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，故④正确；
故真命题有②④；
故选B．
【变式2-1】（2023上·浙江·八年级周测）下列可以作为命题“若x>y，则x2>y2”是假命题的反例是（ ）
A．x=−2，y=−1B．x=2，y=−1C．x=−1，y=−2D．x=2，y=1
【答案】A
【分析】此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论．
【详解】解：∵当x=−1，y=−2时，−22>−12，而−2<−1，
∴x>y，但是x2
其他选项不能说明；
【变式2-2】（2023上·山西晋城·八年级统考期中）命题“若a>b，则a>b”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据绝对值的性质判断真假即可．
【详解】解：∵−5>2，但−5<2，
∴命题“若a>b，则a>b”是假命题．
故答案为：假
【变式2-3】（2023上·八年级单元测试）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
【答案】（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，反例见解析；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【分析】（1）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平角的定义可得该命题是真命题；
（2）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是假命题；利用相交直线被第三条直线所截，内错角不相等可举反例；
（3）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是真命题；．
【详解】（1）题设：如果两个角的和等于平角，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；
（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；
（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理的相关知识．将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．
【题型3 推理与论证】
【例3】（2023·浙江·八年级期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子B．5号杯子C．6号杯子D．7号杯子
【答案】D
【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案．
【详解】解：∵1号杯子左侧出口比右侧高，
∴水先从左侧流出，进入3号杯子，
∵3杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭
∴水最终会先灌满3号杯子，
【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可．
【变式3-1】（2023·江西上饶·八年级期中）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间(单位：小时)如下：
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
【答案】47
【分析】根据分析，甲按A、C、B的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可．
【详解】甲按A、C、B的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要10+13+16+8=47（小时），
故答案为：47．
【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序．
【变式3-2】（2023上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）A，B，C，D，E五名同学猜测自己的数学成绩. A说：“如果我得优，那么B也得优.”B说：“如果我得优，那么C也得优.”C说：“如果我得优，那么D也得优.”D说：“如果我得优，那么E也得优.”大家都没说错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 （填字母）.
【答案】C,D,E
【分析】本题考查逻辑推理，根据题意结合反证法的思想作相应推理得出结论．
【详解】解：由题意，若A得优，则A，B，C，D，E均为优，不合题意，则A非优；若B得优，则B，C，D，E均为优，不合题意，故B非优；因只有三个得优，故C,D,E得优．
故答案为：C,D,E
【点睛】本题考查逻辑推理,根据题意由条件，得出相应结论，运用反证法的思想是解题问题的关键．
【变式3-3】（2023·江苏·南京外国语学校八年级期中）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 .
【答案】a⊕c
【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论．
【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形；
结合后两个图可以看出：d代表圆；
因此a代表线段，c代表三角形，
所以图形的连接方式为：a⊕c.
故答案为a⊕c.
【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形．
【知识点3 平行线的判定】
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型4 确定两直线平行的条件】
【例4】（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
∠1=∠3B．∠4＝∠5
C．∠B=∠DD．∠B+∠2+∠4=180°
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】解：A．∠1=∠3，不能判定AB∥CD，不符合题意；
B．∠4=∠5，根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
C．∠B=∠D，不能判定AB∥CD，不符合题意；
D．∠B+∠4+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
【变式4-1】（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AB∥CDB．若∠1+∠3=180°，则AB∥CD
C．若∠3=∠5，则AB∥CDD．若∠4=∠5，则AB∥CD
【答案】A
【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各项进行判断即可．
【详解】解：A、∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、如图，
∵∠1+∠3=180°，∠1+∠6=180°，
∴∠3=∠6，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
C、∠3，∠5不是内错角，故∠3=∠5不能判定AB∥CD，本选项错误，故本选项符合题意；
D、∠4，∠5是内错角，可以判定出AB∥CD，故本选项不符合题意．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
【变式4-2】（2023下·山东日照·八年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】因为∠1=∠2，
所以DE∥BC，
故A不符合题意；
因为∠3=∠4，
不能判断DE∥BC，
故B符合题意；
因为∠5=∠C，
所以DE∥BC，
故C不符合题意；
因为∠B+∠BDE=180°，
所以DE∥BC，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式4-3】（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是 ．（只填序号）
【答案】①③④⑤⑥
【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得∠4=∠6，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断⑤；过点B作BD∥b，则∠3=∠ABD，从而得出∠2=∠CBD，进而得出BD∥a，最后根据平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴a∥b，
故①能够判定直线a∥b，符合题意；
②∠2=∠3不能判定a∥b，故②不符合题意；
③∵∠3=∠5，
∴a∥b，
故③能够判定直线a∥b，符合题意；
④∵∠3+∠4=180∘，
∴a∥b，
故④能够判定直线a∥b，符合题意；
⑤∵∠5+∠6=180∘，∠5+∠4=180∘，
∴∠4=∠6，
∴∴a∥b，
故⑤能够判定直线a∥b，符合题意；
⑥过点B作BD∥b，
∵BD∥b，
∴∠3=∠ABD，
∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，
∴∠2=∠CBD，
∴BD∥a，
∴a∥b．
故⑥能够判定直线a∥b，符合题意；
综上：能够判定直线a∥b的有：①③④⑤⑥．
故答案为：①③④⑤⑥．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．
【题型5 补充过程证明两直线平行】
【例5】（2023下·福建宁德·八年级统考期中）请把以下说理过程补充完整：
如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
说明BE与DF平行的理由．
解：理由是：
因为AB⊥BC ，
所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．
因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，
所以___________=___________（___________）．
所以BE∥DF（_____________________）．
【答案】90，90；∠1，∠4，等角的余角相等；同位角相等两直线平行
【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，根据∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等两直线平行即可得证．
【详解】解： 理由是：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3＋∠4＝90°．
又∵∠1＋∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE//DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定以及余角和补角，利用等角的余角相等找出∠1＝∠4是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·北京延庆·八年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】见解析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式5-2】（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ ），
∴ ＝ （ ）
∴BE∥CF（ ）．
【答案】已知；∠3；∠4；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】注意观察图中角之间的位置关系，主要依据为同角或等角的余角相等，平行线的判定定理．
【详解】解：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（ 已知 ），
∴∠3=∠4（ 等角的余角相等 ）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【点睛】本题主要考查同角或等角的余角相等，内错角相等，两直线平行；熟练相关定理的运用是解题的关键．
【变式5-3】（2023下·浙江·八年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ ）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】角平分线的定义；2∠2；等式的性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】首先根据角平分线的定义可得∠BDC=2∠1，∠ABD=2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【详解】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的定义）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ 等式的性质）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
【题型6 利用平行线的判定进行证明】
【例6】（2023下·广西南宁·八年级统考期末）如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．
(1)∠DAB+∠B等于多少度？
(2)若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论．
【答案】(1)180
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，已知∠1=30°，∠B=60°，根据∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B计算即可；
（2）由（1）得：∠DAB+∠B=180°，结合∠B=∠D，得∠DAB+∠D=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明AB与CD平行．
【详解】（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
又∵∠1=30°，∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°，
故∠DAB+∠B等于180度．
（2）∵∠B=∠D，
由（1）得：∠DAB+∠B=180°，
∴∠DAB+∠D=180°，
∴ AB与CD平行．（同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】本题考查了角度计算、平行线的判定，熟练计算、掌握平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．
【变式6-1】（2023下·广东东莞·八年级校考期中）在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．证明：AD∥BC．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再由∠1=∠3，可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，即可得证．
【详解】证明：∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠1=∠2，
又∵ ∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴ AD∥BC．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，设BC与AE交于点F．
(1)若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长；
(2)若∠ADC=∠DAC，证明：DE∥AC．
【答案】(1)AF的长为4；
(2)见解析
【分析】（1）设BD=a，DF=b，AF=x，由折叠的性质得DE=BD=a，AB=AE=x+EF，再根据周长公式列式计算即可求解；
（2）由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，由邻补角的性质结合已知，推出∠DAC+∠ADE=180°，根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：设BD=a，DF=b，AF=x，
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE=BD=a，AB=AE=x+EF，
∵△DEF的周长4，
∴EF=4−a+b，
∴AB=x+4−a+b，
∵△ABF的周长为12，，
∴x+4−a+b+a+b+x=12，
解得x=4，即AF的长为4；
（2）证明：由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∵∠ADC=∠DAC，
∴∠DAC+∠ADE=180°，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式6-3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线AB和CD被直线MN所截．
(1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足______时， AB∥CD，并说明平行的理由；
(2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由；
(3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由．
【答案】(1)∠1+∠2=90°，见解析
(2)∠1=∠2，见解析
(3)∠1=∠2，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1+∠2=90°，即可得出∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，即可判断AB∥CD；
（2）根据角平分线的定义可得∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1=∠2，即可得∠BEM=∠DFE，即可判断AB∥CD；
（3）同（2）的分析即得结论．
【详解】（1）当∠1与∠2满足∠1+∠2=90°时， AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，
∴AB∥CD；
（2）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，
∴∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠BEM=∠DFE，
∴AB∥CD；
（3）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【题型7 旋转使两直线平行】
【例7】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【答案】B
【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，a∥b，进而算出答案．
【详解】解：∵当∠AOB=65°时，a∥b
∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，
故选：B
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．
【变式7-1】（2023下·河北秦皇岛·八年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t= 秒．
【答案】5或95
【分析】分①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】∵∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°−∠DCF=180°−60°=120°，
分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD=120°−3t°，∠BAC=110°−t°，
要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°−3t°=110°−t°，
解得t=5；
如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF=360°−3t°−60°=300°−3t°，∠BAC=110°−t°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°−3t°=110°−t°，
解得t=95；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∠DCF=3t°−(180°−60°+180°)=3t°−300°，∠BAC=t°−110°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即3t°−300°=t°−110°，
解得t=95，
此时∠BAC=t°−110°<0°，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．
故答案为：5或95．
【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论．
【变式7-2】（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图（1），在△ABC中，∠A=42°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当∠ACB'=（ ）时，CB'//AB．
A．42°B．138°C．42°或138°D．42°或128°
【答案】A
【分析】结合旋转的过程可知，因为CB'位置的改变，∠ACB'与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2）①，
当∠ACB'=42°时，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2）②，
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'+∠A=138°+42°=180°．
∴CB'∥AB．
综上可得，当∠ACB'=42°或∠ACB'=138°时，CB'∥AB．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足a−5+b−12=0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【答案】15或22.5
【分析】先由题意得出a，b的值，再推出射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，然后分情况讨论即可．
【详解】∵a−5+b−12=0，
∴a=5，b=1，
设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行，如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，分两种情况：
①当9＜t＜18时，如图，∠QBQ'=t°，∠M'AM"=5t°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM"=5t-45°，
当∠ABQ'=∠BAM"时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=5t-45°，
解得t=15；
②当18＜t＜27时，如图∠QBQ'=t°，∠NAM"=5t°-90°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM"=45°-（5t°-90°）=135°-5t°，
当∠ABQ'=∠BAM"时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=135°-5t，
解得t=22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM射线BQ互相平行．
故答案为：15或22.5
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的判定，掌握知识点是解题关键．
【题型8 平行线判定的实际应用】
【例8】（2023下·浙江台州·八年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】D
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5=90°，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3=90°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
【变式8-1】（2023下·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a∥b；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以a∥b；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以a∥b．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式8-2】（2023下·全国·八年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出∠1与∠2的补角相等，再根据∠3=∠4，结合内错角相等，两直线平行即可判定a∥b．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，∵∠1=∠2，
∴∠5=∠6，
∵∠3=∠4，
∴∠3+∠5=∠4+∠6，
∴a∥b．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
【变式8-3】（2023下·陕西延安·八年级统考期末）如图，一条公路绕湖而过，测得三个拐弯的角度分别为∠A＝120°，∠B＝150°，∠C＝150°，试判断公路AE与CF是否平行，并说明理由．
【答案】DE∥CF.
【分析】延长CB交AE于点D，先由邻补角定义得出∠ABD的度数，再由三角形内角和定理求得∠BDA，
原料
时间
工序
原料A
原料B
原料C
上漆
10
16
13
描绘花纹
15
8
12
组合
连接
a⊕b
b⊕d
d⊕c
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