北师大版八年级数学上册专题2.4二次根式【八大题型】同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学上册专题2.4二次根式【八大题型】同步练习(学生版+解析)，共19页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8580" 【题型1 判断二次根式】 PAGEREF _Tc8580 \h 1
\l "_Tc9341" 【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】 PAGEREF _Tc9341 \h 2
\l "_Tc32598" 【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】 PAGEREF _Tc32598 \h 2
\l "_Tc2613" 【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】 PAGEREF _Tc2613 \h 2
\l "_Tc840" 【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】 PAGEREF _Tc840 \h 3
\l "_Tc18218" 【题型6 逆用a2=a（a≥0）在实数范围内分解因式】 PAGEREF _Tc18218 \h 4
\l "_Tc14753" 【题型7 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 PAGEREF _Tc14753 \h 4
\l "_Tc1433" 【题型8 复合型二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc1433 \h 4
【知识点1 二次根式的定义】
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 判断二次根式】
【例1】（2023春·八年级单元测试）a是任意实数，下列各式中：①a+2；②(−2a)4；③a2+3；④a2+6a+9；⑤a2−3，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．aB．32C．12D．−4
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列式子一定是二次根式的是 ( )
A．a2B．－aC．3aD．a
【变式1-3】（2023春·陕西·八年级阶段练习）下列式子：7，2x，1−m，a2+b2，100，a2−1，a+1中，一定是二次根式的是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【知识点2 二次根式有意义的条件】
(1)二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0.
【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】
【例2】（2023·辽宁丹东·八年级统考期末）在函数y=2−xx−1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．−1【变式2-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）若式子1−3xx有意义，则x的取值范围是___．
【变式2-2】（天津市南开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）下列各式中x的取值范围是x≥3的是（ ）
A．3−xB．x−3C．3+xD．1x−3
【变式2-3】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）若x=2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）．
A．x−1B．1−xC．x−3D．−x
【知识点3 二次根式的性质】
性质1：a2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：a2=a=a（a≥0）−a（a<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】
【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知y=x−2022−2023−x+1，其中x为整数，则y的值为__________．
【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）若x−1+y+3=0，求x−y的值．
【变式3-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若y=x−3+3−x−2，则xy=______.
【变式3-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知实数a满足(2008−a)2+a−2009=a，求a−20082的值是多少？
【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】
【例4】（2023春·八年级单元测试）若36n是整数，则整数n的所有可能的值为_______．
【变式4-1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2B．4C．5D．20
【变式4-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知10−n是整数，则自然数n所有可能的值的和为______．
【变式4-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如果17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．-4B．-2C．2D．8
【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】
【例5】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：a2+−a+b2−c−b．

【变式5-1】（2023春·八年级单元测试）已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： a+12+2b−12−∣a−b∣．

【变式5-2】（2023春·全国·八年级期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简c2−a2+3a+b3得（ ）
A．b−cB．−2a−b−cC．b+cD．−b−c
【变式5-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）阅读材料，解答问题。
例：若代数式2−a2+a−42 的值是常数2，求a的取值范围．
分析：原式=a−2+a−4，而a 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，a−2表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式=a−2+a−4在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4．
（1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例．
（2）化简7−a2+a−102．
【题型6 逆用a2=a（a≥0）在实数范围内分解因式】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：x4−9x2+20=___________．
【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）将3x2−4在实数范围内分解因式得______．
【变式6-2】（2023·全国·八年级专题练习）（2023贵州省黔东南州）在实数范围内因式分解：x5−4x=______．
【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：
(1)x2−7；
(2)x3−5x；
(3)4x2−11；
(4)x2−23x+3．
【题型7 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，化简m2+2mn+n2−|m+1|=_______．
【变式7-1】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简|1−x|−x2−8x+16的结果是2x−5，则x的取值范围是___________
【变式7-2】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是2的小数部分，则式子(m−1)2=___________．
【变式7-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简a2b=______
【题型8 复合型二次根式的化简求值】
【例8】（2023春·江苏·八年级专题练习）像4−23，48−45，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23=3−23+1=(3)2−23×1+12=(3−1)2=3−1再如：5+26=3+26+2=(3)2+2×3×2+(2)2=(3+2)2=3+2请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：10+221；
专题2.4 二次根式【八大题型】
【北师大版】
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\l "_Tc8580" 【题型1 判断二次根式】 PAGEREF _Tc8580 \h 1
\l "_Tc9341" 【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】 PAGEREF _Tc9341 \h 3
\l "_Tc32598" 【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】 PAGEREF _Tc32598 \h 4
\l "_Tc2613" 【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】 PAGEREF _Tc2613 \h 5
\l "_Tc840" 【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】 PAGEREF _Tc840 \h 6
\l "_Tc18218" 【题型6 逆用a2=a（a≥0）在实数范围内分解因式】 PAGEREF _Tc18218 \h 7
\l "_Tc14753" 【题型7 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 PAGEREF _Tc14753 \h 8
\l "_Tc1433" 【题型8 复合型二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc1433 \h 9
【知识点1 二次根式的定义】
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 判断二次根式】
【例1】（2023春·八年级单元测试）a是任意实数，下列各式中：①a+2；②(−2a)4；③a2+3；④a2+6a+9；⑤a2−3，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】∵二次根式a必须满足a≥0
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．aB．32C．12D．−4
【答案】A
【分析】一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，据此进行判断即可．
【详解】解；A、当a≥0时，a才是二次根式，本选项不符合题意；
B、32中，根指数为3，故不是二次根式，本选项不符合题意；
C、12是二次根式，本选项符合题意；
D、−4中，−4<0，故不是二次根式，本选项不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解决问题的关键是理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列式子一定是二次根式的是 ( )
A．a2B．－aC．3aD．a
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论．
【详解】解：A、a2的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确；
B、a<0时，－a不是二次根式，故B错误；
C、3a是三次根式，故C错误；
D、a<0时，a不是二次根式，故D错误；
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如a(a≥0)是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数．
【变式1-3】（2023春·陕西·八年级阶段练习）下列式子：7，2x，1−m，a2+b2，100，a2−1，a+1中，一定是二次根式的是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】解题需要分别考虑是否满足二次根式需要同时满足的两个条件：一是含有根号，二是被开方数是非负数.
【详解】根据二次根式的定义可得7，a2+b2，100，，a+1是二次根式，
故选B.
【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟练掌握这一点是解题的关键.
【知识点2 二次根式有意义的条件】
(1)二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0.
【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】
【例2】（2023·辽宁丹东·八年级统考期末）在函数y=2−xx−1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．−1【答案】D
【分析】根据函数有意义的条件得到2−x≥0x−1>0,解不等式组即可得到自变量x的取值范围．
【详解】解：由题意得2−x≥0x−1>0，
解不等式组得1故选：D．
【点睛】此题考查了自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）若式子1−3xx有意义，则x的取值范围是___．
【答案】x≤13且x≠0
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解．
【详解】解：∵式子1−3xx有意义，
∴1−3x≥0且x≠0，
解得：x≤13且x≠0，
故答案为：x≤13且x≠0．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和分式的意义，掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．
【变式2-2】（天津市南开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）下列各式中x的取值范围是x≥3的是（ ）
A．3−xB．x−3C．3+xD．1x−3
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件逐项判断即可.
【详解】解：A、∵3−x≥0，∴x≤3，故本选项不符合题意；
B、∵x−3≥0，∴x≥3，故本选项符合题意；
C、∵3+x≥0，∴x≥−3，故本选项不符合题意；
D、∵x−3>0，∴x>3，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负、分式的分母不为0是解题的关键.
【变式2-3】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）若x=2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）．
A．x−1B．1−xC．x−3D．−x
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义分析，即可得到答案．
【详解】A．当x＝2时，x-1＝2-1＝1＞0，x−1有意义，符合题意；
B．当x＝2时，1-x＝1-2＝-1＜0，1−x无意义，不符合题意；
C．当x＝2时，x-3＝2-3＝-1＜0，x−3无意义，不符合题意；
D．当x＝2时，-x＝-2＜0，−x无意义，不符合题意；
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
【知识点3 二次根式的性质】
性质1：a2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：a2=a=a（a≥0）−a（a<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】
【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知y=x−2022−2023−x+1，其中x为整数，则y的值为__________．
【答案】0或2
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x−2022≥02023−x≥0，求出2022≤x≤2023，再根据x为整数，得出x=2022或x=2023，分别代入，即可得出答案．
【详解】解：要使y=x−2022−2023−x+1有意义，则x−2022≥02023−x≥0，
解得：2022≤x≤2023，
∵x为整数，
∴x=2022或x=2023，
当x=2022时，y=2022−2022−2023−2022+1=0−1+1=0；
当x=2023时，y=2023−2022−2023−2023+1=1−0+1=2；
综上分析可知：y的值为0或2．
故答案为：0或2．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于零．
【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）若x−1+y+3=0，求x−y的值．
【答案】4
【分析】结合题意，根据二次根式的性质，可分别得到x和y的方程，经计算从而完成求解．
【详解】∵x−1+y+3=0
∴x−1=0y+3=0
∴x=1y=−3
∴x−y=1−−3=4．
【点睛】本题考查了二次根式、一元一次方程、等式等知识；解题的关键是熟练掌握平方根、一元一次方程、等式的性质，从而完成求解．
【变式3-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若y=x−3+3−x−2，则xy=______.
【答案】19
【分析】根据二次根式成立的条件得出关于x的不等式组，求得x=3，进而求出y=−2，代入xy即可求出答案．
【详解】∵y=x−3+3−x−2，
∴x−3≥03−x≥0．
∴x=3．
∴y=x−3+3−x−2=−2．
∴xy=3−2=19．
故答案是19．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和负整数指数幂的性质，熟练掌握aa≥0以及a−p=1ap（a≠0，p为正整数）是解题的关键．
【变式3-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知实数a满足(2008−a)2+a−2009=a，求a−20082的值是多少？
【答案】2009
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴a-2009≥0，即a≥2009，
∴2008-a≤-1＜0，
∴a-2008+a−2009=a，解得a−2009=2008，
等式两边平方，整理得a-20082=2009．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】
【例4】（2023春·八年级单元测试）若36n是整数，则整数n的所有可能的值为_______．
【答案】1，4，9，36
【分析】36n是整数，则36n≥0，且36n是完全平方数，即可求出n的值．
【详解】解：∵36n是整数，
∴36n≥0，且36n是完全平方数，
∴①36n=1，即n=36；
②36n=4，即n=9；
③36n=9，即n=4；
④36n=36，即n=1；
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解36n是整数的条件是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2B．4C．5D．20
【答案】A
【分析】将20n化简为25n，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答．
【详解】解：20n=25n，
∵ 20n是整数，
∴满足条件的最小正整数n为5，
【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知10−n是整数，则自然数n所有可能的值的和为______．
【答案】26
【分析】根据二次根式的定义可知10−n≥0，直接列出n所有可能的值再求和即可．
【详解】10−n是整数，则自然数n所有可能的值为n=1,6,9,10，
所以n所有可能的值的和为1+6+9+10=26．
故答案为：26
【点睛】此题考查二次根式的定义，解题关键是明确a,a≥0．
【变式4-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如果17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．-4B．-2C．2D．8
【答案】D
【分析】根据17+4a是一个正整数，得出a＞−174，根据a为整数，得出a的最小值为−4，最后代入a=−4验证17+4a是一个正整数符合题意，得出答案即可．
【详解】解：∵17+4a是一个正整数，
∴17+4a＞0，
∴a＞−174，
∵a为整数，
∴a的最小值为−4，
且a=−4时，17+4a=17−16=1符合题意，故A正确．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出a＞−174，是解题的关键．
【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】
【例5】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：a2+−a+b2−c−b．

【答案】−2a+c
【分析】根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再进行化简即可
【详解】解：由数轴，得a<−1,−11，
∴−a+b>0,c−b<0．
∴原式=−a+−a+b+c−b
=−a−a+b+c−b
=−2a+c．
【点睛】本题考查二次根式的性质，化简绝对值．解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号．
【变式5-1】（2023春·八年级单元测试）已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： a+12+2b−12−∣a−b∣．

【答案】2a−3b+3
【分析】直接利用数轴得出a+1，b−1，a−b的符号，再化简得出答案．
【详解】由题图可知−1∴a+1>0，b−1<0，a−b<0，
∴a+12+2b−12−∣a−b∣
=a+1+21−b−b−a
=a+1+2−2b−b+a
=2a−3b+3．
【点睛】本题考查了利用数轴确定式子的符号，二次根式的性质及绝对值的意义，根据数轴确定a+1，b−1，a−b的符号是解答本题的关键．
【变式5-2】（2023春·全国·八年级期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简c2−a2+3a+b3得（ ）
A．b−cB．−2a−b−cC．b+cD．−b−c
【答案】D
【分析】根据数轴得到ba>c，再根据二次根式的性质以及立方根的性质化简，再合并即可．
【详解】解：由图可知，ba>c．
∴a+b<0，
∴c2−a2+3a+b3
=c−a+a+b
=−c−a+a+b
=b−c
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质、实数与数轴上点的对应关系，正确根据去绝对值方法和二次根式的性质进行分析是解决本题的关键．
【变式5-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）阅读材料，解答问题。
例：若代数式2−a2+a−42 的值是常数2，求a的取值范围．
分析：原式=a−2+a−4，而a 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，a−2表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式=a−2+a−4在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4．
（1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例．
（2）化简7−a2+a−102．
【答案】（1）数形结合思想，分类讨论思想；（2）17−2a或3或2a−17
【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论；
（2）分a＜7，7≤a≤10及a＞10三种情况进行讨论即可．
【详解】解：（1）数形结合思想，分类讨论思想．
（2）原式＝|7−a|＋|a−10|
①当a＜7时，原式＝7−a＋10−a＝17−2a；
②当7≤a≤10时，原式＝3；
③当a＞10时，原式＝a−7＋a−10＝2a−17．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论．
【题型6 逆用a2=a（a≥0）在实数范围内分解因式】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：x4−9x2+20=___________．
【答案】(x+2)(x−2)(x+5)(x−5)
【分析】先把x2当成一个整体分解一次，再利用平方差公式继续分解因式.
【详解】x4−9x2+20
=(x2−4)(x2−5)
=(x2−4)[x2−(5)2]
=(x+2)(x−2)(x+5)(x−5)
故答案为(x+2)(x−2)(x+5)(x−5)
【点睛】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用a=(a)2(a≥0)把一个整数写成平方形式再进行分解因式.
【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）将3x2−4在实数范围内分解因式得______．
【答案】3x+23x−2
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：3x2−4=3x2−22=3x+2⋅3x−2
故答案为：3x+23x−2．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解常用的方法是解题关键．
【变式6-2】（2023·全国·八年级专题练习）（2023贵州省黔东南州）在实数范围内因式分解：x5−4x=______．
【答案】xx2+2x+2x−2
【分析】根据提取公因式法和平方差公式，结合二次根式的性质分解因式即可．
【详解】解：x5−4x
=xx4−4
=xx2+2x2−2
=xx2+2x+2x−2．
故答案为：xx2+2x+2x−2．
【点睛】本题主要考查因式分解、二次根式的性质，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：
(1)x2−7；
(2)x3−5x；
(3)4x2−11；
(4)x2−23x+3．
【答案】(1)x+7x−7
(2)xx+5x−5
(3)2x+112x−11
(4)x−32
【分析】（1）首先将7化为72，然后利用平方差公式，即可得解；
（2）首先提取公因式x，将5化为52，然后利用平方差公式，即可得解；
（3）首先将4x2化为2x2，11化为112，然后利用平方差公式，即可得解；
（4）首先将3化为32，然后利用完全平方公式，即可得解．
【详解】（1）解：x2−7= x2−72=x+7x−7；
（2）解：x3−5x =xx2−5=xx2−52=xx+5x−5；
（3）解：4x2−11= 2x2−112=2x+112x−11；
（4）解：x2−23x+3= x2−23x+32=x−32．
【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行分解因式，熟练掌握，即可解题．
【题型7 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，化简m2+2mn+n2−|m+1|=_______．
【答案】n−1
【分析】先根据一次函数y=mx+n经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得m＞0，n＜0，再由图可知，当x=1时，一次函数的值大于0，即有当x=1时，有y=m+n＞0，据此化简即可．
【详解】∵一次函数y=mx+n经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，
∴m＞0，n＜0，
由图可知，当x=1时，一次函数的值大于0，
∴将x=1代入y=mx+n中有y=m+n＞0，
即：m2+2mn+n2−|m+1|
=m+n2−m+1
=m+n−m−1
=n−1，
故答案为：n−1．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出m＞0，m+n＞0，是解答本题的关键．
【变式7-1】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简|1−x|−x2−8x+16的结果是2x−5，则x的取值范围是___________
【答案】1≤x≤4
【分析】根据1−x−x2−8x+16=2x−5可以得到x−1−x−4=2x−5，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解.
【详解】解：由题意可知：1−x−x2−8x+16=2x−5
∴1−x−x−42=2x−5
∴x−1−x−4=2x−5，
∴当x<1时
原式=1−x+x−4=−3不合题意；
∴当x>4时，
原式=x−1−x+4=3不合题意；
∴当1≤x≤4时，
原式=x−1+x−4=2x−5符合题意；
∴x的取值范围为：1≤x≤4，
故答案为：1≤x≤4.
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【变式7-2】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是2的小数部分，则式子(m−1)2=___________．
【答案】2−2
【分析】首先确定m=2−1，再将其代入(m−1)2并化简计算即可．
【详解】解：∵m是2的小数部分，
∴m=2−1，
∴(m−1)2=(2−1−1)2=(2−2)2=2−2=2−2．
故答案为：2−2．
【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出m=2−1．
【变式7-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简a2b=______
【答案】−ab
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a2b⩾0，利用a2≥0，ab<0得a<0，b>0，再根据二次根式的性质得原式=|a|b，然后去绝对值即可．
【详解】解：∵a2b⩾0，
而a2⩾0，ab<0，
∴a<0，b>0，
∴原式=a2·b
=|a|·b
=−ab．
故答案为：−ab．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握a2=|a|．
【题型8 复合型二次根式的化简求值】
【例8】（2023春·江苏·八年级专题练习）像4−23，48−45，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23=3−23+1=(3)2−23×1+12=(3−1)2=3−1再如：5+26=3+26+2=(3)2+2×3×2+(2)2=(3+2)2=3+2请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：10+221；
(2)化简：14−83；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)3+7
(2)22−6
(3)14或46．
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）解：10+221=(3)2+2×3×7+(7)2=(3+7)2=3+7；
（2）解：14−83=(22)2−2×22×6+(6)2=(22−6)2=22−6
（3）解：∵a+65=(m+5n)2=m2+5n2+25mn，
∴a=m2+5n2且25mn=65，
∴a=m2+5n2且mn=3，
∵a，m，n为正整数，
∴当m=1，n=3时a=46；
当m=3，n=1时，a=14．
所以a的值为：14或46．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是结合完全平方公式进行求解．
【变式8-1】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）a，b为有理数，且a+3b=4+23，则a+b=___________．
【答案】2
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即4+23=1+32=1+3，且a，b为有理数，求出a=1,b=1，进而得到a+b=2．
【详解】解：∵ 4+23=1+3+23=1+32+23=1+32=1+3
∴ a+3b=1+3
∵a，b为有理数
∴ a=1,b=1
∴ a+b=2
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）化简4−10+25+4+10+25=_______．
【答案】5+1
【分析】设4−10+25+4+10−25=t，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】解：设4−10+25+4+10−25=t，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则t2=4−10+25+4+10+25+216−(10+25)
=8+26−25
=8+2(5−1)2
=8+2(5−1)
=6+25
=(5+1)2
∴t=5+1．
故答案为：5+1．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
【变式8-3】（2023春·八年级单元测试）观察下面的运算，完成计算：
5−26=3−26+2=(3)2−2×3×2+(2)2=(3−2)2
=3−2=3−2
(1)3−22
(2)3+44+23．
【答案】(1)2−1
(2)3+2
【分析】（1）被开方数3−22=1−22+2=(1−2)2，据此即可开方；
（2）首先化简4+23，然后代入原式利用相同的方法化简即可．