北师大版八年级数学上册专题6.1数据的分析【十一大题型】同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学上册专题6.1数据的分析【十一大题型】同步练习(学生版+解析)，共42页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20506" 【题型1 求一组数据的平均数】 PAGEREF _Tc20506 \h 1
\l "_Tc1682" 【题型2 根据平均数求参数的值】 PAGEREF _Tc1682 \h 2
\l "_Tc15142" 【题型3 求一组数据的中位数、众数】 PAGEREF _Tc15142 \h 3
\l "_Tc28135" 【题型4 根据中位数、众数求参数的值】 PAGEREF _Tc28135 \h 3
\l "_Tc6874" 【题型5 根据中位数、众数解决实际问题】 PAGEREF _Tc6874 \h 4
\l "_Tc24654" 【题型6 根据方差求值】 PAGEREF _Tc24654 \h 5
\l "_Tc5947" 【题型7 根据方差判断稳定性】 PAGEREF _Tc5947 \h 5
\l "_Tc22539" 【题型8 四种统计量的选择】 PAGEREF _Tc22539 \h 7
\l "_Tc12932" 【题型9 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】 PAGEREF _Tc12932 \h 8
\l "_Tc9037" 【题型10 统计量的综合应用】 PAGEREF _Tc9037 \h 8
\l "_Tc2949" 【题型11 从统计图分析数据的集中趋势和离散程度】 PAGEREF _Tc2949 \h 11
【知识点1 平均数】
算术平均数：
加权平均数：（、…的权分别是、…）
新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。
【题型1 求一组数据的平均数】
【例1】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）某校组织学生进行绘画比赛，对参赛作品按A，B，C，D四个等级进行评定，四个等级的分数分别为A级5分，B级4分，C级2分，D级1分．现随机抽取部分学生绘画作品的评定结果进行分析，并根据各等级的人数绘制了如图所示的条形图和不完整的扇形图，条形图不小心被撕掉了一块，则被调查学生的平均分数为（ ）

A．3分B．3.1分C．3.2分D．3.3分
【变式1-1】（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为 ．
【变式1-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）在2，4，6，8中再添加一个数，使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-3】（2023秋·贵州贵阳·八年级统考期末）某学校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占10%，期中成绩占30%，期末成绩占60%，李明的平时、期中、期末成绩分别为90分，90分，80分，则李明本学期的学业成绩为（ ）
A．90分B．88分C．86分D．84分
【题型2 根据平均数求参数的值】
【例2】（2023春·湖北宜昌·八年级统考期末）国家统计局2022年6月10日公布了2022年1至5月全国居民消费价格指数上涨为1.5%，其中城市上涨1.6%，农村上涨1.2%，请问在全国居民消费价格指数构成中，城市的权重为 ．（百分比）
【变式2-1】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）若n个数的平均数是2n，则这n个数的总和为 ．
【变式2-2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，x，3，5的平均数是x−1，则这组数据的平均数为 ．
【变式2-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）已知A组的数据2，3，0，x，y的平均数为0，B组数据1，2，−y，2x，0的平均数为1，现将A、B两组数据合成一组数据C，求C组数据的平均数和方差．
【知识点2 众数与中位数】
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
【题型3 求一组数据的中位数、众数】
【例3】（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）某小组6名同学积极参加班级组织的为灾区捐款活动，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，30，50，50，40，70．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．40，50B．45，50C．50，50D．50，70
【变式3-1】（2023春·云南红河·八年级统考期末）某市五月连续10天的最高气温统计如下：
则最高气温的中位数和众数分别是（ ）．
A．28°C，29°CB．29°C，28°CC．28.5°C，28°CD．29°C，29°C
【变式3-2】（2023秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）一次团史知识竞赛，某小组6名同学的成绩统计如图（有三个数据被遮盖），则众数与中位数是（ ）
A．81，81B．80，81C．81，80.5D．80，81.5
【变式3-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，那么构成的这组数据的众数和中位数是（ ）
A．6，8B．8，6C．6，6D．8，7
【题型4 根据中位数、众数求参数的值】
【例4】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）七名同学某月阅读课外书的数量分别是6，3，3，4，5，4，3（单位：本），小明该月阅读了x本课外书，将x添加到前面这组数据后，这列数的中位数不变，则x可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）五名同学进行投篮练习，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到5个数据，若这5个数据的中位数是6，唯一众数是7.设另外两个数据分别是a，b，则a+b的值不可能是（ ）
A．1B．5C．9D．10
【变式4-2】（2023秋·广东深圳·八年级校考期中）有一个数据样本为：3，4，5，5，a，b，c，已知这个样本的众数为4，则这组数据的中位数为 ．
【变式4-3】（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）当五个整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个整数的和最大可能是（ ）
A．39B．40C．41D．42
【题型5 根据中位数、众数解决实际问题】
【例5】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（ ）
A．40%B．56%C．60%D．62%
【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2−y之值为 ．
【变式5-2】（2023春·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考期末）小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（ ）
A．5小时B．8小时C．5或8小时D．5或8或10小时
【变式5-3】（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）为了弘扬中华民族传统文化，八年级（1）班12月份开展诵读经典名著活动．全班27名学生该月阅读经典名著数量的条形统计图如图所示，但被撕了一块儿．已知该月阅读经典名著数量的中位数是4本，则下列哪一选项中的人数是无法确定的？（ ）
A．3本以下B．4本以下C．5本以下D．6本以下
【知识点3 方差】
方差：
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
【题型6 根据方差求值】
【例6】（2023春·河北沧州·八年级统考期末）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据25，26，27，28，29的方差相等，则x的值为( )
A．1B．6C．1或6D．5或6
【变式6-1】（2023秋·河北张家口·八年级张家口市实验中学校考期末）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式s2=2−x2+(3−x)2+(3−x)2+(4−x)2n，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4B．样本的中位数是3C．样本的众数是3D．样本的平均数是3.5
【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，则a= ，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的方差为 ．
【变式6-3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：

已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则x＝ ．
【题型7 根据方差判断稳定性】
【例7】（2023春·浙江衢州·八年级统考期末）如图是我市某天早上和晚上各四个整点时的气温折线统计图．请根据统计图判断该天早上和晚上的气温更稳定的是 ．（填“早上”“晚上”）
【变式7-1】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图是甲，乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．根据统计图可知甲，乙平均成绩均为8.5环，则甲，乙的10次射击成绩的方差S甲2，S乙2的大小关系是 ．

【变式7-2】（2023春·北京·八年级统考期末）2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：

根据统计图提供的信息，有下列三个结论：①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为s12，中旬(11日至20日)的最高气温的方差为s22，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为s32，则s22【变式7-3】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μml⋅m−2⋅s−1），结果统计如下：
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
【题型8 四种统计量的选择】
【例8】（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）为庆祝神舟十六号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示，若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式8-1】（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）奥林匹克官方旗舰店最近一段时间各款“冰墩墩”销售记录如下表，厂家决定多生产20cm高的“冰墩墩”，依据的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【变式8-2】（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）某校欲招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表：
根据面试成绩和笔试成绩分别赋予6和4的权后的平均成绩进行录用，学校将录用（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式8-3】（2023春·山东德州·八年级统考期末）在庆祝中国共产党成立一百周年的校园歌唱比赛中，7名同学的成绩各不相同．按照成绩取前3名进入决赛，如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这7名同学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【题型9 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】
【例9】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）已知数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2，方差是3，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的平均数和方差分别是 ， ．
【变式9-1】（2023秋·山东烟台·八年级统考期中）将一组数据中的每一数减去40后，所得新的一组数据的平均数是2，则原来那组数据的平均数 ．
【变式9-2】（2023春·广西玉林·八年级统考期末）已知：x1，x2，的平均数是a,x11，x12，的平均数是b,则x1，x2，的平均数是（ ）
A．a＋bB．a+b2C．10a+50b60D．10a+40b50
【变式9-3】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知数据x1，x2，⋯，xn的平均数为m，方差为s2，则数据kx1+b，kx2+b，⋯，kxn+b的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ．
【题型10 统计量的综合应用】
【例10】（2023秋·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）五一放假前，我市某中学举行了“喜迎二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七．八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理．描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x<85；B.85≤x<90；C.90≤x<95；D.95≤x<100．
八年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定．
(2)直接写出图表中a，b，c的值：a= ，b= ，c= •
(3)该校八年级共180人参加了此次竞赛活动，估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【变式10-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：

b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是哪一位？
(3)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对谁的评价更一致？
【变式10-2】（2023秋·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）某学校在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试．整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图：
其中最低分为76分，满分率为5%，C组成绩为89，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87，回答下列问题：
(1)学校共抽取了__________名同学进行测试，他们的成绩众数为__________；
(2)其中频数分布表中a=__________，b=__________，并补全频数分布直方图；
(3)若成绩大于85分为优秀，估计该校八年级1500名学生中，达到优秀等级的人数．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级校考期中）西安高新一中初中校区八年级有2000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ；
（Ⅱ）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计我校八年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
【题型11 从统计图分析数据的集中趋势和离散程度】
【例11】（2023下·河南洛阳·八年级统考期末）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名运动员每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记I分．
运动员甲测试成绩表
（1）写出运动员甲测试成绩的众数为(分)运动员乙测试成绩的中位数为(分)；运动员丙测试成绩的平均数为(分)；
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手参加比赛，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：运动员甲、乙成绩的平均数为x甲=x乙=7，三人成绩的方差分别为s甲2=0.8、s乙2=0.4、s丙2=0.8
【变式11-1】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）甲、乙两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示．
（1）请你根据图中的数据填写表格：
（2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些？从发展趋势来看，谁的成绩好些．
【变式11-2】（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）为了让同学们了解自己的体育水平，初三1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）整理班级成绩得如下表格：
气温
27°C
28°C
29°C
30°C
31°C
天数
2
2
4
1
1
组员
A
B
C
D
E
F
平均成绩
众数
中位数
得分
77
81
■
80
82
79
80
■
■
成绩（分）
20
30
40
50
60
70
80
90
次数（人）
2
3
5
x
6
y
3
4
品种
第一株
第二株
第三株
第四株
第五株
平均数
甲
35
30
23
17
20
25
乙
27
25
26
24
23
25
甲
乙
丙
丁
平均数
98
96
98
95
方差
0.4
2
1.6
0.4
“冰墩墩”高度（cm）
15
20
22
25
销量（个）
56
87
67
68
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
92
b
c
52
八年级
92
93
100
50.4
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
成绩（分）
频数
频率
A组：756
0.15
B组：80a
0.2
C组：8516
0.4
D组：906
0.15
E组：954
b
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
7
7
5
8
7
8
7
姓名
平均数
众数
方差
甲
8
乙
8
2.8
平均分
中位数
众数
专题6.1 数据的分析【十一大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22993" 【题型1 求一组数据的平均数】 PAGEREF _Tc22993 \h 1
\l "_Tc1410" 【题型2 根据平均数求参数的值】 PAGEREF _Tc1410 \h 3
\l "_Tc14241" 【题型3 求一组数据的中位数、众数】 PAGEREF _Tc14241 \h 5
\l "_Tc25563" 【题型4 根据中位数、众数求参数的值】 PAGEREF _Tc25563 \h 7
\l "_Tc12502" 【题型5 根据中位数、众数解决实际问题】 PAGEREF _Tc12502 \h 9
\l "_Tc18586" 【题型6 根据方差求值】 PAGEREF _Tc18586 \h 12
\l "_Tc27169" 【题型7 根据方差判断稳定性】 PAGEREF _Tc27169 \h 14
\l "_Tc23622" 【题型8 四种统计量的选择】 PAGEREF _Tc23622 \h 17
\l "_Tc3612" 【题型9 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】 PAGEREF _Tc3612 \h 19
\l "_Tc31350" 【题型10 统计量的综合应用】 PAGEREF _Tc31350 \h 21
\l "_Tc8135" 【题型11 从统计图分析数据的集中趋势和离散程度】 PAGEREF _Tc8135 \h 27
【知识点1 平均数】
算术平均数：
加权平均数：（、…的权分别是、…）
新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。
【题型1 求一组数据的平均数】
【例1】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）某校组织学生进行绘画比赛，对参赛作品按A，B，C，D四个等级进行评定，四个等级的分数分别为A级5分，B级4分，C级2分，D级1分．现随机抽取部分学生绘画作品的评定结果进行分析，并根据各等级的人数绘制了如图所示的条形图和不完整的扇形图，条形图不小心被撕掉了一块，则被调查学生的平均分数为（ ）

A．3分B．3.1分C．3.2分D．3.3分
【答案】D
【分析】先根据A， D等级的人数和，及圆心角的度数和求出总人数，再根据各级的度数和总人数分别求出B 级、C 级的人数，最后根据平均数的计算公式即可求出答案．
【详解】解：A， D等级的人数和为4+2=6人，圆心角的度数和为360°−144°−108°=108°，
被调查学生的总人数为6÷108360=20人，
B等级的人数20×144360=8人，
C等级的人数20×108360=6人，
则被调查学生的平均分数为5×4+8×4+6×2+2×120=3.3分，
故选：D．
【点睛】此题考查了条形统计图与扇形统计图，根据A， D等级的人数和，及圆心角的度数和求出总人数是解题的关键．
【变式1-1】（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为 ．
【答案】13.9 岁
【分析】根据平均数的求法可直接进行求解．
【详解】解：健美操队队员的平均年龄为13×3+14×5+15×210=13.9（岁），
故答案为：13.9岁．
【点睛】本题主要考查平均数，熟练掌握求一组数据的平均数是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）在2，4，6，8中再添加一个数，使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据平均数的公式求出数据2，4，6，8的平均数，根据题意可知添加的一个数据是平均数，从而求解．
【详解】解：∵2+4+6+84=5，
∴添加的数为5，
【点睛】此题考查了算术平均数，解题的关键是理解平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．
【变式1-3】（2023秋·贵州贵阳·八年级统考期末）某学校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占10%，期中成绩占30%，期末成绩占60%，李明的平时、期中、期末成绩分别为90分，90分，80分，则李明本学期的学业成绩为（ ）
A．90分B．88分C．86分D．84分
【答案】D
【分析】根据加权平均数的计算方法计算即可．
【详解】解：李明本学期的学业成绩为：
90×10%+90×30%+80×60%=84，
故选D．
【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
【题型2 根据平均数求参数的值】
【例2】（2023春·湖北宜昌·八年级统考期末）国家统计局2022年6月10日公布了2022年1至5月全国居民消费价格指数上涨为1.5%，其中城市上涨1.6%，农村上涨1.2%，请问在全国居民消费价格指数构成中，城市的权重为 ．（百分比）
【答案】75％
【分析】根据城市上涨1.6%，农村上涨1.2%可得相应方程，列式计算即可．
【详解】解：设城市的权重为x，
根据题意得：1.6%+1.2%1−x=1.5%
故答案为：75％．
【点睛】本题考查权重的意义，根据权重的意义列式计算是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）若n个数的平均数是2n，则这n个数的总和为 ．
【答案】2n2
【分析】根据数据总和=平均数×数据的个数，即可求解．
【详解】解：若n个数的平均数是2n，则这n个数的总和为2n×n=2n2；
故答案为：2n2．
【点睛】此题考查了平均数，关键是要掌握平均数的计算方法．
【变式2-2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，x，3，5的平均数是x−1，则这组数据的平均数为 ．
【答案】114
【分析】根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出x即得答案．
【详解】解：∵数据0，2，x，3，5的平均数是x−1，
∴0+2+x+3+55=x−1，
解得：x=154，
∴这组数据的平均数为154−1=114；
故答案为：114．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．
【变式2-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）已知A组的数据2，3，0，x，y的平均数为0，B组数据1，2，−y，2x，0的平均数为1，现将A、B两组数据合成一组数据C，求C组数据的平均数和方差．
【答案】A组数据的平均数为12，方差为5.225
【分析】计算A组数据和B组数据的和，再除以10，即可求出C组数据的平均数； 根据平均数的定义，求出x和y的值，最后根据方差的定义 ，即可求出C组数据的方差．
【详解】解：根据题意可得：
C组数据的平均数为：0×5+1×510=12，
∴2+3+0+x+y+1+2−y+2x+010=8+3x10=12，
解得：x=−1，
∵A组数据平均数为0，
∴2+3+0+x+y5=4+y5=0，
解得：y=−4，
∴C组数据的方差=1102−122+3−122+0−122+−1−122+−4−122+1−122+2−122+4−122+−2−122+0−122
=5.225．
【点睛】本题主要考查了平均数和方程，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义以及求法．
【知识点2 众数与中位数】
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
【题型3 求一组数据的中位数、众数】
【例3】（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）某小组6名同学积极参加班级组织的为灾区捐款活动，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，30，50，50，40，70．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．40，50B．45，50C．50，50D．50，70
【答案】A
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为：30，40，50，50，50，70，
最中间两个数的平均数是(50+50)÷2=50，
则中位数是50；
50出现了3次，出现的次数最多，则众数是50；
【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【变式3-1】（2023春·云南红河·八年级统考期末）某市五月连续10天的最高气温统计如下：
则最高气温的中位数和众数分别是（ ）．
A．28°C，29°CB．29°C，28°CC．28.5°C，28°CD．29°C，29°C
【答案】D
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数就是出现次数最多的数据，由此即可得到答案．
【详解】解：由表格可得：
29°C出现的次数最多，有4次，故最高气温的中位数是29°C，
将10个数据按从小到大排列为：27°C、27°C、28°C、28°C、29°C、29°C、29°C、29°C、30°C、31°C，
处在最中间的两个数据为29°C、29°C，
故中位数为：29°C+29°C2=29°C，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数和众数的定义是解此题的关键．
【变式3-2】（2023秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）一次团史知识竞赛，某小组6名同学的成绩统计如图（有三个数据被遮盖），则众数与中位数是（ ）
A．81，81B．80，81C．81，80.5D．80，81.5
【答案】A
【分析】根据平均数的意义求出C的得分，再根据中位数、众数的意义求解即可．
【详解】解：C的得分为：80×6−77−81−80−82−79=81，
这组数据中出现次数最多的是81，共出现2次，因此众数是81，
将这组数据从小到大排列，中位数的第3、第4个数的平均数，
则中位数是80+812=80.5；
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数，理解平均数、众数、中位数的意义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
【变式3-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，那么构成的这组数据的众数和中位数是（ ）
A．6，8B．8，6C．6，6D．8，7
【答案】B
【分析】根据平均数的计算公式可得∶a+2b=32−3−5，a+b=24−6，解方程组可得a=8b=4，根据众数是一组数据中出现次数最多，中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，最中间的数或最中间两个数的平均数，进行求解．
【详解】解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴a+2b=24−3−5a+b=18−6，
解得∶a=8b=4，
若将这两组数据合并一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，
一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6，
8出现了3次，最多，即众数为8．
【点睛】本题主要考查平均数的计算公式和众数，中位数的概念，解决本题的关键是要熟练掌握平均数的计算公式和众数，中位数的概念．
【题型4 根据中位数、众数求参数的值】
【例4】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）七名同学某月阅读课外书的数量分别是6，3，3，4，5，4，3（单位：本），小明该月阅读了x本课外书，将x添加到前面这组数据后，这列数的中位数不变，则x可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，4，5，6，则中位数为4，
∵增加一个数x后，这列数的中位数仍不变，
则这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，x，4，5，6，或3，3，3，x，4，4，5，6，
∴ 4+ x2=4，
解得x=4．
故选：D．
【点睛】本题考查中位数，理解中位数的意义是正确解答的前提，将一组数据从小到大排序找出中间位置的一个数或两个数的平均数是解决问题的关键．
【变式4-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）五名同学进行投篮练习，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到5个数据，若这5个数据的中位数是6，唯一众数是7.设另外两个数据分别是a，b，则a+b的值不可能是（ ）
A．1B．5C．9D．10
【答案】D
【分析】根据题意，a，b一定是小于6的非负整数，且不相等，由此判断即可．
【详解】解：∵中位数是6，唯一众数是7，
∴两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，
∴两个较小的数最大为4和5，
∴a+b的值不可能是10．
故选D．
【点睛】本题考查利用中位数和众数求未知数据，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
【变式4-2】（2023秋·广东深圳·八年级校考期中）有一个数据样本为：3，4，5，5，a，b，c，已知这个样本的众数为4，则这组数据的中位数为 ．
【答案】4
【分析】根据众数的定义可知a，b，c中有2个4，或3个都为4，不能是5，据此即可求解．
【详解】解：众数的定义可知a，b，c中有2个4，或3个都为4，
设a=b=4，c≠5，
则c≤4或c>5，
∴这组数据为3，c，a，b，4，5，5，或3，a，b，4，5，5，c，
则中位数为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了众数的定义，中位数的定义，掌握中位数与众数的定义是解题的关键．
【变式4-3】（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）当五个整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个整数的和最大可能是（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】A
【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案．
【详解】解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是8，这组数据的唯一众数是10．
所以这5个数据分别是x，y，8，10，10，且x当这5个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时x=6，y=7，
所以这组数据可能的最大的和是6+7+8+10+10=41．
【点睛】主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
【题型5 根据中位数、众数解决实际问题】
【例5】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（ ）
A．40%B．56%C．60%D．62%
【答案】B
【分析】根据题意可得最大的三个数的和是6+7+7=20，再求出这五个数据另外2个数的和的取值范围，再写出五个学生投中的次数可能的一组数即可．
【详解】解：∵中位数是6，唯一众数是7，
∴最大的三个数的和是：6+7+7=20，
则另外两个数中，最大也只能为5，最小也只能为0，且不重复
∴另外2个数的和<10或另外2个数的和>0，
∴五个学生投中的次数的和<30或五个学生投中的次数的和>20，
∴他们投中次数占投篮总次数的百分率<3050=60%或>2050=40%，
∴他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是56%，
【点睛】此题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2−y之值为 ．
【答案】57
【分析】由于全班共有38人，则x+y=38-（2+3+5+6+3+4）=15，结合众数为50分，中位数为60分，分情况讨论即可确定x、y之值，从而求出x2-y之值．
【详解】∵全班共有38人，
∴x+y=38-（2+3+5+6+3+4）=15，
又∵众数为50分，
∴x>6，x>y，
∴x≥8，
当x=8时，y=7，中位数是第19、20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意；
当x=9时，y=6，中位数是第19、20两个数的平均数，则中位数为（50+60）÷2=55分，不符合题意；
同理当x=10，11，12，13，14，15时，中位数都不等于60分，不符合题意．
∴x=8，y=7．
∴x2-y=64-7=57．
故答案为57．
【点睛】本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定x、y之值．
【变式5-2】（2023春·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考期末）小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（ ）
A．5小时B．8小时C．5或8小时D．5或8或10小时
【答案】A
【分析】利用众数及中位数的定义解答即可．
【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4,4,5,8,10，众数为4，中位数为5，不合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4,5,5,8,10，众数为5，中位数为5，符合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4,5,8,8,10，众数为8，中位数为8，符合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4,5,8,10,10，众数为10，中位数为8，不合题意；故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时．故答案为C．
【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，解题的关键是根申请题意，并结合题意分类讨论解答．
【变式5-3】（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）为了弘扬中华民族传统文化，八年级（1）班12月份开展诵读经典名著活动．全班27名学生该月阅读经典名著数量的条形统计图如图所示，但被撕了一块儿．已知该月阅读经典名著数量的中位数是4本，则下列哪一选项中的人数是无法确定的？（ ）
A．3本以下B．4本以下C．5本以下D．6本以下
【答案】A
【分析】根据题意可得阅读经典名著3本以下的人数为7，再由中位数为4本，可得阅读经典名著4本以下的人数，从而得到阅读经典名著6本以下的人数，即可求解．
【详解】解：阅读经典名著3本以下的人数为3+4=7．
∵中位数为4本，该班共有27人，
∴将阅读经典名著的数量按从小到大的顺序排列后，第14个数据为4本，
结合统计图得：阅读经典名著4本以下的人数为3+4+6=13．
∴阅读经典名著6本以下的人数为27−2=25．
阅读经典名著5本以下的人数无法确定，
故选C．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，中位数的意义，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键．
【知识点3 方差】
方差：
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
【题型6 根据方差求值】
【例6】（2023春·河北沧州·八年级统考期末）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据25，26，27，28，29的方差相等，则x的值为( )
A．1B．6C．1或6D．5或6
【答案】A
【分析】先求出数据25，26，27，28，29的方差，再求出数据2，3，4，5，x的方差，可得到关于x的方程，即可求解．
【详解】解：数据25，26，27，28，29的平均数为：1525+26+27+28+29=27，
∴该组数据的方差为1525−272+26−272+27−272+28−272+29−272=2，
数据2，3，4，5，x的平均数为152+3+4+5+x=14+x5，
∴该组数据的方差为152−14+x52+3−14+x52+4−14+x52+5−14+x52+x−14+x52，
∵两组数据的方差相同，
∴152−14+x52+3−14+x52+4−14+x52+5−14+x52+x−14+x52=2，
解得：x=1或6．
故选C．
【点睛】本题主要考查了方差，熟练掌握方差的求法是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋·河北张家口·八年级张家口市实验中学校考期末）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式s2=2−x2+(3−x)2+(3−x)2+(4−x)2n，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4B．样本的中位数是3C．样本的众数是3D．样本的平均数是3.5
【答案】D
【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得．
【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为2,3,3,4
则样本的容量是4，选项A正确
样本的中位数是3+32=3，选项B正确
样本的众数是3，选项C正确
样本的平均数是2+3+3+44=3，选项D错误
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键．
【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，则a= ，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的方差为 ．
【答案】 8 267
【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后根据方差公式即可求出结果．
【详解】解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴ a+2b=24−3−5a+b=18−6，
解得a=8，b=4，
则新数据3，8，8，5，8，6，4，
∴方差为17×[3−62+3×8−62+5−62+6−62+4−62]=267．
故答案为：8，267．
【点睛】此题考查了平均数和方差，掌握方差公式和平均数公式是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：

已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则x＝ ．
【答案】46或56
【分析】根据数据x1，x2，…，xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同这个结论即可解决问题．
【详解】解：∵这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，
∴数据174，176，178，180，182都减去128后为：46，48，50，52，54，
数据174，176，178，180，182都减去126后为：48，50，52，54，56，
即这组数据可能是46，48，50，52，54或48，50，52，54，56，
∴x=46或56，
故答案为：46或56．
【点睛】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据x1，x2，…，xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同解决问题，属于中考常考题型．
【题型7 根据方差判断稳定性】
【例7】（2023春·浙江衢州·八年级统考期末）如图是我市某天早上和晚上各四个整点时的气温折线统计图．请根据统计图判断该天早上和晚上的气温更稳定的是 ．（填“早上”“晚上”）
【答案】晚上
【分析】方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
【详解】解：x早上＝（18+19+21+22）÷4＝20，
x晚上＝（22+20+20+18）÷4＝20，
S早上2＝[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]÷4＝2.5，
S晚上2＝[（22﹣20）2+（20﹣20）2+（20﹣20）2+（18﹣20）2]÷4＝2，
∵S早上2＞S晚上2，
∴晚上的气温更稳定．
故答案为：晚上．
【点睛】本题主要考查了方差的计算方法，方差是各变量值与其平均值的差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．
【变式7-1】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图是甲，乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．根据统计图可知甲，乙平均成绩均为8.5环，则甲，乙的10次射击成绩的方差S甲2，S乙2的大小关系是 ．

【答案】S甲2>S乙2
【分析】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差公式计算即可．
【详解】解：由图可知，
甲的成绩为8、9、7、8、10、7、9、10、7、10，
乙的成绩为7、7、8、9、8、9、10、9、9、9
S甲2=1103×7−8.52+2×8−8.52+2×9−8.52+3×10−8.52=1.45，
S乙2=1102×7−8.52+2×8−8.52+5×9−8.52+10−8.52=0.45，
∴S甲2>S乙2，
故填：S甲2>S乙2．
【点睛】本题考查方差的计算，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·北京·八年级统考期末）2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：

根据统计图提供的信息，有下列三个结论：①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为s12，中旬(11日至20日)的最高气温的方差为s22，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为s32，则s22【答案】①③/③①
【分析】①根据折线统计图提供的数据作答即可；
②根据折线统计图提供的数据作答即可；
③根据方差的意义作答即可．
【详解】解：①由图可知，4月4日的最高气温在4月是最低的，所以若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位．故本结论正确，符合题意；
②由图可知，所以4月7日到4月8日气温上升幅度约为20−1515×100%≈33.3%，4月24日到4月25日气温上升幅度约为22−1515×100%≈46.7%，所以4月7日到4月8日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，不符合题意；
③由图可知，4月上旬(1日至10日）的最高气温在11°C至27°C徘徊，中旬(11日至20日）的最高气温在19°C至28°C徘徊，下旬(21日至30日）的最高气温在15°C至26°C徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬气温波动最小，下旬气温波动在上旬与中旬之间，所以s22故答案为：①③．
【点睛】本题考查的是折线统计图和方差．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【变式7-3】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μml⋅m−2⋅s−1），结果统计如下：
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】乙
【分析】直接利用方差公式，进而计算得出答案．
【详解】解∶甲的方差为∶S甲2=15(35−25)2+(30−25)2+(23−25)2+(17−25)2+(20−25)2=43.6；
乙的方差为∶S乙2=15(27−25)2+(25−25)2+(26−25)2+(24−25)2+(23−25)2=2．
∵43.6>2，
∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙．
故答案为∶乙．
【点睛】此题考查了方差、平均数，一般地设n个数据，x1,x2,…xn的平均数为x，则方差S2=1nx1−x2+x2−x2+…+ xn−x2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【题型8 四种统计量的选择】
【例8】（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）为庆祝神舟十六号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示，若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据平均数和方差进行比较，即可得到答案．
【详解】解：∵甲、丙同学的平均数比乙、丁同学的平均数大，
∴应从甲和丙同学中选，
∵甲同学的方差比丙同学的小，
∴甲同学成绩好且状态稳定，应选甲同学，
【点睛】本题考查了利用平均数和方差作决策，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【变式8-1】（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）奥林匹克官方旗舰店最近一段时间各款“冰墩墩”销售记录如下表，厂家决定多生产20cm高的“冰墩墩”，依据的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【答案】B
【分析】根据题意以及众数定义判断即可.
【详解】解:根据题意可知，购买20cm高的“冰墩墩”的人数最多，厂家决定多生产20cm高的“冰墩墩”，由此可知影响生产决策的统计量是众数，
故选：B.
【点睛】本题主要考查运用众数做决策，明确题意，熟知众数的定义是解题的关键.
【变式8-2】（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）某校欲招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表：
根据面试成绩和笔试成绩分别赋予6和4的权后的平均成绩进行录用，学校将录用（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出三人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出谁将被学校录取．
【详解】甲的平均成绩=90×4+86×66+4=87.6（分），
乙的平均成绩=83×4+92×66+4=88.4（分），
丙的平均成绩=83×4+90×66+4=87.2（分），
丁的平均成绩=92×4+83×66+4=86.6（分）
∵88.4>87.6>87.2>86.6，
∴乙的平均成绩最高，
∴学校将录用乙．
【点睛】本题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
【变式8-3】（2023春·山东德州·八年级统考期末）在庆祝中国共产党成立一百周年的校园歌唱比赛中，7名同学的成绩各不相同．按照成绩取前3名进入决赛，如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这7名同学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】B
【分析】由于比赛取前3名参加决赛，共有7名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】解：7个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了，
【点睛】本题主要考查中位数的意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
【题型9 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】
【例9】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）已知数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2，方差是3，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的平均数和方差分别是 ， ．
【答案】 5 12
【分析】根据平均数和方差的计算公式分别求解即可得到答案．
【详解】解：∵数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2，方差是3，
∴x=15x1+x2+x3+x4+x5=2；s2=15x1−x2+x2−x2+x3−x2+x4−x2+x5−x2
=15x1−22+x2−22+x3−22+x4−22+x5−22=3，
∴ 2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的平均数为152x1+1+2x2+1+2x3+1+2x4+1+2x5+1
=152x1+x2+x3+x4+x5+5
=2×15x1+x2+x3+x4+x5+15×5
=5；
2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的方差为152x1+1−52+2x2+1−52+2x3+1−52+2x4+1−52+2x5+1−52
=152x1−42+2x2−42+2x3−42+2x4−42+2x5−42
=154x1−22+4x2−22+4x3−22+4x4−22+4x5−22
=4×15x1−22+x2−22+x3−22+x4−22+x5−22
=4×3
=12，
故答案为：5；12．
【点睛】本题考查求平均数与方差，熟记求平均数与方差的公式是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023秋·山东烟台·八年级统考期中）将一组数据中的每一数减去40后，所得新的一组数据的平均数是2，则原来那组数据的平均数 ．
【答案】42
【分析】根据所有数据均减去40后平均数也减去40，从而得出答案．
【详解】解：一组数据中的每一个数减去40后的平均数是2，则原数据的平均数是42；
故答案为：42．
【点睛】本题考查了算术平均数，解决本题的关键是牢记“一组数据减去同一个数后，平均数也减去这个数”．
【变式9-2】（2023春·广西玉林·八年级统考期末）已知：x1，x2，的平均数是a,x11，x12，的平均数是b,则x1，x2，的平均数是（ ）
A．a＋bB．a+b2C．10a+50b60D．10a+40b50
【答案】D
【分析】根据平均数及加权平均数的定义解答即可.
【详解】∵x1，x2，的平均数是a，x11，x12，的平均数是b,
∴x1，x2，的平均数是：10a+40b10+40=10a+40b50.
故选D.
【点睛】本题考查了平均数及加权平均数的求法，熟练运用平均数及加权平均数的定义求解是解决问题的关键．
【变式9-3】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知数据x1，x2，⋯，xn的平均数为m，方差为s2，则数据kx1+b，kx2+b，⋯，kxn+b的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ．
【答案】 km+b k2s2 ks
【分析】根据平均数、方差、标准差的定义列式计算即可．
【详解】∵数据x1，x2，⋯，xn的平均数为m，方差为s2，
∴x1+x2+...+xnn=m，s2=1n[(x1−m)2+(x2−m)2+...+(xn−m)2]，
∵kx1+b+kx2+b+...+kxn+bn=k(x1+x2+...+xn)n+nbn=km+b，
∴数据kx1+b，kx2+b，⋯，kxn+b的平均数为km+b，
∵1n[(kx1+b−km−b)2+(kx2+b−km−b)2+...+(kxn+b−km−b)2]
=1n[(kx1−km)2+(kx2−km)2+...+(kxn−km)2]
=1n[k2(x1−m)2+k2(x2−m)2+...+k2(xn−m)2]
=k2s2
∴数据kx1+b，kx2+b，⋯，kxn+b的方差为k2s2，标准差为k2s2=ks．
故答案为km+b；k2s2；ks．
【点睛】本题考查了平均数、方差、标准差，熟记平均数、方差、标准差的定义是解题的关键
【题型10 统计量的综合应用】
【例10】（2023秋·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）五一放假前，我市某中学举行了“喜迎二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七．八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理．描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x<85；B.85≤x<90；C.90≤x<95；D.95≤x<100．
八年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定．
(2)直接写出图表中a，b，c的值：a= ，b= ，c= •
(3)该校八年级共180人参加了此次竞赛活动，估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【答案】(1)八
(2)40，93，96
(3)估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是126人
【分析】（1）从方差的角度分析即可，方差小者稳定；
（2）先求出八年级学生成绩落在C组人数所占百分比，进而可求出a，再根据中位数和众数的概念即可求出b、c，
（3）利用样本估计总体的思想解答．
【详解】（1）∵八年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差小于八年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%=30%，
∴a%=1−（20%+10%+30%）=40%，即a=40；
将八年级成绩重新排列为：80，82，86，89，90，96，96，96，99，100，
则这组数据的中位数b=90+962=93，c=96，
故答案为：40，93，96；
（3）180×（1−20%−10%）=126（人），
答：估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是126人．
【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差以及利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：

b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是哪一位？
(3)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对谁的评价更一致？
【答案】(1)m=8.6
(2)丙同学表现最优秀，理由见解析
(3)评委对甲同学的评价更一致，理由见解析
【分析】（1）根据平均数计算公式列式计算，即可得到答案；
（2）根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的平均数进行比较，即可得到答案；
（3）根据方差公式分别求出甲、乙两位同学的方差进行比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：丙同学得分的平均数为10+10+10+9+9+8+3+9+8+1010=8.6，
∴m=8.6；
（2）解：由题意得：x甲=8+8+9+7+9+9+9+108=8.625，
x乙=7+10+7+9+10+7+9+108=8.625，
x丙=10+10+10+9+9+8+9+88=9.125，
∵x甲=x乙∴丙同学表现最优秀；
（3）解：S甲2=8−8.62×2+9−8.62×4+10−8.62×2+7−8.62×210=1.04，
S乙2=7−8.62×4+9−8.62×2+10−8.62×410=1.84，
∵S甲2∴评委对甲的评价更一致．
【点睛】本题考查了平均数，方差，熟练掌握相关计算公式是解题关键．
【变式10-2】（2023秋·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）某学校在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试．整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图：
其中最低分为76分，满分率为5%，C组成绩为89，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87，回答下列问题：
(1)学校共抽取了__________名同学进行测试，他们的成绩众数为__________；
(2)其中频数分布表中a=__________，b=__________，并补全频数分布直方图；
(3)若成绩大于85分为优秀，估计该校八年级1500名学生中，达到优秀等级的人数．
【答案】(1)40、89
(2)8,0.1
(3)975人
【分析】（1）根据频数分布表中C组频数和频率可得学校共抽取的人数，再将C组成绩从低到高排列后即可得众数；
（2）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校八年级1500名学生中，达到优秀等级的人数．
【详解】（1）解：根据题意可知：16÷0.4=40，所以学校共抽取了40名同学进行测试，因为C组有16人，成绩从低到高为：86,86,8 7,88,88,88,89,89,89,89,89,89,8 9,89,89,90，众数为89；
故答案为：40、89；
（2）a=40×0.2=8,b=4÷40=0.1，如图即为补全的频数分布直方图，
故答案为：8,0.1;

（3）0.65×1500=975人．
答：该校八年级1500名学生中，达到优秀等级的约有975人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数、众数，解决本题的关键是掌握频数分布直方图．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级校考期中）西安高新一中初中校区八年级有2000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ；
（Ⅱ）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计我校八年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
【答案】（Ⅰ）50，28；（Ⅱ）平均数为10.66，众数是12分，中位数是11分；（Ⅲ）1200
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m的值；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据，可以得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据条形统计图中的数据，可以计算出我校八年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人．
【详解】解：（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为4+5+11+14+16＝50，
m%＝1450×100%＝28%，
故答案为：50，28；
（Ⅱ）平均数x=8×4+9×5+10×11+11×14+12×1650=10.66（分），
众数是12分，中位数是（11+11）÷2＝11（分）；
（Ⅲ）2000×14+1650＝1200（人），
答：我校八年级模拟体测中不低于11分的学生约有1200人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【题型11 从统计图分析数据的集中趋势和离散程度】
【例11】（2023下·河南洛阳·八年级统考期末）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名运动员每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记I分．
运动员甲测试成绩表
（1）写出运动员甲测试成绩的众数为(分)运动员乙测试成绩的中位数为(分)；运动员丙测试成绩的平均数为(分)；
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手参加比赛，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：运动员甲、乙成绩的平均数为x甲=x乙=7，三人成绩的方差分别为s甲2=0.8、s乙2=0.4、s丙2=0.8
【答案】（1）7，7，6.3；（2）乙，理由见解析.
【分析】（1）观察图表可知众数和中位数，结合公式计算可得平均数；
（2）由题中中位数、众数、平均数和方差综合判断；
【详解】解：（1）甲运动员测试成绩的众数是7分，
乙运动员测试成绩的中位数为：7分，
运动员丙测试成绩的平均数为：2×5+4×6+3×7+1×82+4+3+1=6.3分，
故答案为：7，7，6.3；
（2）∵甲、乙、丙三人的众数为7；7；6，
甲、乙、丙三人的中位数为7；7；6，
甲、乙、丙三人的平均数为7；7；6.3，
∴甲、乙较丙优秀一些，
∵S甲2＞S乙2
∴选乙运动员更合适．
【点睛】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．
【变式11-1】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）甲、乙两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示．
（1）请你根据图中的数据填写表格：
（2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些？从发展趋势来看，谁的成绩好些．
【答案】乙的成绩好些．
【详解】试题分析：（1）直接结合图中数据结合平均数以及方差求法分别得出答案；
（2）利用方差反映数据稳定性平均数是反映整体的平均水平进而分析得出答案．
试题解析：（1）如图所示：甲的平均数为：12（7+8+9+8+8）=8，
S2甲=15 [（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2]
=0.4；
由图中数据可得：乙组数据为8，
（2）从平均数和方差相结合看，甲的成绩好些，从发展趋势来看，乙的成绩好些．
考点：方差；折线统计图；算术平均数．
【变式11-2】（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）为了让同学们了解自己的体育水平，初三1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）整理班级成绩得如下表格：
则a=__________，b=__________，c=__________．
（2）请你从平均数、中位数、众数的角度进行分析，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些．
【答案】（1）7.9，8，7；（2）女生队，理由见解析
【分析】（1）利用加权平均数求a=7.9，利用中位数定义中间位置的测试成绩，把中位数位置化为百分比为1325×100%=52%，可确定中位数在8分这组，男生测试成绩中重复次数最多的是7分；
（2）从平均分，众数，中位数，进行比较即可．
【详解】（1）a=1205×1+6×2+7×6+8×3+9×5+10×3=15820=7.9，
∵男生共20人，女生=45-20=25人，根据中位数定义，知中位数位于25+12=13，化为百分比为1325×100%=52%，
由扇形图6分16%，7分16%，8分28%，16%+16%=32%<52%，
16%+16%+28%=60%>52%，
∴中位数在8分这组，
∴b=8，
男生测试成绩中重复次数最多的是7分，
所以男生众数为7分，
∴c=7，
（2）从平均分看，女生队的平均分较高，成绩较好；女生队的众数较高为8分，中位数也是8分，而男生众数为7低于中位数8，所以女生队的测试成绩高分较多，因此女生队较好．
【点睛】本题考查平均数，中位数，众数的求法，利用平均数，中位数，众数进行决策，掌握三者的概念，会利用平均数，中位数，众数进行决策是解题关键．
【变式11-3】（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现将八年级1班和2班的成绩整理如下：
气温
27°C
28°C
29°C
30°C
31°C
天数
2
2
4
1
1
组员
A
B
C
D
E
F
平均成绩
众数
中位数
得分
77
81
■
80
82
79
80
■
■
成绩（分）
20
30
40
50
60
70
80
90
次数（人）
2
3
5
x
6
y
3
4
品种
第一株
第二株
第三株
第四株
第五株
平均数
甲
35
30
23
17
20
25
乙
27
25
26
24
23
25
甲
乙
丙
丁
平均数
98
96
98
95
方差
0.4
2
1.6
0.4
“冰墩墩”高度（cm）
15
20
22
25
销量（个）
56
87
67
68
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
92
b
c
52
八年级
92
93
100
50.4
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
成绩（分）
频数
频率
A组：756
0.15
B组：80a
0.2
C组：8516
0.4
D组：906
0.15
E组：954
b
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
7
7
5
8
7
8
7
姓名
平均数
众数
方差
甲
8
乙
8
2.8
姓名
平均数
众数
方差
甲
8
8
0.4
乙
8
8
2.8
平均分
中位数
众数
男生
a
8
c
女生
7.92
b
8