苏科版八年级数学上册专题6.1线段、射线、直线【八大题型】同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题6.1线段、射线、直线【八大题型】同步练习(学生版+解析)，共31页。


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\l "_Tc19705" 【题型1 线段、射线、直线的联系与区别】 PAGEREF _Tc19705 \h 1
\l "_Tc6694" 【题型2 画出线段、射线、直线】 PAGEREF _Tc6694 \h 2
\l "_Tc13405" 【题型3 点与线的位置关系】 PAGEREF _Tc13405 \h 3
\l "_Tc11950" 【题型4 线段、射线、直线的数量问题】 PAGEREF _Tc11950 \h 4
\l "_Tc14920" 【题型5 直线相交的交点个数】 PAGEREF _Tc14920 \h 5
\l "_Tc26504" 【题型6 两点确定一条直线】 PAGEREF _Tc26504 \h 6
\l "_Tc28821" 【题型7 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc28821 \h 7
\l "_Tc24627" 【题型8 最短路径问题】 PAGEREF _Tc24627 \h 8
【知识点 线段、射线、直线】
【题型1 线段、射线、直线的联系与区别】
【例1】（2023秋·河北承德·七年级统考期中）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（ ）

A．如图1所示，直线a和直线b相交于点A
B．如图2所示，延长线段BA到点C
C．如图3所示，射线BC不经过点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB会有交点
【变式1-1】（2023秋·甘肃平凉·七年级统考期末）手电筒射出去的光线，给我们的印象是（ ）
A．直线B．射线C．线段D．折线
【变式1-2】（2023秋·四川成都·七年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．延长直线AB
B．反向延长射线AB
C．线段AB与线段BA不是同一条线段
D．射线AB与射线BA是同一条射线
【变式1-3】（2023秋·河北承德·七年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．画一条2厘米长的射线B．画一条2厘米长的直线
C．画一条3厘米长的线段D．在线段、射线、直线中，直线最长
【题型2 画出线段、射线、直线】
【例2】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）如图，在平面内有A，B，C三点．

(1)画直线AC，射线AB；
(2)在线段BC上任取一点D（不同于点B，C），连接AD；
(3)数数看，此时图中线段共有_______条．
【变式2-1】（2023秋·贵州遵义·七年级统考期末）按照下面语句画图，并回答问题：

(1)画线段AB，画直线BC，画射线CA；
(2)作线段AB的中点M，在线段AC上任意取一点N（点N不与端点A，C重合），连接MN；
(3)通过测量发现“三角形ABC的周长大于四边形MBCN的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是______．
【变式2-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图：

(1)画直线AD，直线BC交于点E；
(2)画射线AB，射线DC交于点F；
(3)连接线段BD，并反向延长线段BD；
(4)连接线段EF交线段BD的反向延长线于点G．
【变式2-3】（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图，已知直线k和直线k外三点A、B、C，请按下列要求画图：

(1)画线段AB；
(2)画射线BC；
(3)在射线BC上取一点D，使得DC=BC；
(4)在直线k上确定点E，使得AE+EC最小．
【知识点2 点与直线的位置关系】
①点在直线上（或者直线经过点）； ②点在直线外（或者直线不经过点）.
【题型3 点与线的位置关系】
【例3】（2023春·黑龙江大庆·六年级统考期末）O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．O点在直线PQ外B．O点在直线PQ上
C．O点不能在直线PQ上D．O点可能在直线PQ上
【变式3-1】（2023秋·福建厦门·七年级厦门市第五中学校考期末）根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2023秋·河北保定·七年级校考期末）下列有4种A，B，C三点的位置关系，则点C在射线AB上的是( )
B．
C．D．
【变式3-3】（2023春·江苏南通·七年级统考期末）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域(不包含边界)，当点Q落在区域 时，线段PQ与线段AB相交(填写区域序号)．
【题型4 线段、射线、直线的数量问题】
【例4】（2023秋·重庆渝北·七年级统考期末）如图，小轩同学根据图形写出了四个结论：

①图中共有2条直线； ②图中共有7条射线；
③图中共有6条线段； ④图中射线BD与射线CD是同一条射线．
其中结论错误的是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④
【变式4-1】（2023秋·内蒙古通辽·七年级校考期末）如图，以点O为端点的射线有 条．
【变式4-2】（2023秋·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）如图，点A、B、C是直线l上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（ ）
A．1，2，3B．3，3，3C．1，3，6D．3，2，6
【变式4-3】（2023秋·全国·七年级期末）如图，设图中有a条射线，b条线段，则a+b= ．
【题型5 直线相交的交点个数】
【例5】（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）观察表格：
根据表格中的规律解答问题：
（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼．
【变式5-1】（2023春·湖北荆门·七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ）
A．1B．2C．3或2D．1或2或3
【变式5-2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 个部分．
【变式5-3】（2023·湖北鄂州·七年级校联考期末）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：
按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点．（n为正整数）
【知识点3 直线的性质】
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.
【题型6 两点确定一条直线】
【例6】（2023秋·浙江·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果在一条至少有两颗棋子的直线（包括图中没有画出的直线）上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．图中“同棋共线”的线共有（ ）
A．12条B．10条C．8条D．3条
【变式6-1】（2023秋·广东肇庆·七年级校联考期末）把一根木条固定在墙上，至少要钉 根钉子，根据是
【变式6-2】（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）如图，经过创平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式6-3】（2023秋·北京朝阳·七年级统考期末）有下列一些生活中的现象：
①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．
其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号）
【知识点4 线段的性质】
两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.
【题型7 两点之间线段最短】
【例7】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，一片树叶标本部分磨损，用剪刀剪下（虚线）磨损的部位，此时，原来树叶标本的周长变小，能解释这一现象的数学道理是 ．

【变式7-1】（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（ ）
A．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系
D．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
【变式7-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ．
【变式7-3】（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．
(1)分别连接AB、AD，作射线AC，作直线BD与射线AC相交于点O；
(2)判断AB+AD与BD的大小关系：AB+AD___________BD．（填“>”、“=”或“<”）理由是___________．
【题型8 最短路径问题】
【例8】（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，画法： ．
【变式8-1】（2023春·山东威海·六年级统考期末）如图，从A地到F地的最短路线是( )

A．A→E→FB．A→C→E→F
C．A→C→D→E→FD．A→B→C→D→E→F
【变式8-2】（2023·广东广州·七年级统考期末）如图所示的正方体中，Q，R，S是棱PB上的点，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是( )
A．PB．QC．RD．S
【变式8-3】（2023秋·陕西商洛·七年级统考期末）如图，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？说明理由．
专题6.1 线段、射线、直线【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19705" 【题型1 线段、射线、直线的联系与区别】 PAGEREF _Tc19705 \h 1
\l "_Tc6694" 【题型2 画出线段、射线、直线】 PAGEREF _Tc6694 \h 3
\l "_Tc13405" 【题型3 点与线的位置关系】 PAGEREF _Tc13405 \h 8
\l "_Tc11950" 【题型4 线段、射线、直线的数量问题】 PAGEREF _Tc11950 \h 10
\l "_Tc14920" 【题型5 直线相交的交点个数】 PAGEREF _Tc14920 \h 12
\l "_Tc26504" 【题型6 两点确定一条直线】 PAGEREF _Tc26504 \h 15
\l "_Tc28821" 【题型7 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc28821 \h 17
\l "_Tc24627" 【题型8 最短路径问题】 PAGEREF _Tc24627 \h 19
【知识点 线段、射线、直线】
【题型1 线段、射线、直线的联系与区别】
【例1】（2023秋·河北承德·七年级统考期中）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（ ）

A．如图1所示，直线a和直线b相交于点A
B．如图2所示，延长线段BA到点C
C．如图3所示，射线BC不经过点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB会有交点
【答案】B
【分析】根据线段、射线、直线的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、如图1所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；
B、如图2所示，延长线段BA到点C，则点C左侧就应该没有线了，故几何图形与相应语言描述不相符，符合题意，选项正确；
C、如图3所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；
D、如图4所示，射线CD和线段AB会有交点，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；
B
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质，熟练掌握和运用线段、射线、直线的性质是解决本题的关键．
【变式1-1】（2023秋·甘肃平凉·七年级统考期末）手电筒射出去的光线，给我们的印象是（ ）
A．直线B．射线C．线段D．折线
【答案】B
【分析】根据直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸即可解答．
【详解】解：手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故给我们的感觉是射线．
B．
【点睛】本题考查射线的定义，注意掌握射线的概念是关键．
【变式1-2】（2023秋·四川成都·七年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．延长直线AB
B．反向延长射线AB
C．线段AB与线段BA不是同一条线段
D．射线AB与射线BA是同一条射线
【答案】B
【分析】直接根据直线、线段、射线的基本定义求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、直线不能延长；故本选项错误；
B、反向延长射线AB；故本选项正确；
C、线段AB与线段BA是同一条线段；故本选项错误；
D、射线AB与射线BA不是同一条射线；故本选项错误．
B．
【点睛】此题考查了直线、射线以及线段的基本知识．注意熟记直线、射线以及线段的定义与表示方法是解此题的关键．
【变式1-3】（2023秋·河北承德·七年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．画一条2厘米长的射线B．画一条2厘米长的直线
C．画一条3厘米长的线段D．在线段、射线、直线中，直线最长
【答案】B
【分析】直线是向两端无线延长；射线是过一点朝着一个方向无线延长；直线上两点和它们之间的部分叫做线段，依据直线、射线、线段的概念，即可得出结论．
【详解】解：A．因为射线的长度无法度量，画一条2厘米长的射线说法错误，故本选项错误；
B．因为直线的长度无法度量，画一条2厘米长的直线说法错误，故本选项错误；
C．线段是直线上两点间的部分，可以度量，画一条3厘米长的线段说法正确，故本选项正确；
D．因为直线、射线无法度量，因此在线段、射线、直线中，直线最长说法错误故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，明确直线、射线、线段的区别是解决问题的关键．
【题型2 画出线段、射线、直线】
【例2】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）如图，在平面内有A，B，C三点．

(1)画直线AC，射线AB；
(2)在线段BC上任取一点D（不同于点B，C），连接AD；
(3)数数看，此时图中线段共有_______条．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)6
【分析】（1）按照题意要求作图即可；
（2）连接线段AD即可；
（3）根据线段的定义解答即可．
【详解】（1）直线AC，射线AB如图所示；

（2）如图，线段AD如图所示；
（3）图中的线段是：AC,AB,AD,CD,CB,DB，有6条．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的作图和线段的条数，属于基础题目，熟练掌握线段、直线、射线的基本知识是关键．
【变式2-1】（2023秋·贵州遵义·七年级统考期末）按照下面语句画图，并回答问题：

(1)画线段AB，画直线BC，画射线CA；
(2)作线段AB的中点M，在线段AC上任意取一点N（点N不与端点A，C重合），连接MN；
(3)通过测量发现“三角形ABC的周长大于四边形MBCN的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)两点之间线段最短
【分析】（1）根据线段、直线、射线的定义进行作图即可；
（2）根据题目要求作图即可；
（3）根据两点之间线段最短，得出三角形ABC的周长大于四边形MBCN的周长．
【详解】（1）解：如图，线段AB，直线BC，射线CA即为所求；

（2）解：点M、N，线段MN即为所求；

（3）解：通过测量发现“三角形ABC的周长大于四边形MBCN的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查了线段、射线、直线的定义和画法，解题的关键是熟练掌握线段、射线、直线的区别和联系．
【变式2-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图：

(1)画直线AD，直线BC交于点E；
(2)画射线AB，射线DC交于点F；
(3)连接线段BD，并反向延长线段BD；
(4)连接线段EF交线段BD的反向延长线于点G．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】（1）连接AD、BC，并向两端无限延伸即可得到直线AD，直线BC，记交点为点E；
（2）连接AB，并以A为端点向AB方向延长，连接DC，并以D为端点向DC方向延长，记交点为点F；
（3）连接BD，并以D为端点向DB方向延长即可；
（4）连接EF与线段BD的反向延长线于点G．
【详解】（1）解：如图所示：直线AD，直线BC，点E即为所作，
；
（2）解：如图所示：射线AB，射线DC，点F即为所作，
；
（3）解：如图，线段BD、射线DB即为所作，
；
（4）解：如图，线段EF，点G即为所作，
．
【点睛】本题考查了画出直线、射线、线段，熟练掌握直线、线段、射线的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图，已知直线k和直线k外三点A、B、C，请按下列要求画图：

(1)画线段AB；
(2)画射线BC；
(3)在射线BC上取一点D，使得DC=BC；
(4)在直线k上确定点E，使得AE+EC最小．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)见解析．
【分析】（1）连接点A，B，即可；
（2）根据射线的定义，作图即可；
（3）在BC的延长线上截取DC=BC，即可；
（4）连接AC交直线k于点E，即可．
【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求；
（2）解：如图，射线BC即为所求；
（3）解：如图，点D即为所求；
（4）解：如图，点E即为所求．

【点睛】本题考查了射线、线段的定义，线段最短等知识，熟悉相关知识点是解题关键．
【知识点2 点与直线的位置关系】
①点在直线上（或者直线经过点）； ②点在直线外（或者直线不经过点）.
【题型3 点与线的位置关系】
【例3】（2023春·黑龙江大庆·六年级统考期末）O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．O点在直线PQ外B．O点在直线PQ上
C．O点不能在直线PQ上D．O点可能在直线PQ上
【答案】A
【分析】根据O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，可得O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外，即可求解．
【详解】解：∵O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，
∴O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外．
D．
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握线段长度之间的关系，为了更好的判断可根据题意动手操作一下更明了．
【变式3-1】（2023秋·福建厦门·七年级厦门市第五中学校考期末）根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B”进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B，故本选项符合题意；
B．点C不在射线上，故本选项不合题意；
C．点C在直线AB上，故本选项不合题意；
D．图上不是射线BC而是射线CB，故本选项不合题意；
A．
【点睛】本题主要考查了直线以及射线的定义，根据题意作出图形是解题的关键．
【变式3-2】（2023秋·河北保定·七年级校考期末）下列有4种A，B，C三点的位置关系，则点C在射线AB上的是( )
B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据与射线AB是否经过点C，逐一判断．
【详解】A.点C在射线BA外，不符合题意；
B.点C在射线AB外，不符合题意；
C.点C在射线BA上，不符合题意；
D.点C在射线AB上，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了点与射线的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握点与射线的两种位置关系．
【变式3-3】（2023春·江苏南通·七年级统考期末）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域(不包含边界)，当点Q落在区域 时，线段PQ与线段AB相交(填写区域序号)．
【答案】②．
【分析】当点Q落在区域②时，线段PQ与线段AB有公共点，即可得到线段PQ与线段AB相交．
【详解】由图可得：当点Q落在区域②时，线段PQ与线段AB有公共点．
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
【题型4 线段、射线、直线的数量问题】
【例4】（2023秋·重庆渝北·七年级统考期末）如图，小轩同学根据图形写出了四个结论：

①图中共有2条直线； ②图中共有7条射线；
③图中共有6条线段； ④图中射线BD与射线CD是同一条射线．
其中结论错误的是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】A
【分析】根据直线、线段、射线的区别逐项分析判断即可．
【详解】解：①图中只有1条直线BD，故错误；
②以B、C为端点可以各引出两条射线，以D为端点可以引出3条射线，以A端点可以引出1条射线，则图中共有2×2+3+1=8条射线，故错误；
③图中共有6条线段，即线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，故正确；
④图中射线BD与射线CD不是同一条射线，故错误；
∴错误的有①②④，
D．
【点睛】本题考查了直线、线段、射线的区别与联系，理解三者的区别是解题的关键．
【变式4-1】（2023秋·内蒙古通辽·七年级校考期末）如图，以点O为端点的射线有 条．
【答案】4
【分析】根据射线的定义，进行作答即可．
【详解】解：以点O为端点的射线有：射线OA,OD,OB,OC，共4条；
故答案为：4．
【点睛】本题考查射线．熟练掌握射线的定义：直线上一点及其一旁的部分，是解题的关键．
【变式4-2】（2023秋·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）如图，点A、B、C是直线l上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（ ）
A．1，2，3B．3，3，3C．1，3，6D．3，2，6
【答案】B
【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可．
【详解】解：根据两点确定一条直线，知道图中只有1条直线，
图中的线段有AB，AC，BC，共3条，
以点A、B、C分别为端点的射线，共6条，
C
【点睛】本题考查了直线的性质，直线、射线、线段，在数线段的时候，按照顺序数，要做到不重不漏．
【变式4-3】（2023秋·全国·七年级期末）如图，设图中有a条射线，b条线段，则a+b= ．
【答案】12
【分析】根据射线与线段的概念可得a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：根据图可知，共有6条射线，6条线段，即a=6，b=6，
∴a+b=6+6=12．
故答案为：12．
【点睛】此题考查的是射线与线段的概念，解题关键是掌握射线和线段的概念和性质是关键．
【题型5 直线相交的交点个数】
【例5】（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）观察表格：
根据表格中的规律解答问题：
（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼．
【答案】（1）10，16；（2）12n(n﹣1)；1+12n(n+1)；（3）56
【分析】（1）总结规律，根据规律求解；
（2）根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：12n(n﹣1)；n条直线两两相交，平面被分成1+12n(n+1)块；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【详解】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；
故答案为：10，16；
（2）2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2＝3个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点；
5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝12n(n﹣1)；
平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+12n(n+1)；
故答案为：12n(n﹣1)；1+12n(n+1)；
（3）当n＝10时，1+12nn+1=1+12×10×10+1=56（块），
故答案为：56
【点睛】本题考查了直线的交点，规律探索问题以及代数式求值，根据表格找出规律是解题的关键.
【变式5-1】（2023春·湖北荆门·七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ）
A．1B．2C．3或2D．1或2或3
【答案】A
【分析】本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点．
【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1；
当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2；
当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；
故选D．
【点睛】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题.
【变式5-2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 个部分．
【答案】8或9．
【分析】根据题意画出图形即可．
【详解】如图，
或
所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 8或9个部分．
故答案为：8或9．
【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题．
【变式5-3】（2023·湖北鄂州·七年级校联考期末）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：
按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点．（n为正整数）
【答案】 15, n(n−1)2
【分析】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）．
【详解】6条直线相交，最多有个交点1+2+3+4+5=15；
n条直线相交，最多有1+2+3+（n-1）＝n(n−1)2.
故答案是：15，n(n−1)2.
【点睛】考查了直线，每两条直线有一个交点得出n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）是解题关键.
【知识点3 直线的性质】
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.
【题型6 两点确定一条直线】
【例6】（2023秋·浙江·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果在一条至少有两颗棋子的直线（包括图中没有画出的直线）上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．图中“同棋共线”的线共有（ ）
A．12条B．10条C．8条D．3条
【答案】B
【分析】把问题转化两白棋子共线和两黑棋子共线两种情形求解即可．
【详解】结合图形，从横行、纵行、斜行三个方面进行分析；一条直线上至少有两颗棋子并且颜色相同，如下，共有10条：
故选B．
【点睛】本题考查了新定义问题，准确理解新定义的内涵，并灵活运用分类的思想是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋·广东肇庆·七年级校联考期末）把一根木条固定在墙上，至少要钉 根钉子，根据是
【答案】 2 两点确定一条直线
【详解】考点：直线的性质：两点确定一条直线．
专题：常规题型．
分析：根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
解答：解：往墙上固定一根木条至少需要2个钉子，根据两点确定一条直线的数学原理．
故答案为2，两点确定一条直线．
点评：本题主要考查了两点确定一条直线的性质，熟记性质是解题的关键，是基础题，比较简单．
【变式6-2】（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）如图，经过创平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
A．
【点睛】本题考查了直线的性质在实际生活中的运用，牢记“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．
【变式6-3】（2023秋·北京朝阳·七年级统考期末）有下列一些生活中的现象：
①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．
其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号）
【答案】②③④
【分析】根据“两点之间线段最短”和“两点确定一条直线”两个公理进行分析判断即可．
【详解】解：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短，其原理能用基本事实“两点之间线段最短”解释，故不符合题意；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和两点确定一条直线，理解并掌握两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题关键．
【知识点4 线段的性质】
两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.
【题型7 两点之间线段最短】
【例7】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，一片树叶标本部分磨损，用剪刀剪下（虚线）磨损的部位，此时，原来树叶标本的周长变小，能解释这一现象的数学道理是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】由题意得，如图，虚线AB比曲线ACB长度短，根据线段的性质即可得出答案．
【详解】解：由题意得，如图，沿着虚线AB剪掉磨损的部位，相当于用线段AB取代了原来点A和点B间的曲线ACB，根据两点之间，线段最短，可得剪掉后树叶标本的周长比原来树叶标本的周长小．
故答案为：两点之间，线段最短．

【点睛】本题考查了线段的性质：两点之间，线段最短，掌握线段的性质是解题关键．
【变式7-1】（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（ ）
A．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系
D．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
【答案】A
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答即可；
【详解】A、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，是两点确定一条直线，故此选项错误；
B、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，是两点确定一条直线，故此选项错误；
C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是线段长度比较，故此选项错误；
D、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，正确；
D
【点睛】此题主要考查了线段的性质，正确把握直线射线的性质是解题关键．
【变式7-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ．
【答案】 （2） 两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可．
【详解】根据两点之间线段最短，
∴选择第（2）条路线，
故答案为：（2），两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键．
【变式7-3】（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．
(1)分别连接AB、AD，作射线AC，作直线BD与射线AC相交于点O；
(2)判断AB+AD与BD的大小关系：AB+AD___________BD．（填“>”、“=”或“<”）理由是___________．
【答案】(1)见解析
(2)>，理由是：两点之间线段最短
【分析】（1）画出线段AB、AD，射线AC，直线BD，即可．
（2）根据两点之间线段最短，即可得出结果．
【详解】（1）解：如图所示，线段AB、AD，射线AC，直线BD，点即为O所求；
；
（2）AB+AD>BD；
理由是：两点之间线段最短；
故答案为：>，两点之间线段最短
【点睛】本题考查画直线，射线，线段，以及线段的性质．熟练掌握直线，射线，线段的定义以及两点之间线段最短，是解题的关键．
【题型8 最短路径问题】
【例8】（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，画法： ．
【答案】连接AB交直线l于P
【分析】连接AB交直线l于P，根据两点之间线段最短可得AB为PA+PB的最小值，即可得答案．
【详解】如图，连接AB，交直线l于P，
∵两点之间线段最短，
∴AB为PA+PB的最小值，
故答案为：连接AB交直线l于P
【点睛】本题考查作图，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键．
【变式8-1】（2023春·山东威海·六年级统考期末）如图，从A地到F地的最短路线是( )

A．A→E→FB．A→C→E→F
C．A→C→D→E→FD．A→B→C→D→E→F
【答案】A
【分析】根据“两点之间，线段最短”来判断即可．
【详解】解：由“两点之间，线段最短”可知A地到E地的最短路线是A→E，沿直线行走，所以从A地到F地的最短路线是A→E→F．
A．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
【变式8-2】（2023·广东广州·七年级统考期末）如图所示的正方体中，Q，R，S是棱PB上的点，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是( )
A．PB．QC．RD．S
【答案】B
【分析】根据立方体的展开图中从A点到C点最短路径共3种距离相同，进而画图得出答案.
【详解】如图所示：一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是R点，
故选C.
【点睛】本题考查了最短路径问题，正方体的侧面展开图，正确画出表示出最短路径是解题的关键.
【变式8-3】（2023秋·陕西商洛·七年级统考期末）如图，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？说明理由．
【答案】应建在AC、BD连线的交点处．
【分析】此题为数学知识的应用，使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，即需应用两点间线段最短定理来求解．
【详解】应建在AC、BD连线的交点处．
理由：根据两点之间线段最短，将A、C，B、D用线段连起来，路程最短，
两线段的交点处建购物中心则使4个居民小区到购物中心的距离之和最小．
【点睛】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．名称
直线
射线
线段
图形
B
A
A
B
B
A
端点个数
无
一个
两个
表示法
直线a
直线AB（BA）
射线a
射线AB
线段a
线段AB（BA）
作法叙述
作直线a
作直线AB
作射线a
作射线AB
作线段a
作线段AB
连接AB
延长
向两端无限延长
向一端无限延长
不可延长
1条直线
0个交点
平面分成（1+1）块
2条直线
1个交点
平面分成（1+1+2）块
3条直线
（1+2）个交点
平面分成（1+1+2+3）块
4条直线
（1+2+3）个交点
平面分成（1+1+2+3+4）块
图形
…
直线条数
2
3
4
…
最多交点个数
1
3=1+2
6=1+2+3
…
名称
直线
射线
线段
图形
B
A
A
B
B
A
端点个数
无
一个
两个
表示法
直线a
直线AB（BA）
射线a
射线AB
线段a
线段AB（BA）
作法叙述
作直线a
作直线AB
作射线a
作射线AB
作线段a
作线段AB
连接AB
延长
向两端无限延长
向一端无限延长
不可延长
1条直线
0个交点
平面分成（1+1）块
2条直线
1个交点
平面分成（1+1+2）块
3条直线
（1+2）个交点
平面分成（1+1+2+3）块
4条直线
（1+2+3）个交点
平面分成（1+1+2+3+4）块
图形
…
直线条数
2
3
4
…
最多交点个数
1
3=1+2
6=1+2+3
…