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北师大版八年级数学上册专题7.3三角形的内角【十大题型】同步练习(学生版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学上册专题7.3三角形的内角【十大题型】同步练习(学生版+解析)，共55页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14209" 【题型1 三角形内角和定理的证明】 PAGEREF _Tc14209 \h 1
\l "_Tc15738" 【题型2 应用三角形内角和定理求角度】 PAGEREF _Tc15738 \h 3
\l "_Tc22182" 【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】 PAGEREF _Tc22182 \h 3
\l "_Tc1031" 【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】 PAGEREF _Tc1031 \h 4
\l "_Tc25253" 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 PAGEREF _Tc25253 \h 5
\l "_Tc24126" 【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 PAGEREF _Tc24126 \h 7
\l "_Tc524" 【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Tc524 \h 8
\l "_Tc31752" 【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Tc31752 \h 10
\l "_Tc8784" 【题型9 直角三角形的判定】 PAGEREF _Tc8784 \h 11
\l "_Tc25968" 【题型10 应用直角三角形的性质倒角】 PAGEREF _Tc25968 \h 12
【知识点1 三角形的内角及内角和定理】
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型1 三角形内角和定理的证明】
【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
【变式1-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2023春·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考阶段练习）在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，△ABC
求证：
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
【题型2 应用三角形内角和定理求角度】
【例2】（2023春·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
【变式2-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度数为 ．
【变式2-2】（2023春·广东江门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠C=40∘，且∠B:∠A=4:3，则∠B的度数为 ．
【变式2-3】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】
【例3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B=97°，∠C=40°，则∠GHC的度数为（ ）
A．147°B．40°C．97°D．43°
【变式3-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为多少？
【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】
【例4】（2023春·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【变式4-1】（2023春·广东东莞·八年级统考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．
【变式4-2】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．
(1)求证：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；
(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；
(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．
【题型5 三角形折叠中的角度问题】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66°B．23°C．46°D．69°
【变式5-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中， ∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．若∠A'EC=70°，则∠A'DE的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【变式5-2】（2023春·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【变式5-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．
(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；
(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．
【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54'，则∠2的度数为（ ）
A．103°6'B．104°6'C．103°54'D．104°54'
【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
(1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= °．
(2)若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD= °．
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，直接写出∠2的度数；若∠1=m°，直接写出∠2的度数（用含m的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a上，求∠1的度数．
【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例7】（2023春·广东潮州·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；
(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x−1+y−32=0．
(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况）
【变式7-2】（2023春·河南漯河·八年级校考期末）已知△ABC．
（1）如图（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 与∠B，∠C 之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE 平分∠BAC，F 为 AE 上一点，FM⊥BC 于点 M，∠EFM 与∠B，∠C之间有何数量关系？并说明理由．
【变式7-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．
(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例8】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.
(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.
【变式8-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（ ）
A．99°B．99°或49.5°C．99°或54°D．99°或49.5°或54°
【变式8-2】（2023·全国·八年级专题练习）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，则∠B=_____°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度数．
【知识点2 直角三角形的判定】
有两个角互余的三角形是直角三角形．
【题型9 直角三角形的判定】
【例9】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）如图，∠C=90°，∠1=∠2，求证△ADE是直角三角形．
【变式9-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若一个三角形三个内角度数的比为2:3:5，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【变式9-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）在下列条件：① ∠A+∠B+∠C=180∘；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③ ∠A=∠B=2∠C；④ ∠A=12∠B=13∠C；⑤ ∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【知识点3 直角三角形的性质】
直角三角形两个内角互余．
【题型10 应用直角三角形的性质倒角】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)∠BAD= 度．
(2)求∠DAE的度数．
(3)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
专题7.3 三角形的内角【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14209" 【题型1 三角形内角和定理的证明】 PAGEREF _Tc14209 \h 1
\l "_Tc15738" 【题型2 应用三角形内角和定理求角度】 PAGEREF _Tc15738 \h 4
\l "_Tc22182" 【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】 PAGEREF _Tc22182 \h 6
\l "_Tc1031" 【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】 PAGEREF _Tc1031 \h 10
\l "_Tc25253" 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 PAGEREF _Tc25253 \h 16
\l "_Tc24126" 【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 PAGEREF _Tc24126 \h 20
\l "_Tc524" 【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Tc524 \h 25
\l "_Tc31752" 【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Tc31752 \h 32
\l "_Tc8784" 【题型9 直角三角形的判定】 PAGEREF _Tc8784 \h 37
\l "_Tc25968" 【题型10 应用直角三角形的性质倒角】 PAGEREF _Tc25968 \h 40
【知识点1 三角形的内角及内角和定理】
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型1 三角形内角和定理的证明】
【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出∠2=∠D，∠1+∠BEC=180°，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线AB，使得AB∥CD，
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠D+∠CED=180°．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示∠BEC，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【变式1-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
【答案】三角形内角和等于180°
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：①．由EF∥AB，则∠ECA=∠A，∠FCB=∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故符合题意．
②．由CE∥AB，则∠A=∠FCE，∠B=∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，得∠A+∠B+∠ACB=180°，故符合题意．
③．由CD⊥AB于D，则∠ADC=∠CDB=90°，无法证得三角形内角和是180°，故不符合题意．
④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得∠EDA=∠B，∠C=∠AED，那么∠C=∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得∠B+∠A+∠C=180°，故符合题意，
共有：①②④符合条件，
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
【变式1-3】（2023春·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考阶段练习）在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，△ABC
求证：
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
【答案】∠A+∠B+∠C=180°，两直线平行，同位角相等，后续证明见解析．
【分析】首先过点D作AB、AC的平行线，利用两直线平行，同位角相等，可将△ABC的三个角放到一个平角里面，根据平角=180°即可证明；
【详解】已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：两直线平行，同位角相等）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
∴∠3=∠A
又∵DF∥AC
∴∠4=∠C
又∵∠4+∠3+∠2=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质定理和三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质和平角的度数为180°是解决本题的关键．
【题型2 应用三角形内角和定理求角度】
【例2】（2023春·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
【答案】30°或150°
【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．
【详解】根据题意得：AB=AC,BD⊥AC，
如图（1）所示，∠ABD=60°，则∠A=30°，即顶角为30°；
如图（2）所示，∠ABD=60°，则∠DAB=30°，
∴ ∠BAC=150°，
即顶角为150°；
故答案为：30°或150°．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的内角和定理，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．
【变式2-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度数为 ．
【答案】100°
【分析】三角形的内角和为180°，然后按比例分配即可．
【详解】解：由题意得，最大角为180°×51+3+5=100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·广东江门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠C=40∘，且∠B:∠A=4:3，则∠B的度数为 ．
【答案】80°
【分析】根据三角形的内角和为180°即可进行解答．
【详解】解：∵∠C=40∘，
∴∠B+∠A=180°−40°=140°，
∴∠B=140°×44+3=80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°．
【变式2-3】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．
【答案】101°
【分析】连接AD，如图所示，根据三角形内角和定理列出等式，从而根据题中已知条件作差即可得到答案．
【详解】解：连接AD，如图所示：
在△ABC中，∠ABC+∠A+∠ACB=180°①，
在△BCD中，∠DBC+∠D+∠DCB=180°②，
∴由①−②得∠A−∠D+∠ABC−∠DBC+∠ACB−∠DCB=0，即∠A−∠D+∠ABD+∠ACD=0，
∵ ∠A=51°，∠ABD=20°，∠ACD=30°，
∴51°−∠D+20°+30°=0，即∠D=101°．
【点睛】本题考查求角度问题，涉及三角形内角和定理，数形结合，找到各个角之间的关系是解决问题的关键．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】
【例3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B=97°，∠C=40°，则∠GHC的度数为（ ）
A．147°B．40°C．97°D．43°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定义可得∠A=43°，再根据平移性质可得∠D=∠A，AC∥DF，得到∠GHC=∠D，即可得到答案．
【详解】解：∵∠B=97°，∠C=40°，
∴∠A=180°−97°−40°=43°，
由平移的性质可知∠D=∠A=43°，AC∥DF，
∴∠GHC=∠D=43°，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定义、平移的性质，熟练掌握三角形内角和等于180°以及平移的性质是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为多少？
【答案】90°
【分析】根据题意在图中标注方向角，得到有关角的度数，根据三角形内角和定理和平行线的性质解答即可．
【详解】解：由题意得，∠DAB＝80°，
∵DA∥EB，
∴∠EBA＝180°﹣∠DAB＝100°，又∠EBC＝40°，
∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝60°，
∵∠DAB＝80°，∠DAC＝50°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·八年级单元测试）如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则∠C度数为 ．
【答案】150°
【分析】法一：过B作BD∥AE，运用平行线性质及已知条件，可得∠ABD=∠A=130°，BD∥CF，再根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出∠C的度数．
法二：延长AB、FC，交于点D，运用平行线性质及已知条件，可得∠A=∠BDC=130°，结合三角形内角和定理，求得∠BCD=180°−∠CBD−∠BDC=30°，从而求得∠BCF．
【详解】解：法一，如图，过B作BD∥AE，
∵BD∥AE，∠A=130°，
∴∠ABD=∠A=130°．
∵BD∥AE，CF∥AE，
∴BD∥CF．
∵∠ABC=160°，∠ABD=130°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=160°−130°=30°．
∵BD∥CF，
∴∠DBC+∠C=180°，
∵∠DBC=30°，
∴∠C=180°−∠DBC=150°．
法二，如图，延长AB、FC，交于点D，
∵AE∥CD，∠A=130°，
∴∠A=∠BDC=130°．
∵∠ABC=160°，
∴∠CBD=180°−∠ABC=20°，
在△CBD中，
∵∠CBD=20°，∠BDC=130°，
∴∠BCD=180°−∠CBD−∠BDC=30°，
∴∠BCF=180°−∠BCD=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，构造恰当的辅助线是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108°
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；
（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．
【详解】证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC
∴∠AEG=∠C
∴AB//CD
（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°
∴∠DGC+∠AHF=180°
∴EC//BF
∴∠B=∠AEG
由（1）得∠AEG=∠C
∴∠B=∠C
（3）由（2）得EC//BF
∴∠BFC+∠C=180°
∵∠BFC=4∠C
∴∠C=36°
∴∠DGC=36°
∵∠C+∠DGC+∠D=180°
∴∠D=108°
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】
【例4】（2023春·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【答案】A
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质求出∠PBC+∠PCB的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=12×110°=55°，
∴∠BPC=180°−55°=125°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的相关计算，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【变式4-1】（2023春·广东东莞·八年级统考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．
【答案】40°
【分析】利用角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°．
∵∠C=50°，
∴∠DAC=90°−∠C=40°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠EAC=45°．
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=50°，
∴∠B=90°−∠BAD=40°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理及其推论，直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，熟练利用三角形的内角和定理解答是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．
(1)求证：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠C=50°
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DEF=∠CED，结合∠AGE=∠CED可得∠AGE=∠DEF，根据“内错角相等，两直线平行”可证AB∥DE；
（2）由ED平分∠CEF可得∠CEF=2∠CED=100°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ED平分∠CEF，
∴∠DEF=∠CED，
∵∠AGE=∠CED，
∴∠AGE=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）解：∵∠AGE=∠CED，∠AGE=50°，
∴∠CED=50°，
∵ED平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠CED=100°，
∵∠C+∠CEF+∠F=180°，∠F=30°，
∴∠C=180°-100°-30°=50°．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的判定方法，牢记三角形内角和为180度．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；
(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；
(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．
【答案】(1)115，25
(2)不发生变化，理由见解析
(3)90+12x，x2
(4)45°，60°，120°，135°
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）将（2）中∠A=50°换成∠A=x°，同理即可求解；
（4）设∠A=x°，由（3）可知∠QPC=(90−12x)°，∠Q=12x°．再由∠PCQ=90°不变，即可分类讨论①当∠PCQ=3∠CPQ时，②当∠PCQ=3∠Q时，③当∠CPQ=3∠Q时和④当3∠CPQ=∠Q时，分别列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】（1）∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°．
∵CP平分∠ACB，
∴∠BCP=∠ACP=12∠ACB=35°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°．
∵DP平分∠ADE，
∴∠PDG=12∠ADE=30°．
∴∠DPC=180°−∠PDG−∠PGD=115°；
∵∠DPC=115°，
∴∠QPC=180°−115°=65°．
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴∠ACP=12∠ACB，∠ACQ=12∠ACF．
∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°，
∴∠Q=90°−∠QPC=25°．
故答案为：115，25；
（2）当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数不发生变化
理由如下：∵∠A=50°，
∴∠ACB+∠B=130°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD．
∴∠DPC=180°−∠PDE+∠PGD
=180°−12∠B+∠ACB
=180°−12×130°
=115°．
∴∠QCP=65°
由（1）可知∠PCQ=90°不变，
∴∠Q=90°−∠QPC=25°．
∴当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数不发生变化；
（3）∵∠A=x°，
∴∠ACB+∠B=180°−x°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD．
∴∠DPC=180°−∠PDE+∠PGD
=180°−12∠B+∠ACB
=180°−12×(180−x)°
=(90+12x)°．
∴∠QPC=180°−(90+12x)°=(90−12x)°．
由（1）可知∠PCQ=90°不变，
∴∠Q=90°−∠QPC=90°−(90−12x)°=12x°．
故答案为：(90+12x)，x2；
（4）设∠A=x°，
由（3）可知∠QPC=(90−12x)°，∠Q=12x°．
∵∠PCQ=90°，
∴可分类讨论：①当∠PCQ=3∠CPQ时，
∴(90−12x)°=13×90°，
解得：x=120，
∴∠A=120°；
②当∠PCQ=3∠Q时，
∴12x°=13×90°，
解得：x=60，
∴∠A=60°；
③当∠CPQ=3∠Q时，
∴(90−12x)°=3×12x°，
解得：x=90，x=45
∴∠A=45°；
④当3∠CPQ=∠Q时，
∴3×(90−12x)°=12x°，
解得：x=135，
∴∠A=135°．
综上可知∠A=45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
【题型5 三角形折叠中的角度问题】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66°B．23°C．46°D．69°
【答案】D
【分析】根据翻折后对应角相等得到∠ABC'=∠C'BE=∠EBC=13∠ABC，利用已知条件和三角形的内角和等于180°，建立等量关系可求∠ABC的度数．
【详解】解：由题意可得∠ABC'=∠C'BE=∠EBC=13∠ABC，∠C'EB=∠CEB=66°，
设∠ABC=x，则∠ABC'=∠C'BE=∠EBC=13x，
∵三角形的内角和等于180°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC=180°−∠C，即20°+x=180°−∠C；
在△BCE中，∠CEB+∠CBE=180°−∠C，即66°+13x=180°−∠C；
∴ 20°+x=66°+13x，
解得：x=69°，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折后对应角相等，利用三角形的内角和等于180°，设未知数并建立等量关系是解题的关键，本题的难点是∠C是两个三角形的公共角，由此列方程求解．
【变式5-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中， ∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．若∠A'EC=70°，则∠A'DE的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，得到∠A'DE=∠ADE，∠A'ED=∠AED，结合∠A'EC=70°，得到∠A'ED=∠AED=180°−70°2=55°，再根据∠A=60°，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】．根据折叠的性质，得到∠A'DE=∠ADE，∠A'ED=∠AED，
因为∠A'EC=70°，
所以∠A'ED=∠AED=180°−70°2=55°，
因为∠A=60°，
所以∠A'DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【答案】A
【分析】根据∠A＝20°，∠B＝60°，点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，得到∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，结合∠ACB=∠ACN+∠BCF+∠NCF代入计算即可．
【详解】因为∠A＝20°，∠B＝60°，点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
所以∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，
因为∠ACB=∠ACN+∠BCF+∠NCF，
所以100°=20°+60°+∠NCF，
解得∠NCF=20°．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式5-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．
(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；
(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．
【答案】(1)100°；
(2)∠AEF+∠FDC=2∠B，证明见解析．
【分析】（1）先由三角形内角和求出∠BDE+∠BED=130°，再由折叠的性质得
∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°，进而可求出∠AEF+∠FDC的度数；
（2）先由三角形内角和求出∠BDE+∠BED=180°−∠B，再由折叠的性质得
∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°−∠B，进而可求出∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系．
【详解】（1）在△BDE中，∠B=50°，
∴∠BDE+∠BED=180°−∠B=180°°−50°=130°．
由折叠的性质，可知：∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，
∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°．
又∵∠∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∠BED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠FDC=180°−(∠BED+∠FED)+180°−(∠BDE+∠FDE)
=360°−(∠BDE+∠BED)−(∠FDE+∠FED)
=360°−130°−130°
=100°．
故答案为：100°；
（2）∠AEF+∠FDC=2∠B．
证明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴∠BDE+∠BED=180°−∠B．
由折叠的性质，可知：∠FDE=∠BDE,∠FED=∠BED，
∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°−∠B．
又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°,∠BED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠FDC=180°−(∠BED+∠FED)+180°−(∠BDE+∠FDE)
=360°−(∠BDE+∠BED)−(∠FDE+∠FED)
=360°−(180°−∠B)−(180°−∠B)
=2∠B，
即∠AEF+∠FDC=2∠B．
【点睛】本题考查了三角形内角和，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54'，则∠2的度数为（ ）
A．103°6'B．104°6'C．103°54'D．104°54'
【答案】A
【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．
【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，
∵直角三角板含一个45°的锐角，
∴该三角板为等腰三角形，
∴∠4=45°，
∵∠1=58°54′，
又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，
∵∠3+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∴∠2=103°54′，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．
【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
(1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= °．
(2)若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD= °．
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
【答案】(1)140；90；50
(2)35
(3)∠ABD+∠ACD=90°−∠A
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°−∠DBC=90°，进而整理可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A=125°，∠DBC+∠DCB=180°−∠DBC=90°，进而整理可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定理有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，整理得∠ABD+∠ACD=90°−∠A．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，
∵在△DBC中，∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°−90°=50°．
故答案为：140；90；50．
（2）解：∵在△ABC中，∠A=55°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−55°=125°，
∵在△DBC中，∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=125°−90°=35°．
故答案为：35．
（3）解：∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°−∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB−(∠DBC+∠DCB)=180°−∠A−90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°−∠A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°．
【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个，
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，直接写出∠2的度数；若∠1=m°，直接写出∠2的度数（用含m的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a上，求∠1的度数．
【答案】(1)130º，(90+m)º
(2)15º
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；
（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．
【详解】（1）解：∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°，
由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º
∴∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；
若∠1=m°，那么
∠2=（90+m）º
（2）解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，
∵a∥b，
∴∠DBA+∠FCA=180º，
∵∠FCA=60º，
∴∠DBA=120º，
∵∠DAE=45º，∠FAC=90º，
∴∠BAD=180º-∠DAE-∠FAC=45º
在△ABD中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，
∴∠1=180º-45º-120º=15º；
【点睛】此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．
【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例7】（2023春·广东潮州·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；
(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．
【答案】(1)10°
(2)∠EFD=12∠C−∠B
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°−12(∠C+∠B)，外角的性质得出∠AEC=90°+12(∠B−∠C)，在ΔEFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD．
【详解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°−50°−30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°−80°=10°．
（2）∠EFD=12(∠C−∠B)
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=180°−∠B−∠C2=90°−12(∠C+∠B)
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°−12(∠C+∠B)=90°+12(∠B−∠C)
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°−[90°+12(∠B−∠C)]
∴∠EFD=12(∠C−∠B)．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x−1+y−32=0．
(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况）
【答案】(1)n＝45
(2)见解析
(3)①当P在线段AD上时，∠PEC+∠APE＝225°②当P在A点左边时，∠PEC﹣∠APE＝45°
【分析】（1）根据非负数的性质可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy计算可求n的值．
（2）作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠APF＝135°，再根据平行线的性质得到∠PEC＝∠FPE，根据等量关系即可求解；
（3）分两种情况：①当P在线段AD上时；②当P在A点左边时；进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵x−1+y−32=0，
∴x﹣1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝1，y＝3，
∴n＝15×1×3＝45；
（2）证明：如图1，过P作PF∥AB，则∠APF＝180°﹣∠BAD＝135°
∵AB∥CD，
∴CD∥PF，
∴∠PEC＝∠FPE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°；
（3）解：分两种情况：
①当P在线段AD上时，如图2，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝45°，
∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°，
∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°；
②当P在A点左边时，如图3，
∵∠PEC＝∠APE+∠PDE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·河南漯河·八年级校考期末）已知△ABC．
（1）如图（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 与∠B，∠C 之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE 平分∠BAC，F 为 AE 上一点，FM⊥BC 于点 M，∠EFM 与∠B，∠C之间有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）∠EAD=12 (∠C-∠B)；理由见解析；（2）∠EFM= 12 (∠C－∠B) ；理由见解析.
【分析】（1）分析题意，观察图形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分别表示出∠EAC、∠DAC即可；首先根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC=90°-∠C，据此可解答；
对于（2）过点A作AD⊥BC于D，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再结合（1）的结论进行解答即可
【详解】解：（1）∵AE 平分∠BAC，
∴∠EAC=12∠BAC=12 (180º－∠B－∠C)，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90º－∠C，
∴∠EAD=∠EAC－∠DAC= 12 (180º－∠B－∠C)－(90º－∠C)= 12 (∠C－∠B)，
即∠EAD=12 (∠C-∠B)；·
（2）如图，过点 A 作 AD⊥BC 于 D，
∵FM⊥BC，
∴AD∥FM，
∴∠EFM=∠EAD= 12 (∠C－∠B)
【点睛】本题的关键是利用三角形内角和的关系用∠A表示出其他角
【变式7-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．
(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；
(2)∠ACE=40°；
(3)∠MNB=135°−∠A
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论；
（2）过点F作FM//AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；
（3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH=x，则∠ECH=2x，ECM=∠DCM=y，利用垂直的定义得到x+y=45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵EM⊥CE，
∴∠CEM=90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°，
∴∠AEC+∠BEM=90°．
∵AB//CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM．
∴∠ECD+∠CME=90°．
∴2∠ECD+2∠CME=180°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME=180°．
∵AB//CD，
∴∠ACD+∠A=180°．
∴∠A=2∠CME．
（2）解：过点F作FM//AB，如图，
∵AB//CD，
∴FM//AB//CD．
∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF．
即∠AFC=∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC．
∵∠AFC=70°，
∴∠CAB+∠DCE=140°．
∵AB//CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°．
∴∠ACE=180°−(∠CAB+∠DCE)
=180°−140°
=40°．
（3）解：∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB=135°−∠A．
延长CM交AN的延长线于点F，如图，
∵MN⊥CM，
∴∠NMF=90°．
∴∠MNB=90°−∠F．
同理：∠HCF=90°−∠F．
∴∠MNB=∠HCF．
∵∠ACH=12∠ECH，
∴设∠ACH=x，则∠ECH=2x．
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM=∠DCM=y．
∴∠MNB=∠HCF=2x+y．
∵AB//CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD=90°．
∴∠ECH+∠ECD=90°．
∴2x+2y=90°．
∴x+y=45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A=90°−∠ACH=90°−x．
∴∠A+∠MNB=90°−x+2x+y=90°+x+y=135°．
∴∠MNB=135°−∠A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的意义，过点F作FM//AB是解题的关键．
【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例8】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.
(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.
【答案】(1)2
(2)18°或54°
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；
（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．
【详解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF为“2倍角三角形”，
故答案为：2；
（2）解：∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，
∴∠DAB＝12∠BAC，∠DBA＝12∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA＝12×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD为“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，
当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．
【点睛】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解n倍角三角形的定义是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（ ）
A．99°B．99°或49.5°C．99°或54°D．99°或49.5°或54°
【答案】A
【分析】根据题意设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，由题意得α=99°或m=99°或n=99°，分这三种情况讨论即可．
【详解】解：设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，
当α=99°，则m=49.5°,n=31.5°,
当m=99°，则α=2m=198°（舍去）,
当n=99°，则m+α=180°-n=81°,
∴3m=81°,
∴m=27°,
∴α=2m=54°．
综上：倍角α的度数为99°或54°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理即三角形内角和是180°是解决本题的关键，注意分类讨论方法的运用．
【变式8-2】（2023·全国·八年级专题练习）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
【答案】【简单应用】：（1）18°，是；（2）详见解析；【应用拓展】： ∠B=30°或∠B=80°
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABO=18°，由∠MON=4∠ABO，故为完美三角形；（2）根据垂直的性质与三角形的内角和求出∠OAC，即可得出△AOC是“完美三角形”（3）先由∠EFC+∠BDC=180°证得AD∥EF，DE∥BC，再根据△BCD是“完美三角形”，得出∠BDC=4∠B，再根据三角形的内角和求出∠B的度数.
【详解】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°，
∵∠MON=4∠ABO
∴△AOB是“完美三角形”；
（2）
证明：
∵∠MON=72°,∠ACB=90°,∵∠ACB=∠OAC+∠MON,∴∠OAC=90°−72°=18°∵∠AOB=72°=3∠OAC
∴ΔAOC是“完美三角形”
（3）
∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°∴∠EFC=∠ADC,∴AD∥EF∴∠DEF=∠ADE,∴∠DEF=∠B,∠B=∠ADE,∴DE∥BC∴∠CDE=∠BCD∵AE平分∠ADC∴∠ADE=∠CDE,∠B=∠BCD
∵ΔBCD是“完美三角形”
∴∠BDC=4∠B∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°∴∠B=30°或∠B=80°
【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知平行线的性质与角平分线的性质.
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，则∠B=_____°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)17
(2)①△ABD是“准互余三角形”，理由见解析； ②121°或118°．
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义可得2∠B+∠A=90°，代入数据求出∠B即可；
（2）①由直角三角形的性质可得∠CAB+∠ABC=90°，结合角平分线的定义可得2∠DAB+∠ABC=90°，进而可得△ABD是“准互余三角形”；
②根据△ABE是“准互余三角形”可得2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，求出∠EAB=31°或∠EAB=34°，然后分别利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：∵∠C>90°，∠A=56°，且△ABC是“准互余三角形”，
∴2∠B+∠A=90°，
∴∠B=17°，
故答案为：17；
（2）解：①△ABD是“准互余三角形；
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠DAB，
∴2∠DAB+∠ABC=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
②∵点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，
∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，
∵∠ABC=28°，
∴2∠EAB+28°=90°或∠EAB+2×28°=90°，
∴∠EAB=31°或∠EAB=34°，
当∠EAB=31°，∠ABC=28°时，∠AEB=180°−31°−28°=121°，
当∠EAB=34°，∠ABC=28°时，∠AEB=180°−34°−28°=118°，
∴∠AEB的度数为：121°或118°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【知识点2 直角三角形的判定】
有两个角互余的三角形是直角三角形．
【题型9 直角三角形的判定】
【例9】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）如图，∠C=90°，∠1=∠2，求证△ADE是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】由∠C=90°，推出∠A+∠2＝90°．再由∠1=∠2，得出∠A+∠1＝90°，从而∠ADE＝180°−（∠A+∠1）＝90°，即可得答案．
【详解】∵∠C=90°，
∴∠A+∠2＝90°，
∵∠1=∠2，
∴∠A+∠1＝90°，
∴∠ADE＝180°−（∠A+∠1）＝90°，
∴△ADE是直角三角形．
【点睛】本题考查的是直角三角形的判断，解题的关键是掌握直角三角形的定义和三角形的内角和定理．
【变式9-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若一个三角形三个内角度数的比为2:3:5，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数之比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进行判断即可．
【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为2:3:5，
∴三个内角分别为：22+3+5×180°=36°、32+3+5×180°=54°、52+3+5×180°=90°，
∴三角形是直角三角形，
【点睛】本题考查了三角形的内角和和三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和是180°和三角形的分类是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）在下列条件：① ∠A+∠B+∠C=180∘；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③ ∠A=∠B=2∠C；④ ∠A=12∠B=13∠C；⑤ ∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】解：① ∠A+∠B+∠C=180∘不能确定△ABC为直角三角形，故①错误，不符合题意；
② ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴ △ABC为直角三角形，故②正确，符合题意；
③ ∵ ∠A=∠B=2∠C，
设∠A=2x，∠B=2x，∠C=x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠A=∠B=72°，∠C=36°，
∴ △ABC不是直角三角形，故③错误，不符合题意；
④ ∵ ∠A=12∠B=13∠C，
设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴ △ABC为直角三角形，故④正确，符合题意；
⑤ ∵ ∠A=∠B=12∠C，
设∠A=∠B=x，则∠C=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+x+2x=180°，
解得：x=45°，
∴∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，
∴ △ABC为直角三角形，故⑤正确，符合题意；
∴ ②④⑤说法正确，
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】△AED，△AEB，△DEC
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得∠AED=90∘即可得出结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180∘，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，
∴∠DAE=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC，
∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=12∠ADC+∠BAD=90∘，
∴△AED是直角三角形，
∴∠AED=90∘，
∵AC和BD交于点E，
∴∠DEC=∠AEB=∠AED=90∘，
∴△AED，△AEB，△DEC均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．
【知识点3 直角三角形的性质】
直角三角形两个内角互余．
【题型10 应用直角三角形的性质倒角】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)∠BAD= 度．
(2)求∠DAE的度数．
(3)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
【答案】(1)30
(2)10°
(3)20°或60°
【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求出∠BAD．
（2）根据∠DAE=∠BAE-∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．
（3）分两种情形：如图1中，当∠FMC=90°时，如图2中，当∠MFC=90°时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBF=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
故答案为：30．
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°．
∵∠BAC+∠ABF+∠AFB=180°，
∴∠BAC=180°-∠ABF-∠AFB =180°-30°-70°=80°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°．
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
（3）如图1中，当∠FMC=90°时，∠BFM=90°-30°=60°．
如图2中，当∠MFC=90°时，
∵∠AFB=70°,∠CBF=30°，
∴∠C=∠AFB−∠CBF=40°，
∴∠FMC=90°−∠C=90°−40°=50°，
∴∠BFM=∠FMC-∠FBC=50°-30°=20°，
综上所述，∠BFM度数为60°或20°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E=∠BME=∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E=∠C，即可求解．
【详解】解：∵∠BAC=∠EDF=90°，
∴AB∥DE，∠E+∠F=90°，
∴∠E=∠BME=∠AMF，
∵EF⊥BC，
∴∠C+∠F=90°，
∴∠E=∠C，
故与∠E相等的角有3个，
【点睛】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质和互余的定义，即可得出结果．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴图中与∠B互余的角有2个，
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，互余定义，找到与∠B和为90°的角是关键．
【变式10-3】（2023春·八年级课时练习）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）详见解析；（2）①∠A'CB=22°；②∠A'CB=90°﹣2n°．
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得出答案；
（2）①由∠ACD=∠B，得∠ACD=34°，再结合（1），得∠BCD=56°，再由折叠的性质即可得到答案；
②解题过程同①.
【详解】（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14209" 【题型1 三角形内角和定理的证明】 PAGEREF _Tc14209 \h 1
\l "_Tc15738" 【题型2 应用三角形内角和定理求角度】 PAGEREF _Tc15738 \h 3
\l "_Tc22182" 【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】 PAGEREF _Tc22182 \h 3
\l "_Tc1031" 【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】 PAGEREF _Tc1031 \h 4
\l "_Tc25253" 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 PAGEREF _Tc25253 \h 5
\l "_Tc24126" 【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 PAGEREF _Tc24126 \h 7
\l "_Tc524" 【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Tc524 \h 8
\l "_Tc31752" 【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Tc31752 \h 10
\l "_Tc8784" 【题型9 直角三角形的判定】 PAGEREF _Tc8784 \h 11
\l "_Tc25968" 【题型10 应用直角三角形的性质倒角】 PAGEREF _Tc25968 \h 12
【知识点1 三角形的内角及内角和定理】
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型1 三角形内角和定理的证明】
【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
【变式1-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2023春·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考阶段练习）在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，△ABC
求证：
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
【题型2 应用三角形内角和定理求角度】
【例2】（2023春·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
【变式2-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度数为 ．
【变式2-2】（2023春·广东江门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠C=40∘，且∠B:∠A=4:3，则∠B的度数为 ．
【变式2-3】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】
【例3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B=97°，∠C=40°，则∠GHC的度数为（ ）
A．147°B．40°C．97°D．43°
【变式3-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为多少？
【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】
【例4】（2023春·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【变式4-1】（2023春·广东东莞·八年级统考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．
【变式4-2】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．
(1)求证：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；
(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；
(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．
【题型5 三角形折叠中的角度问题】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66°B．23°C．46°D．69°
【变式5-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中， ∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．若∠A'EC=70°，则∠A'DE的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【变式5-2】（2023春·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【变式5-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．
(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；
(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．
【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54'，则∠2的度数为（ ）
A．103°6'B．104°6'C．103°54'D．104°54'
【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
(1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= °．
(2)若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD= °．
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，直接写出∠2的度数；若∠1=m°，直接写出∠2的度数（用含m的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a上，求∠1的度数．
【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例7】（2023春·广东潮州·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；
(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x−1+y−32=0．
(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况）
【变式7-2】（2023春·河南漯河·八年级校考期末）已知△ABC．
（1）如图（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 与∠B，∠C 之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE 平分∠BAC，F 为 AE 上一点，FM⊥BC 于点 M，∠EFM 与∠B，∠C之间有何数量关系？并说明理由．
【变式7-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．
(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例8】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.
(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.
【变式8-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（ ）
A．99°B．99°或49.5°C．99°或54°D．99°或49.5°或54°
【变式8-2】（2023·全国·八年级专题练习）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，则∠B=_____°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度数．
【知识点2 直角三角形的判定】
有两个角互余的三角形是直角三角形．
【题型9 直角三角形的判定】
【例9】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）如图，∠C=90°，∠1=∠2，求证△ADE是直角三角形．
【变式9-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若一个三角形三个内角度数的比为2:3:5，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【变式9-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）在下列条件：① ∠A+∠B+∠C=180∘；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③ ∠A=∠B=2∠C；④ ∠A=12∠B=13∠C；⑤ ∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【知识点3 直角三角形的性质】
直角三角形两个内角互余．
【题型10 应用直角三角形的性质倒角】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)∠BAD= 度．
(2)求∠DAE的度数．
(3)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
专题7.3 三角形的内角【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14209" 【题型1 三角形内角和定理的证明】 PAGEREF _Tc14209 \h 1
\l "_Tc15738" 【题型2 应用三角形内角和定理求角度】 PAGEREF _Tc15738 \h 4
\l "_Tc22182" 【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】 PAGEREF _Tc22182 \h 6
\l "_Tc1031" 【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】 PAGEREF _Tc1031 \h 10
\l "_Tc25253" 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 PAGEREF _Tc25253 \h 16
\l "_Tc24126" 【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 PAGEREF _Tc24126 \h 20
\l "_Tc524" 【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Tc524 \h 25
\l "_Tc31752" 【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Tc31752 \h 32
\l "_Tc8784" 【题型9 直角三角形的判定】 PAGEREF _Tc8784 \h 37
\l "_Tc25968" 【题型10 应用直角三角形的性质倒角】 PAGEREF _Tc25968 \h 40
【知识点1 三角形的内角及内角和定理】
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型1 三角形内角和定理的证明】
【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出∠2=∠D，∠1+∠BEC=180°，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线AB，使得AB∥CD，
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠D+∠CED=180°．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示∠BEC，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【变式1-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
【答案】三角形内角和等于180°
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：①．由EF∥AB，则∠ECA=∠A，∠FCB=∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故符合题意．
②．由CE∥AB，则∠A=∠FCE，∠B=∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，得∠A+∠B+∠ACB=180°，故符合题意．
③．由CD⊥AB于D，则∠ADC=∠CDB=90°，无法证得三角形内角和是180°，故不符合题意．
④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得∠EDA=∠B，∠C=∠AED，那么∠C=∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得∠B+∠A+∠C=180°，故符合题意，
共有：①②④符合条件，
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
【变式1-3】（2023春·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考阶段练习）在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，△ABC
求证：
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
【答案】∠A+∠B+∠C=180°，两直线平行，同位角相等，后续证明见解析．
【分析】首先过点D作AB、AC的平行线，利用两直线平行，同位角相等，可将△ABC的三个角放到一个平角里面，根据平角=180°即可证明；
【详解】已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：两直线平行，同位角相等）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
∴∠3=∠A
又∵DF∥AC
∴∠4=∠C
又∵∠4+∠3+∠2=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质定理和三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质和平角的度数为180°是解决本题的关键．
【题型2 应用三角形内角和定理求角度】
【例2】（2023春·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
【答案】30°或150°
【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．
【详解】根据题意得：AB=AC,BD⊥AC，
如图（1）所示，∠ABD=60°，则∠A=30°，即顶角为30°；
如图（2）所示，∠ABD=60°，则∠DAB=30°，
∴ ∠BAC=150°，
即顶角为150°；
故答案为：30°或150°．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的内角和定理，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．
【变式2-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度数为 ．
【答案】100°
【分析】三角形的内角和为180°，然后按比例分配即可．
【详解】解：由题意得，最大角为180°×51+3+5=100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·广东江门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠C=40∘，且∠B:∠A=4:3，则∠B的度数为 ．
【答案】80°
【分析】根据三角形的内角和为180°即可进行解答．
【详解】解：∵∠C=40∘，
∴∠B+∠A=180°−40°=140°，
∴∠B=140°×44+3=80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°．
【变式2-3】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．
【答案】101°
【分析】连接AD，如图所示，根据三角形内角和定理列出等式，从而根据题中已知条件作差即可得到答案．
【详解】解：连接AD，如图所示：
在△ABC中，∠ABC+∠A+∠ACB=180°①，
在△BCD中，∠DBC+∠D+∠DCB=180°②，
∴由①−②得∠A−∠D+∠ABC−∠DBC+∠ACB−∠DCB=0，即∠A−∠D+∠ABD+∠ACD=0，
∵ ∠A=51°，∠ABD=20°，∠ACD=30°，
∴51°−∠D+20°+30°=0，即∠D=101°．
【点睛】本题考查求角度问题，涉及三角形内角和定理，数形结合，找到各个角之间的关系是解决问题的关键．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】
【例3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B=97°，∠C=40°，则∠GHC的度数为（ ）
A．147°B．40°C．97°D．43°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定义可得∠A=43°，再根据平移性质可得∠D=∠A，AC∥DF，得到∠GHC=∠D，即可得到答案．
【详解】解：∵∠B=97°，∠C=40°，
∴∠A=180°−97°−40°=43°，
由平移的性质可知∠D=∠A=43°，AC∥DF，
∴∠GHC=∠D=43°，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定义、平移的性质，熟练掌握三角形内角和等于180°以及平移的性质是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为多少？
【答案】90°
【分析】根据题意在图中标注方向角，得到有关角的度数，根据三角形内角和定理和平行线的性质解答即可．
【详解】解：由题意得，∠DAB＝80°，
∵DA∥EB，
∴∠EBA＝180°﹣∠DAB＝100°，又∠EBC＝40°，
∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝60°，
∵∠DAB＝80°，∠DAC＝50°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·八年级单元测试）如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则∠C度数为 ．
【答案】150°
【分析】法一：过B作BD∥AE，运用平行线性质及已知条件，可得∠ABD=∠A=130°，BD∥CF，再根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出∠C的度数．
法二：延长AB、FC，交于点D，运用平行线性质及已知条件，可得∠A=∠BDC=130°，结合三角形内角和定理，求得∠BCD=180°−∠CBD−∠BDC=30°，从而求得∠BCF．
【详解】解：法一，如图，过B作BD∥AE，
∵BD∥AE，∠A=130°，
∴∠ABD=∠A=130°．
∵BD∥AE，CF∥AE，
∴BD∥CF．
∵∠ABC=160°，∠ABD=130°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=160°−130°=30°．
∵BD∥CF，
∴∠DBC+∠C=180°，
∵∠DBC=30°，
∴∠C=180°−∠DBC=150°．
法二，如图，延长AB、FC，交于点D，
∵AE∥CD，∠A=130°，
∴∠A=∠BDC=130°．
∵∠ABC=160°，
∴∠CBD=180°−∠ABC=20°，
在△CBD中，
∵∠CBD=20°，∠BDC=130°，
∴∠BCD=180°−∠CBD−∠BDC=30°，
∴∠BCF=180°−∠BCD=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，构造恰当的辅助线是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108°
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；
（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．
【详解】证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC
∴∠AEG=∠C
∴AB//CD
（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°
∴∠DGC+∠AHF=180°
∴EC//BF
∴∠B=∠AEG
由（1）得∠AEG=∠C
∴∠B=∠C
（3）由（2）得EC//BF
∴∠BFC+∠C=180°
∵∠BFC=4∠C
∴∠C=36°
∴∠DGC=36°
∵∠C+∠DGC+∠D=180°
∴∠D=108°
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】
【例4】（2023春·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【答案】A
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质求出∠PBC+∠PCB的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=12×110°=55°，
∴∠BPC=180°−55°=125°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的相关计算，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【变式4-1】（2023春·广东东莞·八年级统考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．
【答案】40°
【分析】利用角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°．
∵∠C=50°，
∴∠DAC=90°−∠C=40°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠EAC=45°．
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=50°，
∴∠B=90°−∠BAD=40°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理及其推论，直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，熟练利用三角形的内角和定理解答是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．
(1)求证：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠C=50°
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DEF=∠CED，结合∠AGE=∠CED可得∠AGE=∠DEF，根据“内错角相等，两直线平行”可证AB∥DE；
（2）由ED平分∠CEF可得∠CEF=2∠CED=100°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ED平分∠CEF，
∴∠DEF=∠CED，
∵∠AGE=∠CED，
∴∠AGE=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）解：∵∠AGE=∠CED，∠AGE=50°，
∴∠CED=50°，
∵ED平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠CED=100°，
∵∠C+∠CEF+∠F=180°，∠F=30°，
∴∠C=180°-100°-30°=50°．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的判定方法，牢记三角形内角和为180度．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；
(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；
(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．
【答案】(1)115，25
(2)不发生变化，理由见解析
(3)90+12x，x2
(4)45°，60°，120°，135°
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）将（2）中∠A=50°换成∠A=x°，同理即可求解；
（4）设∠A=x°，由（3）可知∠QPC=(90−12x)°，∠Q=12x°．再由∠PCQ=90°不变，即可分类讨论①当∠PCQ=3∠CPQ时，②当∠PCQ=3∠Q时，③当∠CPQ=3∠Q时和④当3∠CPQ=∠Q时，分别列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】（1）∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°．
∵CP平分∠ACB，
∴∠BCP=∠ACP=12∠ACB=35°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°．
∵DP平分∠ADE，
∴∠PDG=12∠ADE=30°．
∴∠DPC=180°−∠PDG−∠PGD=115°；
∵∠DPC=115°，
∴∠QPC=180°−115°=65°．
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴∠ACP=12∠ACB，∠ACQ=12∠ACF．
∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°，
∴∠Q=90°−∠QPC=25°．
故答案为：115，25；
（2）当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数不发生变化
理由如下：∵∠A=50°，
∴∠ACB+∠B=130°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD．
∴∠DPC=180°−∠PDE+∠PGD
=180°−12∠B+∠ACB
=180°−12×130°
=115°．
∴∠QCP=65°
由（1）可知∠PCQ=90°不变，
∴∠Q=90°−∠QPC=25°．
∴当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数不发生变化；
（3）∵∠A=x°，
∴∠ACB+∠B=180°−x°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD．
∴∠DPC=180°−∠PDE+∠PGD
=180°−12∠B+∠ACB
=180°−12×(180−x)°
=(90+12x)°．
∴∠QPC=180°−(90+12x)°=(90−12x)°．
由（1）可知∠PCQ=90°不变，
∴∠Q=90°−∠QPC=90°−(90−12x)°=12x°．
故答案为：(90+12x)，x2；
（4）设∠A=x°，
由（3）可知∠QPC=(90−12x)°，∠Q=12x°．
∵∠PCQ=90°，
∴可分类讨论：①当∠PCQ=3∠CPQ时，
∴(90−12x)°=13×90°，
解得：x=120，
∴∠A=120°；
②当∠PCQ=3∠Q时，
∴12x°=13×90°，
解得：x=60，
∴∠A=60°；
③当∠CPQ=3∠Q时，
∴(90−12x)°=3×12x°，
解得：x=90，x=45
∴∠A=45°；
④当3∠CPQ=∠Q时，
∴3×(90−12x)°=12x°，
解得：x=135，
∴∠A=135°．
综上可知∠A=45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
【题型5 三角形折叠中的角度问题】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66°B．23°C．46°D．69°
【答案】D
【分析】根据翻折后对应角相等得到∠ABC'=∠C'BE=∠EBC=13∠ABC，利用已知条件和三角形的内角和等于180°，建立等量关系可求∠ABC的度数．
【详解】解：由题意可得∠ABC'=∠C'BE=∠EBC=13∠ABC，∠C'EB=∠CEB=66°，
设∠ABC=x，则∠ABC'=∠C'BE=∠EBC=13x，
∵三角形的内角和等于180°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC=180°−∠C，即20°+x=180°−∠C；
在△BCE中，∠CEB+∠CBE=180°−∠C，即66°+13x=180°−∠C；
∴ 20°+x=66°+13x，
解得：x=69°，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折后对应角相等，利用三角形的内角和等于180°，设未知数并建立等量关系是解题的关键，本题的难点是∠C是两个三角形的公共角，由此列方程求解．
【变式5-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中， ∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．若∠A'EC=70°，则∠A'DE的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，得到∠A'DE=∠ADE，∠A'ED=∠AED，结合∠A'EC=70°，得到∠A'ED=∠AED=180°−70°2=55°，再根据∠A=60°，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】．根据折叠的性质，得到∠A'DE=∠ADE，∠A'ED=∠AED，
因为∠A'EC=70°，
所以∠A'ED=∠AED=180°−70°2=55°，
因为∠A=60°，
所以∠A'DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【答案】A
【分析】根据∠A＝20°，∠B＝60°，点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，得到∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，结合∠ACB=∠ACN+∠BCF+∠NCF代入计算即可．
【详解】因为∠A＝20°，∠B＝60°，点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
所以∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，
因为∠ACB=∠ACN+∠BCF+∠NCF，
所以100°=20°+60°+∠NCF，
解得∠NCF=20°．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式5-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．
(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；
(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．
【答案】(1)100°；
(2)∠AEF+∠FDC=2∠B，证明见解析．
【分析】（1）先由三角形内角和求出∠BDE+∠BED=130°，再由折叠的性质得
∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°，进而可求出∠AEF+∠FDC的度数；
（2）先由三角形内角和求出∠BDE+∠BED=180°−∠B，再由折叠的性质得
∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°−∠B，进而可求出∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系．
【详解】（1）在△BDE中，∠B=50°，
∴∠BDE+∠BED=180°−∠B=180°°−50°=130°．
由折叠的性质，可知：∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，
∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°．
又∵∠∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∠BED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠FDC=180°−(∠BED+∠FED)+180°−(∠BDE+∠FDE)
=360°−(∠BDE+∠BED)−(∠FDE+∠FED)
=360°−130°−130°
=100°．
故答案为：100°；
（2）∠AEF+∠FDC=2∠B．
证明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴∠BDE+∠BED=180°−∠B．
由折叠的性质，可知：∠FDE=∠BDE,∠FED=∠BED，
∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°−∠B．
又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°,∠BED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠FDC=180°−(∠BED+∠FED)+180°−(∠BDE+∠FDE)
=360°−(∠BDE+∠BED)−(∠FDE+∠FED)
=360°−(180°−∠B)−(180°−∠B)
=2∠B，
即∠AEF+∠FDC=2∠B．
【点睛】本题考查了三角形内角和，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54'，则∠2的度数为（ ）
A．103°6'B．104°6'C．103°54'D．104°54'
【答案】A
【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．
【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，
∵直角三角板含一个45°的锐角，
∴该三角板为等腰三角形，
∴∠4=45°，
∵∠1=58°54′，
又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，
∵∠3+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∴∠2=103°54′，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．
【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
(1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= °．
(2)若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD= °．
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
【答案】(1)140；90；50
(2)35
(3)∠ABD+∠ACD=90°−∠A
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°−∠DBC=90°，进而整理可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A=125°，∠DBC+∠DCB=180°−∠DBC=90°，进而整理可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定理有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，整理得∠ABD+∠ACD=90°−∠A．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，
∵在△DBC中，∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°−90°=50°．
故答案为：140；90；50．
（2）解：∵在△ABC中，∠A=55°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−55°=125°，
∵在△DBC中，∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=125°−90°=35°．
故答案为：35．
（3）解：∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°−∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB−(∠DBC+∠DCB)=180°−∠A−90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°−∠A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°．
【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个，
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，直接写出∠2的度数；若∠1=m°，直接写出∠2的度数（用含m的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a上，求∠1的度数．
【答案】(1)130º，(90+m)º
(2)15º
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；
（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．
【详解】（1）解：∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°，
由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º
∴∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；
若∠1=m°，那么
∠2=（90+m）º
（2）解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，
∵a∥b，
∴∠DBA+∠FCA=180º，
∵∠FCA=60º，
∴∠DBA=120º，
∵∠DAE=45º，∠FAC=90º，
∴∠BAD=180º-∠DAE-∠FAC=45º
在△ABD中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，
∴∠1=180º-45º-120º=15º；
【点睛】此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．
【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例7】（2023春·广东潮州·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；
(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．
【答案】(1)10°
(2)∠EFD=12∠C−∠B
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°−12(∠C+∠B)，外角的性质得出∠AEC=90°+12(∠B−∠C)，在ΔEFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD．
【详解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°−50°−30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°−80°=10°．
（2）∠EFD=12(∠C−∠B)
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=180°−∠B−∠C2=90°−12(∠C+∠B)
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°−12(∠C+∠B)=90°+12(∠B−∠C)
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°−[90°+12(∠B−∠C)]
∴∠EFD=12(∠C−∠B)．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x−1+y−32=0．
(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况）
【答案】(1)n＝45
(2)见解析
(3)①当P在线段AD上时，∠PEC+∠APE＝225°②当P在A点左边时，∠PEC﹣∠APE＝45°
【分析】（1）根据非负数的性质可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy计算可求n的值．
（2）作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠APF＝135°，再根据平行线的性质得到∠PEC＝∠FPE，根据等量关系即可求解；
（3）分两种情况：①当P在线段AD上时；②当P在A点左边时；进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵x−1+y−32=0，
∴x﹣1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝1，y＝3，
∴n＝15×1×3＝45；
（2）证明：如图1，过P作PF∥AB，则∠APF＝180°﹣∠BAD＝135°
∵AB∥CD，
∴CD∥PF，
∴∠PEC＝∠FPE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°；
（3）解：分两种情况：
①当P在线段AD上时，如图2，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝45°，
∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°，
∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°；
②当P在A点左边时，如图3，
∵∠PEC＝∠APE+∠PDE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·河南漯河·八年级校考期末）已知△ABC．
（1）如图（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 与∠B，∠C 之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE 平分∠BAC，F 为 AE 上一点，FM⊥BC 于点 M，∠EFM 与∠B，∠C之间有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）∠EAD=12 (∠C-∠B)；理由见解析；（2）∠EFM= 12 (∠C－∠B) ；理由见解析.
【分析】（1）分析题意，观察图形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分别表示出∠EAC、∠DAC即可；首先根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC=90°-∠C，据此可解答；
对于（2）过点A作AD⊥BC于D，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再结合（1）的结论进行解答即可
【详解】解：（1）∵AE 平分∠BAC，
∴∠EAC=12∠BAC=12 (180º－∠B－∠C)，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90º－∠C，
∴∠EAD=∠EAC－∠DAC= 12 (180º－∠B－∠C)－(90º－∠C)= 12 (∠C－∠B)，
即∠EAD=12 (∠C-∠B)；·
（2）如图，过点 A 作 AD⊥BC 于 D，
∵FM⊥BC，
∴AD∥FM，
∴∠EFM=∠EAD= 12 (∠C－∠B)
【点睛】本题的关键是利用三角形内角和的关系用∠A表示出其他角
【变式7-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．
(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；
(2)∠ACE=40°；
(3)∠MNB=135°−∠A
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论；
（2）过点F作FM//AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；
（3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH=x，则∠ECH=2x，ECM=∠DCM=y，利用垂直的定义得到x+y=45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵EM⊥CE，
∴∠CEM=90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°，
∴∠AEC+∠BEM=90°．
∵AB//CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM．
∴∠ECD+∠CME=90°．
∴2∠ECD+2∠CME=180°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME=180°．
∵AB//CD，
∴∠ACD+∠A=180°．
∴∠A=2∠CME．
（2）解：过点F作FM//AB，如图，
∵AB//CD，
∴FM//AB//CD．
∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF．
即∠AFC=∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC．
∵∠AFC=70°，
∴∠CAB+∠DCE=140°．
∵AB//CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°．
∴∠ACE=180°−(∠CAB+∠DCE)
=180°−140°
=40°．
（3）解：∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB=135°−∠A．
延长CM交AN的延长线于点F，如图，
∵MN⊥CM，
∴∠NMF=90°．
∴∠MNB=90°−∠F．
同理：∠HCF=90°−∠F．
∴∠MNB=∠HCF．
∵∠ACH=12∠ECH，
∴设∠ACH=x，则∠ECH=2x．
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM=∠DCM=y．
∴∠MNB=∠HCF=2x+y．
∵AB//CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD=90°．
∴∠ECH+∠ECD=90°．
∴2x+2y=90°．
∴x+y=45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A=90°−∠ACH=90°−x．
∴∠A+∠MNB=90°−x+2x+y=90°+x+y=135°．
∴∠MNB=135°−∠A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的意义，过点F作FM//AB是解题的关键．
【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例8】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.
(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.
【答案】(1)2
(2)18°或54°
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；
（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．
【详解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF为“2倍角三角形”，
故答案为：2；
（2）解：∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，
∴∠DAB＝12∠BAC，∠DBA＝12∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA＝12×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD为“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，
当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．
【点睛】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解n倍角三角形的定义是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（ ）
A．99°B．99°或49.5°C．99°或54°D．99°或49.5°或54°
【答案】A
【分析】根据题意设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，由题意得α=99°或m=99°或n=99°，分这三种情况讨论即可．
【详解】解：设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，
当α=99°，则m=49.5°,n=31.5°,
当m=99°，则α=2m=198°（舍去）,
当n=99°，则m+α=180°-n=81°,
∴3m=81°,
∴m=27°,
∴α=2m=54°．
综上：倍角α的度数为99°或54°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理即三角形内角和是180°是解决本题的关键，注意分类讨论方法的运用．
【变式8-2】（2023·全国·八年级专题练习）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
【答案】【简单应用】：（1）18°，是；（2）详见解析；【应用拓展】： ∠B=30°或∠B=80°
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABO=18°，由∠MON=4∠ABO，故为完美三角形；（2）根据垂直的性质与三角形的内角和求出∠OAC，即可得出△AOC是“完美三角形”（3）先由∠EFC+∠BDC=180°证得AD∥EF，DE∥BC，再根据△BCD是“完美三角形”，得出∠BDC=4∠B，再根据三角形的内角和求出∠B的度数.
【详解】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°，
∵∠MON=4∠ABO
∴△AOB是“完美三角形”；
（2）
证明：
∵∠MON=72°,∠ACB=90°,∵∠ACB=∠OAC+∠MON,∴∠OAC=90°−72°=18°∵∠AOB=72°=3∠OAC
∴ΔAOC是“完美三角形”
（3）
∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°∴∠EFC=∠ADC,∴AD∥EF∴∠DEF=∠ADE,∴∠DEF=∠B,∠B=∠ADE,∴DE∥BC∴∠CDE=∠BCD∵AE平分∠ADC∴∠ADE=∠CDE,∠B=∠BCD
∵ΔBCD是“完美三角形”
∴∠BDC=4∠B∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°∴∠B=30°或∠B=80°
【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知平行线的性质与角平分线的性质.
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，则∠B=_____°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)17
(2)①△ABD是“准互余三角形”，理由见解析； ②121°或118°．
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义可得2∠B+∠A=90°，代入数据求出∠B即可；
（2）①由直角三角形的性质可得∠CAB+∠ABC=90°，结合角平分线的定义可得2∠DAB+∠ABC=90°，进而可得△ABD是“准互余三角形”；
②根据△ABE是“准互余三角形”可得2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，求出∠EAB=31°或∠EAB=34°，然后分别利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：∵∠C>90°，∠A=56°，且△ABC是“准互余三角形”，
∴2∠B+∠A=90°，
∴∠B=17°，
故答案为：17；
（2）解：①△ABD是“准互余三角形；
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠DAB，
∴2∠DAB+∠ABC=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
②∵点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，
∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，
∵∠ABC=28°，
∴2∠EAB+28°=90°或∠EAB+2×28°=90°，
∴∠EAB=31°或∠EAB=34°，
当∠EAB=31°，∠ABC=28°时，∠AEB=180°−31°−28°=121°，
当∠EAB=34°，∠ABC=28°时，∠AEB=180°−34°−28°=118°，
∴∠AEB的度数为：121°或118°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【知识点2 直角三角形的判定】
有两个角互余的三角形是直角三角形．
【题型9 直角三角形的判定】
【例9】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）如图，∠C=90°，∠1=∠2，求证△ADE是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】由∠C=90°，推出∠A+∠2＝90°．再由∠1=∠2，得出∠A+∠1＝90°，从而∠ADE＝180°−（∠A+∠1）＝90°，即可得答案．
【详解】∵∠C=90°，
∴∠A+∠2＝90°，
∵∠1=∠2，
∴∠A+∠1＝90°，
∴∠ADE＝180°−（∠A+∠1）＝90°，
∴△ADE是直角三角形．
【点睛】本题考查的是直角三角形的判断，解题的关键是掌握直角三角形的定义和三角形的内角和定理．
【变式9-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若一个三角形三个内角度数的比为2:3:5，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数之比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进行判断即可．
【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为2:3:5，
∴三个内角分别为：22+3+5×180°=36°、32+3+5×180°=54°、52+3+5×180°=90°，
∴三角形是直角三角形，
【点睛】本题考查了三角形的内角和和三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和是180°和三角形的分类是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）在下列条件：① ∠A+∠B+∠C=180∘；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③ ∠A=∠B=2∠C；④ ∠A=12∠B=13∠C；⑤ ∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】解：① ∠A+∠B+∠C=180∘不能确定△ABC为直角三角形，故①错误，不符合题意；
② ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴ △ABC为直角三角形，故②正确，符合题意；
③ ∵ ∠A=∠B=2∠C，
设∠A=2x，∠B=2x，∠C=x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠A=∠B=72°，∠C=36°，
∴ △ABC不是直角三角形，故③错误，不符合题意；
④ ∵ ∠A=12∠B=13∠C，
设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴ △ABC为直角三角形，故④正确，符合题意；
⑤ ∵ ∠A=∠B=12∠C，
设∠A=∠B=x，则∠C=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+x+2x=180°，
解得：x=45°，
∴∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，
∴ △ABC为直角三角形，故⑤正确，符合题意；
∴ ②④⑤说法正确，
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】△AED，△AEB，△DEC
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得∠AED=90∘即可得出结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180∘，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，
∴∠DAE=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC，
∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=12∠ADC+∠BAD=90∘，
∴△AED是直角三角形，
∴∠AED=90∘，
∵AC和BD交于点E，
∴∠DEC=∠AEB=∠AED=90∘，
∴△AED，△AEB，△DEC均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．
【知识点3 直角三角形的性质】
直角三角形两个内角互余．
【题型10 应用直角三角形的性质倒角】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)∠BAD= 度．
(2)求∠DAE的度数．
(3)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
【答案】(1)30
(2)10°
(3)20°或60°
【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求出∠BAD．
（2）根据∠DAE=∠BAE-∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．
（3）分两种情形：如图1中，当∠FMC=90°时，如图2中，当∠MFC=90°时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBF=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
故答案为：30．
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°．
∵∠BAC+∠ABF+∠AFB=180°，
∴∠BAC=180°-∠ABF-∠AFB =180°-30°-70°=80°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°．
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
（3）如图1中，当∠FMC=90°时，∠BFM=90°-30°=60°．
如图2中，当∠MFC=90°时，
∵∠AFB=70°,∠CBF=30°，
∴∠C=∠AFB−∠CBF=40°，
∴∠FMC=90°−∠C=90°−40°=50°，
∴∠BFM=∠FMC-∠FBC=50°-30°=20°，
综上所述，∠BFM度数为60°或20°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E=∠BME=∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E=∠C，即可求解．
【详解】解：∵∠BAC=∠EDF=90°，
∴AB∥DE，∠E+∠F=90°，
∴∠E=∠BME=∠AMF，
∵EF⊥BC，
∴∠C+∠F=90°，
∴∠E=∠C，
故与∠E相等的角有3个，
【点睛】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质和互余的定义，即可得出结果．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴图中与∠B互余的角有2个，
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，互余定义，找到与∠B和为90°的角是关键．
【变式10-3】（2023春·八年级课时练习）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）详见解析；（2）①∠A'CB=22°；②∠A'CB=90°﹣2n°．
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得出答案；
（2）①由∠ACD=∠B，得∠ACD=34°，再结合（1），得∠BCD=56°，再由折叠的性质即可得到答案；
②解题过程同①.
【详解】（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，
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