还剩50页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.1三角形的边【十大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.2三角形的高、中线与角平分线【十大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.4三角形的外角【十大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.5多边形及其内角和【十大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.6三角形中的经典模型【九大题型】(学生版+解析) 试卷 0 次下载
初中数学人教版（2024）八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角巩固练习
展开
这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角巩固练习，共53页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5266" 【题型1 证明三角形内角和】 PAGEREF _Tc5266 \h 1
\l "_Tc19782" 【题型2 由三角形内角和直接求角度】 PAGEREF _Tc19782 \h 3
\l "_Tc21582" 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 PAGEREF _Tc21582 \h 4
\l "_Tc23996" 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc23996 \h 4
\l "_Tc4114" 【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 PAGEREF _Tc4114 \h 5
\l "_Tc20124" 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc20124 \h 7
\l "_Tc3596" 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 PAGEREF _Tc3596 \h 8
\l "_Tc11136" 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc11136 \h 9
\l "_Tc6407" 【题型9 由直角三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc6407 \h 11
\l "_Tc13116" 【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】 PAGEREF _Tc13116 \h 12
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（ ）
①如图1，过点C作EF∥AB；
②如图2，过AB上一点D分别作DE∥BC，DF∥AC；
③如图3，延长AC到点F，过点C作CE∥AB；
④如图4，过点C作CD⊥AB于点D．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A．★处填2B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行D．②平角定义
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A=100°，则∠B= ．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，则∠2的度数为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，则∠A的度数是（ ）
A．54°B．64°C．74°D．52°
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，∠2与∠3互余，且∠1=∠4，试猜想AB与BC的位置关系，并说明理由．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当x=3y时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）△ABC中，若∠A−∠C=∠B，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角二角形D．无法确定
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，请判断三角形的形状并证明．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90°B．110°C．120°D．135°
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC中，点D，H，E分别是边AB，BC，CA上的点，连接DE，DH，F为DH上一点，连接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．则∠FEC的度数为 °．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为 ．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，若∠ACB'=α°，则∠ACD的度数是 °．（用含α的代数式表示）
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=130°，则∠A= .
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，∠CDB的度数为 ．
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数= ．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，∠BOC=n，∠A= （用含n的代数式表示）.
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（ ）．
A．35°B．40°C．45°D．50°
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，则△DEF为 倍角三角形．
(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F．若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE//BC，则∠AFD的度数是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15∘B．20∘C．65∘D．95∘
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0B．1C．2D．3
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有__________个，以点O为交点的“8字型”有__________个；
②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（ ）
A．∠C+∠ADE=95°B．∠C−∠ADE=25°
C．∠C−∠ADE=35°D．∠C=2∠ADE
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°
(1)求∠DAE的度数．
(2)求∠DAE与∠B，∠C的关系，并说明理由．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A,D重合），连接EC．
(1)若∠ACM=50°，则∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；
(2)若∠ECA=2∠EAB，求证：∠ECB=∠ABC；
(3)如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°<γ<180°，试求α,β,γ之间的等量关系．
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=25°，则∠DFC= ．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH= ．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：
【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B−∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．
证明：如图，过点C作DE∥AB．
∵DE∥AB（已知），
∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
已知：如图， ．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B=∠ECD（ ）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（ ）．
专题11.3 三角形的内角和定理【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5266" 【题型1 证明三角形内角和】 PAGEREF _Tc5266 \h 1
\l "_Tc19782" 【题型2 由三角形内角和直接求角度】 PAGEREF _Tc19782 \h 6
\l "_Tc21582" 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 PAGEREF _Tc21582 \h 8
\l "_Tc23996" 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc23996 \h 10
\l "_Tc4114" 【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 PAGEREF _Tc4114 \h 13
\l "_Tc20124" 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc20124 \h 18
\l "_Tc3596" 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 PAGEREF _Tc3596 \h 22
\l "_Tc11136" 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc11136 \h 26
\l "_Tc6407" 【题型9 由直角三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc6407 \h 33
\l "_Tc13116" 【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】 PAGEREF _Tc13116 \h 37
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（ ）
①如图1，过点C作EF∥AB；
②如图2，过AB上一点D分别作DE∥BC，DF∥AC；
③如图3，延长AC到点F，过点C作CE∥AB；
④如图4，过点C作CD⊥AB于点D．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．
【详解】①∵EF∥AB，
∴∠ECA=∠A,∠FCB=∠B，
∵∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，故①符合题意，
②∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠ADE=∠B,∠BDF=∠A，∠C=∠AED,∠AED=∠EDF，
∴∠C=∠EDF，
∵∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°，故②符合题意，
③∵CE∥AB，
∴∠FCE=∠A,∠ECB=∠B，
∵∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，故③符合题意，
④∵ CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
不能证明“三角形的内角和等于180°”故④不符合题意，
故选：A．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【答案】三角形内角和定理
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【详解】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠B+∠C+∠A=180°，
∴定理为：三角形内角和定理．
故答案为：三角形内角和定理．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A．★处填2B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行D．②平角定义
【答案】D
【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．
【详解】证明：如图，过点C作DE∥AB．
∵DE∥AB（已知），
∴∠B=∠1，∠A=∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
故选D
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【答案】(1)∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质：
（1）在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可；
（2）过点A作AD∥BC，根据平行线的性质∠DAC=∠C，∠BAD+∠B=180°，由此证明即可．
【详解】（1）解：已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如图，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．
（2）证明：如图，过点A作AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∠BAD+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
即∠BAC+∠DAC+∠B=180°．
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A=100°，则∠B= ．
【答案】50°或30°或160°3或80°3
【分析】该题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是分类讨论．
根据“倍角三角形”定义分为当∠A=2∠B时，当∠A=2∠C时，当∠B=2∠C时，当∠C=2∠B时，结合三角形内角和定理求解即可；
【详解】解：当∠A=2∠B时，∠B=12∠A=50°；
当∠A=2∠C时，∠C=12∠A=50°，∠B=180°−∠A−∠C=30°；
当∠B=2∠C时，∠A+∠B+∠C=100°+∠B+12∠B=180°，解得：∠B=160°3；
当∠C=2∠B时，∠A+∠B+∠C=100°+∠B+2∠B=180°，解得：∠B=80°3；
故答案为：50°或30°或160°3或80°3．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，则∠2的度数为 ．
【答案】85°/85度
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得∠ABC=∠3=35°，利用三角形内角和定理得出∠AEB的度数，即可求解．
【详解】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠3=35°，
∵∠1=130°
∴∠4=180°−130°=50°，
∴∠AEB=180°−50°−35°=95°
∴∠2=180°−∠AEB=85°，
故答案为：85°．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，则∠A的度数是（ ）
A．54°B．64°C．74°D．52°
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据图形平移，图形的大小不变，对应角、对应边相等即可求解．
【详解】解：根据题意，由平移的性质得：∠1=∠B=64°，
∴∠A=180°−∠B−∠2=64°，
故选：B ．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，∠2与∠3互余，且∠1=∠4，试猜想AB与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】AB⊥BC，理由见解析
【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，三角形内角和定理，根据∠2+∠3=90°，推出∠DEC=90°，进而得到∠1+∠BEC=90°，由∠1=∠4，得到∠4+∠BEC=90°，从而得到∠CBE=90°，推出AB⊥BC．
【详解】解：AB⊥BC，理由见如下：
∵ ∠2+∠3=90°，
∴ ∠DEC=180°−∠2−∠3=90°，
∴ ∠1+∠BEC=180°−∠DEC=90°，
∵ ∠1=∠4，
∴ ∠4+∠BEC=90°，
∴ ∠CBE=180°−∠4+∠BEC=90°，
∴ AB⊥BC．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当x=3y时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．利用三角形内角和定理得到x+y=120，结合已知计算即可求解．
【详解】解：如图x=3y，且x+y=180−60=120，
∴3y+y=120，
∴y=30，
∴x=90，
∴该三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）△ABC中，若∠A−∠C=∠B，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角二角形D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，根据在△ABC中，∠A−∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠A的度数，即可得出结论，熟知三角形内角和是180°是解答本题的关键．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A−∠C=∠B，
∴∠A=∠C+∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵三角形的两个内角都小于30°，
∴这两个内角的和小于60°，
∵三个内角的和为180°，
∴另一个角大于120°，
∴这个三角形是钝角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，请判断三角形的形状并证明．
【答案】△ABC是直角三角形，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，设∠A=4x，∠B=5x，∠C=9x，根据三角形内角和为180度建立方程4x+5x+9x=180°，解方程求出x的值，进而求出∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°，由此可得结论．
【详解】解；△ABC是直角三角形，证明如下；
∵∠A:∠B:∠C=4:5:9，
∴可设∠A=4x，∠B=5x，∠C=9x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴4x+5x+9x=180°，
解得x=10°，
∴∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】D
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代换得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．
【详解】连接AC并延长交EF于点M．
∵AB∥CF，
∴∠3=∠1，
∵AD∥CE，
∴∠2=∠4，
∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，
∵∠FCE=180°−∠E−∠F=180°−70°−50°=60°，
∴∠BAD=∠FCE=60°，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90°B．110°C．120°D．135°
【答案】B
【分析】首先根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的内角和为180°，求出∠AOB的大小．
【详解】解：∵AB//CD，
∴∠B＝∠D＝45°．
∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，根据平行线的性质得出∠B＝∠D＝45°是解题的关键，属于基础题型，比较简单．
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC中，点D，H，E分别是边AB，BC，CA上的点，连接DE，DH，F为DH上一点，连接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．则∠FEC的度数为 °．
【答案】63
【分析】由∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，得到∠2=∠DFE，根据平行线的判定，得到AB∥FE，根据平行线的性质，得到∠FEC=∠A，根据三角形内角和定理，求出∠A的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，
∴∠2=∠DFE，
∴AB∥FE，
∴∠FEC=∠A，
∵∠A=180°−∠B−∠C=180°−65°−52°=63°，
∴∠FEC=∠A=63°，
故答案为：63．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为 ．
【答案】76
【分析】先由平行线的性质得到∠ACB=∠5+∠1+∠2，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【详解】解：过点C作CH∥MN，
∵CH∥MN，
∴∠6=∠5，∠7=∠1+∠2，
∵∠ACB=∠6+∠7，
∴∠ACB=∠5+∠1+∠2，
∵∠D=52°，
∴∠1+∠5+∠3=180°−52°=128°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴m°=∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5，∠4=180°−∠5+∠3=180°−180°−∠1−∠D=∠1+∠D=∠1+52°，
∴∠3=∠4=∠1+52°，
∴∠1+∠5+∠3=∠1+∠5+∠1+52°=2∠1+∠5+52°=m°+52°，
∴m°+52°=128°，
∴m=76．
故答案为：76．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出∠1+∠2+∠3=125°，∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，∠MBD=∠CBD=12∠ABC，∠DCB=∠DCN=12∠ACB，
∴∠BDC=180°−∠DBC−∠DCB
=180°−12∠ACB+∠ACB
=180°−12180°−70°=125°，
即∠1+∠2+∠3=125°，
∠1+∠3=∠BDM，∠2+∠3=∠CDN，∠MDN=∠A=70°，
∵∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，
∴∠1+∠2+2∠3+∠1+∠2+∠3+∠MDN=360°，
∴3∠1+∠2+∠3−∠1+∠2+70°=360°，
∴3×125°−∠1+∠2+70°=360°，
∴∠1+∠2=85°，
故选：D．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，若∠ACB'=α°，则∠ACD的度数是 °．（用含α的代数式表示）
【答案】45−12α
【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，根据角度间关系可得∠B'CD=α°+∠ACD，再根据折叠性质得到∠BCD=∠B'CD=α°+∠ACD，最后推出2∠ACD=90°−α°，即可得出答案，理清角度间的数量关系是解题关键．
【详解】解：∵∠ACB'=α°，
∴∠B'CD=∠ACB'+∠ACD=α°+∠ACD，
∵将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，
∴∠BCD=∠B'CD=α°+∠ACD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=α°+2∠ACD，
∵∠ACB=90°，
∴2∠ACD=90°−α°，
∴∠ACD=45−α2°．
故答案为：45−12α．
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=130°，则∠A= .
【答案】65°/65度
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．由折叠可得∠AED=∠A'ED=12∠AEA'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，进而可得∠1+∠2=360°−2∠AED−2∠ADE，结合∠AED+∠ADE+∠A=180°，可得∠1+∠2=2∠A=130°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，
∴ ∠AED=∠A'ED=12∠AEA'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，
∴ ∠1+∠2=180°−∠AEA'+180°−∠ADA' =360°−2∠AED−2∠ADE，
∵ ∠AED+∠ADE+∠A=180°，
∴ ∠AED+∠ADE=180°−∠A，
∴ ∠1+∠2=360°−2180°−∠A=2∠A，
∵ ∠1+∠2=130°，
∴ ∠A=12×130°=65°，
故答案为：65°．
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，∠CDB的度数为 ．
【答案】65°或120°
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，ED∥AB和ED∥BC，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键．
【详解】由折叠的性质得：∠CDB=∠EDB，
设∠EDB=∠CDB=xx>0，
∵∠A=60°,∠ABC=70°，
∴∠C=50°，
由题意，分以下两种情况：
如图，当ED∥AB时，
∵∠EDA=∠A=60°，
∴∠ADB=∠EDB−∠EDA=x−60°，
∵∠ADB+∠CDB=180°，
∴x−60+x=180，
解得x=120，
即∠CDB=120°；
如图，当ED∥BC时，
∴∠EDA=∠C=50°，
∵∠CDB+∠EDB+∠EDA=180°，
∴x+x+50=180，
解得x=65，
即∠CDB=65°，
综上，∠CDB的大小为65°或120°．
故答案为：65°或120°．
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数= ．
【答案】70°
【分析】本题考查了三角形的内角和180°以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和180°以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，根据角平分线的定义求得∠ACE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
【详解】∵∠A=40°，∠B=80°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∠ACD=180°−∠A−∠CDA=50°，
∴∠ECD=∠ACD−∠ACE=20°，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=180°−∠CFD−∠DCF=70°．
故答案为：70°．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，∠BOC=n，∠A= （用含n的代数式表示）.
【答案】2n−180°
【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，先求出∠OBC+∠OCB=180°−n，再利用角平分线求出∠ABC+∠ACB=2180°−n，再利用三角形内角和定理即可求出答案.
【详解】解：∵∠BOC=n，
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−n，
∵CD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2∠OBC+∠OCB=2180°−n，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB=180°−2180°−n=2n−180°，
故答案为：2n−180°
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（ ）．
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据 ∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠EAD=5°，再依据BF是∠ABC的平分线，得到∠ABF=30°，可得∠EAD+∠ABF=35°，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠ABC=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°−25°=5°，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=12∠ABC=30°，
∴∠EAD+∠ABF=35°
故选：A．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，则△DEF为 倍角三角形．
(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F．若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．
【答案】(1)3
(2)50°或52.5°或25°或22.5°
(3)45°或60°
【分析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
（1）由∠E=40°，∠F=35°可知∠D=105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．
（2）先求出∠CBA+∠CAB=75°，∠C=105°，然后分四种情形分别求解即可．
（3）先证明∠EAF=90°，∠ABO=2∠E，然后分四种情形分别求解即可．
【详解】（1）∵∠E=40°，∠F=35°，
∴∠D=180°−40°−35°=105°，
∴∠D=3∠F，
∴△DEF为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵∠POM=30°，
∴∠OAB+∠OBA=150°．
又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，
∴∠CBA+∠CAB=12∠OAB+12∠OBA=75°，
∴∠C=105°．
①当∠CBA=2∠CAB时，
∵∠CBA+∠CAB=75°，
∴∠BAC=25°；
②当∠CAB=2∠CBA时，
∵∠CBA+∠CAB=75°，
∴∠BAC=50°；
③当∠C=2∠CAB时，
∵∠C=105°，
∴∠BAC=12∠C=52.5°；
④当∠C=2∠CBA时，
∵∠C=105°，
∴∠CBA=12∠C=52.5°，
∴∠BAC=22.5°．
综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°或52.5°或25°或22.5°；
（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF，
∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°，
∴∠E+∠F=90°；
又∵EF平分∠BOQ，
∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①，
∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90°②；
①×2−②得：∠ABO=2∠E．
若△AEF为3倍角三角形：
i)若∠F=3∠E，
∵∠E+∠F=90°，
∴∠E=22.5°，
∴∠ABO=45°；
ii)若∠E=3∠F，
∴∠E=67.5°，
∴∠ABO=135°（不符合题意，舍去）；
iii)若∠EAF=3∠E，
∴∠E=30°，
∴∠ABO=60°；
iv)若∠EAF=3∠F，
∴∠F=30°，∠E=60°，
∴∠ABO=120°（不符合题意，舍去）；
综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE//BC，则∠AFD的度数是 ．
【答案】75°
【分析】首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
【详解】解：∵AE//BC，
∴∠E=∠EDC=45°，∵∠C=30°
∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，
故答案为75°
【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握计算法则是解题关键.
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15∘B．20∘C．65∘D．95∘
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即∠ABE=∠CFE ，进而求出∠EFD ，根据三角形内角和定理即可求出∠DEB．
【详解】如图：
∵ AB∥CD
∴∠ABE=∠CFE=45°
∴∠DFE=180°−∠CFE=180°−45°=135°
∴∠DEB=∠180°−∠EFD−∠EDF=180°−30°−135°=15°
故答案选A
【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到∠ABE=∠CFE为关键．
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．
【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，
故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有__________个，以点O为交点的“8字型”有__________个；
②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①3；4；②∠P=110°③3∠P=∠B+2∠C
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A+∠C=180°−∠AOC，∠B+∠D=180°−∠BOD，又因为∠AOC和∠BOD是对顶角，进而得出结论；
（2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案；
②根据角平分线的定义得到∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，再根据三角形内角和定理得出∠P+∠CDP=∠C+∠CAP和∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，两式相加，最后得出2∠P=∠B+∠C，然后把∠B=100°,∠C=120°代入计算即可得到答案；
③根据∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB得到∠BAP=23∠CAB，∠BDP=23∠CDB，再根据三角形内角和定理得出∠P+∠CDP=∠C+∠CAP和∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，两式分别相减得到∠C−∠P=∠CDP−∠CAP和∠P−∠B=∠BDP−∠BAP，即可得到答案
【详解】（1）证明：∵∠A+∠C=180°−∠AOC，∠B+∠D=180°−∠BOD，∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+D；
（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：以△ACM和△MDP共点M组成的图形ACMDP；以△AOC和△DON共点O组成的图形ACODN；以△AOC和△BOD共点O组成的图形ACODB；共有3个；
以点O为交点的“8字型”有：以△AOC和△DON共点O组成的图形ACODN；以△AOC和△BOD共点O组成的图形ACODB；以△AOM和△BOD共点O组成的图形AMODB；以△AOM和△DON共点O组成的图形AMODN；共有4个；
故答案为：3；4；
②以点M为交点的“8字型”ACMDP中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以点N为交点的“8字型”APNDB中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°,∠C=120°，
∴∠P=12(∠B+∠C)
=12(100°+120°)=110°；
③3∠P=∠B+2∠C
∵∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，
∴∠BAP=23∠CAB，∠BDP=23∠CDB，
以点M为交点的“8字型”ACMDP中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以点N为交点的“8字型”APNDB中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴∠C−∠P=∠CDP−∠CAP
=13(∠CDB−∠CAB)
∠P−∠B=∠BDP−∠BAP =23(∠CDB−∠CAB)，
∴2∠C−∠P=∠P−∠B，
∴3∠P=∠B+2∠C；
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（ ）
A．∠C+∠ADE=95°B．∠C−∠ADE=25°
C．∠C−∠ADE=35°D．∠C=2∠ADE
【答案】B
【分析】先求出∠AED=180°−∠CED=75°，再根据三角形内角和定理可得∠C=180°−∠B−∠A=130°−∠A，∠ADE=180°−∠A−∠AED=105°−∠A，从而可得∠C−∠ADE=（130°−∠A）−（∠105°−∠A）=25°，即可求解．
【详解】解：∵∠CED=105°，
∴∠AED=180°−∠CED=75°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠C=180°−∠B−∠A=130°−∠A，∠ADE=180°−∠A−∠AED=105°−∠A，
∴∠C−∠ADE=（130°−∠A）−（∠105°−∠A）=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是正确利用△ABC和△ADE的内角关系．
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°
(1)求∠DAE的度数．
(2)求∠DAE与∠B，∠C的关系，并说明理由．
【答案】(1)10°
(2)∠DAE=12∠C−12∠B
【分析】（1）先利用三角形的内角和求得∠BAC=100°，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得∠CAE=50°，∠CAD=40°，进而求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得∠CAE=12∠BAC=12180°−∠B−∠C，∠CAD=90°−∠C，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=12∠BAC=50°，∠CAD=90°−∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=50°−40°=10°；
（2）解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=12180°−∠B−∠C，∠CAD=90°−∠C，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD
=12180°−∠B−∠C−90°−∠C
=90°−12∠B−12∠C−90°+∠C
=12∠C−12∠B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A,D重合），连接EC．
(1)若∠ACM=50°，则∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；
(2)若∠ECA=2∠EAB，求证：∠ECB=∠ABC；
(3)如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°<γ<180°，试求α,β,γ之间的等量关系．
【答案】(1)25，40；
(2)见解析
(3)γ+β−12α=57°或γ−β−12α=57°
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可求出∠BAD，根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC；
（2）由AD平分∠BAC得到∠CAB=2∠EAB，从而∠CAB=∠ECA，再根据等角的余角相等即可得证；
（3）分两种情况讨论求解：①点E在线段BC的左侧，②点E在线段BC的右侧．
【详解】（1）解：∵MN∥AB，
∴∠CAB=∠ACM=50°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=12∠CAB=12×50°=25°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC=180°−90°−50°=40°；
故答案为：25，40
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠EAB，
∵∠ECA=2∠EAB，
∴∠CAB=∠ECA，
∵∠ACB=90°
∴∠ECB+∠ECA=90°
∵∠CAB+∠CBA=90°
∴∠ECB=∠ABC；
（3）解：①当点E在线段BC的左侧时，如图，
∵∠CAB=2∠EAB,∠EAB=22°，
∴∠CAB=44°,∠CAE=∠EAB=22°，
∵MN∥AB，
∴∠MCA=∠CAB=44°，
∵∠ECM=α，
∴∠ACE=∠ECM−∠MCA=α−44°，
∴∠CED=∠CAE+∠ACE=α−44°+22°=α−220，
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=∠DEF=12∠CED=12α−11°，
∵∠ACB=90°,∠CAB=44°，
∴∠ABC=46°，
∵∠EBC=β，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=46°−β，
∵∠BEF=γ0°<γ<180°，
∴∠BED=∠BEF−∠FED=γ−12α−11°=γ−12α+11°，
∵∠BED=∠EAB+∠ABE，
∴γ−12α+11°=22°+46°−β，
∴γ+β−12α=57°；
②当点E在线段BC的右侧时，如图，
∵∠CAB=2∠EAB,∠EAB=22°，
∴∠CAB=44°,∠CAE=∠EAB=22°，
∵MN∥AB，
∴∠MCA=∠CAB=44°，
∵∠ECM=α，
∴∠ACE=∠ECM−∠MCA=α−44°，
∴∠CED=∠CAE+∠ACE=α−44°+22°=α−22°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=∠DEF=12∠CED=12α−11°，
∵∠ACB=90°,∠CAB=44°，
∴∠ABC=46°，
∵∠EBC=β
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=46°+β，
∵∠BEF=γ0°<γ<180°，
∴∠BED=∠BEF−∠FED=γ−12α−11°=γ−12α+11°
∵∠BED=∠EAB+∠ABE，
∴γ−12α+11°=22°+46°+β
∴γ−β−12α=57°；
综上，α,β,γ之间的等量关系为：γ+β−12α=57°或γ−β−12α=57°
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ．
【答案】90°或70°
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当∠A为直角时，当∠C为直角时，分别求出结果即可．
【详解】解：当∠A为直角时，∠A=90°，
当∠C为直角时，∠A+∠B=90°，
∵∠A比∠B的3倍还多10°，
∴∠A=3∠B+10°，
∴3∠B+10°+∠B=90°，
∴∠B=20°，
∴∠A=70°，
故答案为：90°或70°．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=25°，则∠DFC= ．
【答案】110°/110度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得∠BFM+∠BMF=90°，∠EAM+∠AME=90°，进而由余角性质可得∠BFM=∠EAM=25°，即可得到∠BFD=25°+45°=70°，再利用邻补角的性质即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，∵∠B=∠E=90°，
∴∠BFM+∠BMF=90°，∠EAM+∠AME=90°，
∵∠BMF=∠AME，
∴∠BFM=∠EAM=25°，
∵∠DFE=45°，
∴∠BFD=25°+45°=70°，
∴∠DFC=180°−70°=110°，
故答案为：110°．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH= ．
【答案】15°
【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长CH交AB于点M，可得在△ABC中，三边所在的高交于一点，即CM⊥AB，由此即可解答．
【详解】解：延长CH交AB于点M，如图，
在△ABC中，三边所在的高交于一点，
∴CM⊥AB，
∵∠BAC=75°，
∴∠ECH=180°−∠BAC−∠AMC=15°，
故答案为：15°．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
【答案】15°或105°或75°或165
【分析】根据题意画出四种情况，先根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC和∠DEF的度数，再分别求出∠ABD即可．
【详解】解：有四种情况：
第一种情况：如图1，
∵∠C=∠F=90°，∠A=60°，∠D=45°，
∴∠ABC=90°-∠A=30°，∠DBF=90°-∠D=45°，
∴∠ABD=∠DBF-∠ABC=45°-30°=15°；
第二种情况：如图2，
∵∠ABC=30°，∠DEF=45°，
∴∠ABD=1800°-∠ABC-∠DEF=180°-30°-45°=105°；
第三种情况：如图3，
∵∠ABC=30°，∠DEF=45°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DEF=30°+45°=75°；
第四种情况：如图4，
∵∠DEF=45°，
∴∠DBC=180°-∠DEF=135°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=30°+135°=165°；
∠ABD的度数是15°或105°或75°或165°，
故答案为：15°或105°或75°或165．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和三角形内角和定理，能正确画出符合的所有图形是解此题的关键．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由AD是BC边上的高，得∠DMC+∠DCM=90°；再由∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，即可得结论成立．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DMC+∠DCM=90°．
∵∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，
∴∠AME+∠MAE=90°，
∴△AEM是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】已知：在△ABC中，∠A＋∠B=90°，
求证：△ABC是直角三角形，
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）．
∴ ∠C=180°−∠A+∠B（等式性质）．
∵ ∠A＋∠B=90°（已知），
∴ ∠C=180°−90°=90°（等量代换），
∴ △ABC是直角三角形．
【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B−∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①因为∠C=∠A+∠B，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A:∠B:∠C=3:2:1，设∠A=x，则x+2x+3x=180°，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A=90°−∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°−90°=90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A=∠B−∠C，所以∠C+∠A=∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，2∠B=180°，解得∠B=90°，△ABC是直角三角形；
能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：D．
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】△AED，△AEB，△DEC
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得∠AED=90∘即可得出结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180∘，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，
∴∠DAE=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC，
∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=12∠ADC+∠BAD=90∘，
∴△AED是直角三角形，
∴∠AED=90∘，
∵AC和BD交于点E，
∴∠DEC=∠AEB=∠AED=90∘，
∴△AED，△AEB，△DEC均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．
证明：如图，过点C作DE∥AB．
∵DE∥AB（已知），
∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
已知：如图， ．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B=∠ECD（ ）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（ ）．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5266" 【题型1 证明三角形内角和】 PAGEREF _Tc5266 \h 1
\l "_Tc19782" 【题型2 由三角形内角和直接求角度】 PAGEREF _Tc19782 \h 3
\l "_Tc21582" 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 PAGEREF _Tc21582 \h 4
\l "_Tc23996" 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc23996 \h 4
\l "_Tc4114" 【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 PAGEREF _Tc4114 \h 5
\l "_Tc20124" 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc20124 \h 7
\l "_Tc3596" 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 PAGEREF _Tc3596 \h 8
\l "_Tc11136" 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc11136 \h 9
\l "_Tc6407" 【题型9 由直角三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc6407 \h 11
\l "_Tc13116" 【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】 PAGEREF _Tc13116 \h 12
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（ ）
①如图1，过点C作EF∥AB；
②如图2，过AB上一点D分别作DE∥BC，DF∥AC；
③如图3，延长AC到点F，过点C作CE∥AB；
④如图4，过点C作CD⊥AB于点D．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A．★处填2B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行D．②平角定义
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A=100°，则∠B= ．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，则∠2的度数为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，则∠A的度数是（ ）
A．54°B．64°C．74°D．52°
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，∠2与∠3互余，且∠1=∠4，试猜想AB与BC的位置关系，并说明理由．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当x=3y时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）△ABC中，若∠A−∠C=∠B，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角二角形D．无法确定
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，请判断三角形的形状并证明．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90°B．110°C．120°D．135°
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC中，点D，H，E分别是边AB，BC，CA上的点，连接DE，DH，F为DH上一点，连接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．则∠FEC的度数为 °．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为 ．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，若∠ACB'=α°，则∠ACD的度数是 °．（用含α的代数式表示）
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=130°，则∠A= .
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，∠CDB的度数为 ．
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数= ．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，∠BOC=n，∠A= （用含n的代数式表示）.
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（ ）．
A．35°B．40°C．45°D．50°
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，则△DEF为 倍角三角形．
(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F．若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE//BC，则∠AFD的度数是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15∘B．20∘C．65∘D．95∘
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0B．1C．2D．3
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有__________个，以点O为交点的“8字型”有__________个；
②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（ ）
A．∠C+∠ADE=95°B．∠C−∠ADE=25°
C．∠C−∠ADE=35°D．∠C=2∠ADE
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°
(1)求∠DAE的度数．
(2)求∠DAE与∠B，∠C的关系，并说明理由．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A,D重合），连接EC．
(1)若∠ACM=50°，则∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；
(2)若∠ECA=2∠EAB，求证：∠ECB=∠ABC；
(3)如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°<γ<180°，试求α,β,γ之间的等量关系．
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=25°，则∠DFC= ．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH= ．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：
【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B−∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．
证明：如图，过点C作DE∥AB．
∵DE∥AB（已知），
∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
已知：如图， ．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B=∠ECD（ ）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（ ）．
专题11.3 三角形的内角和定理【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5266" 【题型1 证明三角形内角和】 PAGEREF _Tc5266 \h 1
\l "_Tc19782" 【题型2 由三角形内角和直接求角度】 PAGEREF _Tc19782 \h 6
\l "_Tc21582" 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 PAGEREF _Tc21582 \h 8
\l "_Tc23996" 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc23996 \h 10
\l "_Tc4114" 【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 PAGEREF _Tc4114 \h 13
\l "_Tc20124" 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc20124 \h 18
\l "_Tc3596" 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 PAGEREF _Tc3596 \h 22
\l "_Tc11136" 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc11136 \h 26
\l "_Tc6407" 【题型9 由直角三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc6407 \h 33
\l "_Tc13116" 【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】 PAGEREF _Tc13116 \h 37
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（ ）
①如图1，过点C作EF∥AB；
②如图2，过AB上一点D分别作DE∥BC，DF∥AC；
③如图3，延长AC到点F，过点C作CE∥AB；
④如图4，过点C作CD⊥AB于点D．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．
【详解】①∵EF∥AB，
∴∠ECA=∠A,∠FCB=∠B，
∵∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，故①符合题意，
②∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠ADE=∠B,∠BDF=∠A，∠C=∠AED,∠AED=∠EDF，
∴∠C=∠EDF，
∵∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°，故②符合题意，
③∵CE∥AB，
∴∠FCE=∠A,∠ECB=∠B，
∵∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，故③符合题意，
④∵ CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
不能证明“三角形的内角和等于180°”故④不符合题意，
故选：A．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【答案】三角形内角和定理
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【详解】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠B+∠C+∠A=180°，
∴定理为：三角形内角和定理．
故答案为：三角形内角和定理．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A．★处填2B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行D．②平角定义
【答案】D
【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．
【详解】证明：如图，过点C作DE∥AB．
∵DE∥AB（已知），
∴∠B=∠1，∠A=∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
故选D
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【答案】(1)∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质：
（1）在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可；
（2）过点A作AD∥BC，根据平行线的性质∠DAC=∠C，∠BAD+∠B=180°，由此证明即可．
【详解】（1）解：已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如图，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．
（2）证明：如图，过点A作AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∠BAD+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
即∠BAC+∠DAC+∠B=180°．
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A=100°，则∠B= ．
【答案】50°或30°或160°3或80°3
【分析】该题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是分类讨论．
根据“倍角三角形”定义分为当∠A=2∠B时，当∠A=2∠C时，当∠B=2∠C时，当∠C=2∠B时，结合三角形内角和定理求解即可；
【详解】解：当∠A=2∠B时，∠B=12∠A=50°；
当∠A=2∠C时，∠C=12∠A=50°，∠B=180°−∠A−∠C=30°；
当∠B=2∠C时，∠A+∠B+∠C=100°+∠B+12∠B=180°，解得：∠B=160°3；
当∠C=2∠B时，∠A+∠B+∠C=100°+∠B+2∠B=180°，解得：∠B=80°3；
故答案为：50°或30°或160°3或80°3．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，则∠2的度数为 ．
【答案】85°/85度
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得∠ABC=∠3=35°，利用三角形内角和定理得出∠AEB的度数，即可求解．
【详解】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠3=35°，
∵∠1=130°
∴∠4=180°−130°=50°，
∴∠AEB=180°−50°−35°=95°
∴∠2=180°−∠AEB=85°，
故答案为：85°．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，则∠A的度数是（ ）
A．54°B．64°C．74°D．52°
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据图形平移，图形的大小不变，对应角、对应边相等即可求解．
【详解】解：根据题意，由平移的性质得：∠1=∠B=64°，
∴∠A=180°−∠B−∠2=64°，
故选：B ．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，∠2与∠3互余，且∠1=∠4，试猜想AB与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】AB⊥BC，理由见解析
【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，三角形内角和定理，根据∠2+∠3=90°，推出∠DEC=90°，进而得到∠1+∠BEC=90°，由∠1=∠4，得到∠4+∠BEC=90°，从而得到∠CBE=90°，推出AB⊥BC．
【详解】解：AB⊥BC，理由见如下：
∵ ∠2+∠3=90°，
∴ ∠DEC=180°−∠2−∠3=90°，
∴ ∠1+∠BEC=180°−∠DEC=90°，
∵ ∠1=∠4，
∴ ∠4+∠BEC=90°，
∴ ∠CBE=180°−∠4+∠BEC=90°，
∴ AB⊥BC．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当x=3y时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．利用三角形内角和定理得到x+y=120，结合已知计算即可求解．
【详解】解：如图x=3y，且x+y=180−60=120，
∴3y+y=120，
∴y=30，
∴x=90，
∴该三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）△ABC中，若∠A−∠C=∠B，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角二角形D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，根据在△ABC中，∠A−∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠A的度数，即可得出结论，熟知三角形内角和是180°是解答本题的关键．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A−∠C=∠B，
∴∠A=∠C+∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵三角形的两个内角都小于30°，
∴这两个内角的和小于60°，
∵三个内角的和为180°，
∴另一个角大于120°，
∴这个三角形是钝角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，请判断三角形的形状并证明．
【答案】△ABC是直角三角形，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，设∠A=4x，∠B=5x，∠C=9x，根据三角形内角和为180度建立方程4x+5x+9x=180°，解方程求出x的值，进而求出∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°，由此可得结论．
【详解】解；△ABC是直角三角形，证明如下；
∵∠A:∠B:∠C=4:5:9，
∴可设∠A=4x，∠B=5x，∠C=9x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴4x+5x+9x=180°，
解得x=10°，
∴∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】D
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代换得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．
【详解】连接AC并延长交EF于点M．
∵AB∥CF，
∴∠3=∠1，
∵AD∥CE，
∴∠2=∠4，
∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，
∵∠FCE=180°−∠E−∠F=180°−70°−50°=60°，
∴∠BAD=∠FCE=60°，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90°B．110°C．120°D．135°
【答案】B
【分析】首先根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的内角和为180°，求出∠AOB的大小．
【详解】解：∵AB//CD，
∴∠B＝∠D＝45°．
∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，根据平行线的性质得出∠B＝∠D＝45°是解题的关键，属于基础题型，比较简单．
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC中，点D，H，E分别是边AB，BC，CA上的点，连接DE，DH，F为DH上一点，连接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．则∠FEC的度数为 °．
【答案】63
【分析】由∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，得到∠2=∠DFE，根据平行线的判定，得到AB∥FE，根据平行线的性质，得到∠FEC=∠A，根据三角形内角和定理，求出∠A的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，
∴∠2=∠DFE，
∴AB∥FE，
∴∠FEC=∠A，
∵∠A=180°−∠B−∠C=180°−65°−52°=63°，
∴∠FEC=∠A=63°，
故答案为：63．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为 ．
【答案】76
【分析】先由平行线的性质得到∠ACB=∠5+∠1+∠2，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【详解】解：过点C作CH∥MN，
∵CH∥MN，
∴∠6=∠5，∠7=∠1+∠2，
∵∠ACB=∠6+∠7，
∴∠ACB=∠5+∠1+∠2，
∵∠D=52°，
∴∠1+∠5+∠3=180°−52°=128°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴m°=∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5，∠4=180°−∠5+∠3=180°−180°−∠1−∠D=∠1+∠D=∠1+52°，
∴∠3=∠4=∠1+52°，
∴∠1+∠5+∠3=∠1+∠5+∠1+52°=2∠1+∠5+52°=m°+52°，
∴m°+52°=128°，
∴m=76．
故答案为：76．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出∠1+∠2+∠3=125°，∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，∠MBD=∠CBD=12∠ABC，∠DCB=∠DCN=12∠ACB，
∴∠BDC=180°−∠DBC−∠DCB
=180°−12∠ACB+∠ACB
=180°−12180°−70°=125°，
即∠1+∠2+∠3=125°，
∠1+∠3=∠BDM，∠2+∠3=∠CDN，∠MDN=∠A=70°，
∵∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，
∴∠1+∠2+2∠3+∠1+∠2+∠3+∠MDN=360°，
∴3∠1+∠2+∠3−∠1+∠2+70°=360°，
∴3×125°−∠1+∠2+70°=360°，
∴∠1+∠2=85°，
故选：D．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，若∠ACB'=α°，则∠ACD的度数是 °．（用含α的代数式表示）
【答案】45−12α
【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，根据角度间关系可得∠B'CD=α°+∠ACD，再根据折叠性质得到∠BCD=∠B'CD=α°+∠ACD，最后推出2∠ACD=90°−α°，即可得出答案，理清角度间的数量关系是解题关键．
【详解】解：∵∠ACB'=α°，
∴∠B'CD=∠ACB'+∠ACD=α°+∠ACD，
∵将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，
∴∠BCD=∠B'CD=α°+∠ACD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=α°+2∠ACD，
∵∠ACB=90°，
∴2∠ACD=90°−α°，
∴∠ACD=45−α2°．
故答案为：45−12α．
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=130°，则∠A= .
【答案】65°/65度
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．由折叠可得∠AED=∠A'ED=12∠AEA'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，进而可得∠1+∠2=360°−2∠AED−2∠ADE，结合∠AED+∠ADE+∠A=180°，可得∠1+∠2=2∠A=130°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，
∴ ∠AED=∠A'ED=12∠AEA'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，
∴ ∠1+∠2=180°−∠AEA'+180°−∠ADA' =360°−2∠AED−2∠ADE，
∵ ∠AED+∠ADE+∠A=180°，
∴ ∠AED+∠ADE=180°−∠A，
∴ ∠1+∠2=360°−2180°−∠A=2∠A，
∵ ∠1+∠2=130°，
∴ ∠A=12×130°=65°，
故答案为：65°．
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，∠CDB的度数为 ．
【答案】65°或120°
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，ED∥AB和ED∥BC，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键．
【详解】由折叠的性质得：∠CDB=∠EDB，
设∠EDB=∠CDB=xx>0，
∵∠A=60°,∠ABC=70°，
∴∠C=50°，
由题意，分以下两种情况：
如图，当ED∥AB时，
∵∠EDA=∠A=60°，
∴∠ADB=∠EDB−∠EDA=x−60°，
∵∠ADB+∠CDB=180°，
∴x−60+x=180，
解得x=120，
即∠CDB=120°；
如图，当ED∥BC时，
∴∠EDA=∠C=50°，
∵∠CDB+∠EDB+∠EDA=180°，
∴x+x+50=180，
解得x=65，
即∠CDB=65°，
综上，∠CDB的大小为65°或120°．
故答案为：65°或120°．
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数= ．
【答案】70°
【分析】本题考查了三角形的内角和180°以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和180°以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，根据角平分线的定义求得∠ACE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
【详解】∵∠A=40°，∠B=80°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∠ACD=180°−∠A−∠CDA=50°，
∴∠ECD=∠ACD−∠ACE=20°，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=180°−∠CFD−∠DCF=70°．
故答案为：70°．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，∠BOC=n，∠A= （用含n的代数式表示）.
【答案】2n−180°
【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，先求出∠OBC+∠OCB=180°−n，再利用角平分线求出∠ABC+∠ACB=2180°−n，再利用三角形内角和定理即可求出答案.
【详解】解：∵∠BOC=n，
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−n，
∵CD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2∠OBC+∠OCB=2180°−n，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB=180°−2180°−n=2n−180°，
故答案为：2n−180°
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（ ）．
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据 ∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠EAD=5°，再依据BF是∠ABC的平分线，得到∠ABF=30°，可得∠EAD+∠ABF=35°，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠ABC=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°−25°=5°，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=12∠ABC=30°，
∴∠EAD+∠ABF=35°
故选：A．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，则△DEF为 倍角三角形．
(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F．若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．
【答案】(1)3
(2)50°或52.5°或25°或22.5°
(3)45°或60°
【分析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
（1）由∠E=40°，∠F=35°可知∠D=105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．
（2）先求出∠CBA+∠CAB=75°，∠C=105°，然后分四种情形分别求解即可．
（3）先证明∠EAF=90°，∠ABO=2∠E，然后分四种情形分别求解即可．
【详解】（1）∵∠E=40°，∠F=35°，
∴∠D=180°−40°−35°=105°，
∴∠D=3∠F，
∴△DEF为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵∠POM=30°，
∴∠OAB+∠OBA=150°．
又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，
∴∠CBA+∠CAB=12∠OAB+12∠OBA=75°，
∴∠C=105°．
①当∠CBA=2∠CAB时，
∵∠CBA+∠CAB=75°，
∴∠BAC=25°；
②当∠CAB=2∠CBA时，
∵∠CBA+∠CAB=75°，
∴∠BAC=50°；
③当∠C=2∠CAB时，
∵∠C=105°，
∴∠BAC=12∠C=52.5°；
④当∠C=2∠CBA时，
∵∠C=105°，
∴∠CBA=12∠C=52.5°，
∴∠BAC=22.5°．
综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°或52.5°或25°或22.5°；
（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF，
∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°，
∴∠E+∠F=90°；
又∵EF平分∠BOQ，
∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①，
∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90°②；
①×2−②得：∠ABO=2∠E．
若△AEF为3倍角三角形：
i)若∠F=3∠E，
∵∠E+∠F=90°，
∴∠E=22.5°，
∴∠ABO=45°；
ii)若∠E=3∠F，
∴∠E=67.5°，
∴∠ABO=135°（不符合题意，舍去）；
iii)若∠EAF=3∠E，
∴∠E=30°，
∴∠ABO=60°；
iv)若∠EAF=3∠F，
∴∠F=30°，∠E=60°，
∴∠ABO=120°（不符合题意，舍去）；
综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE//BC，则∠AFD的度数是 ．
【答案】75°
【分析】首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
【详解】解：∵AE//BC，
∴∠E=∠EDC=45°，∵∠C=30°
∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，
故答案为75°
【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握计算法则是解题关键.
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15∘B．20∘C．65∘D．95∘
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即∠ABE=∠CFE ，进而求出∠EFD ，根据三角形内角和定理即可求出∠DEB．
【详解】如图：
∵ AB∥CD
∴∠ABE=∠CFE=45°
∴∠DFE=180°−∠CFE=180°−45°=135°
∴∠DEB=∠180°−∠EFD−∠EDF=180°−30°−135°=15°
故答案选A
【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到∠ABE=∠CFE为关键．
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．
【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，
故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有__________个，以点O为交点的“8字型”有__________个；
②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①3；4；②∠P=110°③3∠P=∠B+2∠C
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A+∠C=180°−∠AOC，∠B+∠D=180°−∠BOD，又因为∠AOC和∠BOD是对顶角，进而得出结论；
（2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案；
②根据角平分线的定义得到∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，再根据三角形内角和定理得出∠P+∠CDP=∠C+∠CAP和∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，两式相加，最后得出2∠P=∠B+∠C，然后把∠B=100°,∠C=120°代入计算即可得到答案；
③根据∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB得到∠BAP=23∠CAB，∠BDP=23∠CDB，再根据三角形内角和定理得出∠P+∠CDP=∠C+∠CAP和∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，两式分别相减得到∠C−∠P=∠CDP−∠CAP和∠P−∠B=∠BDP−∠BAP，即可得到答案
【详解】（1）证明：∵∠A+∠C=180°−∠AOC，∠B+∠D=180°−∠BOD，∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+D；
（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：以△ACM和△MDP共点M组成的图形ACMDP；以△AOC和△DON共点O组成的图形ACODN；以△AOC和△BOD共点O组成的图形ACODB；共有3个；
以点O为交点的“8字型”有：以△AOC和△DON共点O组成的图形ACODN；以△AOC和△BOD共点O组成的图形ACODB；以△AOM和△BOD共点O组成的图形AMODB；以△AOM和△DON共点O组成的图形AMODN；共有4个；
故答案为：3；4；
②以点M为交点的“8字型”ACMDP中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以点N为交点的“8字型”APNDB中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°,∠C=120°，
∴∠P=12(∠B+∠C)
=12(100°+120°)=110°；
③3∠P=∠B+2∠C
∵∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，
∴∠BAP=23∠CAB，∠BDP=23∠CDB，
以点M为交点的“8字型”ACMDP中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以点N为交点的“8字型”APNDB中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴∠C−∠P=∠CDP−∠CAP
=13(∠CDB−∠CAB)
∠P−∠B=∠BDP−∠BAP =23(∠CDB−∠CAB)，
∴2∠C−∠P=∠P−∠B，
∴3∠P=∠B+2∠C；
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（ ）
A．∠C+∠ADE=95°B．∠C−∠ADE=25°
C．∠C−∠ADE=35°D．∠C=2∠ADE
【答案】B
【分析】先求出∠AED=180°−∠CED=75°，再根据三角形内角和定理可得∠C=180°−∠B−∠A=130°−∠A，∠ADE=180°−∠A−∠AED=105°−∠A，从而可得∠C−∠ADE=（130°−∠A）−（∠105°−∠A）=25°，即可求解．
【详解】解：∵∠CED=105°，
∴∠AED=180°−∠CED=75°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠C=180°−∠B−∠A=130°−∠A，∠ADE=180°−∠A−∠AED=105°−∠A，
∴∠C−∠ADE=（130°−∠A）−（∠105°−∠A）=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是正确利用△ABC和△ADE的内角关系．
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°
(1)求∠DAE的度数．
(2)求∠DAE与∠B，∠C的关系，并说明理由．
【答案】(1)10°
(2)∠DAE=12∠C−12∠B
【分析】（1）先利用三角形的内角和求得∠BAC=100°，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得∠CAE=50°，∠CAD=40°，进而求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得∠CAE=12∠BAC=12180°−∠B−∠C，∠CAD=90°−∠C，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=12∠BAC=50°，∠CAD=90°−∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=50°−40°=10°；
（2）解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=12180°−∠B−∠C，∠CAD=90°−∠C，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD
=12180°−∠B−∠C−90°−∠C
=90°−12∠B−12∠C−90°+∠C
=12∠C−12∠B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A,D重合），连接EC．
(1)若∠ACM=50°，则∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；
(2)若∠ECA=2∠EAB，求证：∠ECB=∠ABC；
(3)如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°<γ<180°，试求α,β,γ之间的等量关系．
【答案】(1)25，40；
(2)见解析
(3)γ+β−12α=57°或γ−β−12α=57°
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可求出∠BAD，根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC；
（2）由AD平分∠BAC得到∠CAB=2∠EAB，从而∠CAB=∠ECA，再根据等角的余角相等即可得证；
（3）分两种情况讨论求解：①点E在线段BC的左侧，②点E在线段BC的右侧．
【详解】（1）解：∵MN∥AB，
∴∠CAB=∠ACM=50°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=12∠CAB=12×50°=25°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC=180°−90°−50°=40°；
故答案为：25，40
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠EAB，
∵∠ECA=2∠EAB，
∴∠CAB=∠ECA，
∵∠ACB=90°
∴∠ECB+∠ECA=90°
∵∠CAB+∠CBA=90°
∴∠ECB=∠ABC；
（3）解：①当点E在线段BC的左侧时，如图，
∵∠CAB=2∠EAB,∠EAB=22°，
∴∠CAB=44°,∠CAE=∠EAB=22°，
∵MN∥AB，
∴∠MCA=∠CAB=44°，
∵∠ECM=α，
∴∠ACE=∠ECM−∠MCA=α−44°，
∴∠CED=∠CAE+∠ACE=α−44°+22°=α−220，
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=∠DEF=12∠CED=12α−11°，
∵∠ACB=90°,∠CAB=44°，
∴∠ABC=46°，
∵∠EBC=β，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=46°−β，
∵∠BEF=γ0°<γ<180°，
∴∠BED=∠BEF−∠FED=γ−12α−11°=γ−12α+11°，
∵∠BED=∠EAB+∠ABE，
∴γ−12α+11°=22°+46°−β，
∴γ+β−12α=57°；
②当点E在线段BC的右侧时，如图，
∵∠CAB=2∠EAB,∠EAB=22°，
∴∠CAB=44°,∠CAE=∠EAB=22°，
∵MN∥AB，
∴∠MCA=∠CAB=44°，
∵∠ECM=α，
∴∠ACE=∠ECM−∠MCA=α−44°，
∴∠CED=∠CAE+∠ACE=α−44°+22°=α−22°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=∠DEF=12∠CED=12α−11°，
∵∠ACB=90°,∠CAB=44°，
∴∠ABC=46°，
∵∠EBC=β
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=46°+β，
∵∠BEF=γ0°<γ<180°，
∴∠BED=∠BEF−∠FED=γ−12α−11°=γ−12α+11°
∵∠BED=∠EAB+∠ABE，
∴γ−12α+11°=22°+46°+β
∴γ−β−12α=57°；
综上，α,β,γ之间的等量关系为：γ+β−12α=57°或γ−β−12α=57°
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ．
【答案】90°或70°
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当∠A为直角时，当∠C为直角时，分别求出结果即可．
【详解】解：当∠A为直角时，∠A=90°，
当∠C为直角时，∠A+∠B=90°，
∵∠A比∠B的3倍还多10°，
∴∠A=3∠B+10°，
∴3∠B+10°+∠B=90°，
∴∠B=20°，
∴∠A=70°，
故答案为：90°或70°．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=25°，则∠DFC= ．
【答案】110°/110度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得∠BFM+∠BMF=90°，∠EAM+∠AME=90°，进而由余角性质可得∠BFM=∠EAM=25°，即可得到∠BFD=25°+45°=70°，再利用邻补角的性质即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，∵∠B=∠E=90°，
∴∠BFM+∠BMF=90°，∠EAM+∠AME=90°，
∵∠BMF=∠AME，
∴∠BFM=∠EAM=25°，
∵∠DFE=45°，
∴∠BFD=25°+45°=70°，
∴∠DFC=180°−70°=110°，
故答案为：110°．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH= ．
【答案】15°
【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长CH交AB于点M，可得在△ABC中，三边所在的高交于一点，即CM⊥AB，由此即可解答．
【详解】解：延长CH交AB于点M，如图，
在△ABC中，三边所在的高交于一点，
∴CM⊥AB，
∵∠BAC=75°，
∴∠ECH=180°−∠BAC−∠AMC=15°，
故答案为：15°．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
【答案】15°或105°或75°或165
【分析】根据题意画出四种情况，先根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC和∠DEF的度数，再分别求出∠ABD即可．
【详解】解：有四种情况：
第一种情况：如图1，
∵∠C=∠F=90°，∠A=60°，∠D=45°，
∴∠ABC=90°-∠A=30°，∠DBF=90°-∠D=45°，
∴∠ABD=∠DBF-∠ABC=45°-30°=15°；
第二种情况：如图2，
∵∠ABC=30°，∠DEF=45°，
∴∠ABD=1800°-∠ABC-∠DEF=180°-30°-45°=105°；
第三种情况：如图3，
∵∠ABC=30°，∠DEF=45°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DEF=30°+45°=75°；
第四种情况：如图4，
∵∠DEF=45°，
∴∠DBC=180°-∠DEF=135°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=30°+135°=165°；
∠ABD的度数是15°或105°或75°或165°，
故答案为：15°或105°或75°或165．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和三角形内角和定理，能正确画出符合的所有图形是解此题的关键．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由AD是BC边上的高，得∠DMC+∠DCM=90°；再由∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，即可得结论成立．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DMC+∠DCM=90°．
∵∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，
∴∠AME+∠MAE=90°，
∴△AEM是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】已知：在△ABC中，∠A＋∠B=90°，
求证：△ABC是直角三角形，
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）．
∴ ∠C=180°−∠A+∠B（等式性质）．
∵ ∠A＋∠B=90°（已知），
∴ ∠C=180°−90°=90°（等量代换），
∴ △ABC是直角三角形．
【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B−∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①因为∠C=∠A+∠B，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A:∠B:∠C=3:2:1，设∠A=x，则x+2x+3x=180°，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A=90°−∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°−90°=90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A=∠B−∠C，所以∠C+∠A=∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，2∠B=180°，解得∠B=90°，△ABC是直角三角形；
能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：D．
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】△AED，△AEB，△DEC
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得∠AED=90∘即可得出结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180∘，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，
∴∠DAE=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC，
∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=12∠ADC+∠BAD=90∘，
∴△AED是直角三角形，
∴∠AED=90∘，
∵AC和BD交于点E，
∴∠DEC=∠AEB=∠AED=90∘，
∴△AED，△AEB，△DEC均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．
证明：如图，过点C作DE∥AB．
∵DE∥AB（已知），
∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
已知：如图， ．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．
所以，CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B=∠ECD（ ）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（ ）．
相关试卷
北师大版（2024）八年级上册第二章 实数6 实数精品当堂检测题： 这是一份北师大版（2024）八年级上册<a href="/sx/tb_c10028_t7/?tag_id=28" target="_blank">第二章 实数6 实数精品当堂检测题</a>，文件包含专题23实数十大题型举一反三北师大版原卷版docx、专题23实数十大题型举一反三北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
初中数学苏科版八年级上册4.3 实数课后作业题： 这是一份初中数学苏科版八年级上册<a href="/sx/tb_c100311_t7/?tag_id=28" target="_blank">4.3 实数课后作业题</a>，共9页。
2024-2025学年九年级数学上册专题21.3 根的判别式【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）： 这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题21.3 根的判别式【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版），共7页。
