高三数学一轮复习第二章函数培优专题一函数性质的综合应用学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数培优专题一函数性质的综合应用学案，共18页。

1．周期性与奇偶性、单调性相结合的问题
以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等为载体，常考查函数的函数值与最值、比较大小、解不等式等问题，常先利用奇偶性推导出周期性，然后将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解，综合性比较强．
2．把握函数的周期性与对称性的关系
(1)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
(2)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
(3)若函数f (x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
[培优案例]
[例1] (2024·云南高三校联考阶段练习)定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (－x)，当x∈[－1，0]时，f (x)＝x2＋2x，则f (2 024)＝________．
0 [因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)，
则f (x＋2)＝f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为T＝2，
所以f (2 024)＝f (0＋2×1 012)＝f (0)＝0．
故答案为0．]
[例2] (2024·江苏连云港校考模拟预测)已知f (x)是定义在[－5，5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f (x)的图象如图所示，则不等式fxsinx>0的解集为( )
A．(－π，－2)∪(0，2)∪(π，5]
B．(－π，－2)∪(π，5]
C．[－5，－π)∪(－2，0)∪(2，π)
D．[－5，－2)∪(π，5]
C [∵f (x)为定义在[－5，5]上的偶函数，∴f (x)图象关于y轴对称，
∴当x∈[－5，－2)∪(2，5]时，f (x)>0；当x∈(－2，2)时，f (x)<0；
若fxsinx>0，则fx>0，sinx>0或fx<0，sinx<0．
当x∈[－5，－π)∪(2，π)时，fx>0sinx>0 ；
当x∈(－2，0)时，fx<0sinx<0 ；
∴fxsinx>0的解集为[－5，－π)∪(－2，0)∪(2，π)．
故选C．]
[例3] (2024年1月九省联考)已知函数f (x)的定义域为R，且f 12≠0，若f (x＋y)＋f (x)f (y)＝4xy，则( )
A．f -12＝0
B．f 12＝－2
C．函数f x-12是偶函数
D．函数f x+12是减函数
ABD [令x＝12，y＝0，则有f 12＋f 12×f 0＝f 121+f0＝0，
又f 12≠0，故1＋f 0＝0，即f 0＝－1．
令x＝12，y＝－12，则有f 12-12＋f 12·f -12＝4×12×-12，
即f 0＋f 12f -12＝－1，由f 0＝－1，可得f 12f-12＝0，
又f 12≠0，故f -12＝0，故A正确；
令y＝－12，则有f x-12＋f xf -12＝4x×-12，
即f x-12＝－2x，故函数f x-12是奇函数，
有f x+1-12＝－2x+1＝－2x－2，
即f x+12＝－2x－2，
即函数f x+12是减函数，
令x＝1，有f 12＝－2×1＝－2，
故B正确，C错误，D正确．
故选ABD．]
培优训练(一) 函数性质的综合应用
1．(2024·湖北武汉模拟)已知函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[－1，1]时，f (x)＝ax－1，则f (2 024)＝( )
A．－1 B．－2 C．0 D．2
A [根据题意，函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f (x)的对称轴为直线x＝－1，
则有f (x)＝f (－2－x)，又由函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称，
则f (x)＝－f (2－x)，则有f (－2－x)＝－f (2－x)，则f (x＋4)＝－f (x)，
则有f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，则函数f (x)是周期为8的周期函数，则f (2 024)＝f (0＋253×8)＝f (0)＝－1．故选A．]
2．(2024·河北邯郸一模)已知函数f (x－1)为偶函数，且函数f (x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f (1－2x)＜f (－7)的解集为( )
A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
A [因为f (x－1)为偶函数，所以f (x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f (x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f (x)在(－∞，－1]上单调递减．
因为f (1－2x)＜f (－7)＝f (5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3．故选A．]
3．(2024·江苏苏州期末)已知定义在R上的函数f (x)的图象连续不间断，有下列四个命题：
甲：f (x)是奇函数；
乙：f (x)的图象关于点(2，0)对称；
丙：f (22)＝0；
丁：f (x＋6)＝f (x)．
如果有且仅有一个是假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
D [甲正确时，f (x)＝－f (－x)；乙正确时，f (x)＝－f (4－x)，
若甲、乙都正确，则f (x)＝－f (－x)＝f (4＋x)，则周期T＝4，
则由f (2)＝－f (－2)，f (2)＝f (－2)，可得f (2)＝0，
则f (22)＝f (2)＝0，故丙正确；
丁正确时，则f (x)的周期为6，这与上面得到的周期T＝4互相矛盾．
由四个命题有且仅有一个是假命题，则丁错误．故选D．]
4．(2024·湖北统考模拟预测)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，有fx1-fx2x1-x2>0，若f (1)＝0，则不等式(x－1)f (x)>0的解集是( )
A．(－1，1)∪(1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
A [已知f (x)是定义在R上的偶函数，则f (x)＝f (－x)，
又对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2>0，
所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
则函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，
又f (1)＝0，所以f (－1)＝f (1)＝0，
根据函数f (x)的单调性可知：(x－1)f (x)>0等价为x-1>0，fx>0 或x-1<0，fx<0，
即x>1，x>1或x<-1 或x<1，-1解得x>1或－1即不等式的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)．故选A．]
5．(2024·辽宁六校联考)若定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2) [ f (x1)－f (x2)]>0，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称
B．函数f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称
C．在区间(2，3)上，f (x)单调递减
D．f -72>f 23
C [ f (4－x)＝f (2－(x－2))＝f (x－2)＝－f (2－x)＝－f (x)，
即f (4－x)＋f (x)＝0，故f (x)关于(2，0)成中心对称，B不正确；
∵f (2－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于直线x＝1成轴对称，A错误；
根据题意可得，f (x)在(0，1)内单调递增，
∵f (x)的图象关于直线x＝1成轴对称，关于点(2，0)成中心对称，则f (x)在(2，3)内单调递减，C正确；
又∵f (x)＝f (2－x)＝－f (x－2)，则f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，可知f (x)的周期为4，
则f -72＝f 126．(2024·辽阳模拟)定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在[0，2]上单调递增，若方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为( )
A．8 B．－8
C．0 D．－4
B [因为f (x－4)＝－f (x)，
所以f (x)＝－f (x＋4)，
所以f (x＋8)＝f (x)，
所以函数f (x)的周期为8，
又因为f (x)是奇函数，f (x－4)＝－f (x)，
所以f (x)＝－f (x－4)＝f (4－x)，
令x＝2＋x，则f (2＋x)＝f (2－x)，
所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，
又因为f (x)是奇函数，在[0，2]上单调递增，
作出函数的大致图象如图所示，
由图象可知f (x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上的四个不同的根x1，x2，x3，x4，两个关于直线x＝－6对称，两个关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝－6×2＋2×2＝－8．]
7．(2022·全国乙卷)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f (x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则
k=122fk＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
D [因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以g(2－x)＝g(x＋2)，
因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋2)－f (x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f (x－2)，
因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (x)＋g(x＋2)＝5，
代入得f (x)＋[7＋f (x－2)]＝5，即f (x)＋f (x－2)＝－2，
所以f (3)＋f (5)＋…＋f (21)＝(－2)×5＝－10，
f (4)＋f (6)＋…＋f (22)＝(－2)×5＝－10．
因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (0)＋g(2)＝5，即f (0)＝1，所以f (2)＝－2－f (0)＝－3．
因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋4)－f (x)＝7，又因为f (x)＋g(2－x)＝5，
联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，
所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)＝6，
因为f (x)＋g(x＋2)＝5，所以f (1)＝5－g(3)＝－1．
所以
k=122fk
＝f (1)＋f (2)＋[f (3)＋f (5)＋…＋f (21)]＋[f (4)＋f (6)＋…＋f (22)]＝－1－3－10－10＝－24．故选D．]
8．(多选)(2024·山西大同模拟)奇函数f (x)与偶函数g(x)的定义域均为R，且满足f (x)－g(x)＝2x，则下列判断正确的是( )
A．f (x)＋g(x)≥0
B．f (x)＝2x-2-x2
C．f (x)在R上单调递增
D．g(x)的值域为(－∞，－1]
BCD [因为f (x)－g(x)＝2x，①
所以f (－x)－g(－x)＝2－x．
因为f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)，
所以－f (x)－g(x)＝2－x，②
由①②得，f (x)＝2x-2-x2，g(x)＝－2x+2-x2，
则f (x)＋g(x)＝－2－x<0，故A错误，B，C正确．
因为g(x)＝－2x+2-x2≤－22x·2-x2＝－1，
所以D正确．故选BCD．]
9．(多选)(2024·浙江大学附属中学期中)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且y＝f (x＋1)为偶函数，当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2，下列结论正确的有( )
A．函数f (x)的周期是4
B．直线x＝2 023是函数f (x)的一条对称轴
C．f (x)在[2 022，2 023]上单调递减
D．f (2 022)＋f (2 023)＝1
ABD [对于A，因为函数f (x＋1)为偶函数，
所以f (x＋1)＝f (－x＋1)，
即f (x)的图象关于直线x＝1对称，
因为f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，
则f (x＋2)＝f (－(x＋1)＋1)＝f (－x)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x),
所以f (x)是周期为4的函数，故A正确；
因为f (x)关于直线x＝1对称，且为奇函数，
所以f (x)关于直线x＝－1对称，又f (x)是周期为4的函数，
所以f (x)关于直线x＝3对称，
因为2 023＝505×4＋3，
所以直线x＝2 023是函数f (x)的一条对称轴，故B正确；
由f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，
当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2，可得当x∈[0，1]时，f (x)＝－x2，
令x∈[2，3]，则x－2∈[0，1]，
所以f (x)＝－f (x－2)＝(x－2)2，此时f (x)单调递增，
因为2 022＝505×4＋2，
所以f (x)在[2 022，2 023]上的单调性相当于f (x)在[2，3]上的单调性，故此时单调递增，故C错误；
f (2 022)＝f (2)＝0，f (2 023)＝f (3)＝1，
所以f (2 022)＋f (2 023)＝1，故D正确．故选ABD．]
10．(多选)(2024·江苏连云港期中)已知函数f (x)的定义域是R，函数f (x)是偶函数，f (2x－1)＋1是奇函数，则( )
A．f (0)＝－1
B．f (1)＝－1
C．4是函数f (x)的一个周期
D．函数f (x)的图象关于直线x＝9对称
BC [因为f (2x－1)＋1为奇函数，
所以f (－2x－1)＋1＝－f2x-1+1，
整理得，f (－2x－1)＋f (2x－1)＝－2，
令x＝0得，2f (－1)＝－2，
解得f (1)＝－1，B正确；
将2x替换为x＋1，得f (－x－1－1)＋f (x＋1－1)＝－2，
即f (－x－2)＋f (x)＝－2，①
又因为f (x)是偶函数，所以f (－x)＝f (x)，
将x替换为x＋2，得f (－x－2)＝f (x＋2)，②
由①②得：f (x＋2)＋f (x)＝－2，③
则f (x＋4)＋f (x＋2)＝－2，④
③－④得，f (x＋4)＝f (x)，
故4是函数f (x)的一个周期，C正确；
因为f (x＋2)＋f (x)＝－2，
所以f (x＋2)＋f (－x)＝－2，
故f (x)关于(1，－1)中心对称，
又因为4是函数f (x)的一个周期，
所以f (9)＝f (2×4＋1)＝f (1)＝－1，
故f (x)关于(9，－1)中心对称，D错误；
因为f (x)关于(1，－1)中心对称，故(0，f (0))与(2，f (2))关于(1，－1)中心对称，无法得到f (0)＝－1(注意f (0)的值无法确定)，A错误．故选BC．]
11．已知定义在R上的函数f (x)满足f (－x)＝－f (x)，f (3－x)＝f (x)，则f (2 025)＝________．
0 [由题知f (－x)＝－f (x)，可知函数为奇函数，f (0)＝0，
用－x替代x，得到f (x＋3)＝f (－x)＝－f (x)，所以T＝6，所以f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)．因为f (3－x)＝f (x)，所以f (3)＝f (0)＝0．所以f (2 025)＝0．]
12．(2024·四川雅安统考一模)已知函数f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，y＝f (x)＋ex为偶函数，y＝f (x)－2ex为奇函数，则f (x)的最小值为__________．
3 [因为y＝f (x)＋ex是偶函数，
所以f (－x)＋e－x＝f (x)＋ex，
因为y＝f (x)－2ex是奇函数，
所以f (－x)－2e－x＝－f (x)＋2ex，
两式联立解得f (x)＝12ex＋32e－x，
由基本不等式得f (x)＝12ex＋32e－x≥12×2ex·3e-x＝3，当且仅当ex＝3e－x，即x＝ln 3时，等号成立，因此f (x)的最小值是3．
故答案为3．]
阶段提能(三) 函数的概念与基本性质
1．(人教A版必修第一册P74习题3.1T16)给定数集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，①
(1)任给u∈A，对应关系f 使方程①的解v与u对应，判断v＝f (u)是否为函数；
(2)任给v∈B，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断u＝g(v)是否为函数．
[解] (1)由u∈R，对应关系f 使方程①的解v与u对应v＝－12u2，每一个u∈R，都有唯一的v≤0与之对应，故v＝f (u)是函数．
(2)因为v∈B＝(－∞，0]，由u2＋2v＝0可得u2＝－2v≥0，
此时每一个v(v＝0除外)，都有2个不同的u与之对应，故u＝g(v)不是函数．
2．(湘教版必修第一册P82例3)若函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，求实数a的取值范围．
[解] 因为二次函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a，且开口向上，所以函数在区间(－∞，1－a]上单调递减，
又已知该函数在区间(－∞，4)上单调递减，则1－a≥4，即a≤－3．
故实数a的取值范围为(－∞，－3]．
3．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论．
[解] (1)∵f (x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f (x＋1)＋2＝x3－3x．
设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)．
∴g(x)为奇函数．
∴f (x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称．
即f (x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)．
(2)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
4．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T12)试讨论函数y＝x－1x的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象．
[解] 定义域为{x|x≠0}，值域为R．
∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1则y1－y2＝x1－1x1－x2-1x2＝x1-x2x1x2+1x1x2．
∵x1，x2∈(－∞，0)，
∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2＋1>0，
∴y1－y2<0，即y1∴y＝x－1x在(－∞，0)上单调递增．
∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则y1－y2＝x1-x2x1x2+1x1x2．
∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴x1x2>0，x1x2＋1>0，x1－x2<0．
∴y1－y2<0，即y1∴y＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增．
设f (x)＝y＝x－1x，
∵f (－x)＝－x－1-x＝－x-1x＝－f (x)．
∴f (x)＝y＝x－1x是奇函数．
y＝x－1x的图象如图．
5．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)．若f -13＝13，则f 53＝( )
A．－53B．－13
C．13D．53
C [因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．又f (1＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (1＋(1＋x))＝f (－(1＋x))＝－f (1＋x)＝－f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)是以2为周期的周期函数，f 53＝f 53-2＝f -13＝13．故选C．]
6．(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
D [法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x＞0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.
法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.]
7．(2016·全国甲卷)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝x+1x与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则
i=1mxi+yi＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
B [因为f (－x)＝2－f (x)，所以f (－x)＋f (x)＝2．因为-x+x2＝0，f-x+fx2＝1，所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称．函数y＝x+1x＝1＋1x，故其图象也关于点(0，1)对称．所以函数y＝x+1x与y＝f (x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0，1)对称，所以xi＝0，＝2×m2＝m，所以＝m．]
8．(2020·全国Ⅱ卷)设函数f (x)＝x3－1x3，则f (x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
A [函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x)＝(－x)3－1-x3＝－x3＋1x3＝－x3-1x3＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，排除C，D．因为函数y＝x3，y＝－1x3在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝x3－1x3在(0，＋∞)上单调递增，排除B(B选项的另一种解法：当x∈(0，＋∞)时，由f (x)＝x3－1x3，得f ′(x)＝3x2＋3x4>0，所以f (x)＝x3－1x3在(0，＋∞)上单调递增，排除B)．故选A．]
9．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，则( )
A．f -12＝0 B．f (－1)＝0
C．f (2)＝0 D．f (4)＝0
B [法一：因为函数f (x＋2)是偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称．因为函数f (2x＋1)是奇函数，所以f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)，则f (1)＝0，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称．f (x)＝f (4－x)＝－f (2－(4－x))＝－f (x－2)，f (x＋2)＝－f (x)，则f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，所以函数f (x)是以4为周期的周期函数，所以f (1)＝f (1＋4)＝f (5)＝0，又函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (5)＝f (4－5)＝f (－1)＝0，故选B．
法二：构造一个符合条件的函数f (x)＝cs π2x，可以验证只有f (－1)＝0，故选B．]
10．(2021·全国甲卷)设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b．若f (0)＋f (3)＝6，则f 92＝( )
A．－94B．－32
C．74D．52
D [由于f (x＋1)为奇函数，所以函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，即有f (x)＋f (2－x)＝0，所以f (1)＋f (2－1)＝0，得f (1)＝0，即a＋b＝0．①
由于f (x＋2)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，即有f (x)－f (4－x)＝0，所以f (0)＋f (3)＝－f (2)＋f (1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6．②
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f (x)＝－2x2＋2．
根据函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f (x)的周期为4，所以f 92＝f 12＝－f 32＝2×322－2＝52．]
11．(2023·北京卷)已知函数f (x)＝4x＋lg2x，则f 12＝________．
1 [函数f (x)＝4x＋lg2x，
所以f 12＝412＋lg212＝2－1＝1．
故答案为1．]
12．(2018·江苏卷)函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f (x)＝csπx2，022 [由f (x＋4)＝f (x)得函数f (x)的周期为4，
所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝-1+12＝12，
因此f (f (15))＝f 12＝cs π4＝22．]