高考数学第一轮复习第二章 培优课　§2.4　函数性质的综合应用

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题型一 函数的单调性与奇偶性
例1 (1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(lg23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
答案 C
解析 当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)，
又π>3>lg23>1>2－0.2>0，
∴f(π)>f(lg23)>f(2－0.2)，
∴a>b>c.
(2)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
(1) (2)
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)求比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
跟踪训练1 (2022·南京质检)已知函数f(x)＝－x－x3，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于零
B．一定小于零
C．等于零
D．正负都有可能
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝－(－x)－(－x)3＝x＋x3
＝－f(x)，
所以函数f(x)是R上的奇函数，
由单调性的运算性质可知，函数f(x)是R上的减函数，
因为x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，
即x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1，
所以f(x1)