高考数学一轮复习第二章第三节第2课时函数性质的综合应用学案

这是一份高考数学一轮复习第二章第三节第2课时函数性质的综合应用学案，共10页。

单调性与奇偶性结合
【例1】(1)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]
D 解析：由题意知f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝－f (2)＝0，f (0)＝0.当x>0时，令f (x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x<0时，令f (x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x<0，所以－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D．
(2)已知函数f (x)的定义域为R，且f (2x＋1)既是奇函数又是增函数，f (3)＝2，则f (2x－1)<－2的解集为( )
A．{x|x<－2}B．{x|x<－3}
C．{x|x<－1}D．{x|x<0}
D 解析：因为f (2x＋1)是奇函数，所以f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)．令x＝1，则f (－1)＝－f (3).又f (3)＝2，所以f (－1)＝－2.由 f (2x－1)<－2，可得 f (2x－1)[变式] 若本例(1)条件中“奇函数”变为“偶函数”，则不等式xf (x－1)≥0的解集为________.
[－1，0]∪[3，＋∞) 解析：由题意知f (－2)＝f (2)＝0.当x>0时，由xf (x－1)≥0，得f (x－1)≥f (2)．又偶函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以|x－1|≥2，解得x≥3或x≤－1，所以x≥3.当x<0时，由xf (x－1)≥0，得f (x－1)≤f (－2)，所以x－1≥－2，解得x≥－1，所以－1≤x<0.当x＝0时显然成立．综上，满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[3，＋∞)．
1．比较大小问题
一般解法是利用函数的奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为在同一单调区间上的有关自变量的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
2．解抽象不等式
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
(2)利用函数的单调性脱去符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．
1．(2024·潍坊模拟)已知函数f (x)＝13x－3x，则f (x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
C 解析：因为函数f (x)的定义域为R，f (－x)＝3x－13x＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数．因为函数y＝13x，y＝－3x在R上都是减函数，所以函数f (x)＝13x－3x在R上是减函数．故选C．
2．已知定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．若f (ln x)A．(0，e2)B．(e-2，＋∞)
C．(e2，＋∞)D．(e-2，e2)
D 解析：根据题意知，f (x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，由f (ln x) 奇偶性与周期性结合
【例2】(2024·菏泽模拟)已知函数f (x)是R上的偶函数，且f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f (x)＝2－2x，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)的值为( )
A．－2B．－1
C．0D．1
D 解析：因为函数f (x)是R上的偶函数，所以f (－x)＝f (x).因为f (x)的图象关于点(1，0)对称，所以f (－x)＋f (2＋x)＝0，即f (x)＋f (2＋x)＝0，所以f (2＋x)＝－f (x)，所以f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4.当x∈[0，1]时，f (x)＝2－2x，所以f (0)＝1，f (1)＝0.又f (2)＝－f (0)＝－1，f (3)＝－f (1)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝f (2 024)＝f (0)＝1.故选D．
已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的区间内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．
1．设f (x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f (x)＝x，则当x∈[－2，0]时，f (x)＝( )
A．x＋4B．2－x
C．3－|x＋1|D．2－|x＋1|
C 解析：因为f (x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f (x)＝x，所以当x∈[－2，－1]时，2＋x∈[0，1]，4＋x∈[2，3]，此时f (x)＝f (4＋x)＝4＋x；当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]，此时f (x)＝f (－x)＝f (2－x)＝2－x.综上可得，当x∈[－2，0]时，f (x)＝3－|x＋1|.
2．设函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)是奇函数，f (2x＋1)是偶函数，则一定有( )
A．f (4)＝0B．f (－1)＝0
C．f (3)＝0D．f (5)＝0
A 解析：因为函数f (2x＋1)为偶函数，所以f (1－2x)＝f (1＋2x)．令t＝2x，则f (1－t)＝f (1＋t)，即f (1－x)＝f (1＋x)，则f (x)＝f (2－x)．因为函数f (x＋2)为奇函数，所以f (2－x)＝－f (x＋2)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，也关于点(2，0)对称，则f (2)＝－f (2)，可得f (2)＝0，所以f (x)＝－f (x＋2)＝f (x＋4)，故函数f (x)为周期函数，且周期为4.对于A选项，f (4)＝f (0)＝f (2)＝0，A正确；对于B，C，D选项，f (－1)＝f (3)＝－f (1)，f (5)＝f (1)，但f (1)的值无法确定．故选A．
奇偶性、周期性与对称性的结合
【例3】已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0，2]上单调递增，则( )
A．f (－15)C．f (－15)D 解析：因为f (x－4)＝－f (x)⇒f (x＋4－4)＝－f (x＋4)⇒f (x)＝－f (x＋4)⇒f (x＋4)＝－f (x＋8)，所以f (x)＝f (x＋8)，因此函数f (x)的周期是8，f (－15)＝f (－15＋16)＝f (1)，f (21)＝f (24－3)＝f (－3)＝－f (1)，f (90)＝f (88＋2)＝f (2).因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为f (x)在区间[0，2]上单调递增，所以f (2)>f (1)>f (0)＝0，所以f (21)＝－f (1)<0，所以f (21)对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助某个区间上函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
1．(多选题)(2024·广东一模)已知偶函数f (x)的定义域为R，f 12x+1为奇函数，且f (x)在[0，1]上单调递增，则下列结论正确的是( BD )
A．f －32＜0B．f 43＞0
C．f (3)<0D．f 2 0243＞0
2．定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝f (－x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝2x－cs x，则下列结论正确的是( )
A．f 2 0243C．f (2 022)A 解析：因为f (x)是奇函数，所以f (x＋2)＝f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
所以f (x)的周期为4，所以f (2 022)＝f (2＋4×505)＝f (2)＝f (0)，
f 2 0232＝f －12+4×253＝f －12＝－f 12＝f 2 0243
＝f 4×168+2+12＝f 2+23＝－f 23.
因为当x∈[0，1]时，f (x)＝2x－cs x单调递增，所以f (0)所以f 23＜－f 12＜－f (0)＝f (0)，所以f 2 0243＜f 2 0232＜f (2 022)．故选A．
课时质量评价(八)
1．(2024·广东模拟)已知函数f (x＋1)的图象关于点(1，1)对称，则下列函数是奇函数的是( )
A．y＝f (x)＋1B．y＝f (x＋2)＋1
C．y＝f (x)－1D．y＝f (x＋2)－1
D 解析：由题意知，将函数f (x＋1)的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数关于点(0，0)对称，则所得函数为奇函数，所以y＝f (x＋2)－1为奇函数．故选D．
2．已知偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)＝2－xx+1，则f (x－1)<12的解集为( C )
A．(0，2)B．12，32
C．(－∞，0)∪(2, ＋∞)D．－∞，12∪32，+∞
3．(2024·南通模拟)双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于计算机科学、经济和金融领域．若双曲正切函数为tanh x＝ex－e－xex+e－x，则tanh x( )
A．是偶函数，且在R上单调递减
B．是偶函数，且在R上单调递增
C．是奇函数，且在R上单调递减
D．是奇函数，且在R上单调递增
D 解析：令f (x)＝ex－e－xex+e－x，定义域为R，因为f (－x)＝e－x –exe－x +ex＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．又因为f ′(x)＝ex+e－x2－ex－e－x2ex+e－x2＝4ex+e－x2>0，所以f (x)在R上单调递增．故选D．
4．若f (x)＝e－x－aex为奇函数，则f (x)≤1e－e的解集为( )
A．(－∞，2]B．(－∞，1]
C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)
D 解析：由f (x)＝e－x－aex为奇函数，得f (－x)＋f (x)＝(ex＋e－x)－a(e－x＋ex)＝0，解得a＝1，所以f (x)＝e－x－ex，易知函数f (x)是R上的减函数．不等式f (x)≤1e－e等价于f (x)≤f (1)，因此x≥1，所以不等式f (x)≤1e－e的解集为[1，＋∞)．故选D．
5．(2024·潍坊模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为偶函数，f (x＋4)＝f (－x)，则( )
A．函数f (x)为偶函数
B．f (3)＝0
C．f 12＝－f 52
D．f (2 023)＝0
A 解析：因为f (x＋1)为偶函数，所以f (x＋1)＝ f (－x＋1)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以f (x＋2)＝f (－x)．又因为f (x＋4)＝f (－x)，所以f (x)的图象关于x＝2对称，所以由f x+4＝f －x，f x+2＝f －x，得f (x＋4)＝f (x＋2)，即f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为2的函数．由f x+2＝f x， f x+2＝f －x，得f (－x)＝ f (x)，所以f (x)为偶函数．故选A．
6．(多选题)已知函数f (x)＝2sin x，下列结论正确的有( )
A．f (x)是周期函数
B．f (x)的图象关于原点对称
C．f (x)的值域为－12，12
D．f (x)在区间－π2，π2上单调递增
AD解析：对于A，因为f(x＋2kπ)＝2sin(x+2kπ)＝2sinx＝f(x)(k∈Z)，所以f(x)是周期函数，所以A正确；
对于B，因为f(－x)＝2sin(－x)＝2－sinx＝12sin x≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，所以f(x)的图象不关于原点对称，所以B错误；
对于C，因为－1≤sinx≤1，所以2－1≤2sinx≤21，即12≤f(x)≤2，所以函数f(x)的值域为12，2，所以C错误；
对于D，令t＝sinx，则y＝2t，因为t＝sinx在－π2，π2上单调递增，y＝2t在R上单调递增，所以f(x)在区间－π2，π2上单调递增，所以D正确．
7．(多选题)已知函数f (x)为R上的奇函数，f (1＋x)为偶函数，则( )
A．f (－2－x)＋f (x)＝0
B．f (1－x)＝f (1＋x)
C．f (x＋2)＝f (x－2)
D．f (2 023)＝0
BC 解析：因为f (x)为R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．因为f (1＋x)为偶函数，所以f (－x＋1)＝f (x＋1)，故B正确．由f (－x＋1)＝f (x＋1)，可得f (－x)＝f (x＋2)，所以f (x＋2)＝－f (x)．因为f (－2－x)＋f (x)＝f (x)－f (x＋2)，其结果不一定为零，故A不正确．由f (x＋2)＝－f (x)，得f (x)＝－f (x－2)，所以f (x＋2)＝f (x－2)，故C正确．由f (x＋2)＝－f (x)，得f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)的周期为4，所以f (2 023)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)，因为f (1)从题意无法得出，故D不正确．故选BC．
8．偶函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，若f (4)＝2，则f (－2)＝________.
2 解析：(方法一)由函数f (x)为偶函数，得f (－2)＝f (2)．由函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，得f (2)＝f (4)＝2，所以f (－2)＝2.
(方法二)由函数f (x)为偶函数及函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，得f (x)的周期T＝2×|3－0|＝6，则由周期性，得f (－2)＝f (4)＝2.
9．若f (x)是R上的偶函数，且在0，12上单调递减，则函数f (x)的解析式可以为f (x)＝________.(写出符合条件的一个即可)
－x2(答案不唯一) 解析：若f (x)＝－x2，则f (－x)＝－(－x)2＝－x2＝f (x)，故f (x)为偶函数，且易知f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故f (x)在0，12上单调递减，符合条件．
10．周期为4的函数f (x)满足f (x)＝f (4－x)，且当x∈[0，2]时f (x)＝x3－1，则不等式f (x)≤0在[－2，2]上的解集为________.
[－1，1] 解析：因为f (x)的周期是4，则f (x)＝f (4－x)＝f (－x)，所以f (x)是偶函数．当x∈[0，2]时，f (x)＝x3－1是增函数，且f (1)＝0，所以不等式f (x)≤0可化为f (|x|)≤f (1)，所以|x|≤1，即－1≤x≤1.
11．定义在R上的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f lg214＝0，则满足xf (x－4)≥0的x的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪[2，6]
B．(－∞，0]∪[2，6]
C．(－∞，0)∪[4，6]
D．(－∞，0]∪[4，6]
B 解析：定义在R上的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，可得f (x)在[0，＋∞)上单调递减，又lg214＝f (－2)＝f (2)＝0，
则当－2≤x≤2时，f (x)≥0；当x≤－2或x≥2时，f (x)≤0.
又xf (x－4)≥0等价为x≥0， f x－4≥0或x≤0， f x－4≤0，
即x≥0， －2≤x－4≤2或x≤0， x－4≤－2或x－4≥2，
解得2≤x≤6或x≤0.故选B．
12．(多选题)函数f (x)的定义域为R，且f (x－1)与f (x＋1)都为奇函数，则下列说法正确的是( )
A．f (x)是周期为2的周期函数
B．f (x)是周期为4的周期函数
C．f (x＋2)为奇函数
D．f (x＋3)为奇函数
BD 解析：因为函数f (x)的定义域为R，且f (x－1)与f (x＋1)都为奇函数，所以f (－x－1)＝－f (x－1)，f (－x＋1)＝－f (x＋1)，所以f (x)＝－f (－x－2)，f (x)＝－f (－x＋2)，所以f (－x－2)＝f (－x＋2)，即f (x＋4)＝f (x)，故B正确，A错误；因为f (x＋3)＝f (x＋3－4)＝f (x－1)，且f (x－1)为奇函数，所以f (x＋3)为奇函数，故D正确；因为f (x＋1)为奇函数，所以f (x＋1)＝－f (－x＋1)，则f (x＋2)＝－f (－x)，f (－x＋2)＝－f (x)，因为f (x)的奇偶性不确定，所以无法判断f (x＋2)是否为奇函数，故C错误．
13．已知函数f (x)满足f (2－x)＋f (2＋x)＝6，g(x)＝3x－1x－2，且f (x)与g(x)的图象交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，则x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2＋…＋y8的值为( )
A．20B．24
C．36D．40
D 解析：由于函数f (x)满足f (2－x)＋f (2＋x)＝6，当x＝0时，f (2)＝3，所以f (x)关于(2，3)中心对称．由于g(x)＝3x－1x－2＝3x－2+5x－2＝3+5x－2，所以g(x)关于(2，3)中心对称，故f (x)和g(x)都关于(2，3)中心对称．所以f (x)与g(x)的图象交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，两两关于(2，3)对称．所以x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2＋…＋y8＝4×4＋4×6＝40.故选D．
14．函数y＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，则对于函数f (x)＝|x－[x]|，有下列说法：①f (x)的值域为[0，1)；②f (x)是以1为周期的周期函数；③f (x)是偶函数；④f (x)在区间[1，2)上单调递增．其中，正确的命题序号为________.
①②④ 解析：当x∈[n，n＋1)，n∈Z时，[x]＝n，f (x)＝|x－n|＝x－n，所以f (x)∈[0，1)，当n＝1时，x∈[1，2)，f (x)＝x－1单调递增，故①④正确；当x∈[n，n＋1)时，则x＋1∈[n＋1，n＋2)，[x＋1]＝n＋1，f (x＋1)＝|x＋1－[x＋1]|＝|x＋1－(n＋1)|＝|x－n|＝f (x)，故②正确；f －13＝－13－－13＝23，f 13 ＝13－13＝13，所以③错误．