高三数学一轮复习第二章函数培优专题二指数式、对数式、幂式的大小比较学案

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(1)常用方法
①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y＝ax的单调性；
②指数相同，底数不同，如x1α和x2α，利用幂函数y＝xα的单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如lgax1和lgax2，利用对数函数y＝lgax的单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或其他能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
(2)利用函数与方程的思想
①构造函数，结合函数的单调性(常利用基本初等函数性质、导数等方法判断函数单调性)、奇偶性比较大小．
②数形结合法．
③作差法、作商法、平方法是构造函数的几种最常用的方法．
【教师备用】
1．同构是构造函数的一种常用方法，常利用x＝ln ex(x∈R)，x＝eln x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子．
常见指数、对数的同构函数有：
y＝xex与y＝x ln x；
y＝exx与y＝xlnx；
y＝x＋ex与y＝ln x＋x；
y＝ex－x与y＝x－ln x．
2．放缩法是比较大小的一种常用方法，常见放缩法有：
(1)ln x≤x－1(x>0)；ln x≥1－1x(x>0)．
(2)ex≥x＋1(x∈R)；ex>x>ln x(x>0)；
(1－x)ex≤1(x∈R)．
(3)sin x[培优案例]
[例1] (2024·苏州实验学校月考)已知函数f (x)＝1x－x，若a＝lg52，b＝lg0.50.2，c＝0.5-0.5，则( )
A．f (b)C．f (b)C [由a＝lg52lg51＝0，故0b＝lg0.50.2>＝2，c＝0.5-0.5＝10.50.5＝2，故b>c>a，
又因为函数f (x)＝1x－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (b)[例2] (2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85．设a＝lg53，b＝lg85，c＝lg138，则( )
A．aC．bA [由题意可知a，b，c∈(0，1)，ab＝lg53lg85＝lg3lg5·lg8lg5<1lg52·lg3+lg822＝lg3+lg82lg52＝lg24lg252<1，∴a由b＝lg85，得8b＝5，由55<84，得85b<84，
∴5b<4，可得b<45；
由c＝lg138，得13c＝8，由134<85，得134<135c，
∴5c>4，可得c>45．
综上所述，a故选A．]
[例3] 已知a＝lg32，b＝20.2，c＝lg0.22，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
B [a＝lg32lg31＝0，
∴020＝1，c＝lg0.22a>c．故选B．]
培优训练(二) 指数式、对数式、幂式的大小比较
1．已知实数a，b满足lg2aA．a>b B．sin 2aC．lgaeD [因为lg2a则a当a＝π4，b＝1112时，2a＝π2<2b＝116<π，
所以sin 2a>sin 2b，故B错误；
因为0所以1lna>1lnb，
即lgae>lgbe，故C错误；
因为0即ab2．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y
A [法一：令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，
则x＝lgklg2，y＝lgklg3，z＝lgklg5．
因为2x3y＝23×lg3lg2＝lg32lg23>1，
所以2x>3y，
又5z2x＝52×lg2lg5＝lg25lg52>1，
所以5z>2x．
所以5z>2x>3y．
法二：∵x>0，y>0，z>0，且2x＝3y＝5z，
∴令2x＝3y＝5z＝t>1，
∴x＝lg2t＝lntln2，y＝lg3t＝lntln3，z＝lg5t＝lntln5，
∴2x＝2lntln2＝4lntln4，3y＝3lntln3，5z＝5lntln5，
构造函数y＝xlnx(x>1)，
y′＝xlnx'＝lnx-1lnx2，令y′＝lnx-1lnx2>0，则x>e，
∴y＝xlnx在(e，＋∞)上单调递增，
∴3ln3<4ln4<5ln5．
又t>1，∴ln t>0，
∴3lntln3<4lntln4<5lntln5，即3y<2x<5z．故选A．]
3．设函数f (x)＝32x＋x2，若a＝f (ln 3)，b＝f (－lg52)，c＝f 1e(e为自然对数的底数)，则( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
D [由题意可知，函数f (x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又ln 3>1，01e>12，所以f (ln 3)>f 1e>f (－lg52)，故a>c>b．故选D．]
4．已知f (x)＝12x－x－2，g(x)＝lg12x－x－2，h(x)＝x3－x－2的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．b>a>c
B [函数f (x)＝12x－x－2，g(x)＝lg12x－x－2，h(x)＝x3－x－2的零点，
即为函数y＝x＋2分别与函数y＝12x，y＝lg12x，y＝x3的图象交点的横坐标，
如图所示，
由图可得a5．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln (y－x＋1)＞0 B．ln (y－x＋1)＜0
C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0
A [由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－13x<2y－13y．设f (x)＝2x－13x，则f (x)0，所以y－x＋1>1，所以ln (y－x＋1)>0，故选A．]
6．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．aB [令f (x)＝2x＋lg2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝2x＋lg2x在(0，＋∞)上单调递增．
又2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b<22b＋lg2(2b)，所以f (a)7．(2021·天津卷)设a＝lg20.3，b＝lg120.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．bD [∵lg20.3∵lg120.4＝－lg20.4＝lg252>lg22＝1，
∴b>1，
∵0<0.40.3<0.40＝1，∴0∴a8．(2024·河南省名校联盟高三大联考)下列不等关系中正确的个数为( )
①32ln 2>2ln 32；②2>eln 2；③32A．1 B．2
C．3 D．4
B [设f (x)＝xlnx，则f ′(x)＝lnx-1lnx2，
所以x∈(1，e)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，
所以f 32>f (2)>f 52>f (e)，
即有32ln32>2ln2>52ln52>elne，从而得到32ln 2>2ln 32，2>eln 2，32>eln 32，52>eln52，故①②正确．故选B．]
9．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a>0>b B．a>b>0
C．b>a>0 D．b>0>a
A [由9m＝10可得m＝lg910＝lg10lg9>1，而lg 9lg 11lg11lg10，即m>lg 11，所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0．
又lg 8lg 10lg10lg9，即lg89>m，
所以b＝8m－9<8lg89－9＝0．综上，a>0>b．
故选A．]