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北师大版八年级数学下册压轴题攻略期末考试点对点压轴题训练(二)(B卷22、23题)(原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册压轴题攻略期末考试点对点压轴题训练(二)(B卷22、23题)(原卷版+解析)，共58页。
2．如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________．
3．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
4．如图，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为12，则的面积为________．
5．如图，在中，，点P是内一动点，连接，则的最小值为________．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E是AB边上一点，且CE＝CB＝4，则△AEC的面积为_____．
7．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为_____cm．
8．已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝_____．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则的最小值为______．
11．如图，在长方形ABCD中，已知2AD＝3AB，将线段AB绕点A逆时针旋转度（）后得到线段，连接，．若是等腰三角形，则可以找到______个符合条件的的值．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
13．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
14．如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为______．
15．如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为________．
16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 _____．
17．如图，线段、（）的长是方程的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点的坐标是__________，此时线段的最小值为__________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是__________，△CDE的周长是__________．
19．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．
20．如图为等边三角形，点是边上一点，且．将绕点按逆时针方向旋转后，若点恰好落在初始等边的边上，则的值为______．
21．如图，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）一条动直线l分别与BC、OA交于 点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为____,
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，将BOC沿直线BD翻折得到BOF，BF交AD于点E，则＝____________．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作RtMPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则AMQ周长的最小值为___．
24．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC＋GC的最小值为____．
25．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___．
27．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．
28．如图，在中，为线段上一点，将沿翻折，点落在点处，延长至点连接，且，若，则的值是___．
29．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为____．
30．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为____．
31．如图，已知在中，，，．为所在平面内的一个动点，且满足，为线段的中点，连结，则线段长的最大值为______．
32．如图，在中，延长到点，延长到点，使得连接，延长交于点若，则_____．
33．如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．
34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是______．
35．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，设阴影部分的面积为S，则S与k的数量关系为 ___．
期末考试点对点压轴题训练（二）（B卷22、23题）
1．如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，以为边作等边三角形，连接，
是等边三角形，点是的中点，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当点在线段上时，有最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________．
【答案】13
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PBDQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
【答案】2.5
【分析】先判断四边形的形状，再连接，利用正方形的性质得出是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出即可．
【详解】∵四边形 是边长为4的正方形， ，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴ ，是等腰直角三角形，
∵是的中点，即有 ，
∴，是直角三角形，
又∵是中点，，
∵
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
4．如图，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为12，则的面积为________．
【答案】5
【分析】连接，过作的垂线，利用勾股定理可得，易得的面积，可得和的面积，三角形与三角形同底，利用面积比可得它们高的比，而又是以为底的高的一半，可得，易得，由中位线的性质可得的长，利用三角形的面积公式可得结果．
【详解】解：连接，过作的垂线交于点，交于点，
，，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
为等腰三角形，
，为等腰直角三角形，
，
，
四边形的面积为12，
，
，
，
，，
又，
．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．
5．如图，在中，，点P是内一动点，连接，则的最小值为________．
【答案】
【分析】以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接．根据、都是等边三角形，可得，最后根据当、、、四点共线时，由，可得垂直平分，进而求得的最小值．
【详解】解：如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接．
，
由旋转可得，，
，，，，
、都是等边三角形，
，
，
当时，，
当、、、四点共线时，
由，可得垂直平分，
，，
此时．
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，利用转化思想解决问题．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E是AB边上一点，且CE＝CB＝4，则△AEC的面积为_____．
【答案】/
【分析】过点作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，设，则，，再在和中，利用勾股定理分别求出的值，建立方程可求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
，
则的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的化简等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一和勾股定理是解题关键．
7．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为_____cm．
【答案】2
【分析】连接AF，根据等边三角形的性质可得，，然后两次利用勾股定理即可解答．
【详解】解：连接AF，
∵为等边三角形，点E，D分别是边AB，AC的中点，
∴CF、BD分别垂直AB、AC，，AF=BF，
∵，
∴，
∴，
，BF=2EF，
在RtBEF中，
,
∴EF=，
∴AF=BF=4，
在RtAFD中，
FD=，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理的应用，正确的做出辅助线是解决本题的关键．
8．已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______．
【答案】 /
【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转得到x轴，判断符合要求的点即可；由可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点处，得到、都为等边三角形，得到，进而得到结论．
【详解】：根据定义，绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”，
将y轴绕点顺时针旋转90°得到x轴，故y轴关于x轴的“90°顺合点”为点．
，
点B绕点P旋转后落在点C上，则BP=PC，
又，
，
点P在CD的垂直平分线上，
又点A在上，
则点A的对应点在上，
、都为等边三角形
，，
∵，，
，
∴，
设，则，，
，，
，．
故答案为：；．
【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“顺合点”是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝_____．
【答案】
【分析】取BE中点G，连接GM，GN，根据三角形的中位线定理和平行线的性质可得角MGN=150度，且MG=BD的一半，NG=CE的一半，最后由勾股定理可得结论
【详解】解：如图，取BE中点G，连接GM，GN，过点M作MH⊥NG于H，
∵M是DE的中点，G是BE的中点，
∴MG是△EDB的中位线，
∴，
∴∠ABE=∠MGE，
同理得：GN是△BEC的中位线，
∴，
∴∠EGN=∠AEB，
∵∠A=30°，
∴∠AEB+∠ABE=150°，
∴∠EGN+∠EGM=150°，
∴∠MGH=30°，
∴，
∴，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得∠EBC=30°，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，根据含30°角的直角三角形的性质可得QM=BQ，PQ+BQ最小值即为PN的长，根据平行线之间的距离相等，可得PN=AH，根据勾股定理求出AH的长即可．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵AB=6，BC=8，DE=2，
∴AE=8-2=6，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=30°，
过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则QM=BQ，
∴PQ+BQ最小值即为PN的长，
∵AD∥BC，
∵PN=AH，
∵∠BAH=30°，AB=6，
∴BH=3，
根据勾股定理，可得AH=PN=，
∴PQ+BQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，通过构造直角三角形，找出PQ+BQ最小值即为PN的长是解题的关键．
11．如图，在长方形ABCD中，已知2AD＝3AB，将线段AB绕点A逆时针旋转度（）后得到线段，连接，．若是等腰三角形，则可以找到______个符合条件的的值．
【答案】4
【分析】根据旋转的性质可得点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上，△DB'C是等腰三角形，分情况讨论：①DB′=DC，②CB′=CD，③B′C=B′D，数形结合求解即可．
【详解】解：设AD=3x，
∵2AD=3AB，
∴AB=2x，
∵将线段AB绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜90）后得到线段AB'，
∴点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上，
△DB'C是等腰三角形，分情况讨论：
①DB′=DC，如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB，
∴点B′在以D为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
∴两圆弧的交点即为点B′，
∵2x+2x＞3x，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α的值；
②CB′=CD，如图所示：
∴点B′在以C为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
则两圆弧的交点即为点B′，
连接AC，
根据勾股定理，得AC=，
∵2x+2x＞，
∴存在两处满足条件的点B′，即存在两个符合条件的α值；
③B′C=B′D，如图所示：
此时点B′在线段CD的垂直平分线上，
∴线段CD的垂直平分线与圆弧的交点即为点B′，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α值，
综上，符合条件的α值有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，旋转的性质，数形结合是解题的关键，注意分情况讨论．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
【答案】5
【分析】取AB的中点G，连接FG，由三角形中位线的性质得出FG＝AE＝1，得出点F在以G为圆心，1为半径的圆上，当CF经过圆心G时，CF最大，由等边三角形的性质得出CG＝AD＝4，进而求出CF的值，得出答案．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG，
∵AD＝4，点E为线段AD的中点，
∴AE＝AD＝2，
∵点F为线段BE的中点，
∴FG是△ABE的中位线，
∴FG＝AE＝1，
∴点F在以G为圆心，1为半径的圆上，
∴当CF经过圆心G时，CF最大，
∵△ABC为等边三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
∵AD⊥BC，
∴CG＝AD＝4，
∴CF＝FG＋CG＝1＋4＝5，
∴CF的最大值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握三角形中位线的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，圆的定义是解决问题的关键．
13．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【答案】
【分析】如图，延长到，使得，连接，过点作于点．首先证明四边形是平行四边形，推出，推出点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，求出的长，可得结论．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，
在中，，，，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
14．如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为______．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，
是等腰直角三角形，
，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，
，，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，
，
折线的长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
15．如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD=AB＝4，AE=AC=4，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝4，∠ABC＝30°，
∴，
∵点P为AC的中点，AC＝4，
∴AP=2，
当点G与点H重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段AP的延长线上时，
此时，∴，
即PG'的最小值为；
当点G与点B重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段PA的延长线上时，
此时，
∴，
即PG'的最大值为，
∴线段PG′的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 _____．
【答案】
【分析】过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，利用ASA证明△ABD≌△CED，得AB=CE=1，再利用勾股定理求出DH的长，从而解决问题．
【详解】解：过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，
∵∠ADC=∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABD=45°，
∴BD=DE，
∴∠E=∠ABD=45°，
∴△ABD≌△CED（ASA），
∴AB=CE=1，
∴CH=EH=，
在Rt△DCH中，由勾股定理得，，
∴DE=DH+EH，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，线段、（）的长是方程的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点的坐标是__________，此时线段的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出一元二次方程的解得出，，AB=2，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作交AB于点N，则是等腰直角三角形，由题意得是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得，根据则，根据相似三角形的性质得，则当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，根据垂线最短即可得．
【详解】解：，
或
∵线段OA、OB（OA∴，，AB=2，
如图所示，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作交AB于点N，
则MN=BN=AN=1，
∴点M的坐标为（-3，1），
∵PA以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，
∴是等腰三角形，
∴AP=QP，，，
又∵是等腰直角三角形，
∴AM=BM，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，
∴时，MP取得最小值是3，此时BQ取得最小值，此时点P坐标为（0，1），
故答案为：（0，1），．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和垂线段最短，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是__________，△CDE的周长是__________．
【答案】
【分析】如图，作辅助线，构建正方形，证明四边形PMCH是正方形，则CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，证明△PME≌△PHM'（SAS）和△DPM'≌△DPE（SAS），则△CDE的周长=CH+CM，计算CH+CM=AC+BC-AB=2，可得结论．
【详解】解：如图，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使M'H=EM，连接PM'，
∵∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，
∴PG=PM=PH，
∵∠PMC=∠C=∠PHC=90°，
∴四边形PMCH是正方形，
∴CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，
∵∠DPE=45°，
∴∠MPE+∠DPH=45°，
在△PME和△PHM'中，
，
∴△PME≌△PHM'（SAS），
∴PE=PM'，∠MPE=∠HPM'，
∴∠HPM'+∠DPH=∠DPH+∠EPM=45°=∠DPE，
在△DPM'和△DPE中，
，
∴△DPM'≌△DPE（SAS），
∴DE=DM'=DH+HM'=DH+ME，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE
=CD+CE+DH+EM
=CH+CM，
∵∠PGB=∠PMB=90°，∠PBG=∠PBM，
∴∠BPG=∠BPM，
∴BG=BM，
同理得：AG=AH，
Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=，
∴AG+BG=AH+BM=5，
∵AC+BC=3+4=7，
∴CH+CM=AC+BC-AH-BM=7-5=2，
∴点P到边AB的距离是PG=，△CDE的周长是2．
故答案为：，2．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、角平分线的性质等知识点，正确作辅助线，构建正方形PMCH是解题的关键．
19．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．
【答案】
【分析】设，，根据平行四边形性质及翻折性质可得，，，过点任于，过作于，延长、交于点，根据轴对称性质及含30度角直角三角形性质可得，，最后由勾股定理可得答案．
【详解】解：在平行四边形中，
，
设，，
，
，，
由翻折可得，，，，
过点任于，
，
，，
，
，
设，过作于，
则，，
在直角三角形中，，，
，
，
，
延长、交于点，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
20．如图为等边三角形，点是边上一点，且．将绕点按逆时针方向旋转后，若点恰好落在初始等边的边上，则的值为______．
【答案】60或90
【分析】根据题意，分类讨论，当点落在边上时，证明是等边三角形，则，当点落在边上时，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，勾股定理求得,，进而求得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而求得．
【详解】①设点落在边上时的点为，如图，
由旋转的性质可得，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
②设点落在边上时的点为，如图，
依题意，，
，
，
是等边三角形，
，
过点作于点，
，
，
在中
，
在中，
,
，
，
在中，
，
，
，
是，
，
，
综上所述，或者．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，根据题意分类讨论是解题的关键．
21．如图，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）一条动直线l分别与BC、OA交于 点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为____,
【答案】
【详解】分析：设M、N分别是OC，EF的中点，若直线l将梯形OABC分为面积相等的两部分，则根据梯形的面积公式就可以求出CE+OF=6，由此可以得到MN=3，并且N是一个定点，若要C到l的距离最大，则l⊥CN，此时点C到动直线l的距离的最大值就是CN的长．
详解：设M、N分别是OC，EF的中点.
∵O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）,
∴OA=7,OC=2,BC=5,
∴S梯形ABCD=.
若直线l将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则S梯形OCEF=S梯形ABCD=6，
∴,
∴CE+OF=6,
∴MN=3,
∴N是一个定点
若要C到l的距离最大，则l⊥CN,
此时点C到动直线l的距离的最大值就是CN的长.
在Rt△CMN中，CM=1，MN=3
∴CN=.
故答案为.
点睛：本题考查了梯形的面积公式，梯形的中位线，勾股定理等知识，根据题意确定出点N的位置是解答本题的关键.
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，将BOC沿直线BD翻折得到BOF，BF交AD于点E，则＝____________．
【答案】
【分析】由折叠的性质可知，∠CBO＝∠OBE，再由平行四边形的性质，可得BE＝ED，过点B作BG⊥AD于点G，在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，求出AG＝3，BG＝，设ED＝x，则BE＝x，GE＝10﹣x，在Rt△BEG中，由勾股定理得x2＝+（10﹣x）2，解得x＝，可求S△BED＝×DE×BG＝．
【详解】解：由折叠的性质可知，∠CBO＝∠OBE，
∵平行四边形ABCD，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠CBE＝2∠OBE，
∵∠BEA＝∠OBE+∠BDE，
∴∠OBE＝∠ODE，
∴BE＝ED，
过点B作BG⊥AD于点G，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB＝6，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，
∴AG＝3，BG＝，
设ED＝x，则BE＝x，
∵BC＝13，
∴GE＝10﹣x，
在Rt△BEG中，BE2＝BG2+GE2，
∴
解得x＝，
∴S△BED＝×DE×BG＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作RtMPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则AMQ周长的最小值为___．
【答案】＋
【分析】因为△AMQ的周长为AM＋AQ＋MQ，其中AM的长可以由直角△ABM中利用勾股定理求得，为定值，所以只需要求得AQ＋MQ的最小值即可，由题意可得，点A，M为定点，Q为动点，即“一动两定”问题，只需要找到动点Q的运动轨迹即可，过A作AM⊥AN，使AN＝AM，先证△MAN∽△MPQ，再证△MAP∽△MNQ，得到∠MAP＝∠MNQ，延长NQ交直线AD于H，可以得到∠NHO＝45°，则Q点在经过N点，且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，此题就变成了“在直线NH上找一点Q，使AQ＋QM最小“的将军饮马问题，所以过A作关于NH的对称点K，连接KM交NH于Q，AQ＋MQ的最小值为MK，利用勾股定理可求出KM的值，即可解决．
【详解】解：如图1，过A做AN⊥AM，使AN＝AM，连接MN，NQ，
则∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵△MPQ是直角三角形，且PM＝PQ，
∴∠PMQ＝∠AMN＝45°，∠MAN＝∠MPQ＝90°，
∴△AMN∽△PMQ，
∴，
∵∠AMN＝∠PMQ，
∴∠AMP＝∠NMQ，
∴△MAP∽△MNQ，
∴∠MAP＝∠MNQ，
延长MQ交AD于H，设AD与MN交于点O，
则∠AOM＋∠AMN＝∠NOH＋∠NHO，
∵∠AOM＝∠HOH，
∴∠NHO＝∠AMN＝45°，
∴直线NH与直线AD夹角为45°，
∴Q在经过N点且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，
如图2，过M作ME⊥AD于E，过N作NF⊥AD于F，
则∠AEM＝∠NFA＝90°，
∴∠NAF＋∠MAE＝∠MAE＋∠AME＝90°，
∴∠NAF＝∠AME，
在△AME与△NAF中，
，
∴△AME≌△NAF（AAS），
∴AE＝NF，EM＝AF，
∵M是BC的中点，BC＝8，
∴BM＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABM＝∠BAD＝∠AEM＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴NF＝AE＝BM＝4，EM＝AB＝AF＝5，
在直角△NHF中，∠NHF＝45°，
∴∠FNH＝∠NHF＝45°，∴FH＝NF＝4，∴AH＝AF＋FH＝5＋4＝9，
在直角△ABM中，AM＝＝，
如图3，过A作关于直线NH的对称点K，连接KM交直线NH于点Q，
此时NH垂直平分AK，
则AQ＝QK，
∴AQ＋QM＋AM＝QK＋QM＋＝MK＋为△ABC的周长的最小值，
连接KH并延长交BC于T，
则∠KHN＝∠AHN＝45°，KH＝AH＝9，
∴∠AHK＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠MFK＝∠AHK＝90°，
∵∠MTK＝∠THA＝∠MEH＝90°，
∴四边形EMTH为矩形，
∴MT＝EH＝AH−AE＝8−4＝5，HT＝EM＝AB＝5，
在直角△MTK中，KT＝KH＋HT＝14，MT＝5，
∴MK＝＝，
∴△AMQ的周长最小值为＋，
故答案为：＋．
【点睛】本题考查了最短路径问题，如何将AQ＋QM的最小值问题转化为将军饮马问题是解决本题的关键，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的突破口．
24．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC＋GC的最小值为____．
【答案】
【分析】连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，先证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE=CG，推出EC+GC=EC+ED=HE+ED≥DH，再证明四边形ABCD为正方形，从而H、A、C三点共线，再用勾股定理求出HD即可．
【详解】解：如图，连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，
∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，
∴GE=CD且GE∥CD，
∴四边形GEDC为平行四边形，
∴ED=CG，
∴EC+GC=EC+ED=HE+ED≥DH，
∵CH⊥AE，AE∥BD，
∴CH⊥BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=CB=CD=2，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴H、A、C三点共线，
记HC与BD相交于M，
∴MD=BD，HM=3AM=3MD，
∵BD=，
∴HD=，
∴EC+GC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称-最短路径问题，平行四边形的判定和性质，正方形的判定与性质，勾股定理．解题的关键是连接DE，证明四边形EGCD是平行四边形，将EC+GC转化成HE+ED．
25．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
【答案】
【分析】过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，则，都是等边三角形，可判断四边形是平行四边形，由已知分别可求，，则，，所以，则，当、、、共线时，有最小值为的长，再由，，可得，，在中，，在△中，，则的最小值为．
【详解】解：过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，
，都是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
当、、、共线时，有最小值为的长，
，，
，，
在中，，
在△中，，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，通过构造平行四边形、旋转三角形，确定AD+BE+CE有最小值为CF'的长是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___．
【答案】
【分析】过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，利用SAS证得△BOC△BMD，再证明M、D、A三点共线，推出四边形AMBO是正方形，当且仅当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，连接DM，AD，
∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令，则；令，则；
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=OB=BM=2，
∵BM⊥轴，
∴∠OBM=90°，
∴点M的坐标为(2，2)，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠OBM=90°，
∴∠CBD-∠OBD=∠OBM-∠OBD，
∴∠CBO=∠DBM，
在△BOC和△BMD，
，
∴△BOC△BMD(SAS)，
∴∠BOC=∠BMD=90°，
∴BM⊥DM，
∴DM∥OB，
∵M、D、A三点的横坐标相同，都为2，
∴M、D、A三点共线，
∴四边形AMBO是正方形，
∴∠BAM=45°，
∵AB=，
点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），
∴AP=AB=，
当且当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，
此时，△PAD为等腰直角三角形，
∴PD=AP=，
∴线段DP长度最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的的图象与坐标轴的交点问题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，证得四边形AMBO是正方形，以及当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值是解题的关键．
27．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．
【答案】
【分析】连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，利用直角三角形的性质和勾股定理求出相应线段，从而计算出△ABC的面积，结合四边形ABCD的面积得到△ADC的面积，从而求出点D到AC的距离h，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，过点C作DE 的对称点为F，连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，结合对称的性质证明△CEF是等边三角形，利用勾股定理求出BF的长，根据对称的性质判断出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值，即为BF即可．
【详解】解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，
在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB=2，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=1，
∴AH=，
∵BC=4，
∴CH=BC-BH=3，
∴AC=，
∴AC=2AH，
∴∠ACH=30°，
∵S△ABC=，S四边形ABCD=，
∴S△ADC=S四边形ABCD-S△ABC=，
设点D到AC的距离为h，
∴S△ADC=，
∴h=1，即点D到AC的距离为1，
过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C关于直线DE 的对称点F，
连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，
∵AC∥DE，
∴∠ACH=∠DEC=30°，
由对称性可知：DC=DF，EC=EF，∠DEC=∠DEF=30°，
∴∠CEF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF=2h=2，
∵FG⊥CE，
∴CG=EG=1，BG=BC+CG=5，
∴FG=，
在△BGF中，∠BGF=90°，BF=，
∵BD+CD=BD+DF≥BF，
∴当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值，即为BF，
∴BD+CD的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．
28．如图，在中，为线段上一点，将沿翻折，点落在点处，延长至点连接，且，若，则的值是___．
【答案】33
【分析】过O作OG⊥OA，过E作EG∥OA，交AB延长线于点H，可得四边形AOGH为矩形，结合折叠的性质，证明△OGE≌△ODE，可得四边形AOGH为正方形，设CD=CA=x，EG=ED=y，根据S△BCE=S△ODE，得到①，在△CHE中，利用勾股定理得到②，两式相加减得到，，利用完全平方公式可得结果．
【详解】解：如图，过O作OG⊥OA，过E作EG∥OA，交AB延长线于点H，
则∠G=∠AOG=∠A=90°，
可得四边形AOGH为矩形，
由折叠可得：△OAC≌△ODC，
∴OA=OD，∠ODC=∠OAC，CD=CA，∠AOC=∠DOC，
∵∠COE=45°，∠AOG=90°，
∴∠AOC+∠EOG=45°，
又∠AOC=∠DOC，
∴∠EOG=∠EOD，
在△OGE和△ODE中，
，
∴△OGE≌△ODE（AAS），
∴OG=OD=OA，EG=ED，
∴四边形AOGH为正方形，
∴OG=GH=AH=OA=OD，∠G=∠OAC=∠ODE=90°，
设CD=CA=x，EG=ED=y，
则EH=GH-EG=OA-EG=8-y，CH=AH-AC=8-x，
BC=AB-CA=6-x，CE=GE=ED+CD=x+y，
∴S△BCE=，S△ODE=，
∴S△BCE=S△ODE，
∴，
整理得：，①
又在△CHE中，，
∴，
整理的：，②
①+②得：，
②-①得：，
∴，
故答案为：33．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式，本题有一定难度，解题的关键是根据以上性质定理得到相等线段和相等角，从而表示出△BCE和△ODE的面积．
29．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为____．
【答案】
【分析】连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，可得OF=OE=OA=AD，从而得∠OEF=∠OFE=30°，EF=，再求出AD的最小值，进而即可求解．
【详解】解：连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，
∵△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC=60°，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴OE，OF分别是斜边上的中线，
∴OF=OE=OA=AD，
∴∠EOF=2∠EAO+2∠FAO=2∠BAC=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴EF=，即当AD最小时，EF的值最小，
∵当AD⊥BC时，AD最小，此时，是等腰直角三角形，AD=，
∴EF最小值=，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加合适的辅助线，构造顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键．
30．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为____．
【答案】或
【分析】分两种情况：①当点E在CA的延长线上时，②当点E在AC的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可．
【详解】解：∵BC＝1，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AC＝BC＝1，
∵△CDE是等边三角形，CD＝2，
∴CE＝CD＝2，
①当点E在CA的延长线上时，如图，过点B作BG⊥AC于G，则∠CBG＝∠ABC＝30°，
在Rt△CBG中，∠CBG＝30°，BC＝1，
∴CG＝BC＝，
根据勾股定理得，BG＝，
∴EG＝CE−CG＝2−＝，
在Rt△BGE中，
根据勾股定理得，BE＝；
②当点E在AC的延长线上时，如图，过点B作BH⊥AC于H，则∠CBH＝∠ABC＝30°，
在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝1，
∴CH＝BC＝，
根据勾股定理得，BH＝，
∴EH＝CE＋CH＝2＋＝，
在Rt△BHE中，
根据勾股定理得，BE=．
∴BE=或．
故答案是：或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键．
31．如图，已知在中，，，．为所在平面内的一个动点，且满足，为线段的中点，连结，则线段长的最大值为______．
【答案】
【分析】取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM，根据三角形斜边上的中线性质得出，再根据三角形中位线性质得出,然后根据勾股定理及角形斜边上的中线性质得出，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM
在Rt△CDB中，O为斜边BC的中点
在△AOD中，AE=DE，AM=OM
在Rt△ACO中，AC=OC=2
在△CME中，
即CE最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握性质定理和添加合适的辅助线是解题的关键．
32．如图，在中，延长到点，延长到点，使得连接，延长交于点若，则_____．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于，作，可得是等边三角形，是等腰直角三角形，设，表示出两个等边三角形的边长，进而分别表示出和的长即可．
【详解】解：过点作，交的延长线于，作于，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
在中，，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作构造出等边是解题的关键．
33．如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】在上方作，作于，作于，交于，将转化为，则的最小值为的长度，根据图形分别求和即可．
【详解】解：在上方作，作于，作于，交于，
，
，
当、、三点共线时，最小，即为的长度，
，，
，
，，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段和最小问题，通过作辅助线将线段和最小问题转化为求线段的长度是关键．
34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是______．
【答案】y=3x-2
【分析】根据已知条件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y=-2x-2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-2，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=AF，
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
在△ABO和△FAE中，
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE=OB=2，EF=OA=1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数表达式为：y=3x-2，
故答案为：y=3x-2．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
35．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，设阴影部分的面积为S，则S与k的数量关系为 ___．
【答案】
【分析】利用勾股定理建立等式，间接算出阴影部分三角形以为底的高即可．
【详解】解：过点分别作的垂线交于,如图所示：
由题意知AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，
，
设，
，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
，且AB⊥BC，
四边形为矩形，
，
，
则S与k的数量关系为，
故答案是：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是：作适当辅助线，在直角三角形中利用勾股定理建立等式，求出阴影部分三角形以为底的高．
2．如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________．
3．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
4．如图，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为12，则的面积为________．
5．如图，在中，，点P是内一动点，连接，则的最小值为________．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E是AB边上一点，且CE＝CB＝4，则△AEC的面积为_____．
7．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为_____cm．
8．已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝_____．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则的最小值为______．
11．如图，在长方形ABCD中，已知2AD＝3AB，将线段AB绕点A逆时针旋转度（）后得到线段，连接，．若是等腰三角形，则可以找到______个符合条件的的值．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
13．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
14．如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为______．
15．如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为________．
16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 _____．
17．如图，线段、（）的长是方程的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点的坐标是__________，此时线段的最小值为__________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是__________，△CDE的周长是__________．
19．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．
20．如图为等边三角形，点是边上一点，且．将绕点按逆时针方向旋转后，若点恰好落在初始等边的边上，则的值为______．
21．如图，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）一条动直线l分别与BC、OA交于 点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为____,
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，将BOC沿直线BD翻折得到BOF，BF交AD于点E，则＝____________．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作RtMPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则AMQ周长的最小值为___．
24．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC＋GC的最小值为____．
25．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___．
27．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．
28．如图，在中，为线段上一点，将沿翻折，点落在点处，延长至点连接，且，若，则的值是___．
29．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为____．
30．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为____．
31．如图，已知在中，，，．为所在平面内的一个动点，且满足，为线段的中点，连结，则线段长的最大值为______．
32．如图，在中，延长到点，延长到点，使得连接，延长交于点若，则_____．
33．如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．
34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是______．
35．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，设阴影部分的面积为S，则S与k的数量关系为 ___．
期末考试点对点压轴题训练（二）（B卷22、23题）
1．如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，以为边作等边三角形，连接，
是等边三角形，点是的中点，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当点在线段上时，有最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________．
【答案】13
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PBDQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
【答案】2.5
【分析】先判断四边形的形状，再连接，利用正方形的性质得出是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出即可．
【详解】∵四边形 是边长为4的正方形， ，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴ ，是等腰直角三角形，
∵是的中点，即有 ，
∴，是直角三角形，
又∵是中点，，
∵
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
4．如图，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为12，则的面积为________．
【答案】5
【分析】连接，过作的垂线，利用勾股定理可得，易得的面积，可得和的面积，三角形与三角形同底，利用面积比可得它们高的比，而又是以为底的高的一半，可得，易得，由中位线的性质可得的长，利用三角形的面积公式可得结果．
【详解】解：连接，过作的垂线交于点，交于点，
，，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
为等腰三角形，
，为等腰直角三角形，
，
，
四边形的面积为12，
，
，
，
，，
又，
．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．
5．如图，在中，，点P是内一动点，连接，则的最小值为________．
【答案】
【分析】以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接．根据、都是等边三角形，可得，最后根据当、、、四点共线时，由，可得垂直平分，进而求得的最小值．
【详解】解：如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接．
，
由旋转可得，，
，，，，
、都是等边三角形，
，
，
当时，，
当、、、四点共线时，
由，可得垂直平分，
，，
此时．
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，利用转化思想解决问题．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E是AB边上一点，且CE＝CB＝4，则△AEC的面积为_____．
【答案】/
【分析】过点作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，设，则，，再在和中，利用勾股定理分别求出的值，建立方程可求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
，
则的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的化简等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一和勾股定理是解题关键．
7．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为_____cm．
【答案】2
【分析】连接AF，根据等边三角形的性质可得，，然后两次利用勾股定理即可解答．
【详解】解：连接AF，
∵为等边三角形，点E，D分别是边AB，AC的中点，
∴CF、BD分别垂直AB、AC，，AF=BF，
∵，
∴，
∴，
，BF=2EF，
在RtBEF中，
,
∴EF=，
∴AF=BF=4，
在RtAFD中，
FD=，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理的应用，正确的做出辅助线是解决本题的关键．
8．已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______．
【答案】 /
【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转得到x轴，判断符合要求的点即可；由可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点处，得到、都为等边三角形，得到，进而得到结论．
【详解】：根据定义，绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”，
将y轴绕点顺时针旋转90°得到x轴，故y轴关于x轴的“90°顺合点”为点．
，
点B绕点P旋转后落在点C上，则BP=PC，
又，
，
点P在CD的垂直平分线上，
又点A在上，
则点A的对应点在上，
、都为等边三角形
，，
∵，，
，
∴，
设，则，，
，，
，．
故答案为：；．
【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“顺合点”是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝_____．
【答案】
【分析】取BE中点G，连接GM，GN，根据三角形的中位线定理和平行线的性质可得角MGN=150度，且MG=BD的一半，NG=CE的一半，最后由勾股定理可得结论
【详解】解：如图，取BE中点G，连接GM，GN，过点M作MH⊥NG于H，
∵M是DE的中点，G是BE的中点，
∴MG是△EDB的中位线，
∴，
∴∠ABE=∠MGE，
同理得：GN是△BEC的中位线，
∴，
∴∠EGN=∠AEB，
∵∠A=30°，
∴∠AEB+∠ABE=150°，
∴∠EGN+∠EGM=150°，
∴∠MGH=30°，
∴，
∴，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得∠EBC=30°，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，根据含30°角的直角三角形的性质可得QM=BQ，PQ+BQ最小值即为PN的长，根据平行线之间的距离相等，可得PN=AH，根据勾股定理求出AH的长即可．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵AB=6，BC=8，DE=2，
∴AE=8-2=6，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=30°，
过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则QM=BQ，
∴PQ+BQ最小值即为PN的长，
∵AD∥BC，
∵PN=AH，
∵∠BAH=30°，AB=6，
∴BH=3，
根据勾股定理，可得AH=PN=，
∴PQ+BQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，通过构造直角三角形，找出PQ+BQ最小值即为PN的长是解题的关键．
11．如图，在长方形ABCD中，已知2AD＝3AB，将线段AB绕点A逆时针旋转度（）后得到线段，连接，．若是等腰三角形，则可以找到______个符合条件的的值．
【答案】4
【分析】根据旋转的性质可得点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上，△DB'C是等腰三角形，分情况讨论：①DB′=DC，②CB′=CD，③B′C=B′D，数形结合求解即可．
【详解】解：设AD=3x，
∵2AD=3AB，
∴AB=2x，
∵将线段AB绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜90）后得到线段AB'，
∴点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上，
△DB'C是等腰三角形，分情况讨论：
①DB′=DC，如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB，
∴点B′在以D为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
∴两圆弧的交点即为点B′，
∵2x+2x＞3x，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α的值；
②CB′=CD，如图所示：
∴点B′在以C为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
则两圆弧的交点即为点B′，
连接AC，
根据勾股定理，得AC=，
∵2x+2x＞，
∴存在两处满足条件的点B′，即存在两个符合条件的α值；
③B′C=B′D，如图所示：
此时点B′在线段CD的垂直平分线上，
∴线段CD的垂直平分线与圆弧的交点即为点B′，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α值，
综上，符合条件的α值有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，旋转的性质，数形结合是解题的关键，注意分情况讨论．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
【答案】5
【分析】取AB的中点G，连接FG，由三角形中位线的性质得出FG＝AE＝1，得出点F在以G为圆心，1为半径的圆上，当CF经过圆心G时，CF最大，由等边三角形的性质得出CG＝AD＝4，进而求出CF的值，得出答案．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG，
∵AD＝4，点E为线段AD的中点，
∴AE＝AD＝2，
∵点F为线段BE的中点，
∴FG是△ABE的中位线，
∴FG＝AE＝1，
∴点F在以G为圆心，1为半径的圆上，
∴当CF经过圆心G时，CF最大，
∵△ABC为等边三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
∵AD⊥BC，
∴CG＝AD＝4，
∴CF＝FG＋CG＝1＋4＝5，
∴CF的最大值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握三角形中位线的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，圆的定义是解决问题的关键．
13．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【答案】
【分析】如图，延长到，使得，连接，过点作于点．首先证明四边形是平行四边形，推出，推出点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，求出的长，可得结论．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，
在中，，，，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
14．如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为______．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，
是等腰直角三角形，
，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，
，，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，
，
折线的长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
15．如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD=AB＝4，AE=AC=4，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝4，∠ABC＝30°，
∴，
∵点P为AC的中点，AC＝4，
∴AP=2，
当点G与点H重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段AP的延长线上时，
此时，∴，
即PG'的最小值为；
当点G与点B重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段PA的延长线上时，
此时，
∴，
即PG'的最大值为，
∴线段PG′的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 _____．
【答案】
【分析】过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，利用ASA证明△ABD≌△CED，得AB=CE=1，再利用勾股定理求出DH的长，从而解决问题．
【详解】解：过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，
∵∠ADC=∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABD=45°，
∴BD=DE，
∴∠E=∠ABD=45°，
∴△ABD≌△CED（ASA），
∴AB=CE=1，
∴CH=EH=，
在Rt△DCH中，由勾股定理得，，
∴DE=DH+EH，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，线段、（）的长是方程的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点的坐标是__________，此时线段的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出一元二次方程的解得出，，AB=2，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作交AB于点N，则是等腰直角三角形，由题意得是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得，根据则，根据相似三角形的性质得，则当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，根据垂线最短即可得．
【详解】解：，
或
∵线段OA、OB（OA
如图所示，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作交AB于点N，
则MN=BN=AN=1，
∴点M的坐标为（-3，1），
∵PA以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，
∴是等腰三角形，
∴AP=QP，，，
又∵是等腰直角三角形，
∴AM=BM，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，
∴时，MP取得最小值是3，此时BQ取得最小值，此时点P坐标为（0，1），
故答案为：（0，1），．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和垂线段最短，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是__________，△CDE的周长是__________．
【答案】
【分析】如图，作辅助线，构建正方形，证明四边形PMCH是正方形，则CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，证明△PME≌△PHM'（SAS）和△DPM'≌△DPE（SAS），则△CDE的周长=CH+CM，计算CH+CM=AC+BC-AB=2，可得结论．
【详解】解：如图，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使M'H=EM，连接PM'，
∵∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，
∴PG=PM=PH，
∵∠PMC=∠C=∠PHC=90°，
∴四边形PMCH是正方形，
∴CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，
∵∠DPE=45°，
∴∠MPE+∠DPH=45°，
在△PME和△PHM'中，
，
∴△PME≌△PHM'（SAS），
∴PE=PM'，∠MPE=∠HPM'，
∴∠HPM'+∠DPH=∠DPH+∠EPM=45°=∠DPE，
在△DPM'和△DPE中，
，
∴△DPM'≌△DPE（SAS），
∴DE=DM'=DH+HM'=DH+ME，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE
=CD+CE+DH+EM
=CH+CM，
∵∠PGB=∠PMB=90°，∠PBG=∠PBM，
∴∠BPG=∠BPM，
∴BG=BM，
同理得：AG=AH，
Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=，
∴AG+BG=AH+BM=5，
∵AC+BC=3+4=7，
∴CH+CM=AC+BC-AH-BM=7-5=2，
∴点P到边AB的距离是PG=，△CDE的周长是2．
故答案为：，2．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、角平分线的性质等知识点，正确作辅助线，构建正方形PMCH是解题的关键．
19．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．
【答案】
【分析】设，，根据平行四边形性质及翻折性质可得，，，过点任于，过作于，延长、交于点，根据轴对称性质及含30度角直角三角形性质可得，，最后由勾股定理可得答案．
【详解】解：在平行四边形中，
，
设，，
，
，，
由翻折可得，，，，
过点任于，
，
，，
，
，
设，过作于，
则，，
在直角三角形中，，，
，
，
，
延长、交于点，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
20．如图为等边三角形，点是边上一点，且．将绕点按逆时针方向旋转后，若点恰好落在初始等边的边上，则的值为______．
【答案】60或90
【分析】根据题意，分类讨论，当点落在边上时，证明是等边三角形，则，当点落在边上时，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，勾股定理求得,，进而求得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而求得．
【详解】①设点落在边上时的点为，如图，
由旋转的性质可得，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
②设点落在边上时的点为，如图，
依题意，，
，
，
是等边三角形，
，
过点作于点，
，
，
在中
，
在中，
,
，
，
在中，
，
，
，
是，
，
，
综上所述，或者．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，根据题意分类讨论是解题的关键．
21．如图，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）一条动直线l分别与BC、OA交于 点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为____,
【答案】
【详解】分析：设M、N分别是OC，EF的中点，若直线l将梯形OABC分为面积相等的两部分，则根据梯形的面积公式就可以求出CE+OF=6，由此可以得到MN=3，并且N是一个定点，若要C到l的距离最大，则l⊥CN，此时点C到动直线l的距离的最大值就是CN的长．
详解：设M、N分别是OC，EF的中点.
∵O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）,
∴OA=7,OC=2,BC=5,
∴S梯形ABCD=.
若直线l将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则S梯形OCEF=S梯形ABCD=6，
∴,
∴CE+OF=6,
∴MN=3,
∴N是一个定点
若要C到l的距离最大，则l⊥CN,
此时点C到动直线l的距离的最大值就是CN的长.
在Rt△CMN中，CM=1，MN=3
∴CN=.
故答案为.
点睛：本题考查了梯形的面积公式，梯形的中位线，勾股定理等知识，根据题意确定出点N的位置是解答本题的关键.
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，将BOC沿直线BD翻折得到BOF，BF交AD于点E，则＝____________．
【答案】
【分析】由折叠的性质可知，∠CBO＝∠OBE，再由平行四边形的性质，可得BE＝ED，过点B作BG⊥AD于点G，在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，求出AG＝3，BG＝，设ED＝x，则BE＝x，GE＝10﹣x，在Rt△BEG中，由勾股定理得x2＝+（10﹣x）2，解得x＝，可求S△BED＝×DE×BG＝．
【详解】解：由折叠的性质可知，∠CBO＝∠OBE，
∵平行四边形ABCD，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠CBE＝2∠OBE，
∵∠BEA＝∠OBE+∠BDE，
∴∠OBE＝∠ODE，
∴BE＝ED，
过点B作BG⊥AD于点G，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB＝6，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，
∴AG＝3，BG＝，
设ED＝x，则BE＝x，
∵BC＝13，
∴GE＝10﹣x，
在Rt△BEG中，BE2＝BG2+GE2，
∴
解得x＝，
∴S△BED＝×DE×BG＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作RtMPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则AMQ周长的最小值为___．
【答案】＋
【分析】因为△AMQ的周长为AM＋AQ＋MQ，其中AM的长可以由直角△ABM中利用勾股定理求得，为定值，所以只需要求得AQ＋MQ的最小值即可，由题意可得，点A，M为定点，Q为动点，即“一动两定”问题，只需要找到动点Q的运动轨迹即可，过A作AM⊥AN，使AN＝AM，先证△MAN∽△MPQ，再证△MAP∽△MNQ，得到∠MAP＝∠MNQ，延长NQ交直线AD于H，可以得到∠NHO＝45°，则Q点在经过N点，且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，此题就变成了“在直线NH上找一点Q，使AQ＋QM最小“的将军饮马问题，所以过A作关于NH的对称点K，连接KM交NH于Q，AQ＋MQ的最小值为MK，利用勾股定理可求出KM的值，即可解决．
【详解】解：如图1，过A做AN⊥AM，使AN＝AM，连接MN，NQ，
则∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵△MPQ是直角三角形，且PM＝PQ，
∴∠PMQ＝∠AMN＝45°，∠MAN＝∠MPQ＝90°，
∴△AMN∽△PMQ，
∴，
∵∠AMN＝∠PMQ，
∴∠AMP＝∠NMQ，
∴△MAP∽△MNQ，
∴∠MAP＝∠MNQ，
延长MQ交AD于H，设AD与MN交于点O，
则∠AOM＋∠AMN＝∠NOH＋∠NHO，
∵∠AOM＝∠HOH，
∴∠NHO＝∠AMN＝45°，
∴直线NH与直线AD夹角为45°，
∴Q在经过N点且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，
如图2，过M作ME⊥AD于E，过N作NF⊥AD于F，
则∠AEM＝∠NFA＝90°，
∴∠NAF＋∠MAE＝∠MAE＋∠AME＝90°，
∴∠NAF＝∠AME，
在△AME与△NAF中，
，
∴△AME≌△NAF（AAS），
∴AE＝NF，EM＝AF，
∵M是BC的中点，BC＝8，
∴BM＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABM＝∠BAD＝∠AEM＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴NF＝AE＝BM＝4，EM＝AB＝AF＝5，
在直角△NHF中，∠NHF＝45°，
∴∠FNH＝∠NHF＝45°，∴FH＝NF＝4，∴AH＝AF＋FH＝5＋4＝9，
在直角△ABM中，AM＝＝，
如图3，过A作关于直线NH的对称点K，连接KM交直线NH于点Q，
此时NH垂直平分AK，
则AQ＝QK，
∴AQ＋QM＋AM＝QK＋QM＋＝MK＋为△ABC的周长的最小值，
连接KH并延长交BC于T，
则∠KHN＝∠AHN＝45°，KH＝AH＝9，
∴∠AHK＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠MFK＝∠AHK＝90°，
∵∠MTK＝∠THA＝∠MEH＝90°，
∴四边形EMTH为矩形，
∴MT＝EH＝AH−AE＝8−4＝5，HT＝EM＝AB＝5，
在直角△MTK中，KT＝KH＋HT＝14，MT＝5，
∴MK＝＝，
∴△AMQ的周长最小值为＋，
故答案为：＋．
【点睛】本题考查了最短路径问题，如何将AQ＋QM的最小值问题转化为将军饮马问题是解决本题的关键，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的突破口．
24．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC＋GC的最小值为____．
【答案】
【分析】连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，先证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE=CG，推出EC+GC=EC+ED=HE+ED≥DH，再证明四边形ABCD为正方形，从而H、A、C三点共线，再用勾股定理求出HD即可．
【详解】解：如图，连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，
∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，
∴GE=CD且GE∥CD，
∴四边形GEDC为平行四边形，
∴ED=CG，
∴EC+GC=EC+ED=HE+ED≥DH，
∵CH⊥AE，AE∥BD，
∴CH⊥BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=CB=CD=2，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴H、A、C三点共线，
记HC与BD相交于M，
∴MD=BD，HM=3AM=3MD，
∵BD=，
∴HD=，
∴EC+GC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称-最短路径问题，平行四边形的判定和性质，正方形的判定与性质，勾股定理．解题的关键是连接DE，证明四边形EGCD是平行四边形，将EC+GC转化成HE+ED．
25．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
【答案】
【分析】过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，则，都是等边三角形，可判断四边形是平行四边形，由已知分别可求，，则，，所以，则，当、、、共线时，有最小值为的长，再由，，可得，，在中，，在△中，，则的最小值为．
【详解】解：过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，
，都是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
当、、、共线时，有最小值为的长，
，，
，，
在中，，
在△中，，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，通过构造平行四边形、旋转三角形，确定AD+BE+CE有最小值为CF'的长是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___．
【答案】
【分析】过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，利用SAS证得△BOC△BMD，再证明M、D、A三点共线，推出四边形AMBO是正方形，当且仅当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，连接DM，AD，
∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令，则；令，则；
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=OB=BM=2，
∵BM⊥轴，
∴∠OBM=90°，
∴点M的坐标为(2，2)，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠OBM=90°，
∴∠CBD-∠OBD=∠OBM-∠OBD，
∴∠CBO=∠DBM，
在△BOC和△BMD，
，
∴△BOC△BMD(SAS)，
∴∠BOC=∠BMD=90°，
∴BM⊥DM，
∴DM∥OB，
∵M、D、A三点的横坐标相同，都为2，
∴M、D、A三点共线，
∴四边形AMBO是正方形，
∴∠BAM=45°，
∵AB=，
点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），
∴AP=AB=，
当且当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，
此时，△PAD为等腰直角三角形，
∴PD=AP=，
∴线段DP长度最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的的图象与坐标轴的交点问题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，证得四边形AMBO是正方形，以及当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值是解题的关键．
27．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．
【答案】
【分析】连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，利用直角三角形的性质和勾股定理求出相应线段，从而计算出△ABC的面积，结合四边形ABCD的面积得到△ADC的面积，从而求出点D到AC的距离h，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，过点C作DE 的对称点为F，连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，结合对称的性质证明△CEF是等边三角形，利用勾股定理求出BF的长，根据对称的性质判断出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值，即为BF即可．
【详解】解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，
在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB=2，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=1，
∴AH=，
∵BC=4，
∴CH=BC-BH=3，
∴AC=，
∴AC=2AH，
∴∠ACH=30°，
∵S△ABC=，S四边形ABCD=，
∴S△ADC=S四边形ABCD-S△ABC=，
设点D到AC的距离为h，
∴S△ADC=，
∴h=1，即点D到AC的距离为1，
过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C关于直线DE 的对称点F，
连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，
∵AC∥DE，
∴∠ACH=∠DEC=30°，
由对称性可知：DC=DF，EC=EF，∠DEC=∠DEF=30°，
∴∠CEF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF=2h=2，
∵FG⊥CE，
∴CG=EG=1，BG=BC+CG=5，
∴FG=，
在△BGF中，∠BGF=90°，BF=，
∵BD+CD=BD+DF≥BF，
∴当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值，即为BF，
∴BD+CD的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．
28．如图，在中，为线段上一点，将沿翻折，点落在点处，延长至点连接，且，若，则的值是___．
【答案】33
【分析】过O作OG⊥OA，过E作EG∥OA，交AB延长线于点H，可得四边形AOGH为矩形，结合折叠的性质，证明△OGE≌△ODE，可得四边形AOGH为正方形，设CD=CA=x，EG=ED=y，根据S△BCE=S△ODE，得到①，在△CHE中，利用勾股定理得到②，两式相加减得到，，利用完全平方公式可得结果．
【详解】解：如图，过O作OG⊥OA，过E作EG∥OA，交AB延长线于点H，
则∠G=∠AOG=∠A=90°，
可得四边形AOGH为矩形，
由折叠可得：△OAC≌△ODC，
∴OA=OD，∠ODC=∠OAC，CD=CA，∠AOC=∠DOC，
∵∠COE=45°，∠AOG=90°，
∴∠AOC+∠EOG=45°，
又∠AOC=∠DOC，
∴∠EOG=∠EOD，
在△OGE和△ODE中，
，
∴△OGE≌△ODE（AAS），
∴OG=OD=OA，EG=ED，
∴四边形AOGH为正方形，
∴OG=GH=AH=OA=OD，∠G=∠OAC=∠ODE=90°，
设CD=CA=x，EG=ED=y，
则EH=GH-EG=OA-EG=8-y，CH=AH-AC=8-x，
BC=AB-CA=6-x，CE=GE=ED+CD=x+y，
∴S△BCE=，S△ODE=，
∴S△BCE=S△ODE，
∴，
整理得：，①
又在△CHE中，，
∴，
整理的：，②
①+②得：，
②-①得：，
∴，
故答案为：33．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式，本题有一定难度，解题的关键是根据以上性质定理得到相等线段和相等角，从而表示出△BCE和△ODE的面积．
29．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为____．
【答案】
【分析】连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，可得OF=OE=OA=AD，从而得∠OEF=∠OFE=30°，EF=，再求出AD的最小值，进而即可求解．
【详解】解：连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，
∵△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC=60°，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴OE，OF分别是斜边上的中线，
∴OF=OE=OA=AD，
∴∠EOF=2∠EAO+2∠FAO=2∠BAC=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴EF=，即当AD最小时，EF的值最小，
∵当AD⊥BC时，AD最小，此时，是等腰直角三角形，AD=，
∴EF最小值=，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加合适的辅助线，构造顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键．
30．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为____．
【答案】或
【分析】分两种情况：①当点E在CA的延长线上时，②当点E在AC的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可．
【详解】解：∵BC＝1，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AC＝BC＝1，
∵△CDE是等边三角形，CD＝2，
∴CE＝CD＝2，
①当点E在CA的延长线上时，如图，过点B作BG⊥AC于G，则∠CBG＝∠ABC＝30°，
在Rt△CBG中，∠CBG＝30°，BC＝1，
∴CG＝BC＝，
根据勾股定理得，BG＝，
∴EG＝CE−CG＝2−＝，
在Rt△BGE中，
根据勾股定理得，BE＝；
②当点E在AC的延长线上时，如图，过点B作BH⊥AC于H，则∠CBH＝∠ABC＝30°，
在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝1，
∴CH＝BC＝，
根据勾股定理得，BH＝，
∴EH＝CE＋CH＝2＋＝，
在Rt△BHE中，
根据勾股定理得，BE=．
∴BE=或．
故答案是：或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键．
31．如图，已知在中，，，．为所在平面内的一个动点，且满足，为线段的中点，连结，则线段长的最大值为______．
【答案】
【分析】取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM，根据三角形斜边上的中线性质得出，再根据三角形中位线性质得出,然后根据勾股定理及角形斜边上的中线性质得出，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM
在Rt△CDB中，O为斜边BC的中点
在△AOD中，AE=DE，AM=OM
在Rt△ACO中，AC=OC=2
在△CME中，
即CE最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握性质定理和添加合适的辅助线是解题的关键．
32．如图，在中，延长到点，延长到点，使得连接，延长交于点若，则_____．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于，作，可得是等边三角形，是等腰直角三角形，设，表示出两个等边三角形的边长，进而分别表示出和的长即可．
【详解】解：过点作，交的延长线于，作于，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
在中，，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作构造出等边是解题的关键．
33．如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】在上方作，作于，作于，交于，将转化为，则的最小值为的长度，根据图形分别求和即可．
【详解】解：在上方作，作于，作于，交于，
，
，
当、、三点共线时，最小，即为的长度，
，，
，
，，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段和最小问题，通过作辅助线将线段和最小问题转化为求线段的长度是关键．
34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是______．
【答案】y=3x-2
【分析】根据已知条件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y=-2x-2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-2，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=AF，
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
在△ABO和△FAE中，
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE=OB=2，EF=OA=1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数表达式为：y=3x-2，
故答案为：y=3x-2．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
35．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，设阴影部分的面积为S，则S与k的数量关系为 ___．
【答案】
【分析】利用勾股定理建立等式，间接算出阴影部分三角形以为底的高即可．
【详解】解：过点分别作的垂线交于,如图所示：
由题意知AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，
，
设，
，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
，且AB⊥BC，
四边形为矩形，
，
，
则S与k的数量关系为，
故答案是：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是：作适当辅助线，在直角三角形中利用勾股定理建立等式，求出阴影部分三角形以为底的高．
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