24届高三二轮复习函数与导函数专题2——函数与导函数（二）原卷及教师版

这是一份24届高三二轮复习函数与导函数专题2——函数与导函数（二）原卷及教师版，文件包含24届高三二轮复习函数与导函数专题2函数与导函数二教师版docx、24届高三二轮复习函数与导函数专题2函数与导函数二答案版docx、24届高三二轮复习函数与导函数专题2函数与导函数二docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共344页， 欢迎下载使用。
一、洛必达&泰勒公式
1．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得对恒成立，记，即在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，分、、三种情况讨论，即可求出参数的取值范围.
【详解】，等价于，
记，即在上恒成立，
.
当即时，，在上单调递减，
所以当时，即恒成立；
当时，记，则，
当时，单调递减，又，，
所以存在，使得，当时，，单调递增，
所以，即，
所以当时，，即，不符合题意；
当时，，不符合题意.
综上，的取值范围是.
故选：C
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
2．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可.
【详解】令，则，
由题意可知：对任意恒成立，且，
可得，解得，
若，令，
则，
则在上递增，可得，
即对任意恒成立，
则在上递增，可得，
综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.
故选：A.
3．（2024上·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，；
(3)设实数使得对恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得；
（2）构造函数，求导研究单调性即可得；
（3）分类讨论，当时，由（2）可得此时符合要求，当时，构造函数，结合导数研究单调性可得不符，当时，结合导数单调性可得亦不符.
【详解】（1），故，
又，故有，
即，故切线方程为；
（2）令，
则，
由，故，故在上单调递减，
所以，
即当时，；
（3）当时，，
由（2）知，当时，，
所以当时，对恒成立；
当时，令，
，
当时，因为，所以，在上单调递增，
，不合题意，
当时，得，
当时，，时，，
所以在上单调递增，则时，，不合题意，
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题最后一问关键点在于根据的范围分类讨论，从而结合单调性研究函数最值得到结果.
4．（2023下·四川资阳·高二统考期末）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若，，求的取值范围.
【答案】(1)，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值；
（2）令，，则原不等式即为，求出函数的导函数，再分和两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，则，
令，则，，
所以当时，单调递减且，当时，单调递增，
所以当时，即，当时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即，无极大值.
（2）令，，则原不等式即为，
可得，，，
令，则，
令，，则，所以在上单调递增，则，
则时，，所以，
当时，所以，
所以在上恒成立，
所以即在上单调递增，
当，即时，所以单调递增，
所以恒成立，所以符合题意，
当，即时，，
所以存在使得，
当时，则单调递减，所以，与题意不符，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
5．（2023下·安徽合肥·高二校联考期末）已知函数，.
(1)求证：；
(2)若，问是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接作差令，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；
（2）令，利用端点效应即得出时恒成立，再证明充分性即可.
【详解】（1）令，，
当，，所以此时单调递减；
当，，所以此时单调递增；
即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；
（2）设，
即证在上恒成立，
易得，
当时，若，
下面证明：当时，，在上恒成立，
因为，设，
令，
所以在上是单调递增函，所以，
又因为，则
所以在上是单调递增函数，
所以，所以在上是严格增函数，
若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，
不满足恒成立，
故当时，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、主元法
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)若是函数的一个极值，求实数的值；
(2)求证：当时，．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）令，解得的值后，验证即可；
（2）根据条件可知当时，，可转化为，证明，即证即可.
【详解】（1）因为，
所以．
因为当时，函数取得极值，所以，
即，所以或．
①当时，，
设，
则，
则时，
当时，
，
所以在上是增函数，所以
所以当时，函数取得极小值．
②当时，，
同理可证：当时，函数取得极小值．
综上，或．
（2）当时，．
因为，所以，即，所以，
所以在上是增函数，
所以当时，，
即当时，．
下面证明，
即证．
令，
则．
令，
则，
所以函数单调递减，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
7．（2024上·全国·高三专题练习）函数
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；
(2)证明见详解.
【分析】（1）把代入，求出函数的导数并变形，构造函数探求大于0或小于0的取值区间作答.
（2）在给定条件下探讨函数的最大值，将不等式转化为证的最大值小于即可作答.
【详解】（1）依题意，函数的定义域为，
当时，，求导得，
令，则，则在上单调递减，而，
当时，，，当时，，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，，
令，则，
在上单调递减，而，，
则有，即，有，
当时，，，在上单调递增，
时，，，在上单调递减，
因此函数在时取最大值，即，
令函数，
则在上单调递减，即有，
要证，即证，只需证，
令，，
则在上单调递减，
因此，，即成立，
则有成立，
所以当时，不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
8．（2024上·全国·高三专题练习）知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
(3)若，求证：．
【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接求导，根据导数与0的关系判断单调性得最值；
（2）由（1）得，化简即可得结果；
（3）将题意转化为，设函数，求出函数最小值，化简得，进而得结果.
【详解】（1）
令得；
令得：；
在上为增函数，在上为减函数．
故.
（2）由（1）知：当时，有，
，即：，．
（3）将变形为：
即只证：
设函数
，

令，得：．
在上单调递增；在，上单调递减；
的最小值为：，即总有：．
，即：，
令，，则
，
成立．
9．（2004·全国·高考真题）已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）设,证明.
【答案】（1）0；(2)详见解析.
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．（2）先将代入函数得到的表达式后进行整理，根据（1）可得到，将放缩变形为代入即可得到左边不等式成立，再用根据的单调性进行放缩．然后整理即可证明不等式右边成立．
【详解】(1）由已知可得x>-1, -1，令0得x=0.
当-10时，