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高考数学二轮复习专题03 原函数与导函数混合还原问题（2份打包，解析版+原卷版）
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专题03 原函数与导函数混合还原问题
【考点预测】
1.对于，构造，
2.对于，构造
3.对于，构造，
4.对于，构造
5.对于，构造，
6.对于，构造
7.对于，构造，
8.对于，构造
9.对于，构造，
10.对于，构造
11.对于，构造，
12.对于，构造
13对于，构造
14.对于，构造
15.；；；
16.；．
【题型归纳目录】
题型一：利用构造型
题型二：利用构造型
题型三：利用构造型
题型四：用构造型
题型五：利用、与构造型
题型六：利用与构造型
题型七：复杂型：与等构造型
题型八：复杂型：与型
题型九：复杂型：与结合型
题型十：复杂型：基础型添加因式型
题型十一：复杂型：二次构造
题型十二：综合构造
题型十三：找出原函数
【典例例题】
题型一：利用构造型
例1．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.
【详解】构造函数，则
由题可知，所以在时为增函数；
由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；
又，即即
又为开口向上的偶函数
所以，解得或
故选：D
【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.
例2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】令，确定在上是减函数，不等式等价为，
根据单调性解得答案.
【详解】由，得，
即，令，
则当时，得，即在上是减函数，
，，
即不等式等价为，
在是减函数，由得，
即，又，解得，故.
故选:：.
【点睛】
本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数，确定其单调性是解题的关键.
例3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据x+2f（x）＞0的特征，构造，研究其单性，又，得到，将x2f（x）＜2，转化为，利用单调性定义求解.
【详解】
设，所以，
因为时 ，都有x+2f（x）＞0恒成立，所以，
所以在上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数
所以也是定义在R上的奇函数
所以在上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上，其导函数为
所以函数f（x）是连续函数所以在R上是增函数，
又因为，所以，
又因为 x2f（x）＜2，即.所以
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则和导数与函数的单调性，还考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题.
例4．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
设函数，根据导数的运算和题设条件，求得函数在上为增函数，把不等式转化为，即，利用单调性，即可求解.
【详解】
由题意，设函数，
则，
因为是定义在区间上的可导函数，且满足，
所以，所以函数在上为增函数，
又由，即，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.
例5．已知是定义在上的奇函数，且时，，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，由题设易知上，且在上是奇函数，即在、都单调递减，同时可知，利用单调性求的解集，即为的解集.
【详解】
令，则，
由时，知：，
∴在上，，单调递减，又上为奇函数，
∴，故也是奇函数，
∴在上单调递减，又，即有，
∴的解集，即的解集为.
故选：C
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
题型二：利用构造型
例6．设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，计算，变换得到，根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.
【详解】
由题意，得，
进而得到，令，
则，，.
由，得，即.
当时，，在上是增函数.
函数是偶函数，也是偶函数，且在上是减函数，
，解得，又，即，.
故选：.
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.
例7．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，构造出函数，则，进而结合题意求得答案.
【详解】
设，则，，若x>0，由，则，即在上单调递增.
因为是R上的奇函数，，容易判断，在R上是奇函数，且，则函数在上单调递增，且，所以的解集为：.
于是的解集为：.
故选：A.
例8．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】设，求其导数结合条件得出单调性，再结合的奇偶性，得出的函数值的符号情况，从而得出答案.
【详解】设，则，
∵ 当时，，当时，，即在上单调递减.
由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递增.
又，所以当或时，；
当或时，.所以当或时，.
故选：B.
例9．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023）
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题设，所以在上单调递减，
又，即，
又函数的定义域为，所以，综上可得：.
故选：D.
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
题型三：利用构造型
例10．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
因为，所以，
化简可得，即，所以函数在上单调递增，
因为，化简得，
因为，，所以，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
【点睛】
本题考查通过构造函数、利用导数判断函数的单调性解抽象函数不等式;考查运算求解能力、知识的综合运用能力和转化与化归能力;构造函数,并利用其单调性间接解不等式是求解本题的关键;属于抽象型、难度大型试题.
例11．若在上可导且，其导函数满足，则的解集是_________________
【答案】
【解析】
【分析】由题意构造函数，利用导数判断出单调递减，利用单调性解不等式.
【详解】设，则，
因为，所以在上恒成立，所以单调递减，
又得，由等价于，
所以，即的解集是.
故答案为：
例12．若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【分析】
把不等式化为，构造函数令，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.
【详解】由题意，不等式，即，
令，可得，
因为且，可知，所以在上单调递增，
又因为，
所以的解集为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.
例13．若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】构造函数，利用导数可判断函数的单调性，
由已知条件可得函数的零点，由此可解得不等式．
【详解】解：令，则，
，，
，即在上单调递增，
又，，
故当时，，即，整理得，
的解集为，
故选：A．
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数分析函数单调性的性质及其应用, 并求解抽象不等式，综合性较强，关键在于根据题意构造合适的函数，求所构造的函数的导函数，研究构造的函数的单调性，运用其单调性求解不等式．
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
题型四：用构造型
例14．定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】
令，则可得
所以是上的奇函数，，
当时，，所以，是上单调递增，
所以是上单调递增，因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 .
例15．设函数在上的导函数为，若，，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】构造函数得到也是上的单调递增函数.，分析得到函数关于点对称.由得到，即得解.
【详解】构造函数，
所以也是上的单调递增函数.
因为，所以关于直线对称，
所以，（为常数），
，令，所以.
因为，所以所以，所以函数关于点对称.
由得到，
因为，所以，
所以，所以，所以.
故选：A
例16．已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【分析】令，求出导函数，当时，，则，
判定出在上单增；据关于直线对称，将不等式中的抽象函数符号去掉，
解出即可．
【详解】令，，
，
当时，，则，在上单增；
当时，，则，在上单减；
，不等式即为不等式，
关于直线对称，，解得或，
故选：．
例17．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
构造函数，利用导数判断函数单调性，根据单调性建立不等式求解即可.
【详解】令，则，所以函数在区间上单调递增，
所以，
解之得或，即原不等式的解集为，
故选：B.
例18．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
设函数，根据题意可判断在上单调递减，再求出，
不等式整理得，所以，
利用单调性解抽象不等式即可.
【详解】
设函数，所以，
因为，所以，即，所以在上单调递减，
因为，所以，因为，
整理得，所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
例19．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
构造函数，求导，从而得在定义上单调递减；
又，从而有，利用的单调性即可求解．
【详解】
令，，，在定义上单调递减；①
又为偶函数，，，，
则不等式，即，由①得，
故选：C．
例20．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
根据不等式构造函数，然后利用函数单调性解不等式即可.
【详解】由，得
构造函数，，
所以函数在上单调递增，因为，所以
不等式等价于即，所以
故选：C.
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
题型五：利用、与构造型
例21．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】由，可以构造函数，，
根据单调性比较大小即可得解.
【详解】令，
又由已知可得，，所以，
所以在上单调递增
因为，所以，故，D正确，故选：D
【点睛】
本题考查了构造函数，考查了导数的应用，有一定的计算量，属于较难题.本题的关键点有：
（1）根据所给条件构造出对应的函数，并求出单调性；
（2）对所给答案进行分析判断，比较大小.
例22．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集.
【详解】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
例23．已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】构造函数，则经变形后得，
进而得到在时单增，结合单调性证出是定义在上的偶函数，再去“f”，
即可求解
【详解】令，，
当时，，，即函数单调递增．
又，时，，
是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．
不等式，即，
即，，①，又，故②，
由①②得不等式的解集是．
故选：C
【点睛】
本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如的式子，先构造函数，再设法证明的奇偶性与增减性，进而去“f”解不等式
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型六：利用与构造型
例24．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，
再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】由题意，设，则，
当时，因为，则有，所以在上单调递减，
又因为在上是偶函数，可得，所以是偶函数，
由，可得，即，即
又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，
解得或，即不等式的解集为，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
例25．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.
【详解】
设，
∵，即，即，故是奇函数，
由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.
∵在上有，∴，故在单调递增，
又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故选：B．
【点睛】
本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.
例26．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】令，根据题设条件，求得，
得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，
结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故选：B
【点睛】
方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：
（1）型；（2）型；（3）为常数型.
例27．已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在上单调递减，
由可得，列出不等式即可求解.
【详解】令，，则当时，，
所以函数是定义在上的偶函数．当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以由，可得，
即，所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是根据已知构造函数，利用导数求出函数单调性.
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型七：复杂型：与等构造型
例28．已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】依题意原等价于不等式，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；
【详解】
解：不等式，等价于不等式，构造函数，
则，若对任意实数都有，
则，在上单调递增，
又，故即，故不等式的解集是，
故选：B．
例29．已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
【答案】##
【解析】【分析】
构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集
【详解】设函数，则
又 所以在上单调递增，又
故不等式 可化为由的单调性可得该不等式的解集为．
故答案为：
【方法技巧与总结】
对于，构造
题型八：复杂型：与型
例30．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【分析】根据题目特征构造函数，先根据的对称性得到的图象关于对称且，根据的单调性解不等式得到解集，再根据
【详解】
根据题意，设，则，则有，，
即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，
即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，
即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，
且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.故选：A
【点睛】构造函数，利用函数单调性和奇偶性进行解不等式，是经常考察的一类题目，需要对已知条件进行分析，还要熟悉掌握一般的构造技巧，比如当出现导函数与函数相减的情况，一般是构造函数除法形式，而出现了导函数与函数相加的情况，此时要构造的通常是函数乘法形式
例31．定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
由题目中的条件变形为，
进一步转化为，构造函数，
利用导数和函数之间的关系处理单调性即可求解.
【详解】
由，即，
即，即对恒成立，
令，则在上单调递增，
∵，∴，由即，即，
因为在上单调递增，∴
故选：B.
例32．已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】根据题意得函数关于直线对称，，
进而构造函数，易得其关于点对称，在上单调递增，再分时和时两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为定义在上的函数满足为偶函数，
所以函数关于直线对称，即.
因为当，有，即，
故令，则在上单调递增，
因为，
所以关于点对称，所以在上单调递增，
因为，所以
所以，当时，，所以.
当时，，所以且，即无解.
所以，不等式的解集是
故选：A
例33．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，
由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.
【详解】构造函数，对任意实数，都有，
则，
所以，函数为偶函数，.
当时，，则函数在上单调递减，
由偶函数的性质得出函数在上单调递增，
，即，
即，则有，
由于函数在上单调递增，，即，解得，
因此，实数的最小值为，故选A.
【点睛】
本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
【方法技巧与总结】
写出与的加、减、乘、除各种形式
题型九：复杂型：与结合型
例34．已知函数的定义域为R，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】【分析】
依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.
【详解】当时，，
故函数在上单调递减，易知，
故当时，，，
当时，，；
而，
而为奇函数，
则当时，当的解为，
故当时，的解为或，
故不等式的解集为．
故答案为：
例35．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.
【详解】令，，则，在上单调递减，
而，因此，由得，而，则，由得，
而，则，又，于是得在上，，
而是上的奇函数，则在上，，
由得：或，即或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【方法技巧与总结】
1.对于，构造
2.写出与的加、减、乘、除各种结果
题型十：复杂型：基础型添加因式型
例36．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式转化为整式不等式即可解决.
【详解】设，则，所以等价于，
由，可得则，
所以在上单调递增，所以由，得．
故选：D
例37．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】有题干条件构造函数，得到其单调性，从而进行求解.
【详解】构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：D
例38．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.
【详解】构造函数，则，
因为，所以恒成立，故单调递减，变形为，又，所以，所以，解得：，
故答案为：.
故选：A
例39．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，当时，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，则函数为偶函数，
且当时，单调递增，结合偶函数的对称性可得在上单调递减，
由，
化简得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
【方法技巧与总结】
在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
题型十一：复杂型：二次构造
例40．已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
【答案】A
【解析】【分析】构造函数，，可得出，
利用导数分析函数的单调性与最值，可得出的符号，由此可得出结论.
【详解】构造函数，则，
所以，，则，
设，则，，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，对任意的恒成立，
因此，函数在上单调递增.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：四种常用的导数构造法：
（1）对于不等式（或），构造函数；
（2）对于不等式（或），构造函数；
（3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数；
（4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数.
例41．定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】【分析】将代入，推出，
然后再判断左右两侧导数的符号，从而确定的极值情况.
【详解】因为，且，所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的极值，还考查了构造转化求解问题的能力,属于较难题.
例42．设函数满足：，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】
【分析】
首先构造函数，由已知得，
从而有，令，
求得，这样可确定是增函数，
由可得的正负，确定的单调性与极值．
【详解】
，
令，则，
所以，
令，则，
即，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故有极小值，无极大值，故选B.
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值，解题关键是构造新函数，，求导后表示出，然后再一次令，确定单调性，确定正负，得出结论．
例43．函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，构造函数，则，且，求出，
再进行二次求导，研究函数的正负，得到在上单调递减，
由此判断函数的极值情况.
【详解】因为，所以，
令，则，且，
所以，
令，则，
令，解得：，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，故在上恒成立，所以在上单调递减，
则当时，既无极大值，也无极小值.
故选：D
【点睛】
（1）求极值需研究函数的单调性；
（2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.
例44．已知函数f（x）满足：ex（f′（x）+2f（x））＝，，且，
则x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
【答案】D
【解析】【分析】构造函数，则，，对求导判断单调性，
根据单调性去掉，建立关于的不等式，从而求出的范围.
【详解】
解：令，
则，又，
则，令，则
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，，
所以恒成立，即在上单调递减.
若，只需，即，令，则，，，，
又恒成立，所以恒成立，即在上单调递增，
又，所以的解为.
故选：D
【点睛】
本题考查构造函数解不等式，考查利用导数判断函数的单调性和求最值，考查学生的计算能力和基本函数的导数公式，属于难题.
例45．已知函数及其导数满足，，对满足的任意正数，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】根据题意记，则，，
进而，再记，进而得，
研究最值即可得在单调递增，进而将问题转化为，
由基本不等式得，故进一步将问题转化为
再结合函数的单调性即可得，解得.
【详解】∵ ，，
∴ ，当且仅当时等号成立；
∵，∴，
记，则，
∴ ，∴，
记，∴ ，
∴ 当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴，
∴在恒成立，
∴在恒成立，∴在单调递增，
∵ 对满足的任意正数，都有，
∴ ∴ ，解得.
∴的取值范围是故选：C
【点睛】本题考查利用求导的运算法则逆向构造函数，考查了基本不等式的应用，考查运算求解能力，化归转化思想等，是难题.本题解题的关键在于构造函数记，则，进而研究函数的单调性，通过单调性求解不等式.
【方法技巧与总结】
二次构造：，其中等
题型十二：综合构造
例46．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题首先可根据题意得出函数的图像关于点中心对称且，
然后根据基本不等式得出，则函数在上单调递增，
最后将不等式转化为或，通过计算即可得出结果.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数的图像关于点中心对称，且，
当时，，
则，当且仅当时取等号，
故，函数在上单调递增，
因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增，
不等式可化为或，
，即，解得，，即，解得，
故不等式的解集为，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称；若函数是奇函数，则函数的图像关于点中心对称，考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题.
例47．已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.
【详解】由，可得，
即，令，则.
令，，
所以在上是单调递减函数.
不等式，等价于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是单调递减函数，所以，解得，
且，即，故不等式的解集为.
故选：D
【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题.
例48．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.
【详解】由，
（1）当时，可得，
即，
即，
构造函数，
所以函数单调递增，
则，此时，即满足；
（2）当时，可得，
由函数递增，则，此时或，即满足；
（3）当时，，即满足.
综上，.
故选：A.
【方法技巧与总结】
结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）
题型十三：找出原函数
例49．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】
本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在
处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值．
【详解】由题意可知，，即，
所以，令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
【点睛】
本题考查导数的相关性质，能否根据导函数的相关性质构造出函数是解决本题的关键，考查如何根据导函数性质来判断函数是否有极值，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题．
例50．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】【分析】由，由于，
可得，当时，，令，
可得，利用其单调性可得：当时，取得极小值即最小值，，
进而得出函数的单调性.
【详解】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，所以，
当时，，令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关判断函数有没有极值的问题，涉及到的知识点有导数与极值的关系，导数的符号与函数单调性的关系，在解题的过程中，求的解析式是解题的关键.
例51．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，
则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，
不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.
【详解】解：由题意得，
则，
由，解得：，故，（2），
当时，，，，在上恒成立，
即在上单调递增，
又，故为上的偶函数，
其图象关于轴对称，在上单调递减，
故，故，
故选：C．
【方法技巧与总结】
熟悉常见导数的原函数.
【过关测试】
一、单选题
1．已知可导函数f（x）的导函数为，f（0）=2022，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
根据题意，构造函数，求导可知在上单调递增，利用单调性求解即可.
【详解】令对任意的，
都有，在上单调递增，
又，
不等式的解集，
故选：D.
2．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，
根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】由题可设，因为，
则，所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：D.
3．已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，
利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，
利用单调性即可求解.
【详解】解：令，因为，所以，
所以在上单调递增，
因为，所以，
不等式，即，
所以，即，
所以，又，所以，
故选：D.
4．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），
若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由 即可求解集.
【详解】由，而知：在上单调减，
而，即，又知：，
∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，
∴在上单调增，即，可得，
综上，有，
故选：A
【点睛】思路点睛：由与组成的复合型函数式，一般可以将其作为某函数导函数的一部分，构造出原函数，再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.
5．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造，由，可得为奇函数，利用导数可知在上单调递减，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】，
令，且，则在上单调递减.
又
为奇函数，在上单调递减.
，且
代入得，
转化为，即
由于在上递减，则，解得：
故选：C.
【点睛】
方法点睛：利用进行抽象函数构造，常见类型：
（1）利用与的构造，常用构造形式有：出现“”用，出现“”用；
（2）利用与的构造，常用构造形式有：出现，构造函数；出现，构造函数；
6．已知函数是定义域为，是的导函数，满足，且，则关于不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由及，构造函数，转化为利用单调性解不等式即可求解.
【详解】结合不等式结构特征，原不等式等价于，
令，则，所以在上为减函数，而，
所以，所以原不等式的解集为，
故选：A
【点睛】关键点点睛： 根据不等式，转换为，又，
构造恰当函数是解题的关键，利用导数判断所构造函数的单调性，转化为常规不等式问题.本题主要考查利用导数判断函数单调性，考查了观察分析能力，属于较难题目.
7．若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数，利用导数和题设条件，得到函数单调递减，进而根据为偶函数且，求得，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】设函数，则，
因为，可得，所以，函数单调递减，
因为为偶函数，可得函数关于对称，
又由，所以，所以，
不等式，可得化为，即，所以，
即不等式的解集为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了导数的四则运算公式，利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调求解不等式，其中解答中结合题意，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，结合单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.
8．设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，
将变形为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】令，
，有，．
所以为R上的偶函数，又在上有，
所以，即在上单调递增，在上单调递减.
又，所以，
即，，解之得，.
故选B.
【点睛】
本题主要考查构造函数并研究其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现数学运算、逻辑推理等核心素养，属难题.
9．设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】由得到，再由得到解析式，设，通过求导得到，得到单调递减，将所求不等式中，从而转化为形式，利用单调性求出的范围，再得到的范围，得到答案.
【详解】因为，所以，
所以可得，即
因为，所以，所以，所以，
令，则，
所以在定义域内单调递减，所求不等式中
所以即，
又因，所以所以
而在定义域内单调递减，所以，即，得，
故选项.
【点睛】本题考查通过导数研究函数的单调性，利用单调性解不等式，积分求函数解析式，属于难题.
10．已知函数的定义域为,，对任意的满足当时，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】由题意构造函数，则函数在 上为减函数，且.
又，所以的解集为，
从而求出满足题意的的范围.
【详解】由题意构造函数 ，则 ，
函数在 上为减函数． .
又，，
的解为
不等式的解集为.
故答案为A.
【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，考查学生构造函数的能力及三角函数单调性应用，属于中档题.
11．已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】设，求导可得在R上单调递增，求的解集，等价于求的解集，接着利用在R上单调递增，可得到答案.
【详解】设，则，， 在R上单调递增，又，求的解集，等价于求的解集，在R上单调递增，，且，，故选D.
【点睛】
本题主要考查利用导函数解不等式，构造一个新函数是解决本题的关键.
12．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式.
【详解】构造函数，则，
所以，函数在上单调递减，
由，可得，即，解得，
因此， 不等式的解集为，故选C.
【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式的基本步骤如下：
（1）根据导数不等式的结构构造新函数；
（2）利用导数研究函数的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性；
（3）将不等式转化为的形式，结合函数的单调性进行求解.
13．奇函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【详解】根据题意，可构造函数 其导数
当时，有，其导数在上为增函数，
又由为奇函数，即 ，则 ，即函数为偶函数，
当时，，不等式
又由函数为偶函数且在上激增，则 解得
此时 的取值范围为 ；
当时，，不等式
同理解得此时的取值范围为；综合可得：不等式的解集为
故选D．
【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数
并利用导数分析的单调性．
14．已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【详解】令，则
∵∴，即在上恒成立
∴在上单调递减
∵∴，即∴，即
故选A
点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.
15．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【详解】构造函数法
令，则，函数在上为减函数，因为，即，故为奇函数，
于是在上为减函数，而不等式可化为，
则，即.选A.
16．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【详解】
由题意有，故，
令，则函数是R上的单调递增函数，
而,
据此可得.
本题选择A选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．
二、多选题
17．（多选）已知是定义在上的函数，是的导函数，下列说法正确的有（ ）
A．已知，且，则
B．若，则函数有极小值
C．若，且，则不等式的解集为
D．若，则
【答案】BCD
【解析】【分析】
A令，利用导数及复合函数的单调性判断的单调性；B设，利用导数研究单调性，即可判断是否存在极小值；C设，利用导数研究单调性，结合已知求解集；D令（），利用导数研究单调性，再由即可判断大小关系.
【详解】A：令，则，所以单调递增，
由复合函数单调性知单调递增，所以，错误；
B：设，则，又，
∴当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴当，取得极小值，极小值为，正确；
C：设，则，
∴单调递增，而等价于，∴，即解集为，正确；
D：令（），由已知，当时，，
∴在上单增，即，∴ ，故，正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：构造函数，并应用导数研究函数的单调性，再结合各选项的描述判断真假.
18．已知的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】构造函数，由，可得单调递增，进而利用单调性求解即可.
【详解】，所以，，则设，，
得，单调递增，所以，必有，，
则，，所以，A和B正确；
故选：AB
19．已知函数的定义域是，其导函数是 ，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】【分析】根据题意，构造，由题意，得到单调递增，进而利用的单调性，得到，再整理即可求解
【详解】设，可得，单调递增，
又因为，，，
且，，得，，整理得，AC正确；
故选：AC
20．已知定义在上的偶函数，其导函数为，当时，.则（ ）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】BC
【解析】【分析】对于A，由偶函数的性质判断，对于B，由已知可得时，，从而可判断，对于CD，令，先判断其奇偶性，然后利用导数可判断出在上单调递减，再将转化为，则，再利用其单调性可解得，
【详解】对于A，由为偶函数，不一定为0，所以A错误，
对于B，当时，由，有，可得函数在上单调递减，
所以B正确，
对于CD，令，∴，为偶函数.
当时，，∴在上单调递减.
又∵为偶函数，故在上单调递增.
由，得，
∴，即.
∴.∴，解得.所以C正确，D错误，
故选：BC
21．已知定义在R上的函数图像连续，满足，且时，恒成立，则不等式中的x可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】【分析】构造函数，根据题干条件可证明是偶函数，且在单调递增，在单调递减，转化不等式为，结合的单调性和奇偶性，即得解
【详解】由整理得，
设，则有，所以是偶函数，
因为时，，
所以，
所以在单调递减，
又是偶函数，所以在单调递增，
又不等式
等价于即，
根据的单调性和奇偶性可得，解得
故选：ABC
22．已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数的取值可以为（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】BCD
【解析】【分析】利用已知条件得到，构造函数，
利用已知条件得到函数为奇函数且函数在上单调递减，可得函数在上单调递减，所给的不等式转化为，利用单调性求解即可.
【详解】依题意可得：，故，
令，则，所以函数为奇函数，
，因为当时，，
即当时，，
故在上单调递减，由为奇函数可知，在上单调递减，
因为，故，
即，故，故，故实数的取值范围为.
由选项可知：BCD正确；
故选：BCD.
三、填空题
23．已知是定义在R上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】，∴在上是增函数，
且为偶函数，由
∴，解得，∴解集为
故答案为：
24．已知是上的奇函数，是在上无零点的偶函数，，当时，，则使得的解集是________
【答案】
【解析】【分析】构造函数，求出的单调性及奇偶性，由得到不等式，解不等式即可.
【详解】令，则，当时，，
故在上单调递减，又是奇函数，是偶函数，
故是奇函数，在上单调递减，
又，可得，
故在上小于0，由，得或，
解得或.
故答案为：.
25．已知是定义在上的函数，且；其导函数为.若时，，则不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】【分析】题设不等式可化为，构造，
结合条件判断的区间单调性及奇偶性，进而利用其奇偶性、单调性解不等式即可.
【详解】由可得：，
令，又，即，所以在上为减函数，
因为，易知为偶函数，
所以，故也为偶函数，所以在上为增函数，
综上，，解得，故不等式解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据题设条件，将问题转化为利用的单调性、奇偶性求解集.
26．若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则的取值范围___________.
【答案】.
【解析】【分析】构造函数，可得为奇函数，又，
得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】，，
设，则，为奇函数，
又，在上是减函数，从而在上是减函数，
又，等价于，即，
，解得，
故答案为：.
专题03 原函数与导函数混合还原问题
【考点预测】
1.对于，构造，
2.对于，构造
3.对于，构造，
4.对于，构造
5.对于，构造，
6.对于，构造
7.对于，构造，
8.对于，构造
9.对于，构造，
10.对于，构造
11.对于，构造，
12.对于，构造
13对于，构造
14.对于，构造
15.；；；
16.；．
【题型归纳目录】
题型一：利用构造型
题型二：利用构造型
题型三：利用构造型
题型四：用构造型
题型五：利用、与构造型
题型六：利用与构造型
题型七：复杂型：与等构造型
题型八：复杂型：与型
题型九：复杂型：与结合型
题型十：复杂型：基础型添加因式型
题型十一：复杂型：二次构造
题型十二：综合构造
题型十三：找出原函数
【典例例题】
题型一：利用构造型
例1．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.
【详解】构造函数，则
由题可知，所以在时为增函数；
由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；
又，即即
又为开口向上的偶函数
所以，解得或
故选：D
【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.
例2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】令，确定在上是减函数，不等式等价为，
根据单调性解得答案.
【详解】由，得，
即，令，
则当时，得，即在上是减函数，
，，
即不等式等价为，
在是减函数，由得，
即，又，解得，故.
故选:：.
【点睛】
本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数，确定其单调性是解题的关键.
例3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据x+2f（x）＞0的特征，构造，研究其单性，又，得到，将x2f（x）＜2，转化为，利用单调性定义求解.
【详解】
设，所以，
因为时 ，都有x+2f（x）＞0恒成立，所以，
所以在上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数
所以也是定义在R上的奇函数
所以在上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上，其导函数为
所以函数f（x）是连续函数所以在R上是增函数，
又因为，所以，
又因为 x2f（x）＜2，即.所以
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则和导数与函数的单调性，还考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题.
例4．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
设函数，根据导数的运算和题设条件，求得函数在上为增函数，把不等式转化为，即，利用单调性，即可求解.
【详解】
由题意，设函数，
则，
因为是定义在区间上的可导函数，且满足，
所以，所以函数在上为增函数，
又由，即，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.
例5．已知是定义在上的奇函数，且时，，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，由题设易知上，且在上是奇函数，即在、都单调递减，同时可知，利用单调性求的解集，即为的解集.
【详解】
令，则，
由时，知：，
∴在上，，单调递减，又上为奇函数，
∴，故也是奇函数，
∴在上单调递减，又，即有，
∴的解集，即的解集为.
故选：C
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
题型二：利用构造型
例6．设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，计算，变换得到，根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.
【详解】
由题意，得，
进而得到，令，
则，，.
由，得，即.
当时，，在上是增函数.
函数是偶函数，也是偶函数，且在上是减函数，
，解得，又，即，.
故选：.
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.
例7．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，构造出函数，则，进而结合题意求得答案.
【详解】
设，则，，若x>0，由，则，即在上单调递增.
因为是R上的奇函数，，容易判断，在R上是奇函数，且，则函数在上单调递增，且，所以的解集为：.
于是的解集为：.
故选：A.
例8．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】设，求其导数结合条件得出单调性，再结合的奇偶性，得出的函数值的符号情况，从而得出答案.
【详解】设，则，
∵ 当时，，当时，，即在上单调递减.
由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递增.
又，所以当或时，；
当或时，.所以当或时，.
故选：B.
例9．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023）
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题设，所以在上单调递减，
又，即，
又函数的定义域为，所以，综上可得：.
故选：D.
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
题型三：利用构造型
例10．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
因为，所以，
化简可得，即，所以函数在上单调递增，
因为，化简得，
因为，，所以，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
【点睛】
本题考查通过构造函数、利用导数判断函数的单调性解抽象函数不等式;考查运算求解能力、知识的综合运用能力和转化与化归能力;构造函数,并利用其单调性间接解不等式是求解本题的关键;属于抽象型、难度大型试题.
例11．若在上可导且，其导函数满足，则的解集是_________________
【答案】
【解析】
【分析】由题意构造函数，利用导数判断出单调递减，利用单调性解不等式.
【详解】设，则，
因为，所以在上恒成立，所以单调递减，
又得，由等价于，
所以，即的解集是.
故答案为：
例12．若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【分析】
把不等式化为，构造函数令，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.
【详解】由题意，不等式，即，
令，可得，
因为且，可知，所以在上单调递增，
又因为，
所以的解集为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.
例13．若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】构造函数，利用导数可判断函数的单调性，
由已知条件可得函数的零点，由此可解得不等式．
【详解】解：令，则，
，，
，即在上单调递增，
又，，
故当时，，即，整理得，
的解集为，
故选：A．
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数分析函数单调性的性质及其应用, 并求解抽象不等式，综合性较强，关键在于根据题意构造合适的函数，求所构造的函数的导函数，研究构造的函数的单调性，运用其单调性求解不等式．
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
题型四：用构造型
例14．定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】
令，则可得
所以是上的奇函数，，
当时，，所以，是上单调递增，
所以是上单调递增，因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 .
例15．设函数在上的导函数为，若，，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】构造函数得到也是上的单调递增函数.，分析得到函数关于点对称.由得到，即得解.
【详解】构造函数，
所以也是上的单调递增函数.
因为，所以关于直线对称，
所以，（为常数），
，令，所以.
因为，所以所以，所以函数关于点对称.
由得到，
因为，所以，
所以，所以，所以.
故选：A
例16．已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【分析】令，求出导函数，当时，，则，
判定出在上单增；据关于直线对称，将不等式中的抽象函数符号去掉，
解出即可．
【详解】令，，
，
当时，，则，在上单增；
当时，，则，在上单减；
，不等式即为不等式，
关于直线对称，，解得或，
故选：．
例17．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
构造函数，利用导数判断函数单调性，根据单调性建立不等式求解即可.
【详解】令，则，所以函数在区间上单调递增，
所以，
解之得或，即原不等式的解集为，
故选：B.
例18．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
设函数，根据题意可判断在上单调递减，再求出，
不等式整理得，所以，
利用单调性解抽象不等式即可.
【详解】
设函数，所以，
因为，所以，即，所以在上单调递减，
因为，所以，因为，
整理得，所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
例19．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
构造函数，求导，从而得在定义上单调递减；
又，从而有，利用的单调性即可求解．
【详解】
令，，，在定义上单调递减；①
又为偶函数，，，，
则不等式，即，由①得，
故选：C．
例20．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
根据不等式构造函数，然后利用函数单调性解不等式即可.
【详解】由，得
构造函数，，
所以函数在上单调递增，因为，所以
不等式等价于即，所以
故选：C.
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
题型五：利用、与构造型
例21．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】由，可以构造函数，，
根据单调性比较大小即可得解.
【详解】令，
又由已知可得，，所以，
所以在上单调递增
因为，所以，故，D正确，故选：D
【点睛】
本题考查了构造函数，考查了导数的应用，有一定的计算量，属于较难题.本题的关键点有：
（1）根据所给条件构造出对应的函数，并求出单调性；
（2）对所给答案进行分析判断，比较大小.
例22．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集.
【详解】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
例23．已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】构造函数，则经变形后得，
进而得到在时单增，结合单调性证出是定义在上的偶函数，再去“f”，
即可求解
【详解】令，，
当时，，，即函数单调递增．
又，时，，
是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．
不等式，即，
即，，①，又，故②，
由①②得不等式的解集是．
故选：C
【点睛】
本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如的式子，先构造函数，再设法证明的奇偶性与增减性，进而去“f”解不等式
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型六：利用与构造型
例24．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，
再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】由题意，设，则，
当时，因为，则有，所以在上单调递减，
又因为在上是偶函数，可得，所以是偶函数，
由，可得，即，即
又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，
解得或，即不等式的解集为，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
例25．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.
【详解】
设，
∵，即，即，故是奇函数，
由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.
∵在上有，∴，故在单调递增，
又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故选：B．
【点睛】
本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.
例26．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】令，根据题设条件，求得，
得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，
结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故选：B
【点睛】
方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：
（1）型；（2）型；（3）为常数型.
例27．已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在上单调递减，
由可得，列出不等式即可求解.
【详解】令，，则当时，，
所以函数是定义在上的偶函数．当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以由，可得，
即，所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是根据已知构造函数，利用导数求出函数单调性.
【方法技巧与总结】
1.对于，构造，
2.对于，构造
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型七：复杂型：与等构造型
例28．已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】依题意原等价于不等式，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；
【详解】
解：不等式，等价于不等式，构造函数，
则，若对任意实数都有，
则，在上单调递增，
又，故即，故不等式的解集是，
故选：B．
例29．已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
【答案】##
【解析】【分析】
构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集
【详解】设函数，则
又 所以在上单调递增，又
故不等式 可化为由的单调性可得该不等式的解集为．
故答案为：
【方法技巧与总结】
对于，构造
题型八：复杂型：与型
例30．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【分析】根据题目特征构造函数，先根据的对称性得到的图象关于对称且，根据的单调性解不等式得到解集，再根据
【详解】
根据题意，设，则，则有，，
即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，
即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，
即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，
且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.故选：A
【点睛】构造函数，利用函数单调性和奇偶性进行解不等式，是经常考察的一类题目，需要对已知条件进行分析，还要熟悉掌握一般的构造技巧，比如当出现导函数与函数相减的情况，一般是构造函数除法形式，而出现了导函数与函数相加的情况，此时要构造的通常是函数乘法形式
例31．定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
由题目中的条件变形为，
进一步转化为，构造函数，
利用导数和函数之间的关系处理单调性即可求解.
【详解】
由，即，
即，即对恒成立，
令，则在上单调递增，
∵，∴，由即，即，
因为在上单调递增，∴
故选：B.
例32．已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】根据题意得函数关于直线对称，，
进而构造函数，易得其关于点对称，在上单调递增，再分时和时两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为定义在上的函数满足为偶函数，
所以函数关于直线对称，即.
因为当，有，即，
故令，则在上单调递增，
因为，
所以关于点对称，所以在上单调递增，
因为，所以
所以，当时，，所以.
当时，，所以且，即无解.
所以，不等式的解集是
故选：A
例33．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，
由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.
【详解】构造函数，对任意实数，都有，
则，
所以，函数为偶函数，.
当时，，则函数在上单调递减，
由偶函数的性质得出函数在上单调递增，
，即，
即，则有，
由于函数在上单调递增，，即，解得，
因此，实数的最小值为，故选A.
【点睛】
本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
【方法技巧与总结】
写出与的加、减、乘、除各种形式
题型九：复杂型：与结合型
例34．已知函数的定义域为R，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】【分析】
依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.
【详解】当时，，
故函数在上单调递减，易知，
故当时，，，
当时，，；
而，
而为奇函数，
则当时，当的解为，
故当时，的解为或，
故不等式的解集为．
故答案为：
例35．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.
【详解】令，，则，在上单调递减，
而，因此，由得，而，则，由得，
而，则，又，于是得在上，，
而是上的奇函数，则在上，，
由得：或，即或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【方法技巧与总结】
1.对于，构造
2.写出与的加、减、乘、除各种结果
题型十：复杂型：基础型添加因式型
例36．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式转化为整式不等式即可解决.
【详解】设，则，所以等价于，
由，可得则，
所以在上单调递增，所以由，得．
故选：D
例37．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】有题干条件构造函数，得到其单调性，从而进行求解.
【详解】构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：D
例38．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.
【详解】构造函数，则，
因为，所以恒成立，故单调递减，变形为，又，所以，所以，解得：，
故答案为：.
故选：A
例39．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，当时，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，则函数为偶函数，
且当时，单调递增，结合偶函数的对称性可得在上单调递减，
由，
化简得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
【方法技巧与总结】
在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
题型十一：复杂型：二次构造
例40．已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
【答案】A
【解析】【分析】构造函数，，可得出，
利用导数分析函数的单调性与最值，可得出的符号，由此可得出结论.
【详解】构造函数，则，
所以，，则，
设，则，，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，对任意的恒成立，
因此，函数在上单调递增.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：四种常用的导数构造法：
（1）对于不等式（或），构造函数；
（2）对于不等式（或），构造函数；
（3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数；
（4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数.
例41．定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】【分析】将代入，推出，
然后再判断左右两侧导数的符号，从而确定的极值情况.
【详解】因为，且，所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的极值，还考查了构造转化求解问题的能力,属于较难题.
例42．设函数满足：，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】
【分析】
首先构造函数，由已知得，
从而有，令，
求得，这样可确定是增函数，
由可得的正负，确定的单调性与极值．
【详解】
，
令，则，
所以，
令，则，
即，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故有极小值，无极大值，故选B.
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值，解题关键是构造新函数，，求导后表示出，然后再一次令，确定单调性，确定正负，得出结论．
例43．函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，构造函数，则，且，求出，
再进行二次求导，研究函数的正负，得到在上单调递减，
由此判断函数的极值情况.
【详解】因为，所以，
令，则，且，
所以，
令，则，
令，解得：，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，故在上恒成立，所以在上单调递减，
则当时，既无极大值，也无极小值.
故选：D
【点睛】
（1）求极值需研究函数的单调性；
（2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.
例44．已知函数f（x）满足：ex（f′（x）+2f（x））＝，，且，
则x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
【答案】D
【解析】【分析】构造函数，则，，对求导判断单调性，
根据单调性去掉，建立关于的不等式，从而求出的范围.
【详解】
解：令，
则，又，
则，令，则
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，，
所以恒成立，即在上单调递减.
若，只需，即，令，则，，，，
又恒成立，所以恒成立，即在上单调递增，
又，所以的解为.
故选：D
【点睛】
本题考查构造函数解不等式，考查利用导数判断函数的单调性和求最值，考查学生的计算能力和基本函数的导数公式，属于难题.
例45．已知函数及其导数满足，，对满足的任意正数，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】根据题意记，则，，
进而，再记，进而得，
研究最值即可得在单调递增，进而将问题转化为，
由基本不等式得，故进一步将问题转化为
再结合函数的单调性即可得，解得.
【详解】∵ ，，
∴ ，当且仅当时等号成立；
∵，∴，
记，则，
∴ ，∴，
记，∴ ，
∴ 当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴，
∴在恒成立，
∴在恒成立，∴在单调递增，
∵ 对满足的任意正数，都有，
∴ ∴ ，解得.
∴的取值范围是故选：C
【点睛】本题考查利用求导的运算法则逆向构造函数，考查了基本不等式的应用，考查运算求解能力，化归转化思想等，是难题.本题解题的关键在于构造函数记，则，进而研究函数的单调性，通过单调性求解不等式.
【方法技巧与总结】
二次构造：，其中等
题型十二：综合构造
例46．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题首先可根据题意得出函数的图像关于点中心对称且，
然后根据基本不等式得出，则函数在上单调递增，
最后将不等式转化为或，通过计算即可得出结果.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数的图像关于点中心对称，且，
当时，，
则，当且仅当时取等号，
故，函数在上单调递增，
因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增，
不等式可化为或，
，即，解得，，即，解得，
故不等式的解集为，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称；若函数是奇函数，则函数的图像关于点中心对称，考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题.
例47．已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.
【详解】由，可得，
即，令，则.
令，，
所以在上是单调递减函数.
不等式，等价于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是单调递减函数，所以，解得，
且，即，故不等式的解集为.
故选：D
【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题.
例48．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.
【详解】由，
（1）当时，可得，
即，
即，
构造函数，
所以函数单调递增，
则，此时，即满足；
（2）当时，可得，
由函数递增，则，此时或，即满足；
（3）当时，，即满足.
综上，.
故选：A.
【方法技巧与总结】
结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）
题型十三：找出原函数
例49．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】
本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在
处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值．
【详解】由题意可知，，即，
所以，令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
【点睛】
本题考查导数的相关性质，能否根据导函数的相关性质构造出函数是解决本题的关键，考查如何根据导函数性质来判断函数是否有极值，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题．
例50．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】【分析】由，由于，
可得，当时，，令，
可得，利用其单调性可得：当时，取得极小值即最小值，，
进而得出函数的单调性.
【详解】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，所以，
当时，，令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关判断函数有没有极值的问题，涉及到的知识点有导数与极值的关系，导数的符号与函数单调性的关系，在解题的过程中，求的解析式是解题的关键.
例51．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，
则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，
不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.
【详解】解：由题意得，
则，
由，解得：，故，（2），
当时，，，，在上恒成立，
即在上单调递增，
又，故为上的偶函数，
其图象关于轴对称，在上单调递减，
故，故，
故选：C．
【方法技巧与总结】
熟悉常见导数的原函数.
【过关测试】
一、单选题
1．已知可导函数f（x）的导函数为，f（0）=2022，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
根据题意，构造函数，求导可知在上单调递增，利用单调性求解即可.
【详解】令对任意的，
都有，在上单调递增，
又，
不等式的解集，
故选：D.
2．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，
根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】由题可设，因为，
则，所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：D.
3．已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，
利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，
利用单调性即可求解.
【详解】解：令，因为，所以，
所以在上单调递增，
因为，所以，
不等式，即，
所以，即，
所以，又，所以，
故选：D.
4．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），
若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由 即可求解集.
【详解】由，而知：在上单调减，
而，即，又知：，
∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，
∴在上单调增，即，可得，
综上，有，
故选：A
【点睛】思路点睛：由与组成的复合型函数式，一般可以将其作为某函数导函数的一部分，构造出原函数，再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.
5．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造，由，可得为奇函数，利用导数可知在上单调递减，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】，
令，且，则在上单调递减.
又
为奇函数，在上单调递减.
，且
代入得，
转化为，即
由于在上递减，则，解得：
故选：C.
【点睛】
方法点睛：利用进行抽象函数构造，常见类型：
（1）利用与的构造，常用构造形式有：出现“”用，出现“”用；
（2）利用与的构造，常用构造形式有：出现，构造函数；出现，构造函数；
6．已知函数是定义域为，是的导函数，满足，且，则关于不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由及，构造函数，转化为利用单调性解不等式即可求解.
【详解】结合不等式结构特征，原不等式等价于，
令，则，所以在上为减函数，而，
所以，所以原不等式的解集为，
故选：A
【点睛】关键点点睛： 根据不等式，转换为，又，
构造恰当函数是解题的关键，利用导数判断所构造函数的单调性，转化为常规不等式问题.本题主要考查利用导数判断函数单调性，考查了观察分析能力，属于较难题目.
7．若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数，利用导数和题设条件，得到函数单调递减，进而根据为偶函数且，求得，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】设函数，则，
因为，可得，所以，函数单调递减，
因为为偶函数，可得函数关于对称，
又由，所以，所以，
不等式，可得化为，即，所以，
即不等式的解集为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了导数的四则运算公式，利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调求解不等式，其中解答中结合题意，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，结合单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.
8．设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，
将变形为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】令，
，有，．
所以为R上的偶函数，又在上有，
所以，即在上单调递增，在上单调递减.
又，所以，
即，，解之得，.
故选B.
【点睛】
本题主要考查构造函数并研究其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现数学运算、逻辑推理等核心素养，属难题.
9．设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】由得到，再由得到解析式，设，通过求导得到，得到单调递减，将所求不等式中，从而转化为形式，利用单调性求出的范围，再得到的范围，得到答案.
【详解】因为，所以，
所以可得，即
因为，所以，所以，所以，
令，则，
所以在定义域内单调递减，所求不等式中
所以即，
又因，所以所以
而在定义域内单调递减，所以，即，得，
故选项.
【点睛】本题考查通过导数研究函数的单调性，利用单调性解不等式，积分求函数解析式，属于难题.
10．已知函数的定义域为,，对任意的满足当时，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】由题意构造函数，则函数在 上为减函数，且.
又，所以的解集为，
从而求出满足题意的的范围.
【详解】由题意构造函数 ，则 ，
函数在 上为减函数． .
又，，
的解为
不等式的解集为.
故答案为A.
【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，考查学生构造函数的能力及三角函数单调性应用，属于中档题.
11．已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】设，求导可得在R上单调递增，求的解集，等价于求的解集，接着利用在R上单调递增，可得到答案.
【详解】设，则，， 在R上单调递增，又，求的解集，等价于求的解集，在R上单调递增，，且，，故选D.
【点睛】
本题主要考查利用导函数解不等式，构造一个新函数是解决本题的关键.
12．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式.
【详解】构造函数，则，
所以，函数在上单调递减，
由，可得，即，解得，
因此， 不等式的解集为，故选C.
【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式的基本步骤如下：
（1）根据导数不等式的结构构造新函数；
（2）利用导数研究函数的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性；
（3）将不等式转化为的形式，结合函数的单调性进行求解.
13．奇函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【详解】根据题意，可构造函数 其导数
当时，有，其导数在上为增函数，
又由为奇函数，即 ，则 ，即函数为偶函数，
当时，，不等式
又由函数为偶函数且在上激增，则 解得
此时 的取值范围为 ；
当时，，不等式
同理解得此时的取值范围为；综合可得：不等式的解集为
故选D．
【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数
并利用导数分析的单调性．
14．已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【详解】令，则
∵∴，即在上恒成立
∴在上单调递减
∵∴，即∴，即
故选A
点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.
15．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【详解】构造函数法
令，则，函数在上为减函数，因为，即，故为奇函数，
于是在上为减函数，而不等式可化为，
则，即.选A.
16．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【详解】
由题意有，故，
令，则函数是R上的单调递增函数，
而,
据此可得.
本题选择A选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．
二、多选题
17．（多选）已知是定义在上的函数，是的导函数，下列说法正确的有（ ）
A．已知，且，则
B．若，则函数有极小值
C．若，且，则不等式的解集为
D．若，则
【答案】BCD
【解析】【分析】
A令，利用导数及复合函数的单调性判断的单调性；B设，利用导数研究单调性，即可判断是否存在极小值；C设，利用导数研究单调性，结合已知求解集；D令（），利用导数研究单调性，再由即可判断大小关系.
【详解】A：令，则，所以单调递增，
由复合函数单调性知单调递增，所以，错误；
B：设，则，又，
∴当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴当，取得极小值，极小值为，正确；
C：设，则，
∴单调递增，而等价于，∴，即解集为，正确；
D：令（），由已知，当时，，
∴在上单增，即，∴ ，故，正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：构造函数，并应用导数研究函数的单调性，再结合各选项的描述判断真假.
18．已知的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】构造函数，由，可得单调递增，进而利用单调性求解即可.
【详解】，所以，，则设，，
得，单调递增，所以，必有，，
则，，所以，A和B正确；
故选：AB
19．已知函数的定义域是，其导函数是 ，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】【分析】根据题意，构造，由题意，得到单调递增，进而利用的单调性，得到，再整理即可求解
【详解】设，可得，单调递增，
又因为，，，
且，，得，，整理得，AC正确；
故选：AC
20．已知定义在上的偶函数，其导函数为，当时，.则（ ）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】BC
【解析】【分析】对于A，由偶函数的性质判断，对于B，由已知可得时，，从而可判断，对于CD，令，先判断其奇偶性，然后利用导数可判断出在上单调递减，再将转化为，则，再利用其单调性可解得，
【详解】对于A，由为偶函数，不一定为0，所以A错误，
对于B，当时，由，有，可得函数在上单调递减，
所以B正确，
对于CD，令，∴，为偶函数.
当时，，∴在上单调递减.
又∵为偶函数，故在上单调递增.
由，得，
∴，即.
∴.∴，解得.所以C正确，D错误，
故选：BC
21．已知定义在R上的函数图像连续，满足，且时，恒成立，则不等式中的x可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】【分析】构造函数，根据题干条件可证明是偶函数，且在单调递增，在单调递减，转化不等式为，结合的单调性和奇偶性，即得解
【详解】由整理得，
设，则有，所以是偶函数，
因为时，，
所以，
所以在单调递减，
又是偶函数，所以在单调递增，
又不等式
等价于即，
根据的单调性和奇偶性可得，解得
故选：ABC
22．已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数的取值可以为（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】BCD
【解析】【分析】利用已知条件得到，构造函数，
利用已知条件得到函数为奇函数且函数在上单调递减，可得函数在上单调递减，所给的不等式转化为，利用单调性求解即可.
【详解】依题意可得：，故，
令，则，所以函数为奇函数，
，因为当时，，
即当时，，
故在上单调递减，由为奇函数可知，在上单调递减，
因为，故，
即，故，故，故实数的取值范围为.
由选项可知：BCD正确；
故选：BCD.
三、填空题
23．已知是定义在R上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】，∴在上是增函数，
且为偶函数，由
∴，解得，∴解集为
故答案为：
24．已知是上的奇函数，是在上无零点的偶函数，，当时，，则使得的解集是________
【答案】
【解析】【分析】构造函数，求出的单调性及奇偶性，由得到不等式，解不等式即可.
【详解】令，则，当时，，
故在上单调递减，又是奇函数，是偶函数，
故是奇函数，在上单调递减，
又，可得，
故在上小于0，由，得或，
解得或.
故答案为：.
25．已知是定义在上的函数，且；其导函数为.若时，，则不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】【分析】题设不等式可化为，构造，
结合条件判断的区间单调性及奇偶性，进而利用其奇偶性、单调性解不等式即可.
【详解】由可得：，
令，又，即，所以在上为减函数，
因为，易知为偶函数，
所以，故也为偶函数，所以在上为增函数，
综上，，解得，故不等式解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据题设条件，将问题转化为利用的单调性、奇偶性求解集.
26．若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则的取值范围___________.
【答案】.
【解析】【分析】构造函数，可得为奇函数，又，
得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】，，
设，则，为奇函数，
又，在上是减函数，从而在上是减函数，
又，等价于，即，
，解得，
故答案为：.
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