安徽省宣城中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题（解析版）

这是一份安徽省宣城中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的实部为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出复数后，结合复数定义即可得.
【详解】，故其实部为2．
故选：C.
2. 某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （ ）
A. 是对立事件B. 都是不可能事件
C. 是互斥事件但不是对立事件D. 不是互斥事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合可得答案．
【详解】解：根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况，
易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，
故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件．
故选：D．
3. 已知向量，若∥，则（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.
【详解】因为，
若∥，则，即.
故选：C.
4. 若a，b，l是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】A
【解析】
【分析】由线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，若，，，由线面平行的性质可得，故A正确；
对于B，若，，，当时，得不出，故B错误；
对于C，若，，，可能，也可能与相交，故C错误；
对于D，若，，，可能，也可能，也可能不共线且不垂直，故D错误.
故选：A.
5. 已知，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，将两边平方，由数量积的运算求出，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为，，，
所以，则，即，
解得，
设与的夹角为，则，又，
所以，即与的夹角为.
故选：C
6. 某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用三角函数分别表示，然后分别在中利用余弦定理表示，因为，所以可得,进而求解即可.
【详解】设，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因为,所以，
即，解得，
所以该古建筑的高度为.
故选：C.
7. 在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.
【详解】根据长方体的面对角线特点，由对棱，
且对棱中点E，F分别满足，，
则可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合，
由长方体的外接球即为四面体的外接球，如下图所示：
设长方体的长、宽、高分别为
则，，
所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为.
故选：A
8. 已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得，再求得角的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.
【详解】已知，由正弦定理得，得，
由余弦定理，则，即，
由正弦定理得，
因为，则
所以，即.
因为为锐角三角形，，则，
又在上单调递增，所以，则，
因为为锐角三角形，，解得，
所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（ ）．
A. A，C，，四点共面B. ，M，O三点共线
C. 平面D. 与BD异面
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可.
【详解】由正方体性质，，所以A，C，，四点共面，A正确；
直线交平面于点，
平面，直线，又平面，平面，
为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，
平面，且平面，又平面，且平面，
面与面相交，则，，在交线上，即三点共线，故选项正确；
平面平面，平面，
但，所以平面，C错误；
平面，面，，
所以与BD为异面直线，D正确.
故选：ABD
10. 若数据，，…，的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据，，…，的平均数为13
B.
C. 数据，，…，的方差为36
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A，由即可得B，利用方差的性质计算可得C，结合方差与平均数计算即可得D.
【详解】依题意，，，
对A：，故A正确:
对B：由，可得，故B错误；
对C：依题意，，
所以数据方差为：
，故C正确;
对D：由
，解得，故D错误.
故选：AC.
11. 在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用 ，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可；
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，若，则，，，故B正确；
对于C，，而，不相等．故C错误；
对于D，设，则将，代入可得：
，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知事件和事件相互独立，表示事件的对立事件，，，则______.
【答案】##0.125
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率公式求解.
【详解】由事件和事件相互独立，则事件和事件也相互独立.
所以.
故答案为：
13. 已知平面向量，向量在向量上的投影向量为，则=______.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义即可求解
【详解】由投影向量的定理可得，向量在向量上的投影向量为：，
又向量在向量上的投影向量为，所以，
所以，所以，
故答案为：
14. 已知正方体的棱长为1，P是中点，过点作平面，满足平面，则平面截正方体所得截面的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】取AD中点E，AB中点F，连接PD，，EF，，，AC，BD，通过证明和来证明平面，再计算周长即可.
【详解】取AD中点E，AB中点F，连接PD，，EF，，，AC，BD，
如图所示：
因E为AD中点，F为AB中点，则，，所以，
所以E，F，，四点共面，
根据正方形性质可知平面，
而平面，所以，易得，
可知，而，所以，
即．
因为，所以平面PDC，而平面PDC，所以．
E为AD中点，F为AB中点，
由正方形和正方体性质可知，，且，
所以平面PAC，而平面PAC，所以．
又因为，，所以平面，
即四边形为平面与正方体的截面，
正方体棱长为1，所以所得截面的周长．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设复数．
（1）在复平面内，复数对应的点在第二象限，求a的取值范围；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出复数及所对应的点，再列出不等式求解即得.
（2）利用复数除法运算求出复数，再由纯虚数的意义求出，进而求出模.
【小问1详解】
由，得，
由复数对应的点在第二象限，得，解得，
所以a的取值范围是.
【小问2详解】
依题意，是纯虚数，
因此，解得，则
所以.
16. 记锐角的内角的对边分别为.已知，.
（1）求b的值；
（2）若，求.
【答案】（1）5 （2）5
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理解得或，再结合锐角三角形分析取舍；
（2）根据向量可得，进而结合数量积求模长.
小问1详解】
如图，在中，因为，，
由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或，
此时边为最大边，即角为最大角，
若为锐角三角形，则，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，且角A为锐角，则，
由（1）可知：，则，
因为，则，可得，
则，
所以．
17. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组.
（1）求直方图中a的值和第25百分位数；
（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，求两名幸运市民年龄都在内的概率.
【答案】（1），30
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1可求a的值，判断第25百分位数在第二组，设为x，列方程可求解；
（2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为4人，年龄在的人数为2人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可.
【小问1详解】
，、
解得
因为第一组的频率为，，
第二组的频率为，，
所以第25百分位数在第二组，设为，则，
解得，
所以第25百分位数为30.
【小问2详解】
年龄在的市民人数为，
年龄在的市民人数为，
用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，
年龄在的人数为人，
设年龄在的7人为A，B，C，D，年龄在的2人为E，F，
从这6为市民中抽取两名样本事件为，共15种，
其中2名年龄都在内样本事件有6种，
所以两名幸运市民年龄都在内的概率为.
18. 如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且．
（1）求证：；
（2）若,求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）要证，只需证平面，只需证（易证）和，只需证平面，根据题意容易证；
（2）利用等体积法求得点P到平面的距离，设直线与平面所成的角为，则根据即可得到答案.
【小问1详解】
因为 为半球 的直径， 为 半球底面圆周上一点,
所以 ,
因为 、 平面 ,
所以 平面 ，又因为 平面 ,
所以 ,
又因为 为半球面上一点,
所以 ,
又因为 平面
所以 平面 , 又 平面 ,
所以 ;
【小问2详解】
因为三角形 为直角三角形,
所以 ,
又因为 平面 ,
所以 ，
又因为三角形 也是直角三角形，
所以 ,
所以，
设点 到平面 的距离为 ,
则有 ，即 ,
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
19. 对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”.
（1）若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围；
（2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①当时，求；
②证明：.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算不等式即可；
（2）①应用列举法计算古典概型即可；②应用古典概型证明即可.
【小问1详解】
是的“迷你向量”，
，解得.
【小问2详解】
①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，
要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点
故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可.
先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上，
其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：
“123”代表前三步向上，剩下三步向右；
“246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右；
{123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}，
总共的最短路径条数，；
{156，256，356，456},故经过包含的路径条数为4，，
因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，
.
②同理，总共的最短路径条数为
经过包含的路径条数为，试验为古典概型，
.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.