山西省实验中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题（解析版）

这是一份山西省实验中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：150分 考试时长：120分钟
第一卷 （客观题）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定，，再计算交集得到答案.
【详解】，，
则.
故选：D.
2. 已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法得到，从而得到实部的值，由复数的乘法得到，从而得到虚部的值，从而得到，得到对应的点，得到所在象限.
【详解】，所以，所以，
其在复平面内的对应点为，位于第一象限．
故选：A．
3. 已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将的充分不必要条件是转化为两集合的真包含关系，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.
【详解】设，，
因为的充分不必要条件是，所以是的真子集，
所以，且等号不同时成立，解得，
当时，，成立，
所以.
故选：A.
4. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A. 4B.
C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解.
【详解】因为当时，所以函数
的图像恒过定点，即，因为点在直线上，
所以即 因为 所以
当且仅当
即时取等号.
故选：D.
5. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，先求的有关值，再求对应事件的概率.
【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故
故选：C
6. 折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（ ）
①；②；③；④
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何关系，直接判断与是否平行，即可判断A;再根据转化向量求数量积判断B；根据几何关系，以及相等相等向量转化，判断C；根据向量转化证明数量积相等.
【详解】A.，则与不平行，故①错误；
B.设，，
，
，故②正确；
C.，故③正确；
D.，故④正确.
故选：C
7. 已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出的图像，结合函数有个零点，结合图像列不等式来求得的取值范围.
【详解】当时，是开口向下的二次函数，对称轴为，.
由解得或.
由此画出的图像如下图所示，
依题意，函数有个零点，
令，则，
根据图像可知，函数在区间上有两个不相等的实数根，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：D

8. 如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，分别得到和，联立方程组，求得，进而求得的值，即可求解.
【详解】设，
由，
又由，
所以，解得，可得，
因为，所以，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 图像关于原点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象 .
对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确；
对于D选项，函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，D选项正确.
故选：ACD.
10. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 在区间上单调递增
C.
D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为12
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数是偶函数及对称性得出函数周期及对称性判断A,根据函数值结合对称性判断C,应用函数对称性结合单调性判断B,数形结合判断的图象与的图象所有交点个数再结合对称性判断D.
【详解】对于A，因为为偶函数，故，
故，所以，故的图象关于直线对称，故A正确.
对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为，
故当时，，故，故B错误.
对于C，由是周期为2的函数可得：，故C正确.
对于D，因为，故的图象关于对称，
而，且时，此时在1,+∞上为增函数，
故fx,gx图象如图所示：
由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10，故D错误.
故选：AC
11. 如图，矩形中，E、F分别为、的中点，且，现将沿间上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）

A. 存在点P，使得
B. 存在点P，使得
C. 当平面平面时，二面角大小的正切值为
D. 当平面平面时，三棱锥外接球表面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据平行线的性质，结合长方形的性质，可得答案；
对于B，利用面面垂直性质定理，结合勾股定理，可得线面垂直，根据其性质定理，可得答案；
对于C，根据二面角平面角的定义，利用中位线定理以及三垂线定理，结合锐角三角函数，可得答案；
对于D，利用长方形的几何性质，结合勾股定理，确定外接球的球心与半径，根据其表面积公式，可得答案.
【详解】对于A，、分别是、的中点，与平行且相等，则，
与相交，与不可能平行，故A错误；
对于B，由题意，当平面平面时，连接，取中点，连接，作图如下：

在长方形中，、分别是、的中点，且，
，，
，，
，且为的中点，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，，
，且平面，平面，
平面，，故B正确；
对于C，在选项B的图上，补全长方形，点为翻折之前的点，取的中点，连接，作图如下：

显然平面，且，分别是的中点，
，且，则，
由B选项可知平面，平面，，
，平面，平面，
平面，，平面，且平面，
平面，故为二面角的平面角，
易知为直角三角形，则，
在等腰中，，
则，故C正确；
对于D，在B选项图上，连接，作图如下：

在长方形中，易知，
由选项B可知，平面，平面，，
由选项C可知，，同理可得，
在中，，则为三棱锥外接球的球心，
故该外接球的表面积，故D正确.
故选：BCD.
第二卷（主观题）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积和向量的投影向量的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由向量，可得，
则向量在向量方向上投影向量为.
故答案为：1,0
13. 已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是________.
【答案】148
【解析】
【分析】先分别求出男生及女生的平均数,再应用分层抽样的方差公式计算方差即可.
【详解】设男生成绩样本平均数为，方差为，
女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为，
.
.
所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148.
故答案为：148.
14. 函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
【答案】（1，＋∞）
【解析】
【分析】构造函数F（x）＝f（x）－2，则f（a）＋f（a－2）＞4等价于F（a）＋F（a－2）＞0，分析奇偶性和单调性即可求解.
【详解】设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝，易知F（x）是奇函数，F（x）＝＝＝1－在R上是增函数，
由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0，
于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1.
答案：（1，＋∞）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）应用对数运算律计算化简求值；
（2）应用指数运算律计算化简求值.
【详解】（1）
（2）
16. 记的内角所对的边分别为，，
（1）求角A；
（2）若的面积为为的中点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再利用三角恒等变换化简求解即可；
（2）由三角形面积公式求出，然后利用将表示出来，最后利用基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
又因为，
即，可得，
且，则，可得，
且，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，解得，
又因为为的中点，则，
可得
，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
17. 某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成组：，，，，，，（时间均在内），已知上述时间数据的第百分位数为.
（1）求的值，并估计这位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人，求两个人来自不同组的概率.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题知，，进而解得，再估计平均数即可；
（2）由题知抽取的个人中，来自第二组共有个人，第四组共有个人，再根据古典概型计算求解即可.
【详解】解：（1）因为，所以；
又因为时间数据的第百分位数为，
所以，则，
于是，
所以平均值为；
（2）由于第二组和第四组的频率之比为：，
那么分层抽样抽取的个人中，来自第二组共有个人，设为，第四组共有个人，设为，
则从个人中任选人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中人来自不同组的事件有，，，，，，，共个，
故所求概率为.
18. 已知平面向量，，．
（1）设函数，求的对称轴方程；
（2）设函数，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据数量积的坐标表示公式，再根据二倍角和辅助角公式化解函数，最后代入对称轴公式，即可求解；
（2）首先根据数量积公式得到函数的解析式，再利用换元，结合同角三角函数基本关系式的应用，将函数转化为关于的二次函数，根据定义域上的单调性，即可求解函数的最值.
【小问1详解】
由题意知，，
由，，得，，
即的对称轴为，；
【小问2详解】
由题意知，
设，则，
由，所以，
得，
又函数是一条开口向下、对称轴为抛物线，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以．
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°.

（1）证明：直线PB∥平面ACE；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接BD交AC于点H，连接HE，可证HE∥PB，从而可证PB∥平面ACE，
（2）作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量，利用向量法求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【小问1详解】
连接BD交AC于点H，连接HE，

∵AB∥DC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴H是BD的中点，又E为线段PD的中点，
∴HE∥PB，又HE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴直线PB∥平面ACE.
【小问2详解】
∵AB⊥平面PAD，作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°，
得，
∴，
设平面PCD的一个法向量为，
则，得，不妨取，
∴，
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．