2024-2025学年安徽省淮北市部分学校高二上学期开学考试数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省淮北市部分学校高二上学期开学考试数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′C′=3，则该平面图形的高为( )
A. 3 2B. 3C. 6D. 6 2
2.一平面截某几何体得一三棱台，则该几何体可能是( )
A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱锥D. 圆锥
3.cs69∘cs24∘−cs159∘sin24∘=( )
A. 22B. 2C. 5D. 12
4.已知a,b为单位向量，且a⊥(a+2b)，则向量a与b的夹角为( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
5.已知z=2+i，则zz+i=( )
A. 3−i4B. 1−i4C. 3+i4D. 1+i4
6.已知▵ABC是边长为6的等边三角形，点D,E分别是AB,AC上的点，满足AD=DB,2AE=EC，连接CD,BE交于点G，求GA⋅AC=( )
A. −725B. 365C. 725D. −365
7.如图，四边形ABCD中3AB=2CD，AC∩BD=O，若AC+2DO=4AB，且BA⋅BD=9，则▵ACD面积的最大值为( )
A. 3 2B. 2 6C. 4 3D. 6 3
8.已知AB⇀=3,−1,n=(2,1)，且n⋅AC⇀=7，则n⇀⋅BC⇀=( )
A. −2B. 2C. −2或2D. 0
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中为假命题的是( )
A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D. 正四棱柱是平行六面体
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=8，b=15，c=17，则下列命题成立的是( )
A. sinA:sinB:sinC=8:15:17B. csA:csB:csC=8:15:17
C. 最大内角是最小内角的2倍D. △ABC为直角三角形
11.设向量a=1,x，b=x,9，若a//b，则x的取值可能是( )
A. −3B. 0C. 3D. 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=m2−m−2−m+1i(m∈R,i为虚数单位)为纯虚数，则m的值为 ．
13.若sinθ=kcsθ，则sin θ⋅cs θ的值等于 (用k表示)．
14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成).类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)，若DF=2AF，则λμ= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=2sin2π4−x− 3cs2x
(1)求fx的最小正周期和单调递减区间;
(2)若fx16.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinxcsx+ 32cs2x+1
(1)求f(x)的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合；
(2)将f(x)的函数图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)是偶函数，求φ的最小值．
17.(本小题12分)
已知▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c， 3bsinC−ccsB=c．
(1)BD是边AC上的中线，BD=2，且a2+c2=10，求AC的长度．
(2)若▵ABC为锐角三角形，且a=2，求▵ABC面积的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，ABCD为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且DH=13AD，DG=13CD.求证：
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)EH、FG必相交且交点在直线BD上．
19.(本小题12分)
已知函数fx的定义域为R，现有两种对fx变换的操作：φ变换：fx−fx−t；ω变换：|fx+t−fx|，其中t为大于0的常数．
(1)设fx=2x，t=1，gx为fx做φ变换后的结果，解方程：gx=2；
(2)设fx=x2，ℎx为fx做ω变换后的结果，解不等式：fx≥ℎx；
(3)设fx在−∞,0上单调递增，fx先做φ变换后得到ux，ux再做ω变换后得到ℎ1x；fx先做ω变换后得到vx，vx再做φ变换后得到ℎ2x.若ℎ1x=ℎ2x恒成立，证明：函数fx在R上单调递增．
答案解析
1.C
【解析】解：由直观图可得如图所示的平面图，在直角梯形O′A′B′C′中，O′C′=3，
则该平面图形的高为OC=6；
故选：C．
2.B
【解析】解：由棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台
所以用平行于三棱锥的底面平面截三棱锥，在底面和截面之间的几何体为三棱台．
故选：B
3.A
【解析】
解：cs69∘cs24∘−cs159∘sin24∘=cs69∘cs24∘−cs(90∘+69∘)sin24∘
=cs69∘cs24∘+sin69∘sin24∘=cs(69∘−24∘)=cs45∘= 22．
故选：A．
4.C
【解析】解：因为a,b为单位向量，且a⊥(a+2b)，
所以a⋅(a+2b)=a2+2a⋅b=1+2a⋅b=0，得a⋅b=−12，
所以cs a,b=a⋅b|a||b|=−121×1=−12，
因为0∘⩽a,b⩽180∘，所以a,b=120∘．
故选：C
5.A
【解析】解：zz+i=2+i2+i+i=(2+i)(2−2i)(2+2i)(2−2i)=(2+i)(2−2i)8=6−2i8=3−i4．
故选：A．
6.A
【解析】解：方法一：因为D,G,C､B,G,E共线，
设AG=xAD+1−xAC=yAE+1−yAB，
即AG=x2AB+1−xAC=y3AC+1−yAB，
则x2=1−y1−x=y3，解得x=45,y=35，
所以GA⋅AC=−AG⋅AC=−15AC+25AB⋅AC=−15AC2+25AB⋅AC=−725
方法二：过D点连接AC的中点F，过点D,G分别做边AC的垂线，垂足分别是M,N，
易得AM=12AF=32,MN=15MC=910，
则AG在边AC上的投影是AN，
所以GA⋅AC=−AG⋅AC=−AN⋅AC=−95×6=725；
方法三：以BC边的中点O为坐标原点，以AC边为x轴建立如图所示直角坐标系，

则A0,3 3,B−3,0,C3,0,D−32,3 32,E1,2 3，
设Gx,y，
因为D,G,C､B,G,E共线可得4y−2 3x+3=0−92y−3 32x−3=0，解得x=−35y=6 35,
即G−35,6 35，可得GA=35,9 35,AC=3,−3 3，
所以GA⋅AC=95−815=−725．
故选：A．
7.C
【解析】解：线段OC上取点E使得AC=2OE，又AC+2DO=4AB，
则4AB=AC+2DO=2OE−2OD=2DE，故AB//DE,DE=2AB，
所以▵ABO∼▵EDO，则EO=2AO,OD=2OB，
设∠ABO=θ，则S▵ACD=2S▵OED=8S▵ABO=4BA⋅BO⋅sinθ=43BA⋅BD⋅sinθ=43BA⋅BD⋅tanθ=12tanθ．
由上易知S▵AOD=2S▵ABO，且S▵OED=4S▵ABO，而S▵AOD+S▵CED=S▵OED，
所以S▵CED=S▵OED−S▵AOD=2S▵ABO，则S▵CDO=S▵CED+S▵OED=6S▵ABO，
结合3AB=2CD及OD=2OB，且12OD⋅CDsin∠CDO=6×12OB⋅ABsinθ，
由三角形内角性质sin∠CDO∈(0,1]，所以sinθ=12sin∠CDO≤12⇒tanθ≤ 33，
综上，S▵ACD=12tanθ≤4 3．
故选：C
8.B
【解析】解：n⋅BC=n⋅(AC−AB)=n⋅AC−n⋅AB=7−(2,1)⋅(3,−1)=7−(6−1)=2，
故选：B．
9.ABC
【解析】解：对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体;
对于选项B，根据棱柱的定义，显然不成立;
对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体;
对于选项D.正四棱柱是平行六面体．
故选：ABC．
10.AD
【解析】解：因为a=8，b=15，c=17，
∴由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=8：15：17，故A正确；
可知c为最大边，则C为最大角，
由余弦定理可得，csC=a2+b2−c22ab=64+225−2892×8×15=0，所以C为直角，△ABC为直角三角形，则csA，csB，csC中csC最小，故B错误，D正确；
对于C，角A是最小角，由csA=bc=1517，
由cs2A=2cs2A−1=2× (1517)2−1≠0，故2A≠C，故C错误．
故选：AD．
11.AC
【解析】解： a=1,x ， b=x,9 ，
由 a//b ，可得 1×9−x⋅x=0 ，解之得 x=±3．
故选：AC．
12.2
【解析】解：由z是纯虚数，有m2−m−2=0−(m+1)≠0,
解得m=2．
故答案为：2
13.k1+k2
【解析】解：∵sinθ=kcsθ，易知csθ≠0，
可得sinθcsθ=tanθ=k，
∴sin θ⋅cs θ=sinθ·csθsin2θ+cs2θ=tanθtan2θ+1=kk2+1，
故答案为k1+k2．
14.3
【解析】解：不妨设AF=1，则AD=3，如图，由题可知∠ADB=2π3．
由AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB=9+1−2×3×1×−12，
得AB= 13，所以AC= 13，所以B 13,0，C 132, 392，A0,0．
又BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，所以sin∠BAD= 3926，所以cs∠BAD=7 1326，
所以DADcs∠BAD,ADsin∠BAD，即D21 1326,3 3926．
所以AD=21 1326,3 3926，AB= 13,0，AC= 132, 392，
因为AD=λAB+μAC，所以21 1326= 13λ+ 132μ3 3926= 392μ,
解得λ=913μ=313，所以λμ=3．
故答案为：3
15.解：(1)注意到，fx=1−csπ2−2x− 3cs2x
=−sin2x+ 3cs2x+1 =−2sin2x+π3+1．
于是，fx的最小正周期T=2π2=π．
由2kπ−π2≤2x+π3≤2k+π2k∈Z⇒kπ−5π12≤x≤kπ+π12k∈Z，
故fx的单调递减区间为kπ−5π12,kπ+π12k∈Z．
(2)由x∈0,π6，知π3≤2x+π3≤2π3，
于是，当sin2x+π3= 32时，fx取得最大值1− 3，即fxmax=1− 3．
要使fx−1− 3．
故m的取值范围是−1− 3,+∞．

【解析】略.
16.解：(1)f(x)=sinxcsx+ 32cs2x+1=12sin2x+ 32cs2x+1=sin(2x+π3)+1，
所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
当且仅当2x+π3=2kπ+π2，k∈Z时，f(x)取得最大值为2，
此时x的集合为{x|x=kπ+π12,k∈Z}．
(2)g(x)=f(x+φ)=sin(2x+2φ+π3)+1，
因为g(x)是偶函数，
所以2φ+π3=kπ+π2，k∈Z，即φ=12kπ+π12，k∈Z，
所以φ的最小值为π12．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
(1)利用三角函数恒等变换的应用可求解析式为f(x)=sin(2x+π3)+1，利用周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的性质可求其最大值及取得最大值时x的集合．
(2)利用三角函数的平移变换可求g(x)=f(x+φ)=sin(2x+2φ+π3)+1，由g(x)是偶函数，可求2φ+π3=kπ+π2，k∈Z，进而可求φ的最小值．
17.解：(1) 3bsinC−ccsB=c，
由正弦定理得： 3sinBsinC−sinCcsB=sinC，
因为00，所以 3sinB−csB=1，
所以sinB−π6=12，因为0因为BD=12BA+BC，所以4=14BA2+2BA⋅BC+BC2，
16=c2+2a⋅ccsB+a2=c2+a⋅c+a2，
又因为c2+a2=10，所以a⋅c=6，
在▵ABC中，由余弦定理可得：
b2=a2+c2−2a⋅ccsB=a2+c2−a⋅c=10−6=4，
所以b=2，即AC=2；
(2)由题设S=12acsinB= 32c= 32asinAsinC= 3sinCsinA
= 3sin2π3−AsinA= 3 32csA+12sinAsinA= 32+32tanA，
因为▵ABC为锐角三角形，所以
0可得tanA> 33，所以0<32tanA<3 32，
则面积的取值范围是 32,2 3．
【解析】(1)由正弦定理求出B，对BD=12BA+BC两边平方求出ac中，再由余弦定理可得答案；
(2)S=12acsinB= 32+32tan4，根据▵ABC为锐角三角形求出A的范围，再由tanA的范围可得答案．
18.解：(1)
连接AC、EF，HG，
由E，F分别为AB，BC中点，则EF//AC，
又DH=13AD，DG=13CD，则HG//AC，
(2)
由DH=13AD，DG=13CD，
易知HG=13AC，
又E，F分别为AB，BC中点，即EF=12AC，
∴HG≠EF，
结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH、FG不平行，
设它们交点为P，P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，
又平面ABD∩平面BCD=BD，因此P∈BD，
即EH、FG必相交且交点在直线BD上．
【解析】(1)根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面；
(2)结合面面位置关系可得证．
19.解：(1)∵fx=2x，t=1，gx为fx做φ变换后的结果，gx=2，
(2)∵fx=x2，ℎx为fx做ω变换后的结果，∴ℎx=x+t2−x2=2tx+t2，
由fx≥ℎx，则x2≥2tx+t2
当x≤−t2时，x2≥−2tx+t2，x2+2tx+t2≥0，x+t2≥0，显然fx≥ℎx恒成立；
当x>−t2时，x2≥2tx+t2，x2−2tx+t2≥2t2，x−t2≥2t2，开平方可得x−t≥ 2t或x−t≤− 2t，解得x≥1+ 2t或x≤1− 2t，
综上，不等式：fx≥ℎx的解集为−∞,1− 2t∪1+ 2t,+∞．
(3)证明：fx先做φ变换后得到ux，ux再做ω变换后得到ℎ1x，
∴ux=fx−fx−t，ℎ1x=|fx+t−fx−[fx−fx−t]|，
fx先做ω变换后得到vx，vx再做φ变换后得到ℎ2x，
∴vx=|fx+t−fx|，ℎ2x=|fx+t−fx|−|fx−fx−t|，
∵ℎ1x=ℎ2x，fx在−∞,0上单调递增，
∴|fx+t−fx−[fx−fx−t]|=|fx+t−fx|−|fx−fx−t|，
∵t>0，∴当x<0时，x−t0．
由于a−b=a−b等价于ab≥0且a≥b，其中若b>0，则a≥b>0，
因此当fx−fx−t>0时，fx+t−fx≥fx−fx−t>0，
任意取x2>x1，令t=x2−x1，存在k∈N∗，使x2−kt<0，由fx在−∞,0上单调递减，可得fx2−kt−fx2−k+1t>0，
同理可得fx2−k−1t−fx2−kt>0，以此类推fx2−fx2−t>0，即fx2−fx1>0，即fx2>fx1．
∴函数fx在R上单调递增．
【解析】(1)由题意，推导出函数gx的解析式，建立方程，由此能求出x．
(2)由题意，推导出函数ℎx的解析式，建立不等式，分类讨论去掉绝对值，结合二次函数的性质，可得答案．
(3)由题意，分别推导出函数ℎ1x,ℎ2x的解析式，建立方程，