2024-2025学年北京市第一五六中学九上数学开学学业质量监测模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年北京市第一五六中学九上数学开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一组数:3，5，4，2，3的中位数是( )
A．2B．3C．3.5D．4
2、（4分）定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
3、（4分）把根号外的因式移入根号内，结果（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180B．增加180°C．减少360°D．增加360°
5、（4分）如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
6、（4分）若分式的值为零，则x等于（ ）
A．0B．2C．±2D．﹣2
7、（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
8、（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．(a  3)(a  3) a2 9B．a2  2a  3  a(a  2 )
C．a 2 4a  5  (a  4)  5D．a2b2 (a  b)(a  b)
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在平面直角坐标系xy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AO=2，BO=3，BC=4.将正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D’处，则点C的对应点C’的坐标为____.
10、（4分）在菱形ABCD中,对角线AC=30，BD=60，则菱形ABCD的面积为____________．
11、（4分）如图，小芳作出了边长为1的第1个正△A1B1C1．然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2；用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，……，由此可得，第个正△AnBnCn的边长是___________．
12、（4分）如图，在中，，，，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为________.
13、（4分）如果一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和是__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简÷（－）,然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值
15、（8分）已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
16、（8分）某校学生会在得知田同学患重病且家庭困难时，特向全校3000名同学发起“爱心”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了该校某班学生的捐款情况，并将得到的数据绘制成如下两个统计图，请根据相关信息解答下列问题．
（1）该班的总人数为 ______ 人，将条形图补充完整；
（2）样本数据中捐款金额的众数 ______ ，中位数为 ______ ；
（3）根据样本数据估计该校3000名同学中本次捐款金额不少于20元有多少人？
17、（10分）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为该校6年1班40人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个．
（1）求6年1班40人一分钟内平均每人跳绳多少个？
（2）规定跳绳超过标准数量，每多跳1个绳加3分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个绳，扣1分，若班级跳绳总积分超过250分，便可得到学校的奖励，通过计算说明6年1班能否得到学校奖励？
18、（10分）计算：
(1);
(2).
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换面10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙机上换了_____次？
20、（4分）两个相似三角形的周长分别为8和6，若一个三角形的面积为36，则另一个三角形的面积为________.
21、（4分）化简得_____________．
22、（4分）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有1+4=5个正方形；第三幅图中有1+4+9=14个正方形；…按这样的规律下去，第5幅图中有______个正方形．
23、（4分）若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．
（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；
（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．
25、（10分）已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线 OA 向下平移后得到直线 l，与反比例函数的图象交于点 B（6，m），求 m 的值和直线 l 的解 析式；
（3）在（2）中的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 C、D，求四边形 OABC 的面积．
26、（12分）中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
按大小顺序排列这组数据，最中间那个数是中位数．
【详解】
解：从小到大排列此数据为：2，1，1，4，5，位置处于最中间的数是1，
所以这组数据的中位数是1．
故选：B．
此题主要考查了中位数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
2、D
【解析】
分3＞x+2和3＜x+2两种情况，根据新定义列出不等式求解可得．
【详解】
当3＞x+2，即x＜1时，3（x+2）+x+2＞0，
解得：x＞-2，
∴-2＜x＜1；
当3＜x+2，即x＞1时，3（x+2）-（x+2）＞0，
解得：x＞-2，
∴x＞1，
综上，-2＜x＜1或x＞1，
故选：D．
考查解一元一次不等式组的能力，根据新定义分类讨论并列出关于x的不等式是解题的关键．
3、B
【解析】
根据 可得 ，所以移入括号内为进行计算即可.
【详解】
根据根式的性质可得，所以
因此
故选B.
本题主要考查根式的性质，关键在于求a的取值范围.
4、D
【解析】
利用多边形的内角和公式即可求出答案．
【详解】
解：n边形的内角和是（n-2）•180°，
n+2边形的内角和是n•180°，
因而（n+2）边形的内角和比n边形的内角和大n•180°-（n-2）•180=360°．
故选：D．
本题考查多边形的内角和公式，熟记内角和公式是解题的关键．
5、D
【解析】
连接DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在Rt△ABH中，AH=1，AD=2，∴DH=，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF，∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF=DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选D．
6、D
【解析】
分式的值是1的条件是：分子为1，分母不为1．
【详解】
∵x2-4=1，
∴x=±2，
当x=2时，2x-4=1，∴x=2不满足条件．
当x=-2时，2x-4≠1，∴当x=-2时分式的值是1．
故选：D．
本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7、C
【解析】
在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合的图形叫做中心对称图形，根据这两点即可判断．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故A错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故B错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故D错误．
故选：C．
本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握这两个知识点是解题的关键．
8、D
【解析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】
解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C错误；
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D正确；
故选：D．
本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、 (5,)
【解析】
由题知从正方形变换到平行四边形时，边的长度没变，从而求出即可
【详解】
由题知从正方形变换到平行四边形时，A D’=AD=BC=4，D’C’=AB=5，
∵AO=2，根据勾股定理，则O D’=，则D’（ 0,），故C’的坐标为(5,)
熟练掌握图形变化中的不变边和勾股定理计算是解决本题的关键
10、1
【解析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】
解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=30，BD=60，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=1．
故答案为：1．
此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
11、
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，分别求出各三角形的边长，再根据等边三角形的边长的变换规律求解即可．
【详解】
解：由题意得，△A2B2C2的边长为
△A3B3C3的边长为
△A4B4C4的边长为
…，
∴△AnBnCn的边长为
故答案为：
本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，根据规律求出第n个等边三角形的边长是解题的关键．
12、或或
【解析】
由已知得出∠B=60°，AB=2BC=18，①当∠BQP=90°时，则∠BPQ=30°，BP=2BQ，得出18-3t=2t，解得t=；②当∠QPB=90°时，则∠BQP=30°，BQ=2BP，若0＜t＜6时，则t=2（18-3t），解得t=，若6＜t≤9时，则t=2（3t-18），解得t=．
【详解】
解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=9，
∴∠B=60°，AB=2BC=18，
①当∠BQP=90°时，如图1所示：则AC∥PQ，
∴∠BPQ=30°，BP=2BQ，
∵BP=18-3t，BQ=t，
∴18-3t=2t，
解得：t=；
②当∠QPB=90°时，如图2所示：
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
若0＜t＜6时，
则t=2（18-3t），
解得：t=，
若6＜t≤9时，
则t=2（3t-18），
解得：t=；
故答案为：或或．
本题考查了含30°角直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
13、720°
【解析】
根据多边形的外角和等于360°，可求出这个多边形的边数，进而，求出这个多边形的内角和.
【详解】
∵一个多边形的每一个外角都等于60°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数=360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=，
故答案是：720°.
本题主要考查多边形的外角和等于360°以及多边形的内角和公式，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、3.
【解析】
先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0的量，根据不为0的量结合x的取值范围得出合适的x的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论．
【详解】
解：原式===．
其中，即x≠﹣1、0、1．
又∵﹣2＜x≤2且x为整数，∴x=2．
将x=2代入中得：==3．
考点：分式的化简求值．
15、（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠BAE=∠ADF，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】
证明：（1）四边形为正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中
，
，
，
；
（2），
，，
，，
，
，
．
故答案为：（1）详见解析；（2）．
本题考查三角形全等的判定与性质和正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
16、（1）50；补图见解析；（2）10，12.5；（3）660人
【解析】
（1）根据统计图中的数据可以求得额该班的总人数，可以求得捐款10元的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据补全的条形统计图可以得到相应的众数和中位数；
（3）根据统计图可以求得不少于20元有多少人数的占比，再乘以总人数即可．
【详解】
解：（1）14÷28%=50，
捐款10元的人数为：50-9-14-7-4=16，
故答案为：50，补全的条形统计图如右图所示，
（2）由补全的条形统计图可得，
样本数据中捐款金额的众数是10，中位数是： ＝12.5，
故答案为：10，12.5；
（3）捐款金额不少于20元的人数 人，
即该校3000名同学本次捐款金额不少于20元有660人．
此题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
17、（1）40人一分钟内平均每人跳绳102；；（2）6（1）班能得到学校奖励．
【解析】
（1）根据加权平均数的计算公式进行计算即可；
（2）根据评分标准计算总积分，然后与1比较大小．
【详解】
解：（1）6（1）班40人中跳绳的平均个数为100+=102个，
答：40人一分钟内平均每人跳绳102；
（2）依题意得：（4×6+5×10+6×5）×3-（-2×6-1×12）×（-1）=288＞1．
所以6（1）班能得到学校奖励．
本题考查了加权平均数，正负数在实际生活中的应用．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
18、（1）4,（2）2.
【解析】
（1）分别计算二次根式的乘法、去绝对值符号以及零指数幂，然后再进行加减运算即可；
（2）先把括号里的二次根式进行化简合并后，再根据二次根式的除法法则进行计算即可得解.
【详解】
(1);
=，
=4；
(2)
=
=,
=2.
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、8
【解析】
根据题意可知，在甲机上每换一次多1个；在乙机上每换一次多3个；在丙机上每换一次多9个；进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；找到相等关系式列出方程解答即可．
【详解】
解：设：在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次．
在甲机上每换一次多 1 个；
在乙机上每换一次多 3 个；
在丙机上每换一次多 9 个；
进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；
∴
由②-①，得：2y+8z=68，
∴y+4z=34，
∴y=34-4z，
结合x+y+z=12，能满足上面两式的值为：
∴；
即在丙机换了8次．
故答案为：8.
此题关键是明白一枚硬币在不同机上换得个数不同，但是通过一枚12次取了81枚，多了80枚，找到等量关系，再根据题意解出即可．
20、64或
【解析】
根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
【详解】
解：∵两个相似三角形的周长分别为8和6，
∴两个相似三角形的周长之比为4：3，
∴两个相似三角形的相似比是4：3，
∴两个相似三角形的面积比是16：9，
又一个三角形的面积为36，
设另一个的面积为S，则16：9=S：36或16：9=36：S，
∴S=64或，
故答案为：64或．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
21、
【解析】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
解：.
故答案为.
点睛：本题考查了二次根式的化简.熟练应用二次根式的性质对二次根式进行化简是解题的关键.
22、55
【解析】
观察图形，找到正方形的个数与序数之间的关系，从而得出第5幅图中正方形的个数.
【详解】
解：∵第1幅图中有1个正方形，
第2幅图中有1+4=5个正方形，
第3幅图中有1+4+9=14个正方形，
∴第4幅图中有12+22+32+42=30个正方形，
第5幅图中有12+22+32+42+52=55个正方形.
故答案为：55.
本题考查查图形的变化规律，能根据图形之间的变化规律，得出正方形个数与序数之间的规律是解决此题的关键.
23、4
【解析】
利用面积公式列出关系式，将已知面积与边长代入即可求出高.
【详解】
解：根据题意得：÷×2=4.
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1); (2)
【解析】
（1）如图（1），设CE＝x，则BE＝8﹣x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．
（2）如图（2），首先求出CB′＝3；类比（1）中的解法，设出未知数，列出方程即可解决问题．
【详解】
（1）如图（1），设CE＝x，则BE＝8﹣x；
由题意得：AE＝BE＝8﹣x，
由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即CE的长为：．
（2）如图（2），
∵点B′落在AC的中点，
∴CB′＝AC＝3；
设CE＝x，类比（1）中的解法，可列出方程：x2+32＝（8﹣x）2
解得：x＝．
即CE的长为：．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
25、 (1)正比例函数的解析式为y=x,反比例函数的解析式为y=； (2)直线l的解析式为y=x； (3)S四边形OABC=.
【解析】
（1）利用待定系数法，由正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），即可求得解析式；
（2）由点B在反比例函数图象上，即可求得m的值；又由此一次函数是正比例函数平移得到的，可知一次函数与反比例函数的比例系数相同，代入点B的坐标即可求得解析式；
（3）构造直角梯形AEFD，则通过求解△ABE、△BDF与直角梯形ADFE的面积即可求得△ABD的面积．
【详解】
(1)设正比例函数的解析式为y=ax,反比例函数的解析式为y=，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)，
∴3=3a,3=，
∴a=1，b=9，
∴正比例函数的解析式为y=x,反比例函数的解析式为y=；
(2)∵点B在反比例函数上，
∴m==，
∴B点的坐标为(6,)，
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y=x+c，
∴=6+c，
∴c=，
∴直线l的解析式为y=x；
(3)过点A作AE∥x轴，交直线l于点E，连接AC.
∵直线l的解析式为y=x,A(3,3)，
∴点E的坐标为(,3),点C的坐标为(,0).
∴AE=−3=,OC=，
∴S四边形OABC=S△OAC+S△ACE−S△ABE=××3+××3−××=.
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求解析式和反比例函数与一次函数的交点问题.
26、
【解析】
分析：
（1）根据“中位数”、“众数”的定义及“方差”的计算公式结合统计图中的数据进行分析计算即可；
（2）按照题中要求，分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行说明即可.
详解：
甲的众数为：，
方差为：
，
乙的中位数是：8；
故答案为；
从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
点睛：理解“平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法”是正确解答本题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5


乙班
8.5

10
1.6