2025届北京六十六中学数学九上开学学业质量监测模拟试题【含答案】

这是一份2025届北京六十六中学数学九上开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在1000个数据中，用适当的方法抽取50个作为样本进行统计，频数分布表中54.5～57.5这一组的频数是6，那么它的频率为( )
A．0.12B．0.60C．6D．12
2、（4分）下列因式分解错误的是（ ）
A．2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1）B．x2+2x+1=（x+1）2
C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）D．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
3、（4分）已知，则的关系是( )
A．B．C．D．
4、（4分）矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点．则AE的长是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
5、（4分）下列各方程中，是一元二次方程的是（）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，点O在ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC的大小为( )
A．135°B．120°C．90°D．60°
7、（4分）如果aA．a+28、（4分）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一列数，，，，其中，（为不小于的整数），则___．
10、（4分）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为____________．
11、（4分）将直线y=2x-3平移，使之经过点(1，4)，则平移后的直线是____．
12、（4分）已知一次函数（）经过点，则不等式的解集为__________．
13、（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么△DCF的周长是___cm．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）甲、乙两名射击选示在10次射击训练中的成绩统计图（部分）如图所示：
根据以上信息，请解答下面的问题；
（1）补全甲选手10次成绩频数分布图．
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（3）教练根据两名选手手的10次成绩，决定选甲选手参加射击比赛，教练的理由是什么？（至少从两个不同角度说明理由）．
15、（8分）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过220kW•h时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过220kW•h时，其中的220kW•h仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为xkW•h时，应交电费为y元．具体收费情况如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）“基础电价”是 元/kw•h；
（2）求出当x＞220时，y与x的函数解析式；
（3）若小豪家六月份缴纳电费121元，求小豪家这个月用电量为多少kW•h？
16、（8分）问题情境：在中，，点是的中点，以为角的顶点作．
感知易证：（1）如图1，当射线经过点时，交边于点.将从图1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转，使射线、始终分别交边，于点、，如图2所示，易证，则有．
操作探究：（2）如图2，与是否相似，若相似，请证明；若不相似，请说明理由；
拓展应用：（3）若，直接写出当（2）中的旋转角为多少度时，与相似．
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，
（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并求点D的坐标；
（2）求菱形ABCD的对角线AC的长．
18、（10分）正比例函数和一次函数的图象都经过点，且一次函数的图象交轴于点．
（1）求正比例函数和一次函数的表达式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象；
（3）求出的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边，…，则等边的边长是______.
20、（4分）分解因式：x3-3x=______．
21、（4分）在中，若，则_____________
22、（4分）一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性______摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．
23、（4分）如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是______cm．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点．
（1）求，，的值；
（2）请直接写出不等式组的解集．
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点.过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，连结、、、.点的横坐标为.
（1）求的值.
（2）若的面积为.
①求点的坐标.
②在平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
符合条件的所有点的坐标.
26、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据频率=频数÷样本总数解答即可．
【详解】
用样本估计总体：在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频数是6，
那么估计总体数据落在54.5～57.5这一组的频率=0.12，
故选A．
本题主要考查频率分布表、频率的意义与计算方法，频率的意义，每组的频率=小组的频数：样本容量．同时考查统计的基本思想即用样本估计总体的应用．
2、A
【解析】
A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），错误；
B、原式=（x+1）2，正确；
C、原式=xy（x﹣y），正确；
D、原式=（x+y）（x﹣y），正确，
故选A．
3、D
【解析】
将a进行分母有理化，比较a与b即可.
【详解】
∵，，
∴.
故选D.
此题考查了分母有理化，分母有理化时正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键.
4、A
【解析】
由矩形的性质和折叠的性质可得CF=DC=10，DE=EF，由勾股定理可求BF的长，即可得AF=4，在Rt△AEF中，由勾股定理即可求得AE的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=8，∠A=∠D=∠B=90°，
∵折叠，
∴CD=CF=10，EF=DE，
在Rt△BCF中，BF==6，
∴AF=AB-BF=10-6=4，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
∴AE2+16=(8-AE)2，
∴AE=3，
故选A．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．
5、A
【解析】
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A. 方程x2−1=0符合一元二次方程的一般形式，正确；
B. 方程x3+2x+1=0的最高次数是3，故错误；
C. 方程3x+2=3化简为3x−1=0，该方程为一元一次方程，故错误；
D. 方程x2+2y=0含有两个未知数，为二元二次方程，故错误；
故选A.
此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.
6、B
【解析】
由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），在△BOC中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC．
【详解】
∵O到三边的距离相等
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°−∠A)
∵∠A=60°
∴∠OBC+∠OCB=60°
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°
故选B.
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．
7、C
【解析】
根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】
解：A.，，选项结论正确，不符合题意；
B.，，选项结论正确，不符合题意；
C.，，选项结论错误，符合题意；
D.，，选项结论正确，不符合题意．
故选：C．
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
8、D
【解析】
利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案.
【详解】
解：A.，故本选项变形错误；
B. ，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
把a1，a2，a3代入代数式计算，找出规律，根据规律计算．
【详解】
a1=，
，
，
……，
2019÷3=673，
∴a2019=-1，
故答案为：-1．
本题考查的是规律型：数字的变化类问题，正确找出数字的变化规律是解题的关键．
10、36°
【解析】
∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE==108°，
∴∠1=∠2=（180°-∠BAE），
即2∠1=180°-108°，
∴∠1=36°．
11、y=2x+2
【解析】
【分析】先由平移推出x的系数是2，可设直线解析式是y=2x+k,把点（1，4）代入可得.
【详解】由已知可设直线解析式是y=2x+k,
因为，直线经过点（1，4）,
所以，4=2+k
所以，k=2
所以，y=2x+2
故答案为y=2x+2
【点睛】本题考核知识点：一次函数性质.解题关键点：熟记一次函数性质.
12、
【解析】
先把（-1，0）代入y=kx+b得b=k，则k（x-3）+b＜0化为k（x-3）+k＜0，然后解关于x的不等式即可．
【详解】
解：把（-1，0）代入y=kx+b得-k+b=0，解b=k，
则k（x-3）+b＜0化为k（x-3）+k＜0，
而k＜0，
所以x-3+1＞0，
解得x＞1．
故答案为x＞1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
13、1．
【解析】
根据翻转变换的性质得到BF=DF，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
由翻转变换的性质可知，BF＝DF，
则△DCF的周长＝DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝1cm，
故答案为：1．
本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）4；（2）8、1.2、7.5；（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定．
【解析】
（1）根据甲的成绩频数分布图及题意列出10﹣（1+2+2+1），计算即可得到答案；
（2）根据平均数公式、中位数的求法和方差公式计算得到答案；
（3）从平均数和方差进行分析即可得到答案.
【详解】
解：（1）甲选手命中8环的次数为10﹣（1+2+2+1）＝4，
补全图形如下：
（2）a＝＝8（环），
c＝×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2，
b＝＝7.5，
故答案为：8、1.2、7.5；
（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定．
本题考查频数分布直方图、平均数、中位数和方差，解题的关键是读懂频数分布直方图，掌握平均数、中位数和方差的求法.
15、（1）0.5；（2）y＝0.55x﹣11；（3）小豪家这个月用电量为1kW•h．
【解析】
（1）由用电220度费用为110元可得；
（2）当x＞220时，待定系数法求解可得此时函数解析式；
（3）由121＞110知，可将y=121代入（2）中函数解析式求解可得．
【详解】
（1）“基础电价”是＝0.5元/度，
故答案为：0.5；
（2）当x＞220时，设y＝kx+b，
由图象可得：，
解得，
∴y＝0.55x﹣11；
（3）∵y＝121＞110
∴令0.55x﹣11＝121，
得：x＝1．
答：小豪家这个月用电量为1kW•h．
本题主要考查一次函数的图象与待定系数求函数解析式，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，理解每个区间的实际意义是解题关键．
16、（1）CD；（2）△BDF∽△DEF，理由见详解；（3）10°或40°．
【解析】
（1）如图2，根据∠EDF＝∠B及三角形外角性质可得∠BFD＝∠CDE，再根据∠B＝∠C即可得到△BFD∽△CDE解决问题．
（2）如图2，由（2）得△BFD∽△CDE，则有，由D是BC的中点可得．再根据∠B＝∠EDF即可得到△BDF∽△DEF．
（3）由∠B＝∠C＝50°可得∠BAC＝80°，AB＝AC，再由BD＝CD可得AD⊥BC．若△DEF与△ABC相似，由△BDF∽△DEF可得△BDF与△ABC相似，从而得到∠BDF＝∠BAC＝80°，或∠BDF＝∠C＝50°，即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图2，

∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，
∵∠FDC是△BFD的一个外角，
∴∠FDC＝∠B+∠BFD．
∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，∠EDF＝∠B，
∴∠BFD＝∠CDE．
∵∠B＝∠C，
∴△BFD∽△CDE；
∴．
（2）如图2，结论：△BDF∽△DEF．

理由：由（1）得．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴，
又∵∠B＝∠EDF，
∴△BDF∽△DEF．
（3）连接AD，如图3，

∵∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，AB＝AC．
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC．
若△DEF与△ABC相似，
∵△BDF∽△DEF，
∴△BDF与△ABC相似，
∴∠BDF＝∠BAC＝80°，或∠BDF＝∠C＝50°，
∴∠ADF＝90°﹣80°＝10°，或∠ADF＝90°﹣50°＝40°，
∴当（2）中的旋转角为10°或40°时，△DEF与△ABC相似．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的判定条件，属于中考常考题型．
17、（1）D（-2，1）；（2）3
【解析】
（1）根据菱形的四条边相等，可分别以点A，C为圆心，以AB长为半径画弧，两弧的交点即为点D的位置，根据所在象限和距坐标轴的距离得到点D的坐标即可；
（2）利用勾股定理易得菱形的一条对角线AC的长即可．
【详解】
解：（1）如图，菱形ABCD为所求图形，D（-2，1）；
（2）AC==3．
主要考查了菱形四条边相等的判定，及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
18、（1）；；（2）图详见解析；（3）3
【解析】
（1）把代入即可求得的值，求得正比例函数的解析式；把，代入，利用待定系数法，即可求得一次函数的解析式；
（2）根据题意描出相应的点，再连线即可；
（3）由A、B、O三点坐标，根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：（1）把A（1，2）代入中，得，
∴正比例函数的表达式为；
把A（1，2），B（3，0）代入中，得
，
解得：，
所以一次函数的表达式为；
（2）如图所示．
（3）由题意可得：．
本题考查了待定系数法求函数解析式，以及直线与坐标轴围成的三角形的面积的计算，理解线段的长度可以通过点的坐标表示，培养数形结合思想是关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
先从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可；
【详解】
∵直线l：y=x-与x轴交于点B1
∴B1（1，0），OB1=1，△OA1B1的边长为1；
∵直线y=x-与x轴的夹角为30°，∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∵∠A1B2B1=30°，
∴A1B2=2A1B1=2，△A2B3A3的边长是2，
同法可得：A2B3=4，△A2B3A3的边长是22；
由此可得，△AnBn+1An+1的边长是2n，
∴△A2018B2019A2019的边长是1．
故答案为1．
考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得△AnBn+1An+1的边长是2n．
20、
【解析】
先提取公因式x后，再把剩下的式子写成x2-（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
【详解】
x3-3x=x（x2-3），
=．
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
21、；
【解析】
根据在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半，即可的BC的长.
【详解】
根据题意中，若
所以可得BC=
故答案为1
本题主要考查在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半，这是一个重要的直角三角形的性质，应当熟练掌握.
22、小于
【解析】
先分别求出摸出各种颜色球的概率，再进行比较即可得出答案．
【详解】
解：∵袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，共有4个球，
∴摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是=，
∴摸出白球可能性＜摸出黄球的可能性；
故答案为小于．
本题主要考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
23、
【解析】
根据“两点之间线段最短”，将点A和点B所在的各面展开，展开为矩形，AB为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离，再由勾股定理求解即可．
【详解】
将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，
∴AB==cm．
故蚂蚁沿正方体的最短路程是cm．
故答案为：.
本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），，；（2）
【解析】
（1）将点（3，0）和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数解析式即可求得a的值；
（2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可．
【详解】
（1）∵正比例函数与过点的一次函数交于点．
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）直接根据函数的图象，可得不等式的解集为：
本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大．
25、（1）4；（2）①点的坐标为．②、、
【解析】
（1）利用待定系数法将A点代入，即可求函数解析式的k值；
（2）用三角形ABD的面积为4,列方程，即可求出a的值,可得点的坐标；
（3）E的位置分三种情况分析，由平行四边形对边平行的关系，用平移规律求对应点的坐标.
【详解】
（1）函数的图象经过点，

（2）①如图，设AC与BD交与M,
点的横坐标为，点在的图象上，
点的坐标为．
∵轴，轴，
，．
∵的面积为，
．
．
．
点的坐标为．
②∵C(1,0)
∴AC=4
当以ACZ作为平行四边形的边时，BE=AC=4
∴
∴
∴、
当AC作为平行四边形的对角线时，AC中点为
∴BE中点为（1，2）设E(x，y)
∵点的坐标为
则
解得：
∴
综上所述：在平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的所有点的坐标为：、、
故答案为、、
本题考察了利用待定系数法求反比例函数，以及利用三角形面积列方程求点的坐标和平行四边形的平移规律求点的坐标，解题的关键是会利用待定系数法求解析式，会用平移来求点的坐标.
26、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）根据AD//BE可得∠DAE=∠E，由AE平分∠BAD可得∠DAE=∠EAB进而可得∠EAB=∠E，即可证明CD=BE.（2）根据平行四边形的性质可知AD=DF，由DF=CF，∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE可证明△ADF≌△ECF，得AF=EF，由DG是等腰三角形ADF的高可知AG=GF，根据勾股定理可求出AG的长，由AE=2AF求出AE的长即可.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠DAE=∠E，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠EAB=∠E，
∴CD=BE.
（2）∵CD//AB.
∴∠BAF=∠DFA.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAF=∠DFA.
∴DA=DF.
∵F为DC中点，AB=4，
∴DF=CF=AD=2，
∵DG⊥AE，DG=1，
∴AG=GF=，AF=2AG=2，
∵∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE，DF=CF.
∴△ADF≌△ECF.
∴AF=EF.
∴AE=2AF=4.
本题考查平行四边形的性质，勾股定理及全等三角形的判定等，熟练掌握相关知识是解题关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
选手
A平均数
中位数
众数
方差
甲
a
8
8
c
乙
7.5
b
6和9
2.65